Giai đoạn 1: Sắp xếp 6 môn học thành 1 hàng
Có cách xếp.
Giai đoạn 2: Dùng vách ngăn để phân chia
Sau khi có hàng ngang môn học, ta cần chia thành đoạn (mỗi đoạn tương ứng với 1 buổi học) với mỗi đoạn có ít nhất 1 môn học.
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler loại 1, số cách đặt vách ngăn là cách.
Suy ra tổng số cách lập kế hoạch ôn tập là
Điền đáp án: 7200.

Gọi thỏa mãn
Khi đó áp dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng với và số bộ số thỏa mãn là
Điền đáp án: 1771.

Bài toán tương đương với tìm các nghiệm của phương trình với
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng, số nghiệm thỏa mãn là
Điền đáp án: 1820.

Bước 1: Xếp 6 kí hiệu khác nhau thành 1 hàng: có cách.
Khi đó 6 kí hiệu này có 5 vị trí ở giữa để xếp 18 khoảng trống vào.
Minh họa: X_X_X_X_X_X (với _ là vị trí xếp khoảng trống).
Bước 2: Xếp 18 khoảng trống (giống nhau) vào 5 khe
Gọi lần lượt là số khoảng trống ở các khe (tính từ trái qua phải).
Ta có với điều kiện “có ít nhất 2 khoảng trống giữa mỗi cặp ký hiệu kế tiếp nhau” tức
Đặt
Khi đó
với
Suy ra cách xếp 18 khoảng trống (giống nhau) là
Vậy số cách xếp thỏa mãn là

Điền đáp án: 3564.

Điền đáp án: 505.
Gọi lần lượt là số món quà loại
Ta có:
Đặt
(1)
Ta sử dụng phần bù Xét , đặt
(2)
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số nghiệm không âm của phương trình (2) là
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số nghiệm không âm của phương trình (1) là Vậy có tất cả cách chia

Bước 1: Xếp 4 hạt đỏ lên vòng tròn
Số cách xếp 4 hạt phân biệt lên vòng tròn là cách.
Khi đó 4 hạt đỏ tạo ra 4 khe trống.
Bước 2: Chia 16 hạt xanh vào 4 khe
Gọi là số lượng hạt xanh ở 4 khe giữa các hạt đỏ.
Ta có với
Đặt Với
Khi đó phương trình trở thành
Suy ra số cách chọn bộ số là cách.
Vì 16 hạt xanh là khác biệt nên với mỗi bộ số ta có cách xếp chúng vào các vị trí.
Vậy

Điền đáp án: 2071.
Note: Phần nguyên của một số thực (kí hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá Ví dụ:

Số cách xếp 8 viên bi ngẫu nhiên (cách).
Để 8 viên bi xếp vào 4 khay (mỗi khay có ít nhất 1 viên bi), ta xem như trải 8 viên bi thành 1 hàng, ta tạo ra 3 vách ngăn để chia làm 4 phần.
Trong 8 viên bi liên tiếp có 7 vách ngăn, chọn 3 vách ngăn có (cách).
Do đó có tất cả (cách)

Giả sử dãy số cần tìm là Với điều kiện
Gợi ý: Số dãy thỏa mãn = Tổng số dãy thỏa mãn mà – Số dãy thỏa mãn nhưng vi phạm điều kiện
Bước 1: Tính tổng số dãy mà
với
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng, ta có số dãy thỏa mãn là
Bước 2: Tính số dãy vi phạm
Vì nên để vi phạm điều kiện thì sẽ có 1 số bằng 10 (các số còn lại bằng 0): Có 6 dãy vi phạm.
Suy ra số dãy thỏa mãn bằng
Điền đáp án: 2997.

Vì nên khi và chỉ khi hoặc
TH1:
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng, ta có
với có số bộ nghiệm thỏa mãn là
với có số bộ nghiệm thỏa mãn là
Suy ra số bộ thỏa mãn là
TH2:
Tương tự TH1, ta có 1456 bộ thỏa mãn.
Vậy số bộ thỏa mãn là
Điền đáp án: 2912.

Bước 1: Chia 4 viên kẹo (giống hệt nhau)
Chọn ra 2 bạn trong 4 bạn: có cách.
Gọi là số kẹo 2 bạn nhận được Áp dụng bài toán chia kẹo Euler 1, số cách chia kẹo là
Số cách chia 4 viên kẹo cho đúng 2 bạn học sinh là
Bước 2: Chia 6 bông hoa (khác nhau)
Tổng số cách chia 6 bông hoa cho 2 bạn còn lại là (vì mỗi bông hoa có 2 lựa chọn để tặng).
Số cách vi phạm điều kiện “Mỗi học sinh đều phải nhận được ít nhất một vật phẩm”: có 2 cách (1 trong 2 bạn nhận hết 6 bông hoa).
Số cách chia 6 bông hoa thỏa mãn là
Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 1116.

Điền đáp án: 44.
Gọi lần lượt là số viên kim cương có trên nhẫn 1, 2, 3, 4.
Ta có:
Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách xếp sao cho mỗi chiếc nhẫn có ít nhất 1 viên là là
TH1: 1 trong 4 nhẫn chứa 5 viên
Chọn 1 trong 4 nhẫn có 4 cách, ta giả sử chiếc nhẫn được chọn là nhẫn 1.

Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách xếp sao cho mỗi chiếc nhẫn có ít nhất 1 viên là là
Số cách trong trường hợp này là
TH2: 1 trong 4 nhẫn chứa 6 viên
Chọn 1 trong 4 nhẫn có 4 cách, ta giả sử chiếc nhẫn được chọn là nhẫn 1.

Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách xếp sao cho mỗi chiếc nhẫn có ít nhất 1 viên là là
Số cách trong trường hợp này là
TH3: 1 trong 4 nhẫn chứa 7 viên
Chọn 1 trong 4 nhẫn có 4 cách, ta giả sử chiếc nhẫn được chọn là nhẫn 1.

Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách xếp sao cho mỗi chiếc nhẫn có ít nhất 1 viên là
Số cách trong trường hợp này là 3.
Số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là

Gọi lần lượt là số bút xanh An, Bình, Chi nhận được.
Gọi lần lượt là số bút đỏ An, Bình, Chi nhận được.
Điều kiện:
Ta chia bài toán thành các trường hợp theo trường hợp chia 4 bút xanh cho 3 bạn:
TH1:
Số cách chia bút xanh (hoán vị lặp) là cách.
Tiếp đến, ta chia 6 bút đỏ (giống hệt nhau). Giả sử Khi đó
Phương trình với
Đặt Phương trình trở thành
Suy ra số cách chia 6 bút đỏ (giống hệt nhau) là
Số cách chia thỏa mãn ở TH1 là
TH2:
Số cách chia bút xanh là cách.
Tiếp đến, ta chia 6 bút đỏ (giống hệt nhau). Giả sử Khi đó
Phương trình với
Đặt Phương trình trở thành
Suy ra số cách chia 6 bút đỏ (giống hệt nhau) là
Số cách chia thỏa mãn ở TH2 là
TH3:
Số cách chia bút xanh là cách.
Tiếp đến, ta chia 6 bút đỏ (giống hệt nhau). Giả sử Khi đó
Phương trình với
Đặt Phương trình trở thành
Suy ra số cách chia 6 bút đỏ (giống hệt nhau) là
Số cách chia thỏa mãn ở TH3 là
TH4:
Số cách chia bút xanh là cách.
Tiếp đến, ta chia 6 bút đỏ (giống hệt nhau). Giả sử Khi đó
Phương trình với
Đặt Phương trình trở thành
Suy ra số cách chia 6 bút đỏ (giống hệt nhau) là
Số cách chia thỏa mãn ở TH4 là
Vậy tổng số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 168.

Điền đáp án: 5040.
Gọi lần lượt là số hàng hóa trong khu
Ta có:
Đặt
(1)
Hai cách được xem là khác nếu khác số lượng ở một khu vực hoặc khác thứ tự sắp xếp trong khu vực đó.
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) là
Hoán vị của 9 loại hàng hóa là

Gọi 5 giỏ này là A, B, C, D, E.
Gọi lần lượt là số bóng đỏ ở 5 giỏ A, B, C, D, E.
Gọi lần lượt là số bóng xanh ở 5 giỏ A, B, C, D, E.
Điều kiện:
Bước 1: Chia 5 bóng đỏ
Vì không được để từ 2 quả bóng đỏ trở lên vào cùng một giỏ nên chia 4 quả bóng màu đỏ (giống hệt nhau) vào 5 giỏ có 1 bộ thỏa mãn là
Số cách xếp là cách. Vậy có 5 cách chia bóng đỏ.
Bước 2: Chia 6 bóng xanh
Xét bộ
Phương trình với
Đặt
Phương trình trở thành với
Ta có các bộ thỏa mãn sau:
TH1:
Số bộ thỏa mãn (hoán vị lặp) là
TH2: Có bộ thỏa mãn.
TH3: có 1 bộ thỏa mãn.
Vậy có cách chia bóng xanh.
Số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 255.

Bước 1: Thiết kế chiều cao
Từ giả thiết “Có 2 bậc ….” ta có Tức bậc thang này có 6 bậc (2 bậc cao 50 cm và 4 bậc cao 25 cm).
Chọn 2 bậc cao 50 cm: có cách.
Chọn 4 bậc cao 50 cm: có cách.
Số cách thiết kế bậc thang (thỏa mãn điều kiện chiều cao) là
Bước 2: Thiết kế chiều rộng
Gọi lần lượt là chiều rộng của 6 bậc thang.
Ta có
Vì chiều rộng của mỗi bậc là bội số của 50 cm nên đặt với
Khi đó phương trình trở thành
Suy ra số cách thiết kế bậc thang (thỏa mãn chiều rộng) là
Vậy số cách thiết kế thỏa mãn là
Điền đáp án: 1890.

Nhận thấy đều là các số chẵn nên để kết quả là một số chẵn thì cũng là một số chẵn. Đặt
Khi đó phương trình trở thành (điều kiện:
Với mỗi giá trị của có số bộ nghiệm thỏa mãn là
Mà nên tổng số cách là
Điền đáp án: 161.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Phương pháp: Sử dụng bài toán chia kẹo Euler.
Vì các cô gái xếp theo đúng thứ tự 1, 2, 3, 4, 5 nên các cô gái sẽ ngồi thành 1 hàng (với các ô trống là các vách ngăn).
Gọi là số chàng trai ngồi lần lượt tại các vách ngăn (từ trái qua phải) tức ta được hàng
Vì có tất cả 12 chàng trai nên
Từ điều kiện 3: giữa có ít nhất 3 chàng trai ta có
Từ điều kiện 4: giữa có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất là 4 chàng trai nên ta có
Đến đây, ta sẽ đưa bài toán này về bài toán chia kẹo Euler để giải quyết (lưu ý
Ta có (với có điều kiện phức tạp hơn ta sẽ xử lý sau)
(Note: Ở chỗ này trong video thầy có viết nhầm và chỗ này đúng phải là và các em nhé!)
Khi đó, ta đặt thay vào phương trình ta được
Đến đây, ta thấy và (tức khi đó với mỗi giá trị cụ thể của thì bài toán là một bài toán chia kẹo Euler. TH1:
Khi đó
Suy ra số nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình bằng nghiệm (tương ứng với bài toán chia 13 cái kẹo cho 5 người, mỗi người có ít nhất một chiếc kẹo).
TH2:
Khi đó
Suy ra số nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình là
TH3:
Khi đó
Suy ra số nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình là
TH4:
Khi đó
Suy ra số nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình là
Số nghiệm của phương trình bằng với số nghiệm của phương trình (vì 1 giá trị sẽ tương ứng với 1 giá trị và bằng
Vậy ta có tất cả 1161 cách chọn ra thỏa mãn các điều kiện.
Vì 12 chàng trai là khác nhau nên số cách xếp thỏa mãn điều kiện là (vì các cô gái ngồi cố định theo thứ tự 1, 2, 3, 4, 5 nên số cách xếp các cô gái là 1).
Suy ra
Điền đáp án: 2322.

Số cách xếp 8 quyển sách giống nhau vào 10 ngăn là số nghiệm của phương trình:
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng, số cách chia 8 quyển sách giống nhau vào 10 ngăn là
Gọi lần lượt là số ngăn chứa 2 quyển, 1 quyển và 0 quyển sách.
Ta có hệ
Trường hợp 1:
Khi đó: Có 4 ngăn 0, 4 ngăn 1 và 2 ngăn 2 (các ngăn có cùng số lượng sách là giống hệt nhau).
Điều kiện: ngăn kề ngăn 2 phải là ngăn 0 (tức 020 là thỏa mãn).
Xếp 4 ngăn 0 thành hàng, tạo ra 5 khoảng trống: _0_0_0_0_.
Chọn 2 trong 5 khoảng trống để đặt 2 ngăn 2: có cách.
4 ngăn 1 (giống nhau) phải được xếp vào khoảng trống còn lại.
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng, số cách xếp 4 ngăn 1 vào 3 khoảng trống này là cách.
Số cách ở TH1:
Trường hợp 2:
Khi đó: Có 3 ngăn 0, 6 ngăn 1 và 1 ngăn 2.
Xếp 3 ngăn 0 thành hàng, tạo ra 4 khoảng trống: _0_0_0_.
Chọn 1 trong 4 khoảng trống cho ngăn 2: có cách.
6 ngăn 1 còn lại xếp vào 3 khoảng trống còn lại: cách.
Số cách ở TH2:
Suy ra tổng số cách xếp thỏa mãn là

Vậy
Điền đáp án: 131.