Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1035730]: Bài toán chia kẹo Euler 1
Có bao nhiêu cách chia chiếc kẹo giống nhau em bé sao cho mỗi em bé có ít nhất một chiếc kẹo.
Phương pháp:
Gọi số kẹo em bé nhận được lần lượt là
Khi đó với
Bài toán chia kẹo trở thành tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình:
Lời giải:
Rõ ràng với thì phương trình không có nghiệm nguyên dương.
Với Ta phân tích: ( số 1 cộng lại với nhau)
Khi đó có dấu cộng, bây giờ trong dấu cộng ta chọn ra dấu cộng sau đó thay bằng dấu | chẳng hạn: sẽ chia chiếc kẹo này thành phần mà mỗi phần luôn có ít nhất một chiếc kẹo.
Vậy số cách chia kẹo là
Câu 2 [1035732]: Bài toán chia kẹo Euler 1.2
Có bao nhiêu cách chia chiếc kẹo giống nhau em bé?
Phương pháp:
Gọi số kẹo em bé nhận được lần lượt là
Khi đó với
Đặt ta được
Áp dụng bài toán chia keo Euler số 1 ta được: cách.
Câu 3 [1133275]: Có 20 viên kẹo giống hệt nhau, chia cho 3 đứa trẻ (An, Bình, và Cường). Hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho mỗi đứa trẻ đều có ít nhất 1 viên kẹo?
Áp dụng công thức chia kẹo Euler với và số cách chia sao cho mỗi đứa trẻ đều có ít nhất 1 viên kẹo là
Điền đáp án: 171.
Câu 4 [1135288]: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình với
Trường hợp 1:
Phương trình trở thành với
Áp dụng công thức Euler với suy ra số nghiệm nguyên của phương trình là
Trường hợp 2:
Phương trình trở thành với
Áp dụng công thức Euler với suy ra số nghiệm nguyên của phương trình là
Trường hợp 3:
Phương trình trở thành: với
Áp dụng công thức Euler với suy ra số nghiệm nguyên của phương trình là
Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là
Điền đáp án: 274.
Câu 5 [1035731]: Cô Thảo ra chợ mua hoa quả, ở quán hoa quả có bán: cam, quýt, dứa, thanh long, xoài. Cô Thảo dự định mua 20 quả, hỏi có bao nhiêu cách để mua sao cho mỗi loại trên đều cho ít nhất 1 quả ? Coi số hoa quả cô Xuân bán mỗi loại đều đủ cho cô Thảo mua.
Gọi số quả cam, quýt, dứa, thanh long, xoài là thì:
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler 1 với và số cách mua thỏa mãn là cách.
Điền đáp án: 3876.
Câu 6 [1076073]: Có bao nhiêu cách để chia số 35 thành tổng của 5 số nguyên dương lẻ?
Gọi số có 5 số nguyên dương lẻ lần lượt là
Ta có
Vì là các số lẻ nên ta đặt
Khi đó
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler, ta có số nghiệm nguyên dương của phương trình trên là
Điền đáp án: 3876.
Câu 7 [1134483]: Bài toán chia kẹo Euler 2
Xếp cuốn sách khác nhau lên ngăn kệ sao cho mỗi ngăn có ít nhất 1 cuốn
Phương pháp:
Bài toán bản chất là việc sắp xếp các quyển sách theo thứ tự khác nhau, sau đó chia các quyển sách vào các ngăn thoả mãn yêu cầu đề bài. Ta có hai giai đoạn như sau:
Giai đoạn 1: Sắp xếp các vật phẩm thành 1 hàng
Ta đem tất cả vật phẩm khác nhau xếp thành một hàng ngang dài có cách
Giai đoạn 2: Dùng vách ngăn để phân chia
Sau khi có hàng ngang vật phẩm, ta cần chia hàng này thành đoạn (mỗi đoạn tương ứng với một người theo thứ tự từ trái sang phải).
Đến đây ta áp dụng bài toán chia kẹo Euler loại 1, có số cách phân chia là
Như vậy ta có tổng cách chia và sắp xếp bằng
Câu 8 [1133276]: Có 7 vận động viên khác nhau. Huấn luyện viên muốn chia họ vào 4 đường chạy (Đường 1, Đường 2, Đường 3, Đường 4) để tập luyện.
• Mỗi đường chạy phải có ít nhất 1 vận động viên.
• Thứ tự các vận động viên chạy trên mỗi đường là quan trọng (ai chạy trước, ai chạy sau).
Biết có cách xếp như vậy. Tính
Giai đoạn 1: Sắp xếp các vận động viên thành 1 hàng
Xếp 7 vận động viên khác nhau thành một hàng ngang: có cách.
Giai đoạn 2: Dùng vách ngăn để phân vào 4 đường chạy
Sau khi có hàng ngang người, ta cần chia hàng này thành đoạn (mỗi đoạn tương ứng với 1 đường chạy)sao cho mỗi đoạn có ít nhất 1 người.
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler loại 1, số cách đặt vách ngăn là cách.
Suy ra tổng số cách chia là

Điền đáp án: 5040.
Câu 9 [1040872]: Một học sinh có 6 môn học khác nhau Toán, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh cần ôn tập trong một ngày chia thành 3 buổi học riêng biệt Sáng, Chiều, Tối. Mỗi buổi học sinh đó phải ôn ít nhất một môn. Thứ tự các môn học trong mỗi buổi ôn tập là quan trọng. Có bao nhiêu cách để học sinh đó lập kế hoạch ôn tập trong ngày?
Giai đoạn 1: Sắp xếp 6 môn học thành 1 hàng
Có cách xếp.
Giai đoạn 2: Dùng vách ngăn để phân chia
Sau khi có hàng ngang môn học, ta cần chia thành đoạn (mỗi đoạn tương ứng với 1 buổi học) với mỗi đoạn có ít nhất 1 môn học.
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler loại 1, số cách đặt vách ngăn là cách.
Suy ra tổng số cách lập kế hoạch ôn tập là
Điền đáp án: 7200.
Câu 10 [1134484]: Bài toán chọn người không ngồi cạnh nhau trên bàn tròn
Có người ngồi xung quanh một bàn tròn. Tính số cách chọn ra người sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau
Phương pháp:
Ta đánh dấu số ở các ghế lần lượt là
Chọn người thứ nhất có cách
Do các người được chọn không kề nhau nên giữa người số 1 và người số 2 có điểm, giữa người số 2 và số 3 có điểm, giữa người số 3 và số 4 có điểm …… ;giữa người số và số 1 có điểm
Số bộ thỏa mãn phương trình trên là
Số bộ k cây được chọn là
Mà mỗi trong số bộ cây này bị lặp lần nên ta có số cách cần tìm là
Vậy số cách là (đây là công thức Kaplansky)
Đặc biệt: Cho đa giác lồi có đỉnh với
Từ các đỉnh của đa giác trên ta có thể tạo ra được số tam giác mà cạnh của tam giác không là cạnh của đa giác là:
Câu 11 [1040876]: Trên hồ nước có hình tròn đã trồng sẵn 17 cây xanh, nhưng người ta muốn chặt đi 4 cây trong số đó.

Hỏi có bao nhiêu cách chặt sao cho không có 2 cây kề nhau bị chặt?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Ta đánh dấu số cây lần lượt là
Chọn cây thứ nhất có 17 cách
Chọn cây thứ 2, 3, 4 không kề với cây thứ nhất:
Do các cây không kề nhau nên giả sử giữa cây số 1 và số 2 có điểm, giữa cây số 2 và số 3 có điểm, giữa cây số 3 và số 4 có điểm , giữa cây số 4 và số 1 có điểm

Số bộ thỏa mãn phương trình trên là
Số bộ 4 cây được chọn là
Mà mỗi trong số bộ 4 cây này bị lặp 4 lần nên ta có số cách cần tìm là
Điền đáp án: 935.
Câu 12 [1133277]: Trong một cuộc họp, có hai mươi lăm nhân viên đang ngồi quanh chiếc bàn tròn. Do có vấn đề xảy ra nên giám đốc đã chọn ngẫu nhiên 3 người trong số 25 người đó đi xử lý vấn đề. Gọi là xác suất để ít nhất hai trong ba người được cử đi ngồi cạnh nhau. Nếu P được viết dưới dạng phân số tối giản, thì tổng của tử số và mẫu số là bao nhiêu?
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 người từ 25 người là
Gọi là biến cố “ít nhất hai trong ba người được cử đi ngồi cạnh nhau”.
Gọi là biến cố “Không có hai người nào được cử đi ngồi cạnh nhau”.
Khi đó
Bước 1: Tính (số cách chọn ra 3 người sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau)Chọn người thứ nhất có cách.Chọn người thứ 2 và 3 không ngồi cạnh với người thứ nhất:Do 3 người được chọn không kề nhau nên giả sử giữa người số 1 và người số 2 có người khác, giữa người số 2 và số 3 có người khác, giữa người số 3 và số 1 có người khác.

Số bộ thỏa mãn là
Số bộ 3 người được chọn là
Mà trong mỗi bộ trên bị lặp 3 lần nên số cách chọn là
Bước 2: Tính xác suất
Suy ra
Suy ra tổng của tử số và mẫu số là
Điền đáp án: 57.
Câu 13 [1134485]: Bài toán chia kẹo Euler 3
Có bao nhiêu cách chia chiếc kẹo giống nhau em bé, sao cho mỗi em bé nhận được ít nhất chiếc
Phương pháp:
Gọi là số kẹo mà mỗi em bé thứ nhận được.
Bài toán trở thành tìm số nghiệm nguyên của phương trình:
Với điều kiện: với mọi
Cách giải: Để đưa về dạng mỗi em nhận ít nhất 1 chiếc, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: "Vay" kẹo.
Để mỗi em có ít nhất 1 chiếc kẹo sau khi biến đổi, nhưng ban đầu mỗi em cần chiếc, ta sẽ đặt ẩn mới sao cho:
Bước 2: Xác định điều kiện mới.
Khi thì
Lúc này, ẩn đóng vai trò là số kẹo trong bài toán "mỗi em nhận ít nhất 1 chiếc".
Bước 3: Thay vào phương trình tổng.

Bây giờ, bài toán trở thành: Chia chiếc kẹo cho em bé sao cho mỗi em có ít nhất 1 chiếc.
Áp dụng công thức chia kẹo Euler dạng 1, ta có số cách chia là:
Câu 14 [1076065]: Một giáo viên có 20 cuốn sách Toán giống hệt nhau. Giáo viên muốn phân phát số sách này cho 4 học sinh khác nhau.
a) Có bao nhiêu cách phân phát khác nhau, biết rằng mỗi học sinh nhật ít nhất một cuốn sách?
b) Có bao nhiêu cách phân phát khác nhau, biết rằng một học sinh có thể không nhận cuốn sách nào?
c) Có bao nhiêu cách phân phát khác nhau, biết rằng mỗi học sinh có thể nhận nhiều nhất 6 cuốn sách?
Gọi lần lượt là số sách của mỗi học sinh.
Ta có phương trình:
a) Mỗi học sinh nhận ít nhất một cuốn sách ( )
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số cách chọn là:
b) Một học sinh có thể không nhận cuốn sách nào ()
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số cách chọn là
c) Mỗi học sinh nhận nhiều nhất 6 cuốn sách
Tổng số cách sao cho một học sinh có thể không nhận cuốn sách nào là 1771 cách
Trường hợp vi phạm: Có ít nhất một học sinh nhận cuốn sách.
Gọi là tập hợp các cách chia mà học sinh có ít nhất 7 cuốn.
+) Tính :
- Chọn 1 học sinh nhận được 7 cuốn có cách
- Còn lại cuốn chia cho 4 người có cách
- Có học sinh có thể vi phạm như vậy.
+) Tính :Hai học sinh mỗi người có ít nhất 7 cuốn
- Chọn 2 học sinh nhận được 7 cuốn có cách
- Còn lại cuốn chia cho 4 người: .
+) Tính :
Ba học sinh mỗi người có ít nhất 7 cuốn
Điều này không thể xảy ra vì tổng cộng chỉ có 20 cuốn sách.
Áp dụng công thức Bao hàm - Loại trừ:
Số cách vi phạm .
Số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Câu 15 [1035733]: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình với
Điền đáp án: 220.
Đặt ta được và
Áp dụng bài toán chia keo Euler số 1 ta được: số nghiệm nguyên dương của phương trình là
Phương trình đã cho có 220 nghiệm.
Câu 16 [1133278]: Bạn có 15 viên bi trắng giống hệt nhau. Bạn muốn bỏ bi vào 4 cái hộp khác nhau: hộp đỏ, hộp xanh, hộp vàng và một hộp màu nâu.
Hãy tìm số cách bỏ bi sao cho:
• Hộp đỏ, xanh, vàng mỗi hộp có ít nhất 1 viên.
• Hộp màu nâu có thể có bi hoặc để trống.
• Tất cả 15 viên bi đều phải được xếp vào các hộp
Gọi là số bi trong các hộp Đỏ, Xanh, Vàng, Nâu.
Vì tổng số bi là 15 nên
Với điều kiện:
Bước 1: "Vay" bi
Để đưa về dạng tất cả các hộp đều có ít nhất 1 viên, chúng ta sẽ thực hiện phép đặt ẩn như sau:
Vì hộp 1, 2, 3 đã có điều kiện nên ta giữ nguyên: (với
Hộp thứ 4 đang là Để biến nó thành ta thực hiện "vay" thêm 1 viên:
Đặt
Bước 2: Thay vào phương trình tổng
Thay các ẩn mới vào phương trình ban đầu, ta được
Lúc này, bài toán trở thành: Chia 16 viên bi cho 4 hộp sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên.
Áp dụng công thức Euler dạng 1, số cách chia 16 viên bi cho 4 hộp sao cho mỗi người có ít nhất 1 vật là
Điền đáp án: 455.