Câu 1 [1064078]: Trong không gian 
cho hình chóp 
có đáy 
là hình chữ nhật, cạnh bên 
vuông góc với đáy. Biết 
và 
Gọi 
nằm trên cạnh 
sao cho 
vuông góc với 
Tính 
cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với đáy. Biết và Gọi nằm trên cạnh sao cho vuông góc với Tính A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Xác định tọa độ điểm 
dựa vào tính chất hình chữ nhật, tham số hóa tọa độ điểm 
thuộc trục 
, sau đó dùng tích vô hướng bằng 0 để tìm tọa độ 
2. Cách giải: Vì
là hình chữ nhật và 
là gốc tọa độ, 
, 
nên đỉnh 
có tọa độ 
Điểm
thuộc cạnh 
(nằm trên trục 
) nên 
có tọa độ 
, suy ra 
và 
Ta có vectơ
và 
Do
nên tích vô hướng 
Vậy giá trị biểu thức
Chọn đáp án A. Đáp án: A
dựa vào tính chất hình chữ nhật, tham số hóa tọa độ điểm thuộc trục , sau đó dùng tích vô hướng bằng 0 để tìm tọa độ
2. Cách giải: Vì
là hình chữ nhật và là gốc tọa độ, , nên đỉnh có tọa độ
Điểm
thuộc cạnh (nằm trên trục ) nên có tọa độ , suy ra và
Ta có vectơ
và
Do
nên tích vô hướng
Vậy giá trị biểu thức
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 2 [1064079]: Cho hình hộp chữ nhật 
có 
Xét hệ trục toạ độ 
có gốc toạ độ 
trùng với điểm 
các điểm 
lần lượt nằm trên các tia 
Gọi 
là tâm của hình chữ nhật 
Độ dài đoạn thẳng 
bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
có Xét hệ trục toạ độ có gốc toạ độ trùng với điểm các điểm lần lượt nằm trên các tia Gọi là tâm của hình chữ nhật Độ dài đoạn thẳng bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Xác định tọa độ các đỉnh hình hộp chữ nhật dựa trên độ dài cạnh, dùng công thức trung điểm để tìm tâm 
và công thức độ dài đoạn thẳng để tính 
2. Cách giải: Gắn hệ trục tọa độ với
, ta có: 
, 
, 
Suy ra
(do 
là hình chữ nhật đáy) và 
(do 
nằm trên 
theo phương 
là tâm hình chữ nhật 
nên 
là trung điểm của đoạn chéo 
Tọa độ
Độ dài
Làm tròn kết quả:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
và công thức độ dài đoạn thẳng để tính 2. Cách giải: Gắn hệ trục tọa độ với
, ta có: , , Suy ra
(do là hình chữ nhật đáy) và (do nằm trên theo phương là tâm hình chữ nhật nên là trung điểm của đoạn chéo Tọa độ
Độ dài
Làm tròn kết quả:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [380269]: Cho hình lập phương 
có cạnh bằng 
gọi 
là trung điểm của cạnh
Tính 
có cạnh bằng gọi là trung điểm của cạnh Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
Đáp án: C
Câu 4 [379542]: Cho hình lập phương 
có cạnh bằng 
gọi 
là trung điểm của cạnh
Tính 
có cạnh bằng gọi là trung điểm của cạnh Tính A, 
B, 
C, 
D, 
HD
Ta có: 
Chọn C. Đáp án: C
Chọn C. Đáp án: C Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 5 đến 6
Câu 5 [1064080]: Trung điểm cạnh 
có tung độ là
có tung độ là A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Xác định tọa độ các đỉnh 
dựa vào các trục tọa độ tương ứng với các cạnh hình lập phương, sau đó dùng công thức trung điểm 
2. Cách giải: Do
và các cạnh trùng các hướng của vectơ đơn vị, ta có tọa độ các đỉnh: 
, 
Từ đó suy ra các đỉnh tương ứng:
(nằm trên 
) và 
(đối diện 
trong mặt phẳng 
Gọi
là trung điểm 
, tung độ của 
là 
Chọn đáp án B.
dựa vào các trục tọa độ tương ứng với các cạnh hình lập phương, sau đó dùng công thức trung điểm
2. Cách giải: Do
và các cạnh trùng các hướng của vectơ đơn vị, ta có tọa độ các đỉnh: ,
Từ đó suy ra các đỉnh tương ứng:
(nằm trên ) và (đối diện trong mặt phẳng
Gọi
là trung điểm , tung độ của là
Chọn đáp án B.
Câu 6 [1064081]: Gọi 
là trọng tâm tam giác 
Diện tích tam giác 
bằng
là trọng tâm tam giác Diện tích tam giác bằng A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm 
rồi dùng công thức diện tích bằng một nửa độ dài tích có hướng: 
2. Cách giải: Từ giả thiết ta có tọa độ các đỉnh:
và 
Trọng tâm
của tam giác 
có tọa độ là trung bình cộng của ba đỉnh: 
Ta tính các vectơ:
và 
Tích có hướng của hai vectơ là
Độ dài của vectơ tích có hướng là
Vậy diện tích tam giác
là 
Chọn đáp án A.
rồi dùng công thức diện tích bằng một nửa độ dài tích có hướng:
2. Cách giải: Từ giả thiết ta có tọa độ các đỉnh:
và
Trọng tâm
của tam giác có tọa độ là trung bình cộng của ba đỉnh:
Ta tính các vectơ:
và
Tích có hướng của hai vectơ là
Độ dài của vectơ tích có hướng là
Vậy diện tích tam giác
là
Chọn đáp án A.
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 7 đến 9
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và các điểm A(0;0;0), B(4;0;0), D(0;3;0), S(0;0;6). Gọi E là trung điểm của CD.
Câu 7 [1064082]: Diện tích tam giác 
bằng
bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Từ giả thiết 
là hình chữ nhật, ta suy ra 
Xét hai vectơ xuất phát từ đỉnh
: 
và 
Ta thấy tích vô hướng
suy ra tam giác 
vuông tại 
Tính độ dài hai cạnh góc vuông:
và 
Vậy diện tích tam giác
là 
Chọn đáp án D.
là hình chữ nhật, ta suy ra
Xét hai vectơ xuất phát từ đỉnh
: và
Ta thấy tích vô hướng
suy ra tam giác vuông tại
Tính độ dài hai cạnh góc vuông:
và
Vậy diện tích tam giác
là
Chọn đáp án D.
Câu 8 [741898]: Góc giữa hai đường thẳng 
và 
bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
và bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ). A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Ta có:
Với
và 
Đáp án: B
Ta có:
Với
và Đáp án: B
Câu 9 [741899]: Điểm 
thuộc mặt phẳng 
thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
bằng
thuộc mặt phẳng thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Với
và 
Phương trình mặt phẳng
chính là 
Gọi
Suy ra
đạt giá trị nhỏ nhất tại 
và 
Khi đó,
Đáp án: B
Với
và
Phương trình mặt phẳng
chính là
Gọi
Suy ra
đạt giá trị nhỏ nhất tại và
Khi đó,
Đáp án: B Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 10 đến 12
Câu 10 [742983]: Đỉnh 
của hình chóp có toạ độ là
của hình chóp có toạ độ là A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Vì
nên 
Vì
là hình chóp đều nên 
là hình vuông có cạnh bằng 
Suy ra
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông
vuông tại 
ta có 
Suy ra
Đáp án: C
Vì
nên
Vì
là hình chóp đều nên là hình vuông có cạnh bằng
Suy ra
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông
vuông tại ta có
Suy ra
Đáp án: C
Câu 11 [742986]: Trọng tâm 
của tam giác 
có toạ độ là 
Giá trị của 
bằng
của tam giác có toạ độ là Giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Để tính được tọa độ trọng tâm
của tam giác 
ta cần biết được tọa độ của 3 điểm 
Dựa vào ID [742983], ta tính được
Trong hình vuông
ta có 
Suy ra
Vì
Suy ra 
Tương tự với điểm
vì 
Mà 
Suy ra tọa độ điểm
Đáp án: A
Để tính được tọa độ trọng tâm
của tam giác ta cần biết được tọa độ của 3 điểm
Dựa vào ID [742983], ta tính được
Trong hình vuông
ta có
Suy ra
Vì
Suy ra
Tương tự với điểm
vì
Mà
Suy ra tọa độ điểm
Đáp án: A
Câu 12 [1064083]: Nếu 
thuộc mặt phẳng 
sao cho 
lớn nhất thì giá trị của biểu thức 
bằng
thuộc mặt phẳng sao cho lớn nhất thì giá trị của biểu thức bằng A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Sử dụng phương pháp điểm đối xứng. Vì 
và 
nằm khác phía so với mặt phẳng 
nên ta lấy 
đối xứng với 
qua 
Khi đó 
Giá trị lớn nhất đạt được khi 
là giao điểm của đường thẳng 
và mặt phẳng 
2. Cách giải: Từ các câu trước, ta xác định được tọa độ các điểm:
, 
, 
và 
Trọng tâm
của tam giác 
là 
Nhận thấy
và 
, suy ra 
và 
nằm khác phía so với mặt phẳng 
(phương trình 
Lấy điểm
đối xứng với 
qua 
, ta được 
(trùng với 
Khi đó
Dấu "=" xảy ra khi 
thẳng hàng.
Ta lập phương trình đường thẳng đi qua
và 
Vectơ chỉ phương
Phương trình tham số:
Điểm
là giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng 
nên 
Cho
Suy ra
và 
Vậy
Giá trị biểu thức
Chọn đáp án D.
và nằm khác phía so với mặt phẳng nên ta lấy đối xứng với qua Khi đó Giá trị lớn nhất đạt được khi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
2. Cách giải: Từ các câu trước, ta xác định được tọa độ các điểm:
, , và
Trọng tâm
của tam giác là
Nhận thấy
và , suy ra và nằm khác phía so với mặt phẳng (phương trình
Lấy điểm
đối xứng với qua , ta được (trùng với
Khi đó
Dấu "=" xảy ra khi thẳng hàng.
Ta lập phương trình đường thẳng đi qua
và
Vectơ chỉ phương
Phương trình tham số:
Điểm
là giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng nên
Cho
Suy ra
và
Vậy
Giá trị biểu thức
Chọn đáp án D.
Câu 13 [380499]: Cho hình hộp chữ nhật 
có 
Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau 
có Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
Ta có: 
Trọng tâm tam giác
là điểm 
Điểm
Lại có:
suy ra 
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng.
Trọng tâm tam giác
là điểm Điểm
Lại có:
suy ra a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng.
Câu 14 [380481]: Cho hình hộp chữ nhật 
có 
và đáy là hình chữ nhật 
với 
Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau 
có và đáy là hình chữ nhật với Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
Ta có: 
Khi đó:
a) Đúng.
b) Đúng
c) Sai.
d) Sai.
Khi đó:
a) Đúng.
b) Đúng
c) Sai.
d) Sai.
Câu 15 [380632]: Xét hệ trục toạ độ 
gắn với hình hộp chữ nhật 
như hình vẽ có điểm 
trùng với gốc toạ độ 
đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh hình hộp. Gọi 
là trọng tâm tam giác
gắn với hình hộp chữ nhật như hình vẽ có điểm trùng với gốc toạ độ đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh hình hộp. Gọi là trọng tâm tam giác
Ta có: 
Suy ra
Trọng tâm của tam giác
là 
Lại có:
nên 3 điểm 
thẳng hàng
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Suy ra
Trọng tâm của tam giác
là Lại có:
nên 3 điểm thẳng hàng a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Câu 16 [380498]: Cho hình chóp 
có 
và đáy 
là tam giác đều cạnh 
là trung điểm của 
Thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ.
có và đáy là tam giác đều cạnh là trung điểm của Thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ.
Ta có: 
tia 
và 
Điểm
nên trung điểm của cạnh 
là 
Trọng tâm của tam giác
là điểm 
Ta có:
Suy ra
a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng
tia và Điểm
nên trung điểm của cạnh là Trọng tâm của tam giác
là điểm Ta có:
Suy ra
a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng
Câu 17 [380496]: Cho hình lập phương 
có cạnh bằng 
Gọi 
lần lượt là trung điểm của 
và 
Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy tính góc giữa hai vectơ 
và 
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của và Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy tính góc giữa hai vectơ và (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Ta có: 
Mặt khác
Mặt khác
Câu 18 [399641]: Điền số thích hợp vào chố trống:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho 
Điểm 
để biểu thức 
đạt giá trị nhỏ nhất, tổng 
bằng __________.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho Điểm để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, tổng bằng __________.
Điền đáp án: -4.
Gọi
là điểm thỏa mãn
thì tọa độ điểm 
thỏa mãn
Khi đó
nên
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
Gọi
là điểm thỏa mãn thì tọa độ điểm thỏa mãn Khi đó
nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
Câu 19 [398657]: [Liên Trường Nghệ An 2024]: Trong không gian 
, cho hai điểm 
, 
. Xét điểm 
thuộc mặt phẳng 
sao cho biểu thức 
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 
.
, cho hai điểm , . Xét điểm thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó .
Điền đáp án: -1.
Xét
Gọi
là điểm thỏa mãn 
Khi đó:
. Do đó 
.
Gọi
là hình chiếu vuông góc của 
lên mặt phẳng 
Dễ thấy
Dấu “=” xảy ra
Xét
Gọi
là điểm thỏa mãn Khi đó:
. Do đó .Gọi
là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng Dễ thấy
Dấu “=” xảy ra
Câu 20 [399652]: Cho 
Điểm 
thoả 
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 
Điểm thoả đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
Điền đáp án: -5.
Ta có:
Chọn điểm
thoả 
Khi đó
Do tổng
không đổi nên 
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 
nhỏ nhất.
Vậy
nhỏ nhất thì 
Vậy 
Suy ra
Ta có:
Chọn điểm
thoả Khi đó
Do tổng
không đổi nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. Vậy
nhỏ nhất thì Vậy Suy ra