Gọi lần lượt là số chai nước táo, nước nho và nước quýt được chọn.
Ta có với điều kiện (mỗi loại có ít nhất 1 chai) hay
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler 1, ta có số cách chọn là
Điền đáp án: 91.

Điền đáp án: 455.
Gọi đơn thức có dạng
Ta có:
Đặt

Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số nghiệm của phương trình trên là

Điền đáp án: 450.
Chọn cây thứ 1 có 15 cách
Chọn cây thứ 2, 3, 4 không kề với cây thứ nhất .
Do các cây không kề nhau nên giữa cây số 1 và số 2 có điểm, giữa cây số 2 và số 3 có điểm, giữa cây số 3 và số 4 có điểm , giữa cây số 4 và số 1 có điểm

Số bộ thỏa mãn phương trình trên là
Số tứ giác được chọn là
Mà mỗi trong số các tứ giác này bị lặp 4 lần nên ta có số tứ giác cần tìm là

Phương trình ban đầu: với điều kiện
Đặt Vì nên hay Phương trình ban đầu trở thành
TH1:
với điều kiện
Suy ra số nghiệm của phương trình là
TH2:
với điều kiện
Suy ra số nghiệm của phương trình là
TH3:
với điều kiện
Suy ra số nghiệm của phương trình là
TH4:
với điều kiện
Suy ra số nghiệm của phương trình là
TH5: (không thỏa mãn)
Vậy tổng số nghiệm của phương trình đã cho là
Điền đáp án: 224.

Vì nên đặt Vì nên hay
Khi đó
với
Suy ra số nghiệm của phương trình là
Điền đáp án: 13.

Bước 1: Xếp 5 bạn nữ: có 1 cách.
Bước 2: Xếp 11 bạn nam
Khi xếp 5 bạn nữ cố định theo thứ tự tạo ra 6 khoảng trống để xếp 11 bạn nam.
Gọi là số lượng bạn nam ở mỗi khoảng trống Cụ thể:
Ta có với điều kiện
Điều kiện đề bài:
Giữa và có ít nhất 3 nam nên
Giữa and có tối đa 1 nam nên
Trường hợp 1:
Phương trình trở thành
Đặt Vì hay

Suy ra số cách chia 11 bạn nam (giống nhau) vào 6 khoảng trống là
Tuy nhiên 11 bạn nam này là khác nhau nên số cách xếp 11 bạn nam là
Trường hợp 2:
Phương trình trở thành
Tương tự, ta đặt
Thay vào phương trình ta được
Suy ra số cách xếp 11 bạn nam vào 6 khoảng trống là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là

Điền đáp án: 9075.

Gọi là số bút trong các hộp Xanh, Đỏ, Vàng, Trắng.
Từ giả thiết, ta có
Đặt Vì nên
Phương trình ban đầu trở thành
Gợi ý: Số cách chia thỏa mãn cả 4 điều kiện = Tổng số cách chia (với – Số cách vi phạm (với
+) Với
Đặt Vì nên
Khi đó với có tổng số cách chia là
+) Với
Đặt Vì nên
Khi đó với có tổng số cách chia là
Suy ra số cách thỏa mãn điều kiện là
Điền đáp án: 185.

Số cách chọn ngẫu nhiên học sinh từ học sinh:
Gọi là biến cố: “ học sinh được chọn không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn”.
Giả sử xếp học sinh thành một hàng ngang, chọn em sao cho không có hai em nào đứng cạnh nhau cũng như chọn ra trong các “khoảng trống” tạo ra bởi em còn lại.
Mà học sinh tạo ra “khoảng trống” nên có cách chọn.
Mặt khác, nếu có hai em trong em được chọn đứng đầu hàng và cuối hàng thì khi xếp thành vòng tròn hai em này sẽ đứng cạnh nhau.
Khi đó, ta chọn ra trong các “khoảng trống” giữa em còn lại có cách chọn.
Vậy số phần tử thuận lợi cho biến cố :
Xác suất cần tìm:

Bước 1: Tính không gian mẫu
Phương trình với điều kiện
Đặt Vì nên
Phương trình trở thành
Suy ra số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình là
Bước 2: Tính số bộ nghiệm thỏa mãn
Gọi là biến cố “Bộ nghiệm được chọn thỏa mãn 2 điều kiện”.
Vì nên Kết hợp với điều kiện còn lại, suy ra là các số chẵn – Số bộ vi phạm (tức có ít nhất 2 số bằng nhau)
Đặt

Bước 2.1: Tính tổng số bộ nghiệm
Bằng cách đặt và đưa bài toán về dạng bài toán chia kẹo Euler 1, ta có số bộ nghiệm là
Bước 2.2: Tính các bộ vi phạm (trong 3 số có ít nhất 2 số bằng nhau)
Ba số bằng nhau có 1 bộ
Hai số bằng nhau: Giả sử khi đó
+) có bộ.
+) có bộ.
+) có bộ.
Suy ra số bộ vi phạm là
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 109.

Phương pháp: Sử dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng:
Cho với Số nghiệm nguyên không âm của phương trình trên là
Hướng dẫn giải
Bước 1: Chia 1 chiếc bút chì màu vàng cho A: có 1 cách (thỏa mãn điều kiện 1).
Bước 2: Chia 1 chiếc bút chì màu xanh cho B: có 1 cách (thỏa mãn điều kiện 2).
Bước 3: Chia số bút còn lại cho 3 bạn (5 bút chì vàng và 4 chiếc bút chì xanh)
Gợi ý: Số cách chia số bút còn lại thỏa mãn điều kiện cuối cùng = Tổng số cách chia – Số vi phạm (tức C không nhận được bút chì nào).
+) Tổng số cách chia
Chia 5 tùy ý bút vàng cho 3 người: có cách.
Chia 4 tùy ý bút xanh cho 3 người: có cách.
Suy ra tổng số cách chia là
+) Số cách vi phạm
Để C không nhận được bút chì nào thì ta chia số bút còn lại cho 2 bạn A và B.
Chia 5 tùy ý bút vàng cho A và B: có cách.
Chia 4 tùy ý bút xanh cho A và B: có cách.
Suy ra số cách vi phạm là
Vậy số cách chia số bút còn lại thỏa mãn là
Vậy có cách chia quà thỏa mãn các điều kiện.
Điền đáp án: 285.

Giả sử ta có 20 ô trống.
Khi bạn chọn 4 tấm thẻ (), để đảm bảo không có hai số nào liên tiếp, ta có thể tưởng tượng mỗi tấm thẻ được chọn sẽ "kéo theo" một ô trống ngay sau nó để làm khoảng cách an toàn (ngoại trừ tấm cuối cùng có thể không cần, nhưng cách bạn làm là trừ đi 3 vị trí trung gian).
Nhóm các bộ thẻ:
Bộ 1: Tấm thẻ và ô trống liền sau nó:
Bộ 2: Tấm thẻ và ô trống liền sau nó:
Bộ 3: Tấm thẻ và ô trống liền sau nó:
Bộ 4: Chỉ riêng tấm thẻ :
Tính toán số vị trí còn lại: Tổng cộng ta có 20 vị trí.
Bạn đã "khóa" 3 vị trí trống để làm vách ngăn giữa , , và .
Số vật thể (hoặc vị trí hiệu dụng) còn lại để ta chọn là: .
Kết luận:Việc chọn 4 vị trí không liên tiếp trong 20 vị trí tương đương với việc chọn 4 vị trí bất kỳ trong 17 vị trí đã được "co giãn" về mặt logic.

Nội dung kiến thức: Toán 11 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Lời giải chi tiết:
Trước hết, ta có số cách xếp 8 quyển sách thành một hàng ngang là 8! cách.
Tiếp đến, ta tính với mỗi hàng 8 quyển sách thì số cách xếp số sách đó vào 4 ngăn là bao nhiêu.
Nhận thấy giữa 8 quyển sách xếp thành hàng ngang có 7 khoảng trống ở giữa chúng. Và để chia sách thành 4 ngăn thì ta cần 3 vách ngăn đặt vào các vị trí khoảng trống ở giữa các sách. Và vì mỗi ngăn phải có ít nhất một quyển, nên ta không được đặt vách ngăn ở hai đầu ngoài cùng và cũng không được đặt 2 vách ngăn vào cùng một chỗ. Do đó số cách xếp 8 cuốn sách vào 4 ngăn trở thành số cách đặt 3 vách ngăn vào 7 khoảng trống nên ta có cách.
Suy ra có cách sắp xếp khác nhau của bạn An.
Vậy
Điền đáp án: 2352.

Đáp số: 67,2
Số phần tử của không gian mẫu:
Trường hợp 1: Giữa B, C không có bạn nữ nào.
Ta gọi lần lượt là số bạn nữ xếp như sau
với; do vậy sẽ có cách
Trường hợp 2: Giữa B,C có 1 bạn nữ .
Ta gọi lần lượt là số bạn nữ xếp như sau
với ; do vậy sẽ có cách
Vậy có
Vậy xác suất là Do vậy

Tổng số cách thực hiện ngẫu nhiên 2 nhát cắt là
Gọi là biến cố “2 nhát cắt chia thanh gỗ thành 3 đoạn gỗ có thể ghép thành 3 cạnh của một tam giác”.
Gọi là độ dài của 3 thanh gỗ.
Vì là độ dài ba cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có
Ta có
Vì là số nguyên dương nên
Đặt Khi đó phương trình trở thành
Nhận xét: Số cách cắt thỏa mãn là số nguyên nguyên dương của phương trình
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler, ta có

Điền đáp án: 0,31.

Điền đáp án: 31.
Gọi lần lượt là số điểm của kỳ thi 1, 2, 3, 4.
Ta có:
Đặt

TH1:
Số bộ thỏa mãn phương trình trên là
Chọn 1 số lớn hơn bằng 4 có tất cả 4 cách
Ta giả sử
Từ (1)
+) Số bộ thỏa mãn là
+) Số bộ thỏa mãn là
+) Số bộ thỏa mãn là
Số bộ thỏa mãn thỏa mãn trường hợp này là
TH2:
Xét bộ : Có hoán vị.
Xét bộ : Có hoán vị.
Số bộ thỏa mãn thỏa mãn trường hợp này là 10.
TH3:
Xét bộ : Có hoán vị.
TH4:
Có 1 bộ số duy nhất thỏa mãn là
Số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là

Điền đáp án: 0,07.
Mỗi con xúc sắc có 6 khả năng nên số trường hợp của không gian mẫu là
Gọi lần lượt là số chấm trên con xúc sắc 1, 2, 3, 4, 5.

Ta có:
Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số bộ thỏa mãn số chấm trên mỗi con xúc sắc lớn hơn bằng 1 là
TH1: 1 trong 5 số bằng 7
Chọn 1 trong 5 số ta có 5 cách, ta giả sử số được chọn là
Số bộ thỏa mãn là
Số cách trong trường hợp này là
TH2: 1 trong 5 số bằng 8
Chọn 1 trong 5 số ta có 5 cách, ta giả sử số được chọn là
Số bộ thỏa mãn là
Số cách trong trường hợp này là
TH3: 1 trong 5 số bằng 9
Chọn 1 trong 5 số ta có 5 cách, ta giả sử số được chọn là
Số bộ thỏa mãn là
Số cách trong trường hợp này là
TH4: 1 trong 5 số bằng 10
Chọn 1 trong 5 số ta có 5 cách, ta giả sử số được chọn là
Số bộ thỏa mãn là
Số cách trong trường hợp này là
Số bộ thỏa mãn tổng số chấm trên 5 con xúc sắc bằng 14 là
Xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 10 116.
Gọi lần lượt là số vở của 6 bạn học sinh Việt, Nam, Quyết, Tâm, Chiến, Thắng
Ta có: (1)
Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách tặng là
Chọn 1 bạn có số vở lớn hơn hoặc bằng 10 có tất cả 6 cách
Ta giả sử
Từ (1)
+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
Số cách tặng thỏa mãn yêu cầu đề bài là

Bước 1: Chia 6 viên bi Đen vào 4 túi
Theo đề bài, túi A phải có ít nhất 4 viên Đen. Vậy ta có các phương án chia bi Đen như sau:
• Trường hợp 1: Túi A có 6 viên Đen Có 1 cách chia là
• Trường hợp 2: Túi A có 5 viên Đen, 1 viên còn lại ở B, C hoặc D Có 3 cách chọn túi giữ 1 viên Đen nên ta có 3 cách chia thỏa mãn.
• Trường hợp 3: Túi A có 4 viên Đen: o 2 viên còn lại dồn hết vào 1 túi (B, C hoặc D) Có 3 cách.o 2 viên còn lại chia vào 2 túi khác nhau Có 3 cách chọn túi trống
Bước 2: Chia 6 viên bi Trắng (Thỏa mãn điều kiện so sánh)
• Điều kiện 1: Túi A phải có số bi đen nhiều hơn bi trắng.
• Điều kiện 2: Có thêm đúng 1 túi nữa (gọi là túi X) có bi đen nhiều hơn bi trắng.
• Điều kiện 3: Hai túi còn lại (Y, Z) phải có bi trắng nhiều hơn hoặc bằng bi đen.
Ta xét từng trường hợp bi Đen ở Bước 1:
TH1: Nếu bi Đen là
Các túi B, C, D chưa có bi Đen nào, nên bắt buộc phải có ít nhất 1 bi Trắng để túi không trống. Khi đó ở B, C, D thì bi trắng luôn nhiều hơn bi đen.
Do đó không có túi nào khác ngoài A có Đ > T. Vậy TH1 không thỏa mãn.
TH2: Nếu bi Đen là
Có 3 cách chọn túi để cho 1 viên bi đen. Giả sử 1 viên bi Đen còn lại ở B.
• Túi A (5Đ): Để Đ > T thì túi A chỉ được lấy tối đa 4 bi Trắng
• Túi B (1Đ): Phải là túi thứ hai có Đ > T B phải có 0 bi Trắng
• Túi C, D (0Đ): Để không trống và T Đ, mỗi túi phải có ít nhất 1 bi Trắng
• Số bi Trắng còn lại: viên. Chia 4 viên bi giống nhau này vào 3 túi A, C, D sao cho số lượng bi ở mỗi túi có cách.
Suy ra TH2 có cách thỏa mãn.
TH3: Nếu bi Đen là
Có 3 cách chọn túi để cho 2 viên bi đen. Giả sử 2 viên bi Đen còn lại ở B.
Túi B phải có Đ>T có thể là 0 hoặc 1.
Túi C, D phải có ít nhất 1 bi Trắng và túi A có
Nếu : Sau khi chia cho 2 túi C, D mỗi túi 1 viên bi trắng, ta còn 4 viên Trắng chia cho A, C, D (sao cho và cách (trừ đi trường hợp
Nếu : Còn 3 viên Trắng chia cho A, C, D cách.
Vậy TH3 có cách.
TH4: Nếu bi Đen là
Có 3 cách chọn túi để đặt mỗi túi 1 viên bi đen. Giả sử Đen ở B=1, C=1, D=0.
Túi thứ hai có Đ > T có thể là B hoặc C.
Nếu chọn B: Túi C và D phải có ít nhất 1 bi Trắng
Còn 4 viên Trắng chia cho A, C, D cách.
Nếu chọn C: Tương tự có 14 cách.
Vậy TH4 có cách.
Tổng số cách xếp bi là

Nhận xét: Số tiền thưởng lớn nhất cần chuẩn bị bằng (đồng) nhân với số bộ thỏa mãn với
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler, số bộ (có thứ tự) thỏa mãn phương trình là
Tuy nhiên trong 4851 bộ trên có chứa các bộ số giống nhau. Do đó ta cần loại bỏ các bộ vi phạm này.
• Ba số bằng nhau: (không có bộ nghiệm nguyên thỏa mãn).
• Hai số bằng nhau: Giả sử Khi đó
Vì nên Với mỗi giá trị sẽ có 1 giá trị thỏa mãn tương ứng. Do đó có 49 bộ loại này. Mỗi bộ hoán vị được lần (ví dụ:
Mà mỗi nhóm 3 số khác nhau cũng sẽ xuất hiện lần trong 4851 bộ trên. Do đó số bộ trúng thưởng thực tế là
Mỗi nhóm được thưởng: đồng.
Vậy tổng tiền thưởng lớn nhất cần chuẩn bị là (đồng) hay xấp xỉ (triệu đồng)
Điền đáp án: 118.

Vì các sách cùng lĩnh vực không phân biệt nhau, nên ta gọi lần lượt là số sách chọn ở các lĩnh vực: Triết học, KHXH, KHTN, Văn học và Lịch sử.
Ta có phương trình: Điều kiện:
Khi đó, số cách chọn thỏa mãn là số nghiệm nguyên dương của phương trình và thỏa mãn điều kiện
Trường hợp 1: và
Phương trình trở thành với
Đặt Vì

Áp dụng công thức chia kẹo Euler mở rộng, tổng số nghiệm nguyên không âm của phương trình (với điều kiện là
Tiếp đến, ta tính số nghiệm nguyên không âm của phương trình với điều kiện hay
Vì nên chỉ có 1 trong 3 ẩn vi phạm.
Chọn một ẩn vi phạm: có 3 cách. Giả sử
Đặt
Khi đó phương trình trở thành Số nghiệm vi phạm là
Suy ra số nghiệm thỏa mãn điều kiện là cách.
Trường hợp 2: Một trong hai ( hoặc ) bằng 0, lĩnh vực còn lại chọn ít nhất 4 quyển
Giả sử Đặt
Phương trình ban đầu trở thành
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình trên là
Loại các trường hợp (vì nên chỉ có duy nhất 1 biến vi phạm): cách.
Vì có 2 cách chọn lĩnh vực bằng 0 ( hoặc ), tổng cách là cách.
Trường hợp 3: Cả và
Đặt
Phương trình ban đầu trở thành
Vì điều kiện () luôn được thỏa mãn do đó không có trường hợp vi phạm cần loại trừ.
Số cách chọn là cách.
Vậy tổng số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Điền đáp án: 396.