Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1132195]: Có 10 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Có 7 học sinh sẽ ngồi vào 7 chiếc ghế đó sao cho không có hai học sinh nào ngồi chung một ghế. Số cách xếp chỗ nếu không có hai chiếc ghế trống nào nằm cạnh nhau là , hãy tính
Có 7 học sinh và 10 chiếc ghế nên sẽ có 3 ghế trống.
Xếp 7 học sinh vào 7 vị trí trước: có cách.
Khi đó 7 học sinh tạo ra khe trống. Để 3 ghế trống không có 2 ghế nào cạnh nhau, ta xếp chúng vào 8 khe trống này: có cách xếp.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Vậy
Điền đáp án: 4032.
Câu 2 [1132196]: Có 2 người lớn và 3 trẻ em cùng đi đến công viên giải trí để chơi một trò chơi. Trò chơi này có các ghế ngồi được chia làm hai hàng: hàng trước có 2 ghế và hàng sau có 3 ghế. Khi trẻ em bắt buộc phải ngồi cùng hàng với người lớn, hãy tính số cách để cả 5 người cùng ngồi vào các ghế của trò chơi này.

Để trẻ em phải luôn ngồi cùng hàng với người lớn thì bắt buộc ở 2 hàng ghế đều phải có 1 người lớn.
Bước 1: Xếp chỗ cho 2 người lớn
Chọn 1 người lớn ngồi vào 1 trong 2 ghế hàng trước: có cách.
Người lớn còn lại ngồi vào 1 trong 3 ghế hàng sau: có cách.
Số cách xếp người lớn là cách.
Bước 2: Xếp chỗ cho 3 trẻ em
Sau khi 2 người lớn đã ngồi, còn lại đúng 3 ghế trống cho 3 trẻ em.
Số cách xếp 3 trẻ em vào 3 ghế còn lại là cách.
Bước 3: Tính tổng số cách
Vậy số cách xếp thỏa mãn là cách.
Điền đáp án: 72.
Câu 3 [1132197]: Có 3 quyển sách Văn học khác nhau, 4 quyển sách Toán học khác nhau và 8 quyển sách Tiếng Anh khác nhau được xếp ngẫu nhiên lên một kệ sách nằm ngang. Xác suất để không có hai cuốn sách nào cùng môn đứng cạnh nhau là Tính
Gợi ý: Xếp 8 quyển sách Tiếng Anh trước, sau đó xếp 7 quyển còn lại (3 Văn + 4 Toán) vào các khe trống giữa chúng để đảm bảo không có hai cuốn cùng môn nào cạnh nhau.
Không gian mẫu (là số cách xếp 15 quyển sách thành một hàng) là
Xếp 8 quyển sách Tiếng Anh có cách. Khi đó 8 quyển sách Tiếng Anh tạo ra 9 khe trống (7 khe trống ở giữa) Ví du: _A_A_A_A_A_A_A_A_ .
Nhưng để không có hai cuốn tiếng Anh nào cạnh nhau thì 7 cuốn còn lại phải được xếp vào 7 khe trống ở giữa các cuốn tiếng Anh đó.
Chọn và xếp 3 cuốn Văn: có cách.
Xếp 4 cuốn Toán vào 4 vị trí còn lại: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 6435.
Câu 4 [1076148]: Một hãng hàng không bán hết 10 vé cho 10 hành khách trên một hàng ghế dài. Trong 10 hành khách đó, có hai cặp vợ chồng và sáu hành khách độc thân. Các cặp vợ chồng muốn được ngồi cạnh nhau. Tính xác suất để hai cặp vợ chồng này được sắp xếp ngồi sao cho:vợ và chồng của mỗi cặp luôn ngồi cùng nhau, nhưng hai cặp này lại không được ngồi liền kề với nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,03.
Ta coi 2 cặp vợ chồng là 2 khối X, YHoán vị 2 cặp vợ chồng trong khối là
Xếp 6 hành khách độc thân có cách 6 hành khách trên tạo thành 7 khoảng trống.
Chọn 2 khoảng trống xếp 2 khối X, Y ta có cách
Xác suất cần tìm là
Câu 5 [1132198]: Cho 5 chữ số và 4 chữ cái Khi sắp xếp tất cả các ký tự này thành một hàng ngang, có cách sắp xếp sao cho ngay bên phải mỗi chữ cái đều có ít nhất một chữ số? (Ví dụ: T, 1, 2, O, 3, A, 4, N, 5). Tính
Nhận xét: Để mỗi chữ cái đều có ít nhất một chữ số ở bên phải, các chữ cái buộc phải đứng bên trái các chữ số.
Xếp 5 chữ số: có cách. Khi đó, 5 chữ số tạo ra 6 khe trống, trong đó có 5 khe trống bên trái của chữ số. Ví dụ: _S_S_S_S_S_
Xếp 4 chữ cái vào 5 vị trí này: Có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Vậy
Điền đáp án: 7200.
Câu 6 [1042079]: Một nhóm có 10 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có 2 học sinh có tên là Mai và Đào và 6 học sinh nam. Xếp 10 học sinh trong nhóm ngồi thành một hàng dọc. Xác suất của biến cố “chỉ có hai học sinh nữ Mai và Đào ngồi cạnh nhau còn các học sinh nữ khác không ngồi cạnh nhau đồng thời cũng không ngồi cạnh Mai và Đào” là Tính
Đáp số: 144
Không gian mẫu là số cách sắp xếp 10 học sinh ngồi theo hàng dọc
Gọi A là biến cố “10 học sinh ngồi thành hàng dọc mà chỉ có Mai và Đào ngồi cạnh nhau còn các học sinh nữ khác không ngồi cạnh nhau đồng thời cũng không ngồi cạnh Mai và Đào”.
Ta xem Mai và Đào như một nhóm X. Số cách sắp xếp trong nhóm X là: 2!
Số cách sắp xếp 6 bạn nam thành một hàng dọc là: 6!
Để xảy ra biến cố A, ta xếp nhóm X và hai bạn nữ còn lại vào 7 khoảng trống do 6 bạn nam tạo ra sao cho X và hai bạn nữ không tạo thành cặp gần nhau. Số cách là: Do đó
Vậy xác suất của biến cố A là:
Câu 7 [1035784]: Cho hai dãy ghế được xếp như sau:

Một đội chơi có 15 người gồm 7 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8 bạn ngồi vào hai dãy ghế để tham gia trả lời câu hỏi. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng số ghế. Ta có cách xếp để mọi cặp ghế đối diện nhau đều gồm một bạn nam và một bạn nữ. Tính giá trị
Đính chính: Để tránh gây hiểu nhầm, tác giả sửa đề thành "Ta có cách xếp để mọi cặp ghế đối diện nhau đều gồm một bạn nam và một bạn nữ" như trên web. Các em sửa lại đề trong sách như trên web nhé!
Vì mỗi bạn nam ngồi đối diện một bạn nữ nên có 4 bạn nam và 4 bạn nữ được chọn ngồi vào hai dãy ghế.
Chọn 1 bạn nam thứ nhất xếp vào cặp ghế 1 có cách.
Khi đó có 8 cách xếp bạn nữ ngồi đối diện
Chọn 1 bạn nam thứ 2 xếp vào cặp ghế 2 có cách.
Khi đó có 7 cách xếp bạn nữ ngồi đối diện
Chọn 1 bạn nam thứ 3 xếp vào cặp ghế 3 có cách.
Khi đó có 6 cách xếp bạn nữ ngồi đối diện
Chọn 1 bạn nam thứ 4 xếp vào chỗ bất kì trong 2 chỗ có cách.
Khi đó có 5 cách xếp bạn nữ ngồi đối diện
Vậy có cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ. Suy ra
Cách 2: Chọn 4 nam và 4 nữ có: cách, có cách chọn ghế chon am, xếp 4 nam vào 4 ghế có 4! Cách, xếp 4 nữ vào 4 ghế còn lại có 4! cách.
Vậy có
Câu 8 [1132199]: Trong một căn phòng có 8 chiếc ghế được xếp thành 2 hàng, mỗi hàng 4 ghế.
Một gia đình gồm 6 người: Ông nội, Bà nội, Bố, Mẹ, Con trai và Con gái. Hãy tính số cách xếp chỗ ngồi cho 6 người này sao cho: Ông bà ngồi cạnh nhau cùng một hàng và Bố mẹ cũng ngồi cạnh nhau cùng một hàng.
TH1: Ông-bà, bố-mẹ ngồi khác hàng
Chọn hàng cho cặp ông bà có 2 cách.
Chọn vị trí trong hàng có 3 cách (1-2, 2-3 hoặc 3-4). Nên có cách xếp cặp ông-bà trong 1 hàng.
Xếp chỗ cho cặp bố-mẹ ở hàng còn lại có cách.
Xếp 2 người con vào 4 ghế trống: có cách.
Suy ra TH1 có cách xếp.
TH2: Ông-bà, bố-mẹ ngồi cùng hàng
Chọn hàng cho cặp ông bà có 2 cách.
Chọn vị trí trong hàng có 2 cách (1-2 hoặc 3-4). Nên có cách xếp cặp ông-bà trong 1 hàng.
Khi đó cặp bố-mẹ còn lại 1 vị trí để xếp nên có cách xếp.
Xếp 2 người con vào 4 ghế trống: có cách.
Suy ra TH2 có cách xếp.
Vậy số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 1056.
Câu 9 [1132200]: Có 3 học sinh nữ, 3 học sinh nam và 2 giáo viên. Một người trong số họ sẽ đứng chụp ảnh, 7 người còn lại sẽ ngồi vào các ghế ở hàng 1 và hàng 2 (mỗi người một ghế) như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thỏa mãn các điều kiện sau:

• Người chụp ảnh phải là 1 học sinh.
• Hai giáo viên phải ngồi vào hai ghế được đánh dấu X ở hàng 2.
• Ở mỗi hàng (hàng 1 và hàng 2) đều phải có ít nhất một học sinh nam ngồi.
Bước 1: Xếp 2 giáo viên vào 2 ghế đánh dấu X có 2 cách.
Bước 2: Xếp 6 học sinh còn lại (thỏa mãn điều kiện 1, 3)
TH1: Người chụp ảnh là Nam
Chọn 1 học sinh nam chụp ảnh: có 3 cách.
Khi đó còn lại 2 nam và 3 nữ. Để mỗi hàng đều có ít nhất một học sinh nam ngồi thì mỗi bạn nam ngồi 1 hàng.
Xếp 1 bạn nam ngồi hàng 1 (có 3 chỗ) và bạn còn lại ngồi hàng 2 (có 2 chỗ): có cách.
Xếp chỗ cho 3 bạn nữ còn lại vào 3 chỗ trống có cách.
Suy ra số cách xếp 6 bạn thỏa mãn ở TH1 là
TH1: Người chụp ảnh là Nữ
Chọn 1 học sinh nữ chụp ảnh: có 3 cách.
Khi đó còn lại 3 nam và 2 nữ. Xếp 5 học sinh còn lại vào 5 ghế trống (3 ghế hàng 1, 2 ghế hàng 2): Có cách xếp. Tuy nhiên trong 120 cách này có chứa các cách vi phạm (1 hàng không có bạn nam nào ngồi).
Hàng 1 toàn nữ: Không thể xảy ra
Hàng 2 toàn nữ: Xếp 2 bạn nữ vào hàng 2 và 3 bạn nam vào hàng 1 có cách.
Suy ra số cách vi phạm là cách.
Suy ra số cách xếp 5 bạn còn lại thỏa mãn là cách.
Suy ra số cách xếp 6 bạn thỏa mãn ở TH2 là
Kết hợp TH1, TH2 suy ra tổng số cách xếp 6 bạn học sinh thỏa mãn là
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 1080.
Câu 10 [1122845]: Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp , 3 bạn từ lớp , 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau. Xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau bằng ( với là phân số tối giản). Tính
Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là
Xét các biến cố:
: "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau".
:" Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau".
: "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau".
: "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".

Sắp xếp 2 học sinh lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 học sinh , sau đó sắp xếp 8 học sinh còn lại là:
Từ 3 học sinh lớp 12B, chọn ra 2 học sinh sắp xếp 2 học sinh này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 học sinh còn lại là:
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau):
Chọn cặp ghế cho 12A: 5 cách.
Chọn cặp ghế khác cho 12B: còn 4 cách.
Chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện:
Sắp xếp trong mỗi cặp cho 12A và cho 12B là
Các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại là
Do đó suy ra
Vậy :
Câu 11 [1040415]: Trên một bàn cờ vua đang trống, bạn Mạnh đưa cho bạn Dũng 8 quân xe có màu khác nhau (các quân xe luôn di chuyển trên đường thẳng và không đi qua được nếu có vật cản) và đưa ra thử thách như sau:
+ Xếp 8 quân xe trên bàn cờ vua sao cho các quân xe không được ăn nhau.
+ Có ít nhất 7 quân xe nằm trên 7 ô vuông chéo nhau.
Có cách để bạn Dũng vượt qua thử thách trên? Giá trị của bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 2016.

Có 4 trường hợp có 7 quân cơ nằm trên 1 đường chéo và 2 trường hợp 8 câu cờ nằm trên 2 đường chéo chính
Để thỏa mãn 2 điều kiện đã cho thì các quân xe chỉ có thể nằm trên 2 đường chéo của bàn cờ
Có cách vượt qua thử thách trên
Câu 12 [1132201]: Có 7 chiếc ghế được đánh số từ 1 đến 7 và xếp thành hàng ngang. Có 2 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11, và 3 học sinh lớp 12. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để tất cả 7 học sinh này ngồi vào 7 chiếc ghế sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:
• Học sinh lớp 12 chỉ ngồi trên ghế có đánh số lẻ.
• Các học sinh cùng khối lớp không được ngồi cạnh nhau.
TH1: 3 học sinh lớp 12 ngồi các vị trí 1-3-5
Minh họa:
Xếp 3 bạn lớp 12 vào 3 vị trí có cách.
Gợi ý: Số cách xếp thỏa mãn = Tổng số cách xếp – Số vi phạm (có cặp học sinh cùng lớp ngồi cạnh nhau).
Tổng cách xếp 4 em là
Cách xếp 2 em cùng khối vào 1 cặp ghế liên tiếp và 2 em còn lại vào 2 vị trí còn lại là
Suy ra số cách xếp 4 học sinh còn lại thỏa mãn là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH1 là
TH2: 3 học sinh lớp 12 ngồi các vị trí 3-5-7
Tương tự TH1, ta có 96 cách.
TH3: 3 học sinh lớp 12 ngồi các vị trí 1-5-7
Minh họa:
Xếp 3 bạn lớp 12 vào 3 vị trí có cách.
Vị trí 6 có 4 cách chọn (1 trong 4 học sinh). Khi đó còn lại 1 bạn khác lớp (giả sử B) và 2 bạn cùng lớp (giả sử A, A1).
Xếp 3 bạn A, A1, B còn lại vào 3 vị trí còn lại (2-3-4) có 2 cách (ABA1 hoặc A1BA).
Suy ra số cách xếp 4 HS thỏa mãn là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH3 là
TH4: 3 học sinh lớp 12 ngồi các vị trí 1-3-7
Tương tự TH3, ta có 48 cách.
Kết hợp 4 trường hợp trên suy ra số cách xếp 7 học sinh thỏa mãn là
Điền đáp án: 288.
Câu 13 [1132202]: Có 3 loại sản phẩm khác nhau, mỗi loại có 3 chiếc (tổng cộng 9 chiếc). Người ta muốn xếp tất cả các sản phẩm này vào một kệ trưng bày có 9 ngăn (3 hàng x 3 cột) như hình vẽ, mỗi ngăn một chiếc.
• Điều kiện 1: Trong mỗi hàng ngang, 3 sản phẩm phải thuộc 3 loại khác nhau.
• Điều kiện 2: Trong mỗi cột dọc, các sản phẩm cùng loại không được nằm cạnh nhau (không được xếp liên tiếp).
Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả sản phẩm vào kệ?
Hàng 1: Có cách xếp (hoán vị của 3 loại sản phẩm A, B, C).
Hàng 2: Phải là hoán vị của (A, B, C) và không có vị trí nào trùng với hàng 1 (để thỏa mãn điều kiện 2).
Cách 1: Liệt kê
Giả sử hàng 1 là: (A, B, C)
Các cách thỏa mãn: (B, C, A) và (C, A, B)
Có 2 cách.
Cách 2: Sử dụng công thức hoán vị lệch
Khi đó số cách xếp 3 phần tử A, B, C ở hàng 2 sao cho không có vị trí nào trùng với hàng 1 là số các hoán vị lệch của 3 phần tử
Hàng 3: Phải là hoán vị của (A, B, C) và không có vị trí nào trùng với hàng 2.
Tương tự, hàng 3 có 2 cách.
Vậy tổng số cách xếp là
Điền đáp án: 24.
Câu 14 [1040621]: Một nhóm có 4 sinh viên và học vào các ngày thứ Hai và thứ Tư trong một phòng có đúng 4 chỗ ngồi. Hằng tuần, tất cả sinh viên đều đi học cả hai ngày đó. Vào mỗi ngày, các sinh viên chọn chỗ ngồi hoàn toàn ngẫu nhiên (mỗi sinh viên một chỗ). Hỏi xác suất để không ai ngồi đúng chỗ ngồi cũ trong cả hai ngày của một tuần là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,38.
Số phần tử không gian mẫu là
Trường hợp 1: Chỉ có 1 sinh viên ngồi đúng chỗ.
- Giả sử ta chọn 1 trong 4 chỗ để sinh viên ngồi đúng thì có 4 cách chọn.
- Trong mỗi cách chọn đó ta lại chọn một chỗ để sinh viên ngồi sai, khi đó có 2 cách và có đúng 1 cách để sinh viên còn lại ngồi sai.
Vậy trường hợp 1 sẽ có cách.
Trường hợp 2: Có 2 sinh viên ngồi đúng chỗ.
- Số cách chọn 2 chỗ để sinh viên ngồi đúng là cách.
- 2 chỗ còn lại thì sinh viên phải ngồi sai nên có 1 cách.
Vậy trường hợp 2 có cách
Trường hợp 3. Có 3 sinh viên ngồi đúng chỗ.
- Trường hợp này có đúng 1 cách.
Xác suất cần tìm là
Câu 15 [1132203]: Có tổng cộng 7 ghế ngồi được chia thành 2 hàng: Hàng A (3 ghế) và Hàng B (4 ghế). Có 7 học sinh gồm: Khối 10: 2 học sinh; Khối 11: 2 học sinh; Khối 12: 3 học sinh
Khi xếp 7 học sinh này vào 7 ghế một cách ngẫu nhiên, tính xác suất để các điều kiện sau được thỏa mãn:
• Ở hàng A, có học sinh của đúng 2 khối khác nhau ngồi và những học sinh cùng khối thì phải ngồi cạnh nhau.
• Ở hàng B, những học sinh cùng khối không được ngồi cạnh nhau.
(viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Không gian mẫu:
Gọi là biến cố “cách xếp thỏa mãn các điều kiện”.

Trường hợp 1: Hàng A có 2 học sinh khối 12 và 1 học sinh khối khác (10 hoặc 11)
Nhận xét: 3 ghế hàng A có 2 cách ngồi cạnh nhau (1-2, 2-3); 4 ghế hàng B có 3
Chọn 1 học sinh khối khác (10 hoặc 11): có cách.
Chọn 2 học sinh khối 12: có cách.
Xếp hàng A (2 học sinh khối 12 ngồi cạnh nhau): có cách.
Xếp hàng B (trong đó có 2 bạn cùng khối) có: cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn TH1 là cách.
Trường hợp 2: Hàng A có 2 học sinh khối 10 (hoặc 11) và 1 học sinh khối 12
Chọn 2 học sinh khối (10 hoặc 11): cách.
Chọn 1 học sinh khối 12: có 3 cách.
Xếp hàng A (cặp cùng khối ngồi cạnh): cách.
Xếp hàng B (còn 2 cặp cùng khối nên ta phải xếp xen kẽ): cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn TH2 là cách.
Kết hợp TH1 và TH2 suy ra
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 0,15.
Note: Không có trường hợp "Hàng A có học sinh khối 10 và 11". Vì khi đó hàng B sẽ còn lại 3 học sinh khối 12 và 1 học sinh khác, khi đó sẽ luôn có ít nhất 2 học sinh khối 12 ngồi cạnh nhau và vi phạm điều kiện ở hàng B.
Câu 16 [1132204]: An có 7 cặp chìa khóa và ổ khóa tương ứng, ký hiệu là Trong đó, mỗi chìa khóa chỉ có thể mở được duy nhất ổ khóa nằm trong cùng một cặp với nó. An tháo rời tất cả các chìa khóa và ổ khóa ra, sau đó tiến hành sắp xếp ngẫu nhiên mỗi chìa khóa vào một ổ khóa để tạo thành 7 cặp mới. Biết rằng xác suất để trong các cặp mới được tạo thành, cả ba chìa khóa và đều không mở được ổ khóa mà chúng được xếp cùng, được viết dưới dạng phân số tối giản (với p, q là các số nguyên dương). Tính
Xếp 7 chìa khóa vào 7 ổ khóa, có cách.
Gọi là biến cố “cả 3 chìa đều không mở được”.
là biến cố “3 chìa ít nhất có 1 chìa mở được”.
Gọi lần lượt là biến cố chìa khóa mở được ổ khóa.
Khi đó

Theo nguyên lý bù trừ, ta có
+) Tính (có chìa 1 đúng ổ, 6 chìa còn lại xếp tùy ý)

+) Tính (có 2 chìa đúng ổ, 5 chìa còn lại xếp tùy ý)

+) Tính (cả 3 chìa đúng ổ, 4 chìa còn lại xếp tùy ý)

Suy ra

Suy ra xác suất cả 3 chìa đều không mở được là
Vậy
Điền đáp án: 172.