Câu 1 [1064111]: Xét hàm số 
Khi 
giá trị của 
bằng
Khi giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Sử dụng tính chất hiệu hai nguyên hàm để rút gọn biểu thức dưới dấu tích phân, tìm hằng số 
rồi tính giá trị hàm số.
2. Cách giải: Gộp hai dấu nguyên hàm lại ta được
Tính nguyên hàm, ta có
Theo giả thiết
thay 
vào biểu thức trên ta được 
Vậy hàm số hoàn chỉnh là
Giá trị cần tìm là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
rồi tính giá trị hàm số.
2. Cách giải: Gộp hai dấu nguyên hàm lại ta được
Tính nguyên hàm, ta có
Theo giả thiết
thay vào biểu thức trên ta được
Vậy hàm số hoàn chỉnh là
Giá trị cần tìm là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [1064112]: Cho 
là một nguyên hàm của hàm số 
thoả mãn 
và 
Giá trị của 
bằng
là một nguyên hàm của hàm số thoả mãn và Giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án D.
Xét hàm
Theo giả thiết,
Suy ra
Giá trị của
là 
Đáp án: D
Xét hàm
Theo giả thiết,
Suy ra
Giá trị của
là Đáp án: D
Câu 3 [120745]: [Đề THPT QG 2017]: Tìm nguyên hàm của hàm số 
A, 
B, 
C, 
D, 
Lời giải: Ta cần tính 
, đặt 
Chon A.
Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách khác như sau:
Ta có
Đáp án: A
, đặt Chon A.
Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách khác như sau:
Ta có
Đáp án: A
Câu 4 [148297]: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
.
. A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có: 
Chọn B. Đáp án: B
Chọn B. Đáp án: B
Câu 5 [1064113]: Biết 
là một nguyên hàm của 
thoả mãn 
Giá trị của 
bằng
là một nguyên hàm của thoả mãn Giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Tìm họ nguyên hàm 
, thiết lập phương trình từ giả thiết 
để tìm hằng số 
rồi tính 
2. Cách giải: Ta có họ nguyên hàm
Từ giả thiết
, ta có phương trình 
Thu gọn phương trình ta được
Vậy giá trị cần tìm là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
, thiết lập phương trình từ giả thiết để tìm hằng số rồi tính 2. Cách giải: Ta có họ nguyên hàm
Từ giả thiết
, ta có phương trình Thu gọn phương trình ta được
Vậy giá trị cần tìm là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 6 [1064114]: Cho hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số 
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 
là
là một nguyên hàm của hàm số Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Lấy đạo hàm 
để xác định biểu thức hàm số 
sau đó khảo sát đạo hàm 
để tìm toạ độ điểm cực tiểu.
2. Cách giải: Ta có
Xét hàm số
trên tập xác định 
ta có 
Phương trình
Dựa vào dấu của đạo hàm cấp hai
ta thấy tại 
thì 
nên hàm số đạt cực tiểu tại đây.
Giá trị cực tiểu là
vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
để xác định biểu thức hàm số sau đó khảo sát đạo hàm để tìm toạ độ điểm cực tiểu.
2. Cách giải: Ta có
Xét hàm số
trên tập xác định ta có
Phương trình
Dựa vào dấu của đạo hàm cấp hai
ta thấy tại thì nên hàm số đạt cực tiểu tại đây.
Giá trị cực tiểu là
vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [362260]: Cho hàm số 
có đạo hàm 
và 
Biết 
là nguyên hàm của 
thỏa mãn 
khi đó giá trị biểu thức 
bằng
có đạo hàm và Biết là nguyên hàm của thỏa mãn khi đó giá trị biểu thức bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Với 
ta có 
Vì
nên 
Suy ra
Chọn đáp án D. Đáp án: D
ta có Vì
nên Suy ra
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 8 [1064115]: Họ các nguyên hàm của hàm số 
trên 
là
trên là A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm và các công thức cơ bản cho hàm lượng giác và hàm phân thức.
2. Cách giải: Ta cần tìm nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của
là 
; nguyên hàm của 
là 
Kết hợp lại, ta có họ nguyên hàm là
Vì xét trên khoảng
nên 
kết quả có thể viết gọn là 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
2. Cách giải: Ta cần tìm nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của
là ; nguyên hàm của là
Kết hợp lại, ta có họ nguyên hàm là
Vì xét trên khoảng
nên kết quả có thể viết gọn là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 9 [147967]: Tìm nguyên hàm của hàm số 
A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có 
Chọn B. Đáp án: B
Chọn B. Đáp án: B
Câu 10 [148050]: Tìm nguyên hàm của hàm số 
A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có 
Chọn C. Đáp án: C
Chọn C. Đáp án: C
Câu 11 [234244]: [Đề thi TH THPT 2022]: Cho hàm số 
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Khẳng định nào dưới đây là đúng? A, 
B, 
C, 
D, 
HD: 
Chọn C. Đáp án: C
Chọn C. Đáp án: C
Câu 12 [396623]: 
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Câu 13 [1064116]: Biết 
là một nguyên hàm của 
thoả mãn 
Giá trị của 
bằng
là một nguyên hàm của thoả mãn Giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Xét hàm số
Áp dụng công thức hạ bậc:
Với
Suy ra hàm số
Thay
vào phương trình ta được:
Suy ra
Đáp án: C
Xét hàm số
Áp dụng công thức hạ bậc:
Với
Suy ra hàm số
Thay
vào phương trình ta được:
Suy ra
Đáp án: C
Câu 14 [120748]: Cho 
là một nguyên hàm của hàm số 
thỏa mãn 
Tìm 
là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn Tìm A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 15 [378612]: Nguyên hàm 
của hàm số 
thoả mãn 
là
của hàm số thoả mãn là A, 
B, 
C, 
D, 
Có 
Đáp án: C Chọn đáp án C.
Câu 16 [1064117]: Tìm một nguyên hàm 
của hàm số 
biết 
của hàm số biết A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Rút gọn biểu thức 
bằng cách nhân phân phối, tìm nguyên hàm 
rồi dùng điều kiện 
để tìm hằng số 
2. Cách giải: Ta biến đổi hàm số:
Họ nguyên hàm của hàm số là
Theo giả thiết
thay vào ta có 
Vậy nguyên hàm cần tìm là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
bằng cách nhân phân phối, tìm nguyên hàm rồi dùng điều kiện để tìm hằng số
2. Cách giải: Ta biến đổi hàm số:
Họ nguyên hàm của hàm số là
Theo giả thiết
thay vào ta có
Vậy nguyên hàm cần tìm là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 17 [1064118]: Biết 
là một nguyên hàm của hàm số 
thoả mãn 
Khi 
thì giá trị của 
bằng
là một nguyên hàm của hàm số thoả mãn Khi thì giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Xét hàm số
Mà
Suy ra
Ta có:
Vậy
và 
Đáp án: B
Xét hàm số
Mà
Suy ra
Ta có:
Vậy
và Đáp án: B
Câu 18 [1064119]: Giả sử 
là một nguyên hàm của hàm số 
Tính giá trị của biểu thức 
là một nguyên hàm của hàm số Tính giá trị của biểu thức A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Xét hàm số
có nguyên hàm là 
Đặt
Tính tích phân từng phần một lần nữa cho phần
, ta được:
Như vậy, ta suy ra
và 
Đáp án: B
Xét hàm số
có nguyên hàm là
Đặt
Tính tích phân từng phần một lần nữa cho phần
, ta được:
Như vậy, ta suy ra
và Đáp án: B
Câu 19 [709386]: Biết 
(
và 
) là một nguyên hàm của hàm số 
Giá trị của 
bằng
( và ) là một nguyên hàm của hàm số Giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
là nguyên hàm của 
(Loại)
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 20 [289706]: Cho 
là các nguyên hàm của hàm số 
trên 
Biết 
và 
Khi đó 
bằng
là các nguyên hàm của hàm số trên Biết và Khi đó bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Vì
là các nguyên hàm của hàm số 
trên 
nên 
Ta có:
Suy ra:
Đáp án: B
Vì
là các nguyên hàm của hàm số trên nên Ta có:
Suy ra:
Đáp án: B
Câu 21 [1064120]: Cho 
là một nguyên hàm của hàm số 
với 
là tham số thực và hàm số 
đạt cực trị tại điểm 
Giá trị của 
bằng
là một nguyên hàm của hàm số với là tham số thực và hàm số đạt cực trị tại điểm Giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Xét nguyên hàm hàm số
ta được : 
Đạo hàm hai vế ta được:
Xét
(điểm cực trị)
Đáp án: A
Xét nguyên hàm hàm số
ta được :
Đạo hàm hai vế ta được:
Xét
(điểm cực trị)
Đáp án: A
Câu 22 [714641]: Cho 
với mọi 
và 
Tính 
với mọi và Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
Mà
suy ra 
Chọn đáp án B Đáp án: B
Mà
suy ra
Chọn đáp án B Đáp án: B
Câu 23 [361858]: Cho hàm số 
có đạo hàm 
và 
Biết 
là nguyên hàm của 
thỏa mãn 
khi đó 
bằng
có đạo hàm và Biết là nguyên hàm của thỏa mãn khi đó bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
Mà
nên suy ra 
Khi đó
Lại có
Mà
suy ra 
Vậy
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mà
nên suy ra
Khi đó
Lại có
Mà
suy ra
Vậy
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 24 [1064121]: Cho hàm số 
có đạo hàm là 
và 
Biết 
là một nguyên hàm của 
thỏa mãn 
Tính 
có đạo hàm là và Biết là một nguyên hàm của thỏa mãn Tính
1. Phương pháp: Tìm hàm số 
từ đạo hàm 
và điều kiện 
tiếp theo tìm nguyên hàm 
từ 
và điều kiện 
để tính 
2. Cách giải: Ta có
Theo giả thiết
thay 
vào ta được 
suy ra 
Tiếp tục tìm nguyên hàm
Theo giả thiết
thay 
vào ta được 
Vậy giá trị cần tìm là
Điền đáp án: 1.
từ đạo hàm và điều kiện tiếp theo tìm nguyên hàm từ và điều kiện để tính 2. Cách giải: Ta có
Theo giả thiết
thay vào ta được suy ra Tiếp tục tìm nguyên hàm
Theo giả thiết
thay vào ta được Vậy giá trị cần tìm là
Điền đáp án: 1.
Câu 25 [1012136]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Cho hàm số
liên tục trên 
thoả mãn 
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
tại điểm 
bằng_________
Cho hàm số
liên tục trên thoả mãn Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm bằng_________
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
là 
Câu 26 [389741]: Cho hàm số 
liên tục trên nửa khoảng 
thoả mãn 
Biết rằng 
tính 
liên tục trên nửa khoảng thoả mãn Biết rằng tính
Ta có 
Ta có
Lại có
Suy ra
Vậy
Ta có
Lại có
Suy ra
Vậy
Câu 27 [389387]: Biết rằng 
là một nguyên hàm của hàm số 
thoả mãn 
và 
Tính giá trị của 
là một nguyên hàm của hàm số thoả mãn và Tính giá trị của 
Khi đó,
Câu 28 [257705]: Cho hàm số 
. Biết rằng 
là nguyên hàm của hàm số 
thỏa mãn 
khi đó 
bằng
. Biết rằng là nguyên hàm của hàm số thỏa mãn khi đó bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Vì 
liên tục tại 
nên 
Ta có
Vì
nên 
Vì
liên tục tại 
nên 
Khi đó
Chọn đáp án C. Đáp án: C
liên tục tại nên Ta có
Vì
nên Vì
liên tục tại nên Khi đó
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 29 [151831]: Sau trận động đất , một hồ chứa nước bị rò rỉ. Giả sử lượng nước thất thoát kể từ khi hồ bị rõ rỉ đến thời điểm 
(phút) là 
(lít), biết rằng 
Tính lượng nước thất thoát sau 2 giờ kể từ khi hồ bị rò rỉ.
(phút) là (lít), biết rằng Tính lượng nước thất thoát sau 2 giờ kể từ khi hồ bị rò rỉ. A, 590520 lít.
B, 1590520 lít.
C, 11590520 lít.
D, 890121 lít.
Ta có lượng nước thất thoát sau 2 giờ là 
lít.
Chọn A Đáp án: A
lít.
Chọn A Đáp án: A
Câu 30 [1064122]: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi 
là thể tích nước bơm được sau 
giây. Biết rằng 
và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây, thể tích nước trong bể là 
sau 10 giây thì thể tích trong bể là 
Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây bằng bao nhiêu 
là thể tích nước bơm được sau giây. Biết rằng và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây, thể tích nước trong bể là sau 10 giây thì thể tích trong bể là Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây bằng bao nhiêu A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Tìm hàm 
là nguyên hàm của 
giải hệ phương trình tìm 
dựa vào 
rồi tính 
2. Cách giải: Ta có
Vì ban đầu bể không có nước nên 
Theo đề bài
và 
ta có hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình ta được
và 
suy ra biểu thức thể tích là 
Vậy thể tích nước trong bể sau 20 giây là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
là nguyên hàm của giải hệ phương trình tìm dựa vào rồi tính 2. Cách giải: Ta có
Vì ban đầu bể không có nước nên Theo đề bài
và ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta được
và suy ra biểu thức thể tích là Vậy thể tích nước trong bể sau 20 giây là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 31 [408480]: Trong kinh tế, lượng đầu tư 
(tốc độ bổ sung vốn) và quỹ vốn 
là các hàm số của biến thời gian 
Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ 
Giả sử ta có hàm đầu tư 
(triệu đồng/tháng) và quỹ vốn tại thời điểm ban đầu là 
triệu đồng. Hỏi lượng vốn tích luỹ được sau 
tháng là bao nhiêu?
(tốc độ bổ sung vốn) và quỹ vốn là các hàm số của biến thời gian Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ Giả sử ta có hàm đầu tư (triệu đồng/tháng) và quỹ vốn tại thời điểm ban đầu là triệu đồng. Hỏi lượng vốn tích luỹ được sau tháng là bao nhiêu? A, 
triệu đồng.
triệu đồng.B, 
triệu đồng.
triệu đồng.C, 
triệu đồng.
triệu đồng.D, 
triệu đồng.
triệu đồng.
Chọn đáp án B.
Dựa vào giả thiết ta có:
Mặt khác quỹ vốn tại thời điểm ban đầu là
triệu đồng nên 
Vậy lượng vốn tích luỹ được sau
tháng là 
triệu đồng. Đáp án: B
Dựa vào giả thiết ta có:
Mặt khác quỹ vốn tại thời điểm ban đầu là
triệu đồng nên Vậy lượng vốn tích luỹ được sau
tháng là triệu đồng. Đáp án: B
Câu 32 [360269]: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 
vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi 
là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm 
trong đó 
tính theo ngày 
Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số 
trong đó 
là hằng số. Sau 
ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 
vi khuẩn. Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 
ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm trong đó tính theo ngày Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số trong đó là hằng số. Sau ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành vi khuẩn. Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Ta có 
Lại có
Theo giả thiết, ta có
Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là
Lại có
Theo giả thiết, ta có
Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là
Câu 33 [371984]: Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như hình vẽ. Khí bên trong ống được duy trì ở 
Biết rằng nhiệt độ 
tại điểm 
trên thành ống là hàm số của khoảng cách 
từ 
đến tâm của mặt cắt và 
(Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, Mc Graw Hill, 2015). Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của 
Biết rằng nhiệt độ tại điểm trên thành ống là hàm số của khoảng cách từ đến tâm của mặt cắt và (Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, Mc Graw Hill, 2015). Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của
Cách 1: Ta có: 
vì 
Lại có
Do đó
Cách 2: Do nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở
nên 
Nhiệt độ mặt ngoài của ống là
vì Lại có
Do đó
Cách 2: Do nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở
nên Nhiệt độ mặt ngoài của ống là
Câu 34 [396625]: Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem t = 0 là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số 
Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi 
(°C/phút). Nhiệt độ của nước tại thời điểm t = 30 phút là bao nhiêu °C. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi (°C/phút). Nhiệt độ của nước tại thời điểm t = 30 phút là bao nhiêu °C. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Ta có: 
Đáp án: 61
Đáp án: 61
Câu 35 [1058534]: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số 
trong đó 
tính bằng giờ 
tính bằng khách/giờ. Sau hai giờ, 
người đã có mặt tại lễ hội. Gọi 
(tính bằng khách) là số lượng khách tới tham dự lễ hội sau 
giờ.
trong đó tính bằng giờ tính bằng khách/giờ. Sau hai giờ, người đã có mặt tại lễ hội. Gọi (tính bằng khách) là số lượng khách tới tham dự lễ hội sau giờ.
b) Xét hàm số 
có nguyên hàm là:
Xét giả thiết sau hai giờ, có 1375 người có mặt, ta được:
Suy ra hàm số biểu diễn lượng khách tham dự theo thời gian là:
Chọn đáp án ĐÚNG.
a) Sau một giờ, số khách tham dự là:
(người)
Chọn đáp án ĐÚNG.
c) Khoảng thời gian mà tốc độ thay đổi lượng khác giảm chính là khoảng thời gian mà hàm số biểu diễn tốc độ thay đổi lượng khách nghịch biến
Xét hàm số tốc độ thay đổi:
Ta có:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm biểu diễn tốc độ thay đổi lượng khách chỉ giảm trên khoảng
Chọn đáp án SAI.
d) Xét
Dựa vào bảng biến thiên bên, ta xét giá trị tại hai điểm đặc biệt là
Ta có:
Như vậy số lượng khách tới tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 khách.
Chọn đáp án SAI.
có nguyên hàm là:
Xét giả thiết sau hai giờ, có 1375 người có mặt, ta được:
Suy ra hàm số biểu diễn lượng khách tham dự theo thời gian là:
Chọn đáp án ĐÚNG.
a) Sau một giờ, số khách tham dự là:
(người)
Chọn đáp án ĐÚNG.
c) Khoảng thời gian mà tốc độ thay đổi lượng khác giảm chính là khoảng thời gian mà hàm số biểu diễn tốc độ thay đổi lượng khách nghịch biến
Xét hàm số tốc độ thay đổi:
Ta có:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm biểu diễn tốc độ thay đổi lượng khách chỉ giảm trên khoảng
Chọn đáp án SAI.
d) Xét
Dựa vào bảng biến thiên bên, ta xét giá trị tại hai điểm đặc biệt là
Ta có:
Như vậy số lượng khách tới tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 khách.
Chọn đáp án SAI.
Câu 36 [865932]: Một bể chứa dầu ban đầu có 50 000 lít dầu. Gọi 
là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm 
trong đó 
tính theo giờ 
Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số 
với 
là hằng số dương. Sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt 58 000 lít.
là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm trong đó tính theo giờ Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số với là hằng số dương. Sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt 58 000 lít.
a) Phương pháp: Sử dụng định nghĩa của nguyên hàm.
Theo định nghĩa: nếu
thì 
là một nguyên hàm của 
Đề bài cho
Do đó, 
chính là một nguyên hàm của 
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Áp dụng công thức nguyên hàm, ta có
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Yêu cầu bài toán là tính
Để kiểm tra mệnh đề này, trước hết chúng ta cần tìm giá trị của
và 
Từ kết quả phần b), ta có
Theo giả thiết bài toán: “Bể chứa dầu ban đầu (tức tại
có 50 000 lít dầu” suy ra 
Suy ra
Tiếp nữa, ta lại có: Sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt 58 000 lít. Tức tại
Vậy hàm thể tích dầu tại thời điểm
là 
Thay
vào phương trình 
vừa tìm được, ta có thể tích dầu trong bể sau 16 giờ là
(lít)
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Nếu có rò rỉ 500 lít/giờ, thì lượng dầu rò rỉ sau thời gian
là 
lít.
Suy ra thể tích lượng dầu tại thời điểm
sẽ là 
Thay
vào phương trình 
ta được
Vậy thể tích dầu trong bể tại
giờ là
(lít)
Suy ra mệnh đề d đúng.
Theo định nghĩa: nếu
thì là một nguyên hàm của
Đề bài cho
Do đó, chính là một nguyên hàm của
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Áp dụng công thức nguyên hàm, ta có
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Yêu cầu bài toán là tính
Để kiểm tra mệnh đề này, trước hết chúng ta cần tìm giá trị của
và
Từ kết quả phần b), ta có
Theo giả thiết bài toán: “Bể chứa dầu ban đầu (tức tại
có 50 000 lít dầu” suy ra
Suy ra
Tiếp nữa, ta lại có: Sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt 58 000 lít. Tức tại
Vậy hàm thể tích dầu tại thời điểm
là
Thay
vào phương trình vừa tìm được, ta có thể tích dầu trong bể sau 16 giờ là
(lít)
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Nếu có rò rỉ 500 lít/giờ, thì lượng dầu rò rỉ sau thời gian
là lít.
Suy ra thể tích lượng dầu tại thời điểm
sẽ là
Thay
vào phương trình ta được
Vậy thể tích dầu trong bể tại
giờ là
(lít)
Suy ra mệnh đề d đúng.
Câu 37 [0]:
Đáp án: A
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 37 đến 39
Định luật làm mát của Newton phát biểu rằng tốc độ làm mát của một vật tỉ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa vật đó và môi trường xung quanh, với điều kiện là chênh lệch này không quá lớn. Giả sử T(t) là nhiệt độ của vật thể (đơn vị: độ C) tại thời điểm t (đơn vị: phút) và Ts là nhiệt độ của môi trường xung quanh, chênh lệch giữa nhiệt độ của vật thể và môi trường xung quanh là y(t) = T(t) - Ts thì y'(t) = k.y(t) với k là hằng số. Một cốc nước đang ở nhiệt độ thường là 22o C được đưa vào ngăn mát tủ lạnh có nhiệt độ là 5o C. Sau 30 phút, nhiệt độ của cốc nước được đo lại là 16o C. Giả sử T(t) là nhiệt độ của cốc nước, y(t) là nhiệt độ chênh lệch giữa cốc nước và nhiệt độ ngăn mát tủ lạnh sau khoảng thời gian t.
Câu 38 [715011]: Nhiệt độ chênh lệch giữa cốc nước và nhiệt độ ngăn mát tủ lạnh tại thời điểm 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Nhiệt độ chênh lệch cần tính là 
Chọn đáp án D Đáp án: D
Chọn đáp án D Đáp án: D
Câu 39 [715012]: Hàm số 
có dạng
có dạng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
mà 
nên 
Chọn đáp án B Đáp án: B
mà nên
Chọn đáp án B Đáp án: B
Câu 40 [715013]: Sau bao lâu để trong tủ lạnh, nhiệt độ của cốc nước khoảng 
? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị). A, 51 phút.
B, 56 phút.
C, 66 phút.
D, 61 phút.
Ta có 
mà 
Suy ra
Khi
ta được 
phút.
Chọn đáp án D Đáp án: D
mà
Suy ra
Khi
ta được phút.
Chọn đáp án D Đáp án: D
Câu 41 [1023979]: Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thuỷ sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc 
(đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm 
ngày 
kể từ lúc sử dụng thuốc, thoả mãn 
và 
trong đó 
là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm 
(ngày); 
(ngày) nhận được kết quả lần lượt là 
mg/lít; 
mg/lít. Cho biết 
(đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm ngày kể từ lúc sử dụng thuốc, thoả mãn và trong đó là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm (ngày); (ngày) nhận được kết quả lần lượt là mg/lít; mg/lít. Cho biết
Nội dung kiến thức:
Toán lớp 12(Tích phân).
Mức độ:
a) Thông hiểu; b) Thông hiểu; c) Thông hiểu; d) Vận dụng
Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Cách 1:
Thay
vào phương trình 
ta được 
Chia cả hai vế cho
ta được 
Cách 2:
Vì
nên 
Nguyên hàm hai vế ta được
Lại có
Đồng nhất với (1) suy ra
với 
là một hằng số xác định.
b) Đúng.
Từ giả thiết bài cho, ta có
c) Sai.
Từ kết quả phần b), ta có
d) Sai.
Từ kết quả phần b), c) ta có
Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm
(ngày) bằng 
Toán lớp 12(Tích phân).
Mức độ:
a) Thông hiểu; b) Thông hiểu; c) Thông hiểu; d) Vận dụng
Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Cách 1:
Thay
vào phương trình ta được Chia cả hai vế cho
ta được Cách 2:
Vì
nên Nguyên hàm hai vế ta được
Lại có
Đồng nhất với (1) suy ra
với là một hằng số xác định.b) Đúng.
Từ giả thiết bài cho, ta có
c) Sai.
Từ kết quả phần b), ta có
d) Sai.
Từ kết quả phần b), c) ta có
Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm
(ngày) bằng