Câu 1 [1134478]: Phương pháp tạo khe trống
Giả sử bài toán yêu cầu sắp xếp
phần tử nhóm 
và 
phần tử nhóm 
sao cho không có hai phần tử nào của nhóm 
đứng cạnh nhau.
Giả sử bài toán yêu cầu sắp xếp
phần tử nhóm và phần tử nhóm sao cho không có hai phần tử nào của nhóm đứng cạnh nhau.
Bước 1: Sắp xếp nhóm không bị ràng buộc (Nhóm A)
• Số cách sắp xếp
phần tử nhóm 
vào hàng ngang là: 
(nếu các phần tử khác nhau) hoặc tính theo công thức hoán vị lặp (nếu có phần tử giống nhau).
Bước 2: Xác định số khe trống
• Khi có
phần tử nhóm 
đứng thành hàng, chúng sẽ tạo ra 
khe trống (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).
Chẳng hạn với 3 phần tử
ta có: 
(tổng cộng 4 khe trống).
Bước 3: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (Nhóm B) vào các khe
• Chọn
khe từ 
khe trống và sắp xếp 
phần tử nhóm 
vào đó.
• Số cách thực hiện là:
(nếu các phần tử nhóm 
khác nhau) hoặc 
(nếu các phần tử nhóm 
giống hệt nhau).
Bước 4: Kết quả
Áp dụng quy tắc nhân để có tổng số cách xếp:
Tổng số cách = (Số cách xếp nhóm A)x(số cách chọn và xếp vào khe).
• Số cách sắp xếp
phần tử nhóm vào hàng ngang là: (nếu các phần tử khác nhau) hoặc tính theo công thức hoán vị lặp (nếu có phần tử giống nhau).
Bước 2: Xác định số khe trống
• Khi có
phần tử nhóm đứng thành hàng, chúng sẽ tạo ra khe trống (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).
Chẳng hạn với 3 phần tử
ta có: (tổng cộng 4 khe trống).
Bước 3: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (Nhóm B) vào các khe
• Chọn
khe từ khe trống và sắp xếp phần tử nhóm vào đó.
• Số cách thực hiện là:
(nếu các phần tử nhóm khác nhau) hoặc (nếu các phần tử nhóm giống hệt nhau).
Bước 4: Kết quả
Áp dụng quy tắc nhân để có tổng số cách xếp:
Tổng số cách = (Số cách xếp nhóm A)x(số cách chọn và xếp vào khe).
Câu 2 [1132175]: Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Có 
cách xếp họ thành một hàng ngang sao cho không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau. Hãy tính 
cách xếp họ thành một hàng ngang sao cho không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau. Hãy tính
Áp dụng phương pháp tạo khe trống:
Bước 1: Sắp xếp nhóm không bị ràng buộc (5 học sinh nam)
Số cách xếp 5 học sinh nam (khác nhau) vào một hàng ngang là
(cách).
Bước 2: Xác định số khe trống
Khi 5 học sinh nam đứng thành hàng, chúng tạo ra
khe trống (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).
Mô phỏng: _ Nam _ Nam _ Nam _ Nam _ Nam _ (_ là khe trống).
Bước 3: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (3 học sinh nữ) vào các khe
Ta cần chọn 3 khe từ 6 khe trống để xếp 3 học sinh nữ vào. Vì các học sinh nữ là khác nhau, nên số cách chọn và xếp là
(cách).
Bước 4: Kết quả
Tổng số cách xếp
là
Suy ra
Điền đáp án: 1440.
Bước 1: Sắp xếp nhóm không bị ràng buộc (5 học sinh nam)
Số cách xếp 5 học sinh nam (khác nhau) vào một hàng ngang là
(cách).
Bước 2: Xác định số khe trống
Khi 5 học sinh nam đứng thành hàng, chúng tạo ra
khe trống (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).
Mô phỏng: _ Nam _ Nam _ Nam _ Nam _ Nam _ (_ là khe trống).
Bước 3: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (3 học sinh nữ) vào các khe
Ta cần chọn 3 khe từ 6 khe trống để xếp 3 học sinh nữ vào. Vì các học sinh nữ là khác nhau, nên số cách chọn và xếp là
(cách).
Bước 4: Kết quả
Tổng số cách xếp
là
Suy ra
Điền đáp án: 1440.
Câu 3 [711189]: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo 
Biết rằng có 
cách xếp chỗ 9 người đó trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. Giá trị của 
bằng bao nhiêu?
Biết rằng có cách xếp chỗ 9 người đó trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. Giá trị của bằng bao nhiêu?
Bước 1: Sắp xếp nhóm không bị ràng buộc (6 học sinh)
Số cách xếp 6 học sinh (khác nhau) vào một hàng ngang là
cách.
Bước 2: Xác định số khe trống thỏa mãn điều kiện
Khi 6 học sinh đứng thành hàng, chúng tạo ra các khe trống giữa các học sinh. Tuy nhiên, bài toán yêu cầu mỗi thầy giáo phải ngồi giữa hai học sinh, điều này có nghĩa là các thầy giáo không được ngồi ở hai đầu hàng.
Minh họa:
Như vậy, chỉ có 5 khe trống ở giữa các học sinh là thỏa mãn điều kiện (không tính 2 đầu).
Bước 3: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (3 thầy giáo A, B, C) vào các khe
Ta cần chọn 3 khe từ 5 khe trống phù hợp để xếp 3 thầy giáo vào.
Vì 3 thầy giáo là khác nhau nên số cách chọn và xếp là
cách.
Bước 4: Kết quả
Tổng số cách xếp là
Điền đáp án: 4320.
Số cách xếp 6 học sinh (khác nhau) vào một hàng ngang là
cách.
Bước 2: Xác định số khe trống thỏa mãn điều kiện
Khi 6 học sinh đứng thành hàng, chúng tạo ra các khe trống giữa các học sinh. Tuy nhiên, bài toán yêu cầu mỗi thầy giáo phải ngồi giữa hai học sinh, điều này có nghĩa là các thầy giáo không được ngồi ở hai đầu hàng.
Minh họa:
Như vậy, chỉ có 5 khe trống ở giữa các học sinh là thỏa mãn điều kiện (không tính 2 đầu).
Bước 3: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (3 thầy giáo A, B, C) vào các khe
Ta cần chọn 3 khe từ 5 khe trống phù hợp để xếp 3 thầy giáo vào.
Vì 3 thầy giáo là khác nhau nên số cách chọn và xếp là
cách.
Bước 4: Kết quả
Tổng số cách xếp là
Điền đáp án: 4320.
Câu 4 [1132176]: Có 6 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Có 2 học sinh nữ và 3 học sinh nam cùng ngồi vào các ghế này. Hãy tìm số cách xếp sao cho hai học sinh nữ không ngồi cạnh nhau. (Biết rằng nếu giữa hai học sinh có ghế trống thì cũng được coi là không ngồi cạnh nhau).
Bước 1: Sắp xếp nhóm không bị ràng buộc (3 học sinh nam và 1 ghế trống)
Có 3 học sinh nam và
chiếc ghế trống nên tổng cộng có 4 thực thể không bị ràng buộc.
Số cách xếp 3 nam và 1 ghế trống thành một hàng ngang là
cách.
Bước 2: Xác định số khe trống
Khi 4 thực thể (3 nam + 1 ghế trống) được xếp thành hàng thì chúng tạo ra
khe trống (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).
Minh họa: _ X _ X _ X _ X _ (trong đó X có thể là nam hoặc ghế trống).
Bước 3: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (2 học sinh nữ) vào các khe
Ta cần chọn 2 khe từ 5 khe trống để xếp 2 học sinh nữ vào.
Vì các học sinh nữ là khác nhau, số cách xếp là
cách.
Bước 4: Kết quả
Tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 480.
Có 3 học sinh nam và
chiếc ghế trống nên tổng cộng có 4 thực thể không bị ràng buộc.
Số cách xếp 3 nam và 1 ghế trống thành một hàng ngang là
cách.
Bước 2: Xác định số khe trống
Khi 4 thực thể (3 nam + 1 ghế trống) được xếp thành hàng thì chúng tạo ra
khe trống (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).
Minh họa: _ X _ X _ X _ X _ (trong đó X có thể là nam hoặc ghế trống).
Bước 3: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (2 học sinh nữ) vào các khe
Ta cần chọn 2 khe từ 5 khe trống để xếp 2 học sinh nữ vào.
Vì các học sinh nữ là khác nhau, số cách xếp là
cách.
Bước 4: Kết quả
Tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 480.
Câu 5 [1075946]: Một nhà sưu tập sở hữu 12 cổ vật độc đáo bao gồm 5 bình gốm sứ và 7 bức tượng đồng. Ông ta muốn chọn ra 6 cổ vật để trưng bày trên một kệ hàng có 6 vị trí liên tiếp, nhưng có hai mong muốn là: 3 bình gốm sứ quý hiếm phải được chọn và không có 2 bức tượng đồng nào được đặt cạnh nhau trên kệ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trưng bày thỏa mãn cả hai điều kiện?
Thầy xin đính chính lại đề bài: chỉ có 3 bình gốm sứ quý hiếm được chọn
Điền đáp án: 50 400.
Bước 1: Chọn cổ vật:
Chọn 3 bình gốm từ 5 bình:
cách.
Chọn 3 tượng đồng từ 7 tượng:
cách.
Bước 2: Sắp xếp
Xếp 3 bình gốm vào hàng trước: có
cách.
3 binh gốm tạo ra 4 khoảng trống:
Ta chọn 3 trong 4 khoảng trống này để đặt 3 tượng đồng vào:
cách.
Tổng số cách là
cách.
Điền đáp án: 50 400.
Bước 1: Chọn cổ vật:
Chọn 3 bình gốm từ 5 bình:
cách.Chọn 3 tượng đồng từ 7 tượng:
cách.Bước 2: Sắp xếp
Xếp 3 bình gốm vào hàng trước: có
cách.3 binh gốm tạo ra 4 khoảng trống:
Ta chọn 3 trong 4 khoảng trống này để đặt 3 tượng đồng vào:
cách.Tổng số cách là
cách.
Câu 6 [1132177]: Một ông nông dân làm vườn trồng ba cây ổi khác nhau, bốn cây xoài khác nhau và năm cây thanh long khác nhau thành một hàng. Ông ấy trồng chúng theo thứ tự ngẫu nhiên, với mỗi cách sắp xếp đều có khả năng xảy ra như nhau. Xác suất để không có hai cây thanh long nào nằm cạnh nhau là 
(trong đó 
là phân số tối giản, 
). Tính 
(trong đó là phân số tối giản, ). Tính
Bước 1: Tính tổng số cách xếp (Không gian mẫu)
Tổng số cây là
cây.
Vì các cây cùng loại cũng được coi là khác nhau, nên số cách xếp 12 cây này vào một hàng ngang là
Bước 2: Sắp xếp nhóm không bị ràng buộc (Ổi và Xoài)
Tổng số cây ổi và xoài là
cây. Số cách xếp 7 cây này thành một hàng là 
(cách).
Bước 3: Xác định số khe trống
Khi 7 cây (ổi và xoài) đứng thành hàng, chúng tạo ra
khe trống (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).
Minh họa: _ C _ C _ C _ C _ C _ C _ C _ (với C là cây ổi hoặc xoài).
Bước 4: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (5 cây thanh long) vào các khe
Để không có hai cây thanh long nào cạnh nhau, ta phải chọn 5 khe từ 8 khe trống để đặt 5 cây thanh long vào.
Số cách chọn và xếp 5 cây thanh long khác nhau là
(cách).
Bước 5: Tính xác suất
Số cách xếp thỏa mãn điều kiện là bằng
Suy ra xác suất cần tìm là
Vậy
Điền đáp án: 9850.
Tổng số cây là
cây.
Vì các cây cùng loại cũng được coi là khác nhau, nên số cách xếp 12 cây này vào một hàng ngang là
Bước 2: Sắp xếp nhóm không bị ràng buộc (Ổi và Xoài)
Tổng số cây ổi và xoài là
cây. Số cách xếp 7 cây này thành một hàng là (cách).
Bước 3: Xác định số khe trống
Khi 7 cây (ổi và xoài) đứng thành hàng, chúng tạo ra
khe trống (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).
Minh họa: _ C _ C _ C _ C _ C _ C _ C _ (với C là cây ổi hoặc xoài).
Bước 4: Sắp xếp nhóm bị ràng buộc (5 cây thanh long) vào các khe
Để không có hai cây thanh long nào cạnh nhau, ta phải chọn 5 khe từ 8 khe trống để đặt 5 cây thanh long vào.
Số cách chọn và xếp 5 cây thanh long khác nhau là
(cách).
Bước 5: Tính xác suất
Số cách xếp thỏa mãn điều kiện là bằng
Suy ra xác suất cần tìm là
Vậy
Điền đáp án: 9850.
Câu 7 [1132178]: Trong chương trình giao lưu gồm có 
người ngồi vào 
ghế theo một hàng ngang. Giả sử người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên 
người trong 
người để giao lưu với khán giả. Xác suất để trong 
người được chọn đó không có 
người ngồi kề nhau là bao nhiêu % (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
người ngồi vào ghế theo một hàng ngang. Giả sử người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên người trong người để giao lưu với khán giả. Xác suất để trong người được chọn đó không có người ngồi kề nhau là bao nhiêu % (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Bước 1: Tính không gian mẫu
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 người từ 15 người là
Bước 2: Tính số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trong 15 người: có 3 người được chọn và 12 người không được chọn.
Để 3 người được chọn không ngồi cạnh nhau tức “vị trí ban đầu” của họ ngồi là 3 trong các khe trống được tạo bởi 12 người còn lại. Số khe trống được tạo ra bởi 12 người là
khe (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).
Khi đó số cách chọn ra 3 người không ngồi cạnh nhau bằng số cách chọn ra 3 vị trí từ 13 khe trống này và bằng
Xuy ra xác suất để trong người được chọn không có người nào ngồi kề nhau là
Điền đáp án: 62,9.
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 người từ 15 người là
Bước 2: Tính số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trong 15 người: có 3 người được chọn và 12 người không được chọn.
Để 3 người được chọn không ngồi cạnh nhau tức “vị trí ban đầu” của họ ngồi là 3 trong các khe trống được tạo bởi 12 người còn lại. Số khe trống được tạo ra bởi 12 người là
khe (bao gồm các khoảng giữa và 2 đầu).Khi đó số cách chọn ra 3 người không ngồi cạnh nhau bằng số cách chọn ra 3 vị trí từ 13 khe trống này và bằng
Xuy ra xác suất để trong người được chọn không có người nào ngồi kề nhau là
Điền đáp án: 62,9.
Câu 8 [1134479]: Một số bài toán xếp chỗ thành nhiều hàng
Bài 1: Xếp theo nhóm
Ví dụ: Có 5 nam và 5 nữ, xếp vào 2 hàng ghế đối diện sao cho nam một hàng, nữ một hàng.
• Bước 1: Chọn hàng cho nhóm (ví dụ: nhóm nam chọn hàng 1 hay hàng 2): Có
cách.
• Bước 2: Hoán vị nội bộ từng hàng: Có
cách.
Vậy có
cách.
Bài 2: Các phần tử cụ thể ngồi đối diện nhau
Ví dụ: Có
cặp vợ chồng xếp vào 2 hàng ghế đối diện sao cho mỗi cặp vợ chồng ngồi đối diện nhau.
• Bước 1: Xếp các cặp vào các "cột" đối diện. Có
cách xếp 
cặp vào 
vị trí cột.
• Bước 2: Hoán vị trong từng cặp. Với mỗi cặp, họ có thể đổi chỗ cho nhau (Vợ hàng 1 - Chồng hàng 2 hoặc ngược lại). Có
cách cho 
cặp.
Vậy có
cách.
Ví dụ: Có 5 nam và 5 nữ, xếp vào 2 hàng ghế đối diện sao cho nam một hàng, nữ một hàng.
• Bước 1: Chọn hàng cho nhóm (ví dụ: nhóm nam chọn hàng 1 hay hàng 2): Có
cách.
• Bước 2: Hoán vị nội bộ từng hàng: Có
cách.
Vậy có
cách.
Bài 2: Các phần tử cụ thể ngồi đối diện nhau
Ví dụ: Có
cặp vợ chồng xếp vào 2 hàng ghế đối diện sao cho mỗi cặp vợ chồng ngồi đối diện nhau.
• Bước 1: Xếp các cặp vào các "cột" đối diện. Có
cách xếp cặp vào vị trí cột.
• Bước 2: Hoán vị trong từng cặp. Với mỗi cặp, họ có thể đổi chỗ cho nhau (Vợ hàng 1 - Chồng hàng 2 hoặc ngược lại). Có
cách cho cặp.
Vậy có
cách.
Câu 9 [1076053]: Cho hai dãy ghế được xếp như sau:
Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện với nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng số ghế. Có bao nhiêu cách xếp để bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ?
Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện với nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng số ghế. Có bao nhiêu cách xếp để bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ?
Điền đáp án: 9216.
Với mỗi cặp ghế, có 2 cách chọn Nam ngồi đối diện
Có 4 cặp ghế như vậy, tổng số cách sắp xếp vị trí Nam/Nữ là:
Số hoán vị 4 bạn nữ là
cách
Số hoán vị 4 bạn nam là
cách
Số cách sắp xếp cần tìm là
Với mỗi cặp ghế, có 2 cách chọn Nam ngồi đối diện
Có 4 cặp ghế như vậy, tổng số cách sắp xếp vị trí Nam/Nữ là:
Số hoán vị 4 bạn nữ là
cáchSố hoán vị 4 bạn nam là
cáchSố cách sắp xếp cần tìm là
Câu 10 [1035795]: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Biết rằng có 
cách xếp chỗ sao cho hai học sinh bất kì ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. Tính 
cách xếp chỗ sao cho hai học sinh bất kì ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. Tính
Việc xếp chỗ ngồi được chia thành hai giai đoạn:
Giai đoạn 1. Chia chỗ ngồi theo trường
Có 2 cách, như hình minh họa dưới đây:
trong đó kí hiệu
và 
để chỉ chỗ của học sinh các trường 
và 
Giai đoạn 2. Phân chỗ ngồi theo học sinh
Với mỗi cách chia chỗ ngồi theo trường ở giai đoạn 1, có 6! cách xếp học sinh trường
và 6! cách xếp học sinh trường 
Vậy số cách xếp chỗ ngồi thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Suy ra
Giai đoạn 1. Chia chỗ ngồi theo trường
Có 2 cách, như hình minh họa dưới đây:
trong đó kí hiệu
và để chỉ chỗ của học sinh các trường và Giai đoạn 2. Phân chỗ ngồi theo học sinh
Với mỗi cách chia chỗ ngồi theo trường ở giai đoạn 1, có 6! cách xếp học sinh trường
và 6! cách xếp học sinh trường Vậy số cách xếp chỗ ngồi thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Suy ra
Câu 11 [1035709]: Một tổ có 10 học sinh, trong đó có 5 nam và 5 nữ. Trong buổi thí nghiệm, các em ngồi vào bàn có 2 dãy, mỗi dãy 5 ghế đối diện (các ghế đã được đánh số từ 1 đến 10 theo thứ tự từ trái qua phải, từ trên xuống dưới theo chiều kim đồng hồ).
Kết quả của việc sắp xếp sao cho nam nữ ngồi đối diện và xen kẽ nhau là
cách thì 
bằng bao nhiêu?
Kết quả của việc sắp xếp sao cho nam nữ ngồi đối diện và xen kẽ nhau là
cách thì bằng bao nhiêu?
TH1: Các bạn nữ ngồi ở số lẻ
Số cách sắp xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí số lẻ là
cách.
Số cách sắp xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí số chẵn là
cách.
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp sao cho nam nữ ngồi đối diện và xen kẽ nhau là:
cách.
TH2: Các bạn nữ ngồi số chẵn
Số cách sắp xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí số chẵn là
cách.
Số cách sắp xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí số lẻ là
cách.
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp sao cho nam nữ ngồi đối diện và xen kẽ nhau là:
cách.
Theo quy tắc cộng, số cách, số cách sắp xếp sao cho nam nữ ngồi đối diện và xen kẽ nhau là:
cách.
Suy ra
Điền đáp số: 288.
Số cách sắp xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí số lẻ là
cách.
Số cách sắp xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí số chẵn là
cách.
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp sao cho nam nữ ngồi đối diện và xen kẽ nhau là:
cách.
TH2: Các bạn nữ ngồi số chẵn
Số cách sắp xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí số chẵn là
cách.
Số cách sắp xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí số lẻ là
cách.
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp sao cho nam nữ ngồi đối diện và xen kẽ nhau là:
cách.
Theo quy tắc cộng, số cách, số cách sắp xếp sao cho nam nữ ngồi đối diện và xen kẽ nhau là:
cách.
Suy ra
Điền đáp số: 288.
Câu 12 [1132179]: Một nhóm gồm 20 học sinh, bao gồm 3 bạn nữ A, B, C và 4 bạn nam X, Y, Z, T, được xếp thành hai hàng, mỗi hàng 10 học sinh. Có 
cách xếp để 3 bạn nữ A, B, C đứng ở hàng trước, 4 bạn nam X, Y, Z, T đứng ở hàng sau và trong cùng một hàng không có hai bạn nào trong 7 bạn A, B, C, X, Y, Z, T đứng cạnh nhau. Tính 
cách xếp để 3 bạn nữ A, B, C đứng ở hàng trước, 4 bạn nam X, Y, Z, T đứng ở hàng sau và trong cùng một hàng không có hai bạn nào trong 7 bạn A, B, C, X, Y, Z, T đứng cạnh nhau. Tính
20 học sinh gồm: 3 bạn nữ A, B, C; 4 bạn nam X, Y, Z, T và 13 bạn còn lại.
Hàng trước: 3 bạn nữ A, B, C và 7 bạn khác.
Hàng sau: 4 bạn nam X, Y, Z, T và 6 bạn khác.
Bước 1: Tính số cách xếp ở hàng trước
Chọn ra 7 bạn (trong 13 bạn còn lại): có
cách.
Số cách xếp 7 bạn khác là
Khi đó 7 bạn khác tạo thành 
khe trống.
Để 3 bạn A, B, C không có 2 bạn nào ngồi cạnh nhau, thì xếp 3 nữ vào 8 khoảng trống có
cách.
Suy ra số cách xếp hàng trước là
Bước 2: Tính số cách xếp ở hàng sau
Chọn ra 6 bạn (trong 6 bạn còn lại): có 1 cách.
Số cách xếp 6 bạn khác là
Khi đó 6 bạn này tạo thành 
khe trống.
Xếp 4 nam vào 7 khe trống để không cạnh nhau có
cách.
Suy ra số cách xếp hàng sau là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Vậy
Điền đáp án: 1344.
Hàng trước: 3 bạn nữ A, B, C và 7 bạn khác.
Hàng sau: 4 bạn nam X, Y, Z, T và 6 bạn khác.
Bước 1: Tính số cách xếp ở hàng trước
Chọn ra 7 bạn (trong 13 bạn còn lại): có
cách.Số cách xếp 7 bạn khác là
Khi đó 7 bạn khác tạo thành khe trống.Để 3 bạn A, B, C không có 2 bạn nào ngồi cạnh nhau, thì xếp 3 nữ vào 8 khoảng trống có
cách.Suy ra số cách xếp hàng trước là
Bước 2: Tính số cách xếp ở hàng sau
Chọn ra 6 bạn (trong 6 bạn còn lại): có 1 cách.
Số cách xếp 6 bạn khác là
Khi đó 6 bạn này tạo thành khe trống.Xếp 4 nam vào 7 khe trống để không cạnh nhau có
cách.Suy ra số cách xếp hàng sau là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Vậy
Điền đáp án: 1344.
Câu 13 [1134481]: Mở rộng: Hoán vị nhầm chỗ (hoán vị lệch)
1. Định nghĩa
Cho một tập hợp các phần tử có thứ tự
Một hoán vị nhầm chỗ (hoán vị lệch) là một sự sắp xếp lại các phần tử của tập hợp đó sao cho không có phần tử nào ở vị trí ban đầu.
Ký hiệu số các hoán vị nhầm chỗ của
phần tử là 
Ví dụ: Với
, các phần tử ban đầu là 
o Các hoán vị thông thường:
o Các hoán vị nhầm chỗ:
và 
Vậy
2. Công thức tính
Công thức tổng quát (Dựa trên Nguyên lý bù trừ) ta có:
Cho một tập hợp các phần tử có thứ tự
Một hoán vị nhầm chỗ (hoán vị lệch) là một sự sắp xếp lại các phần tử của tập hợp đó sao cho không có phần tử nào ở vị trí ban đầu.
Ký hiệu số các hoán vị nhầm chỗ của
phần tử là
Ví dụ: Với
, các phần tử ban đầu là
o Các hoán vị thông thường:
o Các hoán vị nhầm chỗ:
và
Vậy
2. Công thức tính
Công thức tổng quát (Dựa trên Nguyên lý bù trừ) ta có:
Câu 14 [1132180]: Có 4 chiếc chìa khóa và 4 ổ khóa tương ứng. Một người cầm ngẫu nhiên các chìa khóa để mở các ổ khóa đó. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có chiếc chìa khóa nào mở đúng ổ của nó?
Số cách sắp xếp sao cho không có chiếc chìa khóa nào mở đúng ổ của nó chính bằng hoán vị nhầm chỗ của 4 phần tử và bằng 
Điền đáp án: 9.
Điền đáp án: 9.
Câu 15 [1076064]: Có 6 học sinh gồm 3 nam và 3 nữ, một thầy giáo xếp các học sinh đó thành một hàng ngang. Giả sử ban đầu họ đã có một vị trí cố định nhưng do có một sự cố nên buộc thầy giáo phải sắp xếp lại chỗ ngồi sao cho không có học sinh nào ngồi lại vị trí cũ. Có bao nhiêu cách thầy giáo có thể sắp xếp?
Điền đáp án: 265.
Cho một tập hợp
. Một hoán vị 
của 
, kí hiệu 
, là một hoán vị lệch nếu với mọi phần tử i trong S , ta có: 
(tức là, phần tử ở vị trí thứ 
không phải là phần tử 
ban đầu). Khi đó ta có: 
Áp dụng công thức trên ta có số cách cần tìm là
Cho một tập hợp
. Một hoán vị của , kí hiệu , là một hoán vị lệch nếu với mọi phần tử i trong S , ta có: (tức là, phần tử ở vị trí thứ không phải là phần tử ban đầu). Khi đó ta có:
Áp dụng công thức trên ta có số cách cần tìm là
Câu 16 [1132181]: Trong một giờ sinh hoạt lớp, có 6 học sinh (A, B, C, D, E, F) đang ngồi vào 6 chiếc ghế kê thành một hàng ngang theo thứ tự tên từ trái sang phải. Sau giờ giải lao, thầy giáo yêu cầu cả 6 học sinh vào chỗ ngồi lại một cách ngẫu nhiên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi mới sao cho có đúng 2 học sinh ngồi lại vị trí cũ của mình, còn các học sinh khác đều ngồi vào vị trí của người khác?
Bước 1: Chọn 2 học sinh ngồi đúng vị trí cũ
Có
cách.
Bước 2: Xếp 4 học sinh còn lại đều ngồi nhầm chỗ
Số cách xếp 4 học sinh còn lại ngồi nhầm chỗ là hoán vị nhầm chỗ của 4 phần tử bằng
Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 135.
Có
cách.
Bước 2: Xếp 4 học sinh còn lại đều ngồi nhầm chỗ
Số cách xếp 4 học sinh còn lại ngồi nhầm chỗ là hoán vị nhầm chỗ của 4 phần tử bằng
Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 135.
Câu 17 [1132182]: Có 5 lá thư khác nhau dành cho 5 người bạn và 5 phong bì đã được ghi sẵn địa chỉ tương ứng. Một người đưa thư vô ý đã bỏ ngẫu nhiên mỗi lá thư vào một phong bì. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ thư sao cho có ít nhất một lá thư được gửi đúng địa chỉ?
Gợi ý: Số cách thỏa mãn = Tổng số cách – Số vi phạm (không có lá thư nào đúng địa chỉ).
Số cách bỏ 5 lá thư vào 5 phong bì là
cách.
Số cách bỏ thư mà không có lá thư nào đúng địa chỉ là một hoán vị nhầm chỗ của 5 phần tử
và bằng 
Suy ra số cách có ít nhất một lá thư đúng địa chỉ bằng
Điền đáp án: 76.
Số cách bỏ 5 lá thư vào 5 phong bì là
cách.
Số cách bỏ thư mà không có lá thư nào đúng địa chỉ là một hoán vị nhầm chỗ của 5 phần tử
và bằng
Suy ra số cách có ít nhất một lá thư đúng địa chỉ bằng
Điền đáp án: 76.
Câu 18 [1167185]: Có 6 bì thư được đánh số từ 1 đến 6 và 6 cái tem cũng được đánh số từ 1 đến 6. Người ta dán các tem thư vào các bì thư (mỗi thư chỉ dán 1 tem). Hỏi có bao nhiêu cách dán tem thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem có số trùng với số trên bì thư?
Tổng số cách dán tem là 
cách.
Gọi
là biến cố "Có ít nhất một bì thư được dán tem trùng số".
là biến cố "Không có bì thư nào được dán tem trùng số".
Số cách dán sao cho không có thư nào dán tem trùng số là hoán vị lệch của 6 phần tử và bằng
Vậy số cách dán tem sao cho có ít nhất một bì thư dán đúng số là
Điền đáp án: 455.
cách.
Gọi
là biến cố "Có ít nhất một bì thư được dán tem trùng số".
là biến cố "Không có bì thư nào được dán tem trùng số".
Số cách dán sao cho không có thư nào dán tem trùng số là hoán vị lệch của 6 phần tử và bằng
Vậy số cách dán tem sao cho có ít nhất một bì thư dán đúng số là
Điền đáp án: 455.