Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1060659]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng được xác định bằng công thức
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng là
2. Cách giải: Theo giả thiết, hình phẳng được giới hạn bởi trục hoành (), và
Công thức tính diện tích là
Xét trên đoạn ta thấy với mọi do đó có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 2 [151230]: Gọi là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Diện tích hình phẳng cần tìm là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [697005]: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục trục và đường thẳng Diện tích của hình là
A,
B,
C,
D,
Diện tích của hình là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [161622]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành bằng
A,
B,
C,
D,

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và trục hoành
Ta có diện tích cần tìm là
Đáp án: A
Câu 5 [151238]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng là
A,
B,
C,
D,
Giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng có hoành độ là nghiệm của phương trình:
Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 6 [865091]: Diện tích của hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới bằng
A,
B,
C,
D,
Diện tích của hình phẳng được tô màu là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 7 [153553]: [Đề Mẫu ĐGNL TPHCM]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có:
Chọn D.
Đáp án: D
Câu 8 [1064132]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và đường thẳng
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành để xác định cận dưới tích phân, sau đó áp dụng công thức tính diện tích
2. Cách giải: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm phương trình
Vậy hình phẳng được giới hạn bởi và Diện tích cần tìm là
Trên đoạn ta thấy và nên hàm số không âm. Ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối và biến đổi:
Tính tích phân:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [1064133]: Gọi lần lượt là diện tích hình vuông, hình tròn đơn vị (có bán kính bằng đơn vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường Tính
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Xác định theo định nghĩa hình đơn vị, tính bằng cách lấy diện tích phần elip trừ đi diện tích tam giác tương ứng rồi thay vào biểu thức.
2. Cách giải: Ta có là diện tích hình vuông đơn vị nên là diện tích hình tròn đơn vị nên
Diện tích giới hạn bởi và được tính trên đoạn giao điểm
Ta có Nhận thấy là diện tích hình elip (với bán trục ) nên bằng còn là diện tích tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 1 và 2 nên bằng
Suy ra
Vậy giá trị cần tính là
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 10 [45947]: Cho hàm số liên tục trên Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và (như hình vẽ bên).

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A,
B,
C,
D,
HD: Ta có
Chọn B. Đáp án: B
Câu 11 [542971]: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
11646236.png
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Ta có
Do nên
Khi đó
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 12 [392138]: Đường cong cắt đường thẳng tại hai điểm phân biết như hình bên. Biết rằng Tính diện tích miền được tô đậm
12.60.png
A,
B,
C,
D,
Có: và

Theo hình vẽ bài cho ta có:

Đáp án B Đáp án: B
Câu 13 [392127]: Cho hàm số có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Biết rằng Tính diện hình phần tô đậm
12.49.png
A,
B,
C,
D,



Suy ra, chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 14 [392129]: Đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm và như hình vẽ bên. Diện tích miền được tô đậm trong hình bằng
12.51.png
A,
B,
C,
D,
Từ đồ thị hình vẽ ta thấy đi qua các điểm nên ta có hệ Phương trình:


Tương tự, từ đồ thị ta thấy đi qua nên ta có hệ:


Diện tích phần tô đậm:
Đáp án: C Đáp án: C
Câu 15 [715030]: Hình vẽ bên minh hoạ mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục toạ độ Biết rằng đường cong của mặt cắt là một phần của đồ thị hàm số Hãy tính diện tích hình phẳng được tô màu đậm, biết đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng là

Vậy
Điền đáp án:
Câu 16 [865099]: Cho hàm số Đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng và lần lượt là và Tính giá trị của biết giá trị của
Ta có:
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , trục tung và đường thẳng nên diện tích hình phẳng là:

.
Lại có:
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , đường thẳng và đường thẳng nên diện tích hình phẳng là:

Suy ra .
Vậy
Câu 17 [1064134]: Cho hàm số bậc hai có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ như hình bên. Biết rằng với là diện tích các phần gạch chéo ở hình bên và Tính
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, thiết lập hệ phương trình liên hệ giữa diện tích và giá trị tích phân đã cho để tìm
2. Cách giải: Dựa vào hình vẽ, trên khoảng đồ thị nằm trên trục hoành nên ; trên khoảng đồ thị nằm dưới trục hoành nên
Theo giả thiết, ta có
Kết hợp với tỉ số ta có phương trình
Suy ra
Vậy giá trị cần tìm là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 18 [1060661]: Cho hàm số
a) Họ nguyên hàm của hàm số là
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Từ câu a, ta có
Theo giả thiết ta thay vào:
Vậy
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta tính tích phân của trên đoạn
Khi đó:
Kết quả là khác với
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị trục hoành và đường thẳng được tính trên đoạn
Vì trên đoạn thì nên
Diện tích
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Câu 19 [161519]: Parabol tiếp xúc với đường thẳng tại điểm như hình vẽ bên.
20-5 hình 7.png
a) Đúng.

b) Sai.
Parabol tiếp xúc với đường thẳng khi hệ phương trình sau có nghiệm


c) Sai.
Hoành độ giao điểm của Parabol và trục hoành là nghiệm của phương trình:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol trục hoành và hai đường là

d) Sai.
Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng là
Vậy miền tô đậm được giới hạn bởi hai đường và hai đường thẳng có diện tích là
Câu 20 [365696]: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn với là hằng số. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường bằng
A,
B,
C,
D,
Lấy đạo hàm hai vế của giả thiết, ta được

Diện tích hình phẳng cần tính là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 21 [289650]: Cho hàm số thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng là
A,
B,
C,
D,
Ta có:





Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng là

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng là:

Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 22 [1064135]: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường và Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích và như hình bên. Tìm giá trị của để
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Tính diện tích bằng tích phân xác định theo cận sau đó giải phương trình để tìm giá trị
2. Cách giải: Diện tích phần thứ nhất là
Diện tích phần thứ hai là
Theo giả thiết ta có phương trình
Suy ra giá trị cần tìm là
Chọn đáp án C.
Câu 23 [709617]: Cho hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục như hình vẽ bên. Biết rằng trục tung chia hình phẳng đó thành hai phần có hiệu số diện tích là đơn vị diện tích. Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,

có hai nghiệm






Chọn đáp án D Đáp án: D
Câu 24 [709574]: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị của hàm số như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Để tìm ra quan hệ giữa và ta xét
Ta có
Dựa vào hình vẽ, dễ thấy do đó
Suy ra Đáp án: A
Câu 25 [714599]: Cho hàm số bậc bốn có ba điểm cực trị là và đạt giá trị lớn nhất trên Bất phương trình có nghiệm thuộc đoạn khi và chỉ khi
A,
B,
C,
D,
Theo bài ra, ta có
Hàm số là hàm bậc bốn và đạt giá trị lớn nhất
Lại có
Do đó Lập bảng biến thiên của hàm số trên
Vậy có nghiệm
Chọn đáp án B Đáp án: B
Câu 26 [711691]: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích thỏa mãn (như hình vẽ bên). Giá trị của bằng bao nhiêu?








Điền đáp án: 4
Câu 27 [711715]: Biết đồ thị hàm số có đúng hai điểm chung với trục hoành, đồng thời hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành có diện tích bằng Khi độ dài đoạn bằng thì giá trị của bằng bao nhiêu?
Theo bài ra, ta có hình minh hoạ sau:

Khi đó với
Chọn
Do đó

Vậy nên
Điền đáp án:
Câu 28 [708965]: Đồ thị của các hàm số và tạo thành hai miền hình phẳng có diện tích bằng nhau như hình vẽ bên. Giá trị của bằng bao nhiêu?
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường cong nằm trên là đồ thị hàm số
Đường cong nằm giữa là đồ thị hàm số
Và đường cong nằm dưới là đồ thị hàm số
Ba đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại điểm có hoành độ
Do đó và
Dễ thấy
Mà suy ra

Câu 29 [352580]: Cho hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên. Khi diện tích miền kẻ sọc bằng thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và bằng
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Dựa vào cực trị của là nghiệm của để tìm quan hệ hệ số, dùng dữ kiện diện tích tìm và tính tích phân xác định diện tích cuối cùng.
2. Cách giải: Ta có Do cực trị của đạt được tại các nghiệm của (là nên
Hệ phương trình: và
Diện tích miền kẻ sọc ứng với là
Rút gọn và tính tích phân:
Theo giả thiết Suy ra
Cần tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và
Phương trình hoành độ giao điểm: hoặc
Diện tích cần tìm là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 30 [716706]: Cho là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng và trục hoành như hình vẽ bên dưới.

Khi đó diện tích của là với là các số hữu tỉ. Giá trị của bằng bao nhiêu?
Điền đáp án:
Từ hình vẽ ta có phương trình hoành độ giao điểm:

Ta có:



Vậy
Câu 31 [1064136]: Biết và là hai nguyên hàm của hàm số trên và Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và Khi thì bằng
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Sử dụng tính chất hai nguyên hàm của cùng một hàm số luôn sai khác nhau một hằng số từ đó thiết lập mối quan hệ giữa và diện tích
2. Cách giải: Vì và cùng là nguyên hàm của nên
Ta có tích phân Theo giả thiết,
Thay vào đẳng thức trên, ta được
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là
Do ta có
Với suy ra .
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 32 [1064137]: Mặt cắt ngang phần nóc của một nhà kho có dạng đường parabol Người ta dự định lắp kính cho phần trước của nhà kho là miền giới hạn bởi và trục hoành (như minh họa trên mặt phẳng Oxy). Tính diện tích phần kính cần lắp vào (bỏ qua các mối ghép), biết rằng phần cần lắp kính có chiều cao 21 m và chiều rộng là 70 m (đơn vị diện tích là ).
A,
B,
C,
D,
Chọn A.
Phần nóc nhà có dạng đường parabol
Đồ thị hàm số đi qua các điểm nên:

Diện tích phần kính cần lắp vào là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi và trục và bằng Đáp án: A
Câu 33 [680755]: Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Vận dụng.
Lời giải chi tiết:

Diện tích của phần sân chơi bằng diện tích của hình chữ nhật trừ đi diện tích của hai phần trồng hoa.
Diện tích của hình chữ nhật là:
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng diện tích của một parabol.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Phương trình parabol bên dưới có dạng:
(vì đỉnh parabol thuộc trục tung).
Ta có
Phương trình Parabol dưới là
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng: Diện tích của phần sân chơi là:
Điền đáp án: 3200.
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 34 đến 35
Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình bên). Trong đó ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4 cm, các đường cong AOD và BOC là một phần của các parabol đỉnh O. Với hệ trục toạ độ Oxy (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là cm) thì điểm A có tung độ bằng 1. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí 1 triệu đồng/1cm2, phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/1cm2 các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.
Câu 34 [745820]: Parabol chứa đường cong có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Gọi Parabol chứa đường cong có phương trình tổng quát là với
Đỉnh của Parabol có tọa độ là
Vì nó đi qua đỉnh nên ta có thể kết luận
là hình vuông có cạnh bằng nên hoành độ điểm trên trục là
có tung độ bằng mà bằng nên tung độ điểm là
Đồ thị phương trình đi qua

Phương trình parabol cần tìm là Đáp án: C
Câu 35 [745822]: Chi phí sản xuất 1 chiếc huy hiệu như trên bằng bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.
Cách 1:
Diện tích Parabol chứa là : (1)
Gọi Parabol chứa đường cong có phương trình tổng quát là với
Đỉnh của Parabol có tọa độ là và nó đi qua đỉnh
Nên ta có thể kết luận
Từ và là hình vuông cạnh 4, ta suy ra được tọa độ
Đồ thị phương trình đi qua
Phương trình parabol cần tìm là
Diện tích Parabol chứa là : (2)
Từ (1) và (2), diện tích phần được phủ bạc là
Diện tích hình vuông là 16 cm2
Suy ra phần được phủ vàng có diện tích là
Chi phí sản xuất 1 chiếc huy hiệu như trên là:
Cách 2:
Diện tích phần phủ vàng bên phải trục là:
Diện tích phần phủ vàng là:
Diện tích phần phủ bạc là:
Chi phí sản xuất 1 chiếc huy hiệu như trên là:
Đáp án: B
Câu 36 [288941]: Trên đoạn cho hàm số liên tục và có đồ thị là nửa đường tròn như hình vẽ bên. Biết là một nguyên hàm của trên đoạn thỏa mãn Khi đó bằng
A,
B,
C,
D,
Dựa vào hình vẽ ta thấy nửa hình tròn có bán kính bằng 1
Suy ra diện tích của nửa hình tròn bằng
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , đường thẳng , đường thẳng là

Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 37 [1064138]: Bác Thịnh lên kế hoạch làm một cái biển quảng cáo phẳng, có thiết kế là phần được tô màu đậm trong hình vẽ bên. Đường cong là một parabol có đỉnh là điểm có trục đối xứng là và đi qua các điểm Tứ giác là hình chữ nhật, Bác Thịnh kí hợp đồng với công ty X với đơn giá là triệu đồng/ Hỏi số tiền mà bác Thịnh phải trả sau khi làm xong cái biển quảng cáo là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
1. Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ để viết phương trình đường cong parabol và các cạnh biên, sau đó sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng và nhân với đơn giá.
2. Cách giải: Chọn hệ trục tọa độ với gốc trùng tại trung điểm của Khi đó
Vì là hình chữ nhật và nên và
Parabol có đỉnh nên có dạng Do đi qua nên Vậy phương trình parabol là
Đoạn thẳng đi qua và có phương trình: (với
Do hình có tính đối xứng qua trục tung (), diện tích cần tính bằng 2 lần diện tích phần bên phải trục tung:
Tính tích phân: m
Số tiền bác Thịnh phải trả là triệu đồng.
Điền đáp án: 27,9.
Câu 38 [1064139]: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng bao nhiêu (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
1. Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ tại tâm viên gạch, xác định phương trình hai cung parabol giới hạn cánh hoa và sử dụng tích phân xác định để tính diện tích.
2. Cách giải: Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại tâm viên gạch. Vì hình vuông cạnh 40 cm nên toạ độ đỉnh trong góc phần tư thứ nhất là
Cánh hoa nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi hai parabol chung đỉnh và cùng đi qua Gọi phương trình parabol trục tung là thay toạ độ vào ta được hay
Do tính đối xứng qua đường phân giác phương trình parabol trục hoành là (với ).
Diện tích một cánh hoa là
Thay số tính toán:
Điền đáp án: 133.
Câu 39 [878362]: Một cửa vòm có dạng hình parabol được lắp các tấm kính hình tròn đường kính 1 m và các tấm kính hình vuông có cạnh 1 m như hình vẽ. Phần còn lại của cửa được sơn màu trang trí với mức giá 1,2 triệu đồng/m2. Chi phí sơn màu là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Phương pháp:
Gắn hệ trục tọa độ tìm parabol và diện tích
Cách giải:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Từ đường tròn đường kính 1 và hình vuông cạnh 1 suy ra

Ta có parabol đi qua nên có phương trình
Xét
Diện tích phần kính là
Diện tích parabol tạo với Ox là
Vậy cho phí sơn màu là triệu đồng.
Đáp án: 8,1
Câu 40 [1064140]: Ông Duy cần làm một hồ cá Koi trong một khoảng sân hình chữ nhật có chiều dài 15m và chiều rộng 10m. Hồ cá được đặt ở góc sân với thiết kế gồm hai parabol có chung đỉnh và đối xứng nhau qua (phần gạch sọc như hình bên dưới). Biết khoảng cách từ mép sân gần nhất đến đỉnh bằng 3 m. Phần diện tích còn lại của khoảng sân bằng bao nhiêu mét vuông sau khi xây hồ cá Koi như trên?
1. Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ, xác định phương trình hai cung parabol dựa vào đỉnh và tính đối xứng, sau đó dùng tích phân để tính diện tích hồ cá và suy ra diện tích phần còn lại.
2. Cách giải: Chọn hệ trục tọa độ với gốc trùng với góc sân nơi đặt hồ cá (góc dưới bên trái), trục trùng với chiều rộng (10m). Khi đó đỉnh cách mép trái 3m nên Do tính đối xứng của hình vẽ trong góc sân chữ nhật, ta suy ra
Hồ cá được giới hạn bởi trục và hai cung parabol đối xứng qua :
Cung dưới: Đỉnh đi qua phương trình có dạng Thay vào ta được Vậy (với
Cung trên: Đối xứng với cung dưới qua phương trình là (với
Diện tích mặt hồ cá là m
Diện tích phần sân còn lại là
Điền đáp số: 120.