Chọn 2 hàng trong 5 hàng để xếp 2 cặp nam-nữ: có cách.
Xếp 2 nam vào 2 hàng đã chọn: có cách.
Xếp 2 nữ vào 2 hàng đã chọn (mỗi hàng 1 nữ để tạo cặp): có cách.
Hoán đổi vị trí nam và nữ trong mỗi hàng: có cách.
Vậy tổng số cách xếp là
Điền đáp án: 160.

TH1: Có đúng 2 chữ số 8
Để tạo thành số có 5 chữ số, ta cần chọn thêm 3 chữ số nữa.
Chọn và xếp 3 chữ số từ các số 1, 2, 3, 5, 9 có cách.
Khi đó 3 chữ số trên tạo thành 4 khe trống. Chọn và xếp 2 chữ số 8 vào 4 khe trống này, có cách.
Suy ra số số tự nhiên thỏa mãn ở TH1 là số.
TH2: Có đúng 3 chữ số 8
Để tạo thành số có 5 chữ số, ta cần chọn thêm 2 chữ số nữa từ các số 1, 2, 3, 5, 9.
Chọn và xếp 2 chữ số từ các số còn lại có cách.
Khi đó 2 chữ số trên tạo thành 3 khe trống. Chọn và xếp 3 chữ số 8 vào 3 khe trống này, có 1 cách.
Suy ra số số tự nhiên thỏa mãn ở TH2 là số.
Vậy các số tự nhiên thỏa mãn là
Điền đáp án: 380.

Không gian mẫu là
Bước 1: Xếp 5 học sinh lớp 12C
Có
Bước 2: Xếp 5 học sinh còn lại (2 học sinh 12A và 3 học sinh 12B)
5 học sinh 12C tạo thành 6 khe trống: _C_C_C_C_C_ (2 đầu và 4 khe trống ở giữa). Để các học sinh cùng lớp không đứng cạnh nhau thì phải có học sinh đứng ở 4 khe giữa trên.
TH1: Có 1 học sinh đứng ở đầu và 4 học sinh đứng ở khe trống giữa
Chọn và sắp xếp 4 học sinh (từ 5 em còn lại) vào 4 khe giữa có cách.
Xếp 1 em còn lại vào 2 vị trí đầu: có 2 cách.
Suy ra cách xếp 5 em còn lại ở TH1 là
TH2: Không có học sinh nào đứng ở 2 đầu (tức 1 khe giữa sẽ có 2 học sinh)
Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí ở giữa chứa 2 em học sinh: có 4 cách.
Chọn và xếp 1 em lớp 12A và 1 em lớp 12B vào vị trí vừa chọn: có cách.
Xếp 3 em còn lại vào 3 vị trí còn lại: có cách.
Suy ra cách xếp 5 em còn lại ở TH2 là
Kết hợp 2 trường hợp, suy ra số cách xếp 5 em còn lại thỏa mãn là
Suy ra số cách xếp 10 em thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tính là

Điền đáp án: 3150.

Điền đáp án: 864.
Ký hiệu O, N, T lần lượt là đàn ông, phụ nữ, đứa trẻ.
TH1:
- Có 1 cách để xếp 3 người đàn ông vào 3 chỗ còn lại
TH2:
- Có 1 cách để xếp 3 người đàn ông vào 3 chỗ còn lại
TH3:
- Có 1 cách để xếp 3 người đàn ông vào 3 chỗ còn lại
Số hoán vị của 3 đàn ông, 4 phụ nữ, 2 đứa trẻ bằng
Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là

Xếp 5 học sinh thành một hàng: Có cách.
Khi đó 5 học sinh tạp thành 6 khe trống. Để các ghế trống không cạnh nhau, chọn 2 trong 6 vị trí này đế đặt các ghế trống: có cách.
Suy ra tổng số cách xếp sao cho 2 ghế trống không kề nhau là cách.
Trong 1800 cách xếp này, số trường hợp "An ngồi bên trái Bình" và "Bình ngồi bên trái An" bằng nhau. Do đó, số cách thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 900.

Xếp 7 nam thành một hàng ngang: Có cách.
Khi đó 7 nam tạo thành 8 khe trống trong đó có 6 khe trống giữa.
Minh họa: _N_N_N_N_N_N_N_
Để hai đầu là nam và không có 2 nữ cạnh nhau, thì 3 bạn nữ chỉ được xếp vào 6 vị trí trống nằm giữa 7 nam. Do đó, số cách xếp 3 nữ là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là

Điền đáp án: 6048.

Xếp 10 bạn vào 10 vị trí là
TH1: Hàng Minh đứng có thêm 2 bạn nữ
Số cách chọn hàng Minh ngồi là 2 cách.
+) Xếp hàng Minh đứng
Chọn và xếp 2 bạn nam (trong 5 bạn còn lại) ngồi ở hai bên của Minh là cách.
Chọn 2 bạn nữ để xếp vào hàng Minh có cách.
Để hàng Minh 2 bạn nữ không xếp cạnh nhau thì ta có duy nhất 1 cách xếp là 3 bạn nam cả Minh đứng ở 3 vị trí 2-3-4 và 2 bạn nữ xếp ở vị trí 1-5.
Suy ra số cách xếp ở hàng Minh đứng là
+) Xếp hàng còn lại: gồm 3 nam và 2 nữ
Xếp 3 bạn nam thành 1 hàng có cách. Khi đó 3 bạn nam tạo thành 4 khe trống, minh họa: _N_N_N_ (N là nam).
Để các bạn nữ không đứng cạnh nhau: chọn 2 chỗ trong 4 khe và xếp 2 bạn nữ, có
Suy ra số cách xếp ở hàng còn lại là
Vậy số cách xếp thỏa mãn ở TH1 là
TH2: Hàng Minh đứng có thêm 1 bạn nam và 1 bạn nữ
Số cách chọn hàng Minh ngồi là 2 cách.
+) Xếp hàng Minh đứng
Chọn và xếp 2 bạn nam (trong 5 bạn còn lại) ngồi ở hai bên của Minh là cách.
Chọn thêm 1 bạn nữ và 1 bạn nam vào hàng Minh có cách.
Coi Minh và 2 bạn kề Minh là nhóm Khi đó hàng thứ nhất gồm 3 phần tử là 1 bạn nam và 1 bạn nữ: có cách xếp.
Suy ra số cách xếp ở hàng Minh đứng là
+) Xếp hàng còn lại: gồm 2 nam và 3 nữ
Xếp 3 bạn nữ thành 1 hàng: có cách. Khi đó 3 bạn nữ tạo thành 4 khe trống trong đó có 2 khe trống ở giữa.
Để các bạn nữ không đứng cạnh nhau thì 2 bạn nam phải đứng ở 2 vị trí khe trống ở giữa: có cách xếp.
Suy ra số cách xếp ở hàng còn lại là
Vậy số cách xếp thỏa mãn ở TH2 là
Kết hợp TH1 và TH2, suy ra tổng số cách xếp thỏa mãn là
Suy ra xác suất cần tính là

Điền đáp án: 107.

Tích của hai số ghi trên hai tấm thẻ cạnh nhau bất kỳ luôn là số chẵn khi và chỉ khi các số lẻ không đứng cạnh nhau.
TH1: Bỏ đi số 1
Khi đó còn lại 3 số lẻ (1, 3, 3) và 4 số chẵn (2, 2, 2, 4)
Xếp 4 số chẵn: có cách. Khi đó 4 số chẵn tạo ra 5 khe trống.
Chọn 3 trong 5 khe trống cho số lẻ: có cách.
Xếp 3 số lẻ (1, 3, 3) vào 3 vị trí đã chọn: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH1 là cách.
TH2: Bỏ đi số 3
Tương tự TH1, ta cũng được 120 cách.
TH3: Bỏ đi số 2
Khi đó còn lại 4 số lẻ (1, 1, 3, 3) và 3 số chẵn (2, 2, 4).
Xếp 3 số chẵn: có cách. Khi đó 3 số chẵn tạo thành 4 khe trống.
Để 4 số lẻ không cạnh nhau, ta xếp 4 số lẻ 1, 1, 3, 3 vào 4 khe trống: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH3 là cách.
TH4: Bỏ đi số 4
Khi đó còn lại 4 số lẻ (1, 1, 3, 3) và 3 số chẵn (2, 2, 2).
Xếp 3 số chẵn: có 1 cách. Khi đó 3 số chẵn tạo thành 4 khe trống.
Để 4 số lẻ không cạnh nhau, ta xếp 4 số lẻ 1, 1, 3, 3 vào 4 khe trống: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH4 là cách.
Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 264.

Gọi phòng của An, Bình, Cường, Tùng và phòng trống lần lượt là
Trường hợp 1: Có 1 người chuyển vào phòng trống
Chọn 1 người vào trống: có 4 cách.
Giả sử Tùng được xếp vào phòng trống
3 người (An, Bình, Cường) còn lại hoán vị vào 4 phòng sao cho không ai ở phòng cũ.
+) Một bạn chuyển vào phòng Tùng
Chọn 1 bạn chuyển vào phòng Tùng: có 3 cách.
Giả sử An chuyển vào phòng Tùng, khi đó ta xếp Bình và Cường vào 3 phòng A, B, C sao cho không ai ở phòng cũ: có 3 cách.
Số cách xếp 3 bạn còn lại ở trường hợp này là
+) Không ai chuyển vào phòng Tùng
Khi đó số cách xếp 3 bạn An, Bình, Cường vào 3 phòng sao cho không ai ở phòng cũ là một hoán vị lệch của 3 phần tử và bằng
Suy ra số cách xếp 3 bạn còn lại là
Suy ra số cách xếp ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: Không ai vào phòng trống
Khi đó số cách xếp 4 bạn An, Bình, Cường, Tùng vào 4 phòng sao cho không ai ở phòng cũ là một hoán vị lệch của 4 phần tử và bằng
Kết hợp 2 TH trên, suy ra số cách đổi phòng thỏa mãn là
Điền đáp án: 53.

Gọi số có 5 chữ số là
TH1: Không có chữ số 1
có 2 cách chọn (2 hoặc 3).
mỗi vị trí có 3 cách chọn (0 hoặc 2 hoặc 3).
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
TH2: Có 1 chữ số 1
TH 2.1:
4 vị trí còn lại, mỗi vị trí có 3 cách (0 hoặc 2 hoặc 3): có cách.
TH 2.2:
có 2 cách chọn (2 hoặc 3).
Chọn 1 vị trí cho số 1 trong 4 vị trí còn lại: cách.
3 vị trí còn lại chọn từ 0, 2, 3: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH2 là
Suy ra tổng số cách xếp thỏa mãn là .
TH3: Có 2 chữ số 1 (không đứng cạnh nhau)
TH 3.1:
Chọn vị trí cho số 1 thứ hai: có 3 cách hoặc hoặc
3 vị trí còn lại chọn từ có cách.
Số cách xếp thỏa mãn là .
TH 3.2:
có 2 cách chọn (2 hoặc 3).
Xếp 2 số 1 vào 4 vị trí sao cho không cạnh nhau: có 3 cách ( hoặc hoặc
2 vị trí còn lại chọn từ có cách.
Số cách xếp thỏa mãn là
Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn ở TH3 là .
TH4: Có 3 chữ số 1 (không đứng cạnh nhau)
Khi đó 3 chữ số 1 phải đứng ở 3 vị trí Nên xếp 3 chữ số 1: có 1 cách.
Khi đó chọn từ có cách.
Vậy tổng cách xếp thỏa mãn ở TH4 là 9.
Kết hợp 4 trường hợp trên, tổng số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 603.

Nhận thấy: Để có một "cách xếp lỗi", ta chỉ cần xếp nam nữ đứng xen kẽ rồi đổi chỗ một cặp nam-nữ bất kì.
Ví dụ: Hàng xếp xen kẽ:
Đổi chỗ 2 bạn ở vị trí đầu (bên trái), ta được một cách xếp lỗi:
Bước 1: Xếp 10 học sinh (5 học sinh nam, 5 học sinh nữ) xen kẽ: có cách.
Bước 2: Chọn 1 cặp nam-nữ để đổi chỗ: có cách.
Suy ra số cách xếp lỗi là cách.

Điền đáp án: 7200.

Trường hợp 1: An nhận quà của Bình
An nhận quà của Bình có 1 cách.
Vì quà của Bình đã bị An lấy, nên Bình có thể nhận bất kỳ món nào trong 4 món còn lại nên có 4 cách chia quà cho Bình.
Chia 3 món còn lại cho 3 bạn còn lại là cách.
Số cách chia quà ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: An không nhận quà của Bình
An không nhận quà của Bình nên có 3 cách chọn quà (quà của Chi, Đạt hoặc Tuấn).
Sau khi An lấy 1 món (không phải của An, không phải của Bình), còn lại 4 món (bao gồm quà của Bình). Nên Bình có 3 cách chọn quà.
Chia 3 món còn lại cho 3 người có cách.
Số cách chia quà ở TH2 là cách.
Kết hợp 2 trường hợp trên, tổng số cách chia là
Điền đáp án: 78.

Theo yêu cầu đề bài, mô hình hoá thứ tự cao-thấp theo dạng:
Các con số phía trên biểu thị vị trí trong hàng (phải xếp đúng theo dạng trên). Khi đó:
- vị trí số 3 phải cao hơn các vị trí ;
- vị trí số 8 phải cao hơn các vị trí 6,7 ;
- hai vị trí 1 và 6 phải thấp hơn các vị trí còn lại.
Sắp 8 diễn viên theo thứ tự từ thấp đến cao và lần lượt kí hiệu là (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8). Khi đó diễn viên đứng ở vị trí số 3 có số hiệu nhỏ nhất là (6) và lớn nhất là (8). Xét các trường hợp:
(1) Vị trí số 3 chọn (6):
Chọn 2 người trong (1),(2),(3),(4),(5) xếp vào hai vị trí 1 và 2. Ba người còn lại sẽ xếp vào các vị trí theo thứ tự giảm dần nên cách xếp là xác định (chỉ 1 cách). Hai người (7),(8) xếp vào hai vị trí 7 và 8 cũng xác định.
Số cách:
(2) Vị trí số 3 chọn (7):
Chọn 2 người trong (1),(2),(3),(4),(5),(6) xếp vào hai vị trí 1 và 2. Trong 4 người còn lại, người có số hiệu nhỏ nhất phải đặt vào vị trí 6. Từ 3 người còn lại, chọn 2 người xếp vào vị trí 4 và 5 ; người còn lại cùng với (8) xếp vào hai vị trí 7 và 8 (xác định theo thứ tự tăng).
Số cách:
(3) Vị trí số 3 chọn (8):
Chọn 2 người trong xếp vào hai vị trí 1 và 2. Trong 5 người còn lại, người có số hiệu nhỏ nhất đặt vào vị trí 6. Từ 4 người còn lại, chọn 2 người xếp vào vị trí 4 và 5 ; 2 người còn lại xếp vào vị trí 7 và 8 theo thứ tự tăng.
Số cách:
Theo nguyên lí cộng, tổng số cách sắp xếp là

Ở bài này, mỗi cách xếp chỗ được xác định bởi tập hợp các vị trí ghế có người ngồi. Hai hàng ghế được coi là giống hệt nhau nếu các vị trí có người ngồi ở hai hàng đó hoàn toàn trùng khớp. Ví dụ:

Hàng 1 và hàng 2 là có cách xếp chỗ ngồi giống hệt nhau;
Hàng 3 và hàng 1 là có cách xếp chỗ khác nhau.
Để số hành khách là lớn nhất, thì ta sẽ tính lần lượt như sau:
Hàng có 6 người: có cách xếp khác nhau
có 1 hàng 6 người có cách xếp khác nhau.
Hàng có 5 người: có cách xếp
có 6 hàng 5 người có cách xếp khác nhau.
Hàng có 4 người: có cách xếp
có 15 hàng 4 người có cách xếp khác nhau.
Hàng có 3 người: có cách xếp
có 20 hàng 3 người có cách xếp khác nhau.
Hàng có 2 người: có cách xếp
có 15 hàng 2 người có cách xếp khác nhau.
Hàng có 1 người: có cách xếp
có 6 hàng 1 người có cách xếp khác nhau.
Vì máy bay có tổng cộng 56 hàng ghế và để số hành khách là lớn nhất thì ta sẽ cộng dần từ trên cho tới khi đủ 56 hàng ghế và khi đó số khách ở các hàng vừa liệt kê chính là số khách hàng lớn nhất ta cần tìm.
Suy ra 56 hàng ghế bao gồm 1 hàng 6 người, 6 hàng 5 người, 15 hàng 4 người, 20 hàng 3 người, 14 hàng 2 người:
Vậy số khách lớn nhất mà máy bay có thể chở là
Điền đáp án: 184.

Ta có Do đó cô giáo có thể xếp ngẫu nhiên 24 học sinh vào hình chữ nhật kích thước hoặc hoặc hoặc hoặc hoặc (Quy ước: Đường thẳng hàng x Đường thẳng cột).
Minh họa trường hợp: (tức 6 hàng và 4 cột) (với chấm đỏ là vị trí ngồi của 24 học sinh).

Do đó xác suất cần tìm là xác suất lớn nhất mà cô giáo xếp 24 học sinh vào 1 trong 6 hình chữ nhật trên. Ta đi tìm công thức tính xác suất tổng quát.
Không gian mẫu là
Gọi là biến cố “Minh và Sơn ngồi cạnh cùng 1 hàng”.
Vì mỗi bạn được coi là một chất điểm nên gọi là số đường thẳng nằm ngang và là số đường thẳng thẳng đứng.
Bước 1: Chọn 1 hàng cho Minh và Sơn: có cách.
Bước 2: Chọn 2 vị trí cạnh nhau trong 1 hàng cho Minh và Sơn: có cách. (các em có thể tự vẽ trường hợp 3 điểm trên 1 đường thẳng thì sẽ thấy có ngồi cạnh nhau, tương tự cho các trường hợp khác).
Bước 3: Xếp 22 học sinh còn lại và 2 bạn Minh và Sơn: có cách.
Suy ra với hình chữ nhật có số cách xếp thỏa mãn là
Vậy xác suất xếp thỏa mãn với hình chữ nhật là
Từ công thức trên, ta đi tính xác suất 6 trường hợp cụ thể:
Với xác suất là
Với xác suất là
Với xác suất là
Với xác suất là
Với xác suất là
Với xác suất là
Suy ra xác suất cao nhất để Minh và Sơn ngồi cạnh nhau là
Vậy
Điền đáp án: 149.

Để không có quân xe nào tấn công nhau thì mỗi hàng và mỗi cột chỉ có đúng 1 con xe.
Trường hợp 1: Hàng 1 đặt ở Cột 2
Khi đó hàng 2: Có 3 cách chọn (1, 3, 4).
+) Nếu Hàng 2 chọn Cột 1: Hàng 3 phải chọn Cột 4, Hàng 4 chọn Cột 3.
1 cách đặt.
+) Nếu Hàng 2 chọn Cột 3: Hàng 3 phải chọn Cột 4, Hàng 4 chọn Cột 1.
1 cách đặt.
+) Nếu Hàng 2 chọn Cột 4: Hàng 3 phải chọn Cột 1, Hàng 4 chọn Cột 3.
1 cách đặt.
Vậy TH1 có 3 cách đặt vị trí.
Trường hợp 2: Hàng 1 đặt ở Cột 3
Tương tự như TH1, ta cũng thu được 3 cách.
Trường hợp 3: Hàng 1 đặt ở Cột 4
Tương tự, ta cũng thu được 3 cách.
Kết hợp 3 trường hợp trên, suy ra có cách đặt vị trí quân xe.
Vì 4 quân xe khác màu nên số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 216.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Hoán vị lệch (Derangement) :Cho một tập hợp . Một hoán vị của , kí hiệu , là một hoán vị lệch nếu với mọi phần tử i trong S , ta có: (tức là, phần tử ở vị trí thứ không phải là phần tử ban đầu). Khi đó ta có:
TH1: 1 hàng có 4 trường khác nhau
- Hoán vị 4 bạn ở hàng 1 có cách.
- Chọn 4 bạn ở hàng 2.
Số hoán vị lệch là
- Hoán vị từng đôi :
Có cách
TH2: Mỗi hàng có 2 cặp học sinh cùng trường
- Chọn 2 trường trong 4 trường để xếp vào hàng 1 có cách
- Sắp xếp vị trí cho các cặp có cách
- Hoán vị từng đôi :
Có cách
TH3: Mỗi hàng chỉ có 1 cặp học sinh cùng trường
- Chọn 2 cặp học sinh để đưa vào hàng 1, hàng 2 có cách
- Hoán vị từng đôi :
TH3.1: 2 AD đối nhau

+ Có 3 cách xếp AD đối nhau.
+ Mỗi cách xếp AD đối nhau có 2 cách xếp 2 bạn B và 2 bạn C
Có cách
TH3.2: 1 AD đối nhau , 1AD không đối nhau

+ Có 4 cách xếp 1 AD đối nhau , 1 AD không đối nhau
+ Mỗi cách xếp AD đối nhau, 1 AD không đối nhau có 2 cách xếp B, C
Có cách
TH3.3: Không có cặp AD đối nhau

+ Có 2 cách xếp không có cặp AD đối nhau
+ Mỗi cách xếp không có cặp AD đối nhau có 4 cách xếp B, C
Có cách
Vậy có tất cả
Điền đáp án: 8064.