Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1132233]: Có 6 chiếc ghế được đánh số từ 1 đến 6. Khi xếp 6 chiếc ghế này thành một vòng tròn với khoảng cách đều nhau, hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho không có hai chiếc ghế cạnh nhau nào có tổng số ghi trên đó bằng 11? (Biết rằng các cách xếp có thể trùng nhau qua phép quay thì được tính là một cách duy nhất).
Trong bài này, nên để không có hai chiếc ghế cạnh nhau nào có tổng số ghi trên đó bằng 11 thì số 5 và số 6 không được xếp cạnh nhau.
Xếp 4 phần tử (1, 2, 3, 4) vào bàn tròn: có cách.
Khi đó 4 phần tử này tạo ra 4 khe trống. Xếp 2 phần tử 5 và 6 vào 4 khe trống: có cách.
Vậy số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 72.
Câu 2 [1132234]: Như hình vẽ bên, có một bảng gồm 7 tam giác bằng nhau ghép lại. Người ta muốn tô màu bảng này bằng 7 màu sắc khác nhau là đỏ, da cam, vàng, lục, lam, chàm, tím. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho phần tô màu cam nằm cạnh (tiếp giáp) với cả phần tô màu đỏ và phần tô màu vàng?"
Để phần tô màu cam nằm cạnh (tiếp giáp) với cả phần tô màu đỏ và phần tô màu vàng (tức màu cam nằm giữa hai màu này) thì ta coi 3 màu cam, đỏ, vàng là 1 nhóm Nhóm có 2 cách xếp nội bộ.
Khi đó, ta cần xếp 5 phần tử gồm và 4 màu còn lại (lục, lam, chàm, tím) vào 1 bàn tròn: có cách.
Suy ra số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 48.
Câu 3 [1132235]: Có 8 học sinh sẽ ngồi quanh một bàn tròn trên các ghế cách đều nhau để tham gia một trò chơi, trong đó có các bạn An, Nam, Bình, Cường. Trong trò chơi này, cặp An và Nam luôn muốn ngồi cạnh nhau, Bình và Cường cũng luôn muốn ngồi cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho tám người trên thoả mãn yêu cầu? Các phép quay được được coi là các cách giống nhau.
Coi An và Nam là 1 nhóm Số cách xếp nội bộ nhóm là 2.
Coi Bình và Cường là 1 nhóm Số cách xếp nội bộ nhóm là 2.
Khi đó, ta cần xếp 6 phần tử gồm và 4 bạn khác vào bàn tròn: có
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 480.
Câu 4 [1132236]: Trong một chiếc bàn tròn, xếp chỗ ngồi ngẫu nhiên 14 người trong đó có 5 bạn nam và 9 bạn nữ. Tính xác suất để sau khi xếp, mỗi bạn nam bất kì luôn ngồi cùng hai bạn nữ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Số cách xếp 14 người vào bàn tròn là
Mỗi bạn nam bất kì luôn ngồi cùng hai bạn nữ tức các bạn nam phải ngồi giữa 2 bạn nữ hay ngồi vào các khe trống tạo bởi các bạn nữ.
Xếp 9 nữ vào bàn tròn: có cách. Khi đó 9 bạn nữ tạo ra 9 khoảng trống.
Xếp 5 nam vào 9 khoảng trống tạo bởi các bạn nữ: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 0,10.
Câu 5 [1132237]: Tính số cách xếp chỗ cho 6 nam (trong đó có Nam và Đạt) và 5 nữ (trong đó có Quỳnh) ngồi quanh một bàn tròn sao cho Quỳnh ngồi giữa Nam và Đạt. Biết rằng có cách như vậy, tính (các cách xếp có thể trùng nhau qua phép quay thì được tính là một cách duy nhất).
Coi 3 bạn Nam, Đạt và Quỳnh là 1 nhóm Vì Quỳnh ngồi giữa Nam và Đạt nên số cách xếp nội bộ nhóm là cách.
Khi đó, ta cần xếp 9 phần tử gồm 4 bạn nữ khác và 4 bạn nam khác vào bàn tròn: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là

Điền đáp án: 8064.
Câu 6 [1132244]: Bằng cách nối các trung điểm các cạnh của một hình vuông, ta chia hình vuông ban đầu thành 8 hình tam giác vuông bằng nhau như hình vẽ. Có cách để tô 8 màu khác nhau vào 8 vùng của hình này, sao cho mỗi vùng chỉ tô một màu và sử dụng hết cả 8 màu? (Biết rằng, các cách tô màu có thể trùng nhau khi ta xoay hình vuông thì được coi là giống nhau). Tính

Bước 1: Tô 4 tam giác (1, 2, 3, 4)
Chọn ra 4 màu để tô: cách.
Số cách tô màu 4 tam giác này là hoán vị vòng tròn của 4 phần tử và bằng cách.
Suy ra số cách tô màu 4 tam giác này là
Bước 2: Tô 4 tam giác còn lại
Khi các tam giác 1, 2, 3, 4 được tô thì 4 vị trí đó đã cố định, dẫn tính đối xứng quay của hình vuông không còn nữa. Nên số cách tô 4 tam giác còn lại (với 4 màu) là
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là

Điền đáp án: 1008.
Câu 7 [1132246]: Từ một tam giác đều ban đầu, ta nối trung điểm các cạnh để được tam giác đều thứ 2. Tiếp tục nối trung điểm các cạnh của tam giác đều thứ 2 ta được tam giác đều thứ 3 (tham khảo hình vẽ). Như vậy hình ban đầu được chia thành 7 vùng phân biệt. Tiến hành tô màu 7 vùng này bằng 7 màu sắc khác nhau (mỗi vùng một màu). Có bao nhiêu cách tô màu khác nhau? (Biết rằng các trường hợp do quay mà trùng nhau thì được coi là một cách tô).
Bước 1: Chọn 1 màu tô màu tam giác ở tâm: có 7 cách.
(Ở bước này, vẫn còn tính đối xứng quay của hình)
Bước 2: Tô màu các tam giác 1, 2, 3

Chọn ra 3 mà tô màu các tam giác 1, 2, 3: có cách.
Số cách tô màu là
Ở bước này, khi tô màu 3 hình 1, 2, 3 thì dẫn đến hình đã được cố định và tính đối xứng quay của hình không còn nữa.
Bước 3: Tô màu 3 tam giác còn lại: Có cách.
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 1680.
Câu 8 [1132247]: Như hình vẽ bên phải, có một bảng hình vuông lớn được chia thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau. Số cách để tô 9 màu sắc khác nhau vào 9 ô vuông này là (Biết rằng, các trường hợp có thể trùng khớp với nhau khi xoay bảng thì được coi là cùng một cách tô). Hãy tính

Bước 1: Tô màu hình vuông ở tâm: có 9 cách.
Bước 2: Tô màu các ô 1, 2, 3, 4 (còn lại 8 màu để tô)
Có cách chọn 4 màu để tô.
Vì 4 ô 1, 2, 3, 4 có thể xoay nên số cách tô màu là một hoán vị vòng tròn của 4 phần tử và bằng cách.
Suy ra có cách tô màu.
Bước 3: Tô màu 4 ô còn lại
Từ bước 2, do khi tô màu các ô 1, 2, 3, 4 thì hướng của hình vuông đã được cố định nên 4 ô còn lại không còn tính chất hoán vị vòng quanh.
Suy ra số cách tô màu 4 ô này là
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là

Điền đáp án: 9072.
Câu 9 [1132245]: Cho một hình lăng trụ tam giác đều, nối các trung điểm của các cạnh bên, khi đó các mặt bên chia thành 6 vùng phân biệt. Có cách tô màu 6 vùng trên và hai mặt đáy của hình lăng trụ bằng 8 màu sắc khác nhau. Tính (Biết rằng, các trường hợp được coi là giống nhau nếu có thể trùng nhau khi ta xoay hoặc lật hình lăng trụ này).

Bước 1: Tô 2 đáy
Chọn 2 màu để tô đáy: có cách.
Vì lăng trụ có thể lật nên khi tô 2 đáy là A-B và B-A thì khi lật: trường hợp A-B sẽ thành B-A (2 trường hợp trùng nhau). Nên với 2 màu bất kì có 1 cách tô 2 đáy.
Suy ra số cách tô màu là
Ở bước này, ta đã triệt tiêu các trường hợp trùng nhau của phép lật.
Bước 2: Tô 3 mặt bên của hình lăng trụ tam giác đều ở dưới
Chọn 3 màu để tô: có cách.
Số cách tô 3 mặt này là 1 hoán vị vòng tròn của 3 phần tử bằng
Suy ra số cách tô màu là
Ở bước này, ta đã triệt tiêu các trường hợp trùng nhau khi xoay.
Bước 3: Tô màu 3 mặt còn lại với 3 màu: Có cách.
Vậy số cách tô màu là
Điền đáp án: 6720.
Câu 10 [1132238]: Có 10 học sinh, trong đó có ba học sinh An, Bình, và Cường. Cả 10 học sinh này ngồi quanh một bàn tròn với khoảng cách đều nhau sao cho thỏa mãn các điều kiện sau.? (Biết rằng các cách xếp giống nhau qua phép quay được tính là một).
• An và Bình ngồi cạnh nhau.
• Bình và Cường không ngồi cạnh nhau.
Giả sử có cách xếp tất cả các học sinh này. Hãy tính
Vì trong các cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau có chứa các cách vi phạm “Bình và Cường ngồi cạnh nhau” nên
Số cách xếp thỏa mãn = Số cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau – Số cách xếp An, Bình, Cường ngồi cạnh nhau.
Bước 1: Tính số cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau
Coi An và Bình là một nhóm X. Số cách hoán vị nội bộ nhóm X là
Khi đó các phần tử gồm nhóm X và 8 bạn khác: tổng 9 phần tử xếp quanh bàn tròn. Có cách xếp.
Suy ra số cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau là
Bước 2: Tính số cách xếp An, Bình, Cường ngồi cạnh nhau (với Bình ở giữa)
Coi An, Bình, Cường là một nhóm Y. Số cách hoán vị nội bộ nhóm Y là 2.
Khi đó các phần tử gồm nhóm Y và 7 bạn khác: tổng 8 phần tử xếp quanh bàn tròn. Có cách xếp.
Suy ra số cách xếp An, Bình, Cường ngồi cạnh nhau là
Vậy số cách xếp thỏa mãn điều kiện bài toán là

Điền đáp án: 7056.
Câu 11 [1132239]: Có 8 học sinh, trong đó có 3 học sinh A, B, và C, ngồi ngẫu nhiên xung quanh một bàn tròn với khoảng cách đều nhau. Tính xác suất để học sinh A ngồi cạnh học sinh B hoặc học sinh C. Biết xác suất này bằng (trong đó là phân số tối giản, ). Tính
Số cách xếp 8 học sinh quanh một bàn tròn là
Gọi là biến cố “A ngồi cạnh B”.
Gọi là biến cố “A ngồi cạnh C”.
Khi đó xác suất cần tính là với là số cách xếp để A ngồi cạnh B hoặc cạnh C.
Áp dụng công thức:
+) (số cách A ngồi cạnh B)
Coi A và B là 1 nhóm D. Số cách hoán vị nội bộ nhóm D là
Khi đó, ta cần xếp 7 phần tử gồm nhóm D và 6 bạn khác vào bàn tròn: có cách.
Suy ra
+) (số cách A ngồi cạnh C)
Tính toán tương tự ta được
+) (số cách A ngồi cạnh B và C hay A ngồi giữa B và C)
Coi A, B, C là 1 nhóm K. Số cách hoán vị nội bộ nhóm D là 2.
Khi đó, ta cần xếp 6 phần tử gồm nhóm K và 5 bạn khác vào bàn tròn: có cách.
Suy ra

Vậy xác suất cần tính là

Điền đáp án: 32.
Câu 12 [1132240]: Có 4 học sinh nam và 2 học sinh nữ ngồi vào một bàn tròn có 9 ghế trống theo các điều kiện sau.
• Cả học sinh nam và học sinh nữ đều chia thành các nhóm, mỗi nhóm gồm 2 người cùng giới tính.
• Giữa hai nhóm khác nhau bất kỳ phải để trống đúng 1 ghế.
Tính số cách xếp chỗ ngồi (Biết rằng các cách xếp xoay vòng giống nhau thì được tính là một).
Bước 1: Chia nhóm học sinh (thỏa mãn điều kiện đầu tiên)
Chọn 2 bạn nam từ 4 bạn để vào nhóm đầu tiên: Và 2 bạn còn lại sẽ tạo thành 1 nhóm nam.
Tuy nhiên, vì vai trò của 2 nhóm nam là như nhau (đều là nhóm 2 nam), nên số cách chia 4 bạn nam thành 2 nhóm không phân biệt thứ tự nhóm là
Tạo thành nhóm 2 bạn nữ: có 1 cách.
Cách tạo nhóm học sinh 2 bạn cùng giới là 3 cách.
Bước 2: Tính số cách sắp xếp mỗi nhóm
Coi các nhóm bạn nam và nữ lần lượt là các nhóm X, Y, Z. Số cách xếp nội bộ 3 nhóm là
Xếp 3 nhóm X, Y, Z vào bàn tròn: có cách.
Khi đó, 3 nhóm X, Y, Z tạo ra 3 khoảng trống, xếp 3 ghế trống vào các khoảng trống này: có 1 cách (vì các ghế là như nhau).
Vậy số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 48.
Câu 13 [1132241]: Có 8 chiếc ghế được đánh số từ 1 đến 8. Khi xếp 8 chiếc ghế này thành một vòng tròn với khoảng cách đều nhau, hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai số ghi trên hai chiếc ghế cạnh nhau luôn là hai số nguyên tố cùng nhau (tức là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1)? (Biết rằng các cách sắp xếp có thể nhận được bằng cách xoay vòng tròn thì được coi là giống nhau.)
Vì các số 2, 4, 6, 8 nếu đứng cạnh nhau thì ước chung lớn nhất luôn khác 1 nên các số 2, 4, 6, 8 không được đứng cạnh nhau.
Tương tự, 3 và 6 không được đứng cạnh nhau.
Bước 1: Xếp các phần tử 2, 4, 6, 8 vào bàn tròn: có cách.
Khi đó 4 phần tử này tạo ra 4 khe trống (có 2 khe trống cạnh số 6).
Bước 2: Xếp số 3: Vì 3 và 6 không được đứng cạnh nhau nên có 2 cách xếp số 3.
Bước 3: Xếp 3 số 1, 5, 7 vào 3 vị trí còn lại: có cách.
Vậy số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 72.
Câu 14 [1132242]: Có 4 học sinh nam (bao gồm Tuấn và Tú) và 4 học sinh nữ (bao gồm Trang). Tổng cộng 8 học sinh này ngồi quanh một bàn tròn sao cho khoảng cách giữa các ghế là bằng nhau. Hãy tìm số cách xếp thỏa mãn các điều kiện sau (Biết rằng các cách xếp xoay vòng được tính là một).
• Tuấn và Tú ngồi cạnh nhau.
• Trang không ngồi cạnh bất kỳ học sinh nữ nào khác.
Bước 1: Xếp 4 học sinh nam (Tuấn và Tú ngồi cạnh nhau)
Coi Tuấn và Tú là một nhóm X. Số cách xếp nội bộ nhóm X là 2 cách.
Khi đó xếp 3 phần tử học sinh nam gồm X và 2 học sinh khác vào bàn tròn: có cách.
Bước 2: Xếp các bạn nữ (Trang không ngồi cạnh bất kỳ học sinh nữ nào)
4 học sinh nam tạo ra 3 khoảng trống, xếp Trang vào 3 khoảng trống này: có 3 cách.
Khi đó còn lại 2 khe trống để xếp 3 bạn nữ:
TH1: 3 bạn nữ ngồi cùng 1 khe trống: có cách xếp.
TH2: 2 bạn nữ ngồi cùng 1 khe trống, bạn nữ còn lại ngồi khe trống còn lại: có cách xếp.
Suy ra có cách xếp 3 bạn nữ còn lại.
Vậy có cách xếp thỏa mãn.
Điền đáp án: 288.
Câu 15 [1132248]: Có 5 chiếc ghế có tay vịn giống nhau và 5 chiếc ghế không có tay vịn giống nhau được xếp vào một chiếc bàn tròn. Các cách xếp được coi là giống nhau nếu có thể nhận được cách này từ cách kia bằng phép quay. Có bao nhiêu cách khác nhau để sắp xếp 10 chiếc ghế trên vào bàn tròn với điều kiện trên?
Giả sử lấy 1 chiếc ghế có tay vịn (loại A) đặt vào một vị trí bất kỳ trên bàn tròn để làm mốc.
Khi đó, bàn tròn trở thành một dãy 9 chỗ ngồi có thứ tự. Trong 9 chỗ đó, ta cần xếp:
4 chiếc ghế có tay vịn còn lại (loại A); 5 chiếc ghế không có tay vịn (loại B).
Số cách xếp 9 ghế này vào 9 vị trí là một hoán vị lặp và bằng cách.
Trong 126 cách này, các cách xếp vòng tròn sẽ bị đếm lặp 5 lần (tương ứng với 5 vị trí mà ta có thể chọn làm mốc A), ngoại trừ những trường hợp có tính đối xứng đặc biệt.
Trường hợp 1: Xếp xen kẽ
Có duy nhất 1 cách xếp: A-B-A-B-A-B-A-B-A-B.
(Vì với cách xếp A-B-A-B-A-B-A-B-A-B trên hình tròn, dù lấy ghế A tại vị trí nào làm mốc trong 5 ghế thì dãy ngang thu được vẫn là dãy A-B-A-B-A-B-A-B-A-B nên trường hợp này ta có 1 cách xếp vòng tròn tương ứng với 1 cách xếp ngang).
Trường hợp 2: Không xếp xen kẽ
Số cách còn lại là (cách).
Ở trường hợp này, với mỗi cách xếp vòng tròn sẽ tạo ra đúng 5 cách xếp hàng ngang khác nhau khi ta lần lượt chọn từng ghế A làm mốc.
Ví dụ: Cùng 1 cách xếp trên bàn tròn:

Dãy xếp ngang ta được: ABBAAABBAB.
Ta đổi vị trí lấy mốc thành hình sau:

Dãy xếp ngang ta được: AAABBABABB.
Hai dãy xếp ngang là khác nhau nhưng chúng chỉ là 1 cách xếp trên bàn tròn. Do đó với mỗi cách xếp trên bàn tròn, khi lấy mốc tại 5 vị trí A sẽ cho ra được 5 cách xếp hàng ngang khác nhau.
Vậy số cách xếp vòng tròn phân biệt là (cách).
Vậy tổng số cách sắp xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 26.
Câu 16 [1132243]: Một hình tròn được chia thành 6 phần bằng nhau, trong đó có hai phần đối diện được tô bằng màu A. Sử dụng 4 màu B, C, D, E để tô các phần còn lại, mỗi ô một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô (Biết rằng, các cách tô màu có thể trùng nhau khi ta xoay hình tròn thì được coi là giống nhau).
Chia làm 2 nhóm để đếm
Nhóm 1: Các cách tô "Đối xứng qua tâm" (Xoay không đổi)
Đây là trường hợp nửa trên và nửa dưới giống hệt nhau ( và ).
Chọn màu cho ô 1: có 6 cách (từ bảng màu B, C, D, E, F, G).
Chọn màu cho ô 2: có 6 cách.
Ô 3 buộc phải giống ô 1, ô 4 buộc phải giống ô 2 (không có lựa chọn).
Số cách nhóm 1: cách.
Nhóm 2: Các cách tô "Không đối xứng" (Xoay sẽ khác đi)
Tổng số cách tô 4 ô bất kỳ (khi chưa tính xoay) là cách.
Số cách không đối xứng là: cách.
Trong nhóm này, cứ 2 cách tô bất kỳ sẽ tạo thành một cặp trùng nhau khi xoay . Ví dụ: xoay sẽ thành .
Do đó, ta phải chia đôi số này: cách thực tế.
Số cách nhóm 2: 630 cách.
Tổng cộng số cách tô: cách.