Buộc 3 máy tính bảng B thành 1 khối X. Vì 3 máy B giống hệt nhau nên khối X chỉ có 1 cách xếp nội bộ.
Lúc này ta có 8 vật thể gồm: 4 điện thoại A (giống nhau), 1 khối X, và 3 đồng hồ C (khác nhau). Số cách xếp 8 vật thể (với 4 điện thoại A giống hệt nhau) là cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 1680.

Điền đáp án: 1152.
TH1: Chữ cái đứng đầu (C-S-C-S-C-S-C-S)
- Xếp 4 chữ cái vào 4 vị trí lẻ (): cách.
- Xếp 4 chữ số vào 4 vị trí chẵn cách.
Số cách là
TH2: Chữ số đứng đầu (S-C-S-C-S-C-S-C)
Tương tự trường hợp 1, xếp 4 chữ số vào vị trí lẻ̀ và 4 chữ cái vào vị trí chẵn: cách.
Vậy có tất cả mã sản phẩm

Gợi ý: Số cách để các quả bóng có cùng số không nằm cạnh nhau = Tổng số cách xếp – Số vi phạm (các quả bóng có cùng số nằm cạnh nhau).
Tổng số cách xếp 9 quả bóng khác nhau là
Coi hai quả số 5 là một khối Vì 2 quả số 5 khác màu nên khối có cách xếp nội bộ.
Lúc này ta có 8 vật thể: 4 quả bóng trắng (đánh số 1,2, 3, 4) và 3 quả bóng đen (đánh số 6, 7, 8). Số cách xếp 8 vật thể này là cách.
Suy ra số cách vi phạm là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là
Vậy xác suất để các quả bóng có cùng số không nằm cạnh nhau là

Điền đáp án: 16.

Vì mỗi chữ cái xuất hiện ít nhất 1 lần, ta có 2 trường hợp sau:
TH1: Một chữ cái xuất hiện 3 lần, hai chữ còn lại mỗi chữ 1 lần (ví dụ: aaabc).
Chọn chữ cái lặp lại 3 lần: có cách.
Sắp xếp 5 chữ cái (có 1 chữ cái lặp 3 lần) có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH1 là cách.
TH2: Hai chữ cái xuất hiện 2 lần, một chữ còn lại 1 lần (ví dụ: aabbc).
Chọn chữ cái lặp 1 lần: có cách.
Sắp xếp 5 chữ cái (có 2 chữ cái đều lặp 2 lần) có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH1 là cách.
Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn là cách.
Điền đáp án: 150.

Gọi là vị trí các hộp có bóng.
Số hộp trống giữa hai bóng cạnh nhau là
Theo đề bài là số lẻ phải là số chẵn.
Khi hiệu của hai số là số chẵn, thì hai số đó phải cùng tính chẵn lẻ (tức cùng lẻ hoặc cùng chẵn). Suy ra cả 5 vị trí được chọn phải cùng là số lẻ hoặc cùng là số chẵn.
Từ 1 đến 16 có 8 số lẻ là và 8 số chẵn là
Trường hợp 1: Đặt 5 bóng (giống nhau) vào vị trí lẻ
Chọn 5 vị trí từ 8 vị trí lẻ có cách.
Trường hợp 2: Đặt 5 bóng (giống nhau) vào vị trí chẵn
Chọn 5 vị trí từ 8 vị trí chẵn có cách.
Vậy tổng số cách đặt bóng thỏa mãn là
Điền đáp án: 112.

Buộc Bình và Cường thành khối Lúc này, ta cần xếp 5 vật thể gồm khối và 4 người còn lại. Khối có cách xếp nội bộ.
Vì An phải đứng bên trái của Bình nên sẽ có cách đứng duy nhất là An – nhóm X.
Số cách chọn 2 và xếp vị trí cho An và nhóm là
Số cách xếp cho 3 người còn lại vào 3 vị trí là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là cách.
Điền đáp án: 120.

TH1: Bóng hộp số 1 là bóng A
Gợi ý: Số cách xếp thỏa mãn = Tổng số cách xếp 5 bóng còn lại (không điều kiện) – Số vi phạm (tức không có hộp nào chứa bóng B ghi số nhỏ hơn số trên hộp chứa bóng C).
Bước 1: Tính tổng số cách
Tổng số cách xếp 5 bóng còn lại (gồm B, B, C, D, D) (không điều kiện) bằng cách.
Bước 2: Tính số vi phạm
Chọn 3 vị trí trong 5 vị trí cho 3 bóng C, B, B có cách. Tại 3 vị trí này có duy nhất 1 cách xếp 3 phần tử B, B, C sao cho không có hộp nào chứa bóng B ghi số nhỏ hơn số trên hộp chứa bóng C là CBB, ví dụ:

(trong video thầy ghi nhầm chỗ này chút các em nhé! Thứ tự đúng là CBB nha!)
Số cách xếp 2 phần tử D còn lại là 1 cách.
Suy ra số cách vi phạm là
Vậy số cách xếp thỏa mãn ở TH1 là
TH2: Bóng hộp số 1 là bóng B
Vì bóng số 1 (số nhỏ nhất) là bóng B nên TH2 luôn thỏa mãn điều kiện “Trong các số ghi trên hộp chứa bóng B, có ít nhất một số nhỏ hơn số ghi trên hộp chứa bóng C”. Do đó số cách xếp ở trường hợp này bằng số cách xếp 5 quả bóng (A, B, C, D, D) vào 5 hộp còn lại: có cách.
Kết hợp TH1, TH2 suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 80.

Dãy 7 chữ cái gồm: 1 chữ V, 2 chữ A, 2 chữ N, 1 chữ T, 1 chữ U. Khi đó số cách chọn ra 5 chữ cái từ dãy này gồm 3 trường hợp sau:
Lưu ý: 2 chữ A là giống hệt nhau nên số cách lấy 1 chữ A là 1 cách; tương tự số cách lấy 1 chữ N là 1 cách.
TH1: 5 chữ cái phân biệt (tức không có chữ cái nào lặp lại):
Chọn ra 5 chữ cái phân biệt (V, A, N, T, U) có cách.
Số cách xếp 5 chữ cái: có cách.
Suy ra số cách xếp ở TH1 là
TH2: Có 1 chữ cái xuất hiện 2 lần (A hoặc N).
Chọn chữ cái xuất hiện 2 lần có cách.
Chọn 3 chữ cái xuất hiện 1 lần có cách.
Số cách xếp 5 chữ cái (có 1 chữ cái lặp lại 2 lần) là
Suy ra số cách xếp ở TH2 là
TH3: Có 2 chữ cái xuất hiện 2 lần (A và N).
Chọn 2 chữ cái xuất hiện 2 lần: có 1 cách.
Chọn 1 chữ cái xuất hiện 1 lần: có cách.
Số cách xếp 5 chữ cái (có 2 chữ cái đều lặp lại 2 lần) là
Suy ra số cách xếp ở TH3 là
Kết hợp 3 trường hợp trên, suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 690.

Điền đáp án: 15.
Gọi là biến cố: “Chữ số 8 nằm ở vị trí thứ 5”
là biến cố: “Chữ số 4 nằm ở vị trí thứ 3”
Ta có:
Số cách xếp sao cho số 2 lặp lại 2 lần, số 4 lặp lại 2 lần và số 8 lặp lại 1 lần là
+) Tính
- Xếp 1 chữ số 4 nằm ở vị trí thứ 3 có 1 cách
- Xếp 4 chữ số còn lại vào 4 ô trống (số 2 lặp lại 2 lần, số 4 lặp lại 1 lần, số 5 lặp lại 1 lần) có


+) Tính :
- Chữ số 8 ở vị trí thứ 5 có 1 cách
- Để chữ số 4 không nằm ở vị trí thứ 3 thì ta xếp 2 chữ số 4 vào các vị trí 1,2,4 có cách.
- Xếp 2 chữ số 2 vào 2 vị trí còn lại có 1 cách

Điều kiện “nhiều nhất một chữ số 0” có nghĩa là bộ số chỉ được phép chứa không số 0 hoặc đúng một số 0. Nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Không có chữ số 0 nào (Các chữ số )
Chỉ có duy nhất một bộ số thỏa mãn.
Số cách xếp bộ trên là cách.
Trường hợp 2: Có đúng một chữ số 0
Để tổng 4 chữ số còn lại bằng 6 (với mỗi số ), ta có các bộ sau:
Bộ 1:
Chữ số 0 (không được đứng đầu) có 4 cách chọn vị trí.

Khi đó còn lại 4 vị trí để xếp 1 số 3 và 3 số 1. Số cách xếp là cách.
Suy ra số các số tự nhiên thỏa mãn là
Bộ 2:
Tương tự, chữ số 0 (không được đứng đầu) có 4 cách chọn vị trí.
Khi đó còn lại 4 vị trí để xếp 2 số 2 và 2 số 1. Số cách xếp 4 số này là cách.
Suy ra số các số tự nhiên thỏa mãn là
Vậy trường hợp 2 có số thỏa mãn.
Kết hợp 2 trường hợp trên, suy ra có tất cả số thỏa mãn.
Điền đáp án: 45.

Gọi là biến cố “An đứng trước Bình (không nhất thiết phải đứng cạnh nhau)”.
Gọi là biến cố “Giữa An và Bình có đúng 2 người lạ”.
Khi đó là biến cố “ít nhất một trong hai điều kiện xảy ra” hay xác suất cần tính là
Bước 1: Tính
Không gian mẫu (số cách xếp 7 người thành 1 hàng dọc) là
Bước 2: Tính
Gợi ý: Sử dụng công thức
+) (các trường hợp An đứng trước Bình (không nhất thiết phải đứng cạnh nhau))
Chọn 2 vị trí cho (An và Bình) có cách. Trong 2 vị trí này, để An đứng trước Bình thì ta có 1 cách xếp.
Số cách xếp 5 người còn lại là
Suy ra
+) (Giữa An và Bình có đúng 2 người lạ)
Chọn 2 người và sắp xếp đứng giữa An và Bình (trong 5 người còn lại) có cách.
Vì giữa An và Bình có đúng 2 người lạ nên ta “buộc” An, Bình và 2 người đứng giữa thành 1 nhóm Số cách hoán vị nội bộ nhóm là (hoán vị An, Bình).
Lúc này, hàng của ta gồm 4 phần tử là và 3 người khác. Có cách xếp thành 1 hàng.
Suy ra
+) (các trường hợp An đứng trước Bình và giữa An và Bình có đúng 2 người lạ)
Tương tự, ta buộc An, Bình và 2 người đứng giữa thành 1 nhóm
Có cách chọn 2 người và sắp xếp đứng giữa An và Bình. Vì An phải đứng trước Bình nên số cách hoán vị nội bộ nhóm là 1 cách.
Lúc này, hàng của ta gồm 4 phần tử là và 3 người khác. Có cách xếp thành 1 hàng.
Suy ra
Suy ra
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 59,5.

Lưu ý: Với mỗi điểm 0, có 3 cách chọn số chấm là 4 hoặc 5 hoặc 6). Các điểm 1, 2, 3 chỉ có 1 cách chọn số chấm.

Vậy có tất cả bộ.
Điền đáp án: 199.

Điền đáp án: 504.
Gọi là biến cố: “3 cuốn Toán đứng cạnh nhau”
là biến cố: “4 cuốn Lý đứng cạnh nhau”
là biến cố: “3 cuốn Hóa đứng cạnh nhau”
: Coi 3 cuốn Toán như 1 khối (có 3! hoán vị), còn lại 7 cuốn

: Coi 4 cuốn Lý như 1 khối (có 4! hoán vị), còn lại 6 cuốn

: Coi 3 cuốn Hóa như 1 khối (3!), còn lại 7 cuốn và 1 khối Hóa

: Coi 3 Toán như 1 khối (3!), coi 4 cuốn Lý như 1 khối(4!), còn lại 3 cuốn Hóa

: Coi 3 cuốn Hóa như 1 khối (3!), coi 4 cuốn Lý như 1 khối (4!), còn lại 3 cuốn Toán
: Coi 3 cuốn Hóa như 1 khối (3!), coi 3 cuốn Toán như 1 khối (4!), còn lại 4 cuốn Lý

: Coi 3 cuốn Hóa như 1 khối (3!), coi 3 cuốn Toán như 1 khối (4!), 4 cuốn Lý như 1 khối



Số dư của cho 1000 là

Điền đáp án: 816.
TH1: Xếp 4 người vợ ngồi cạnh nhau có 4! cách
+) Xếp 4 người chồng ngồi cạnh nhau hoặc có 2 cách
Vợ chỉ được ngồi cạnh chồng của mình nên, xếp 3 người chồng (không được gạch chân) có 3! cách xếp
⇒ Có 4!.2.3! cách
+) Xếp 3 người chồng ngồi cạnh nhau hoặc có 2 cách xếp
Xếp 2 người chồng (không được gạch chân) có 2 cách xếp
⇒ Có 4!.2.2 cách
+) Xếp 2 người chồng ngồi cạnh nhau có 1 cách
Xếp 2 người chồng (không được gạch chân) có 2 cách xếp
⇒ Có cách
Vậy TH1 có + = 432 cách.
TH2: Xếp 3 người vợ ngồi cạnh nhau
Xếp 4 người vợ vào 4 vị trí có 4! cách
+) 4 người chồng ngồi cạnh nhau: hoặc có 2 cách
Xếp 2 người chồng không được gạch chân có 2 cách xếp
⇒ Có 4!.2.2 cách
+) 3 người chồng ngồi cạnh nhau: hoặc có 2 cách
⇒ Có cách
+) 2 người chồng ngồi cạnh nhau: hoặc có 2 cách xếp
⇒ Có cách
Vậy TH2 có cách
TH3: 2 người vợ ngồi cạnh nhau
Xếp 4 người vợ vào 4 vị trí có 4 ! cách
+) 4 người chồng ngồi cạnh nhau có 1 cách
Có 2 cách xếp 2 người chồng không có gạch chân
⇒ Có cách
+) 3 người chồng ngồi cạnh nhau hoặc có 2 cách
⇒ Có cách
+) 2 người chồng ngồi cạnh nhau CVVCCVVC hoặc VVCCVVCC hoặc CCVVCCVV hoặc VCCVVCCV có 4 cách xếp
⇒ Có cách
Vậy TH3 có + + = 192 cách
Vậy có tất cả số cách là

Để thỏa mãn điều kiện 1, thì trong chuỗi 7 kí tự phải chứa một nhóm gồm 3 phần tử
Khi đó, buộc 3 phần tử thành một nhóm Hoán vị các phần tử trong nhóm có 1 cách.
Lúc này nhóm cần xếp gồm 5 phần tử là và 4 kí tự, ta chia thành các trường hợp sau:

TH1: đứng ở vị trí 1 hoặc 5 (hai vị trí này đối xứng nhau)
Ví dụ:
Số cách xếp thỏa mãn = Tổng số cách xếp có vị trí 2 thỏa mãn điều kiện – Số TH vị trí 3, 4, 5 vi phạm điều kiện.
Vị trí 2 phải thỏa mãn điều kiện 1 và 2 nên nên có 2 cách chọn (y hoặc z);
3 vị trí (3, 4, 5) còn lại (không có điều kiện) có cách chọn.
Nên tổng số cách xếp có vị trí 2 thỏa mãn điều kiện là
Trong 54 cách này, có 4 trường hợp vi phạm 1 trong 2 điều kiện (một kí tự xuất hiện liên tiếp 4 lần), (một kí tự dùng quá 5 lần).
Do đó số cách xếp thỏa mãn TH1 là
TH2: đứng ở vị trí 2 hoặc 4 (hai vị trí này đối xứng nhau)

Vị trí 1: có 2 cách chọn.
Vị trí 3: có 2 cách chọn.
Vị trí 4: có 3 cách chọn.
Vị trí 5: có 3 cách chọn.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là (và trong 72 cách này không có cách nào vi phạm điều kiện nên ta không cần loại trừ).
TH3: đứng ở vị trí 3

Tính tương tự TH2, ta có số cách thỏa mãn là
Vậy số chuỗi thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 208.