Câu 1 [806626]: Cho lục giác 
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác trên.
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác trên. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Mỗi vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác
là một chỉnh hợp chập 
của 
phần tử. Vậy số vectơ thỏa yêu cầu bài toán là 
vectơ.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
là một chỉnh hợp chập của phần tử. Vậy số vectơ thỏa yêu cầu bài toán là vectơ.Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 2 [805460]: Trong mặt phẳng cho tập hợp 
gồm 
điểm phân biệt trong đó không có 
điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 
điểm đều thuộc 
là
gồm điểm phân biệt trong đó không có điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có điểm đều thuộc là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Với 
điểm phân biệt không thằng hàng, tạo thành duy nhất 
tam giác.
Vậy, với
điểm phân biệt trong đó không có 
điểm nào thẳng hàng, số tam giác tạo thành là 
. Đáp án: C
điểm phân biệt không thằng hàng, tạo thành duy nhất tam giác. Vậy, với
điểm phân biệt trong đó không có điểm nào thẳng hàng, số tam giác tạo thành là . Đáp án: C
Câu 3 [806611]: (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 
chữ số khác nhau?
chữ số khác nhau? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Gọi số tự nhiên chẵn cần tìm có dạng 
, 
.
Xét các số có dạng
có tất cả 
số thỏa yêu cầu bài toán.
Xét các số dạng
, 
có tất cả: 
số thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm
chữ số khác nhau là: 
số. Đáp án: B
, .Xét các số có dạng
có tất cả số thỏa yêu cầu bài toán. Xét các số dạng
, có tất cả: số thỏa yêu cầu bài toán. Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm
chữ số khác nhau là: số. Đáp án: B
Câu 4 [805427]: (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Một lớp học có 
học sinh gồm 
nam, 
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 
học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 
học sinh là nữ.
học sinh gồm nam, nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất học sinh là nữ. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn B
Số cách chọn ra
học sinh từ 
học sinh: 
(cách).
Số cách chọn ra
học sinh nam là: 
(cách).
Số cách chọn một nhóm
học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 
học sinh là nữ: 
(cách). Đáp án: B
Số cách chọn ra
học sinh từ học sinh: (cách). Số cách chọn ra
học sinh nam là: (cách). Số cách chọn một nhóm
học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất học sinh là nữ: (cách). Đáp án: B
Câu 5 [805447]: Trong kho đèn trang trí đang còn 
bóng đèn loại I, 
bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 
bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II?
bóng đèn loại I, bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Có 3 trường hợp xảy ra:
TH1: Lấy được
bóng đèn loại I: có 
cách
TH2: Lấy được
bóng đèn loại I, 
bóng đèn loại II: có 
cách
TH3: Lấy được
bóng đèn loại I, 
bóng đèn loại II: có 
cách
Theo quy tắc cộng, có
cách Đáp án: A
TH1: Lấy được
bóng đèn loại I: có cáchTH2: Lấy được
bóng đèn loại I, bóng đèn loại II: có cáchTH3: Lấy được
bóng đèn loại I, bóng đèn loại II: có cáchTheo quy tắc cộng, có
cách Đáp án: A
Câu 6 [252597]: Khối 
có 
bạn nữ và 
bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 
học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy?
có bạn nữ và bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy?
Gợi ý: Dựa vào nguyên lý bao hàm và loại trừ.
Lớp đó có tổng cộng
(học sinh)
Có
cách lập một tỗ trồng cây gồm 3 học sinh bất kì.
Có
cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nữ.
Có
cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nam.
Có
cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ.
Lớp đó có tổng cộng
(học sinh)Có
cách lập một tỗ trồng cây gồm 3 học sinh bất kì.Có
cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nữ.Có
cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nam.Có
cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ.
Câu 7 [1127285]: Có 7 món quà khác nhau cần được phân chia vào 3 hộp phân biệt 
Mỗi hộp không được chứa quá 4 món quà. Biết rằng hộp 
phải chứa đúng 2 món quà. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia các món quà vào ba hộp sao cho thỏa mãn các điều kiện trên?
Mỗi hộp không được chứa quá 4 món quà. Biết rằng hộp phải chứa đúng 2 món quà. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia các món quà vào ba hộp sao cho thỏa mãn các điều kiện trên?
Bước 1: Có 
cách chọn 2 quà cho vào hộp A.
Bước 2: Tính số cách 5 quà còn lại vào 2 hộp B, C
Theo nguyên lí bao hàm và loại trừ:
Số cách chia 5 quà còn lại vào 2 hộp B, C thỏa mãn điều kiện = Số cách chia 5 quà vào 2 hộp B, C – Vi phạm (tức các trường hợp vượt quá 4 món)
Mỗi món quà trong số 5 món đều có 2 lựa chọn (vào hộp B hoặc vào hộp C) (đây là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 2 phần tử) nên có
cách.
Trong 32 cách trên có chứa 2 trường hợp vi phạm (tức hộp chứa quá 4 món quà):
Vì tổng cộng có 5 món nên một hộp vi phạm khi nó chứa 5 món (vượt quá 4).
TH1: Hộp B chứa cả 5 món
Có 
cách (tất cả vào B).
TH2: Hộp C chứa cả 5 món
Có 
cách (tất cả vào C).
Vậy có tất cả 2 TH vi phạm.
Suy ra số cách chia 5 quà còn lại vào 2 hộp B, C thỏa mãn điều kiện là
cách.
Sử dụng quy tắc nhân, suy ra số cách phân chia quà vào 3 hộp thỏa mãn là
Điền đáp án: 630.
cách chọn 2 quà cho vào hộp A.Bước 2: Tính số cách 5 quà còn lại vào 2 hộp B, C
Theo nguyên lí bao hàm và loại trừ:
Số cách chia 5 quà còn lại vào 2 hộp B, C thỏa mãn điều kiện = Số cách chia 5 quà vào 2 hộp B, C – Vi phạm (tức các trường hợp vượt quá 4 món)
Mỗi món quà trong số 5 món đều có 2 lựa chọn (vào hộp B hoặc vào hộp C) (đây là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 2 phần tử) nên có
cách.Trong 32 cách trên có chứa 2 trường hợp vi phạm (tức hộp chứa quá 4 món quà):
Vì tổng cộng có 5 món nên một hộp vi phạm khi nó chứa 5 món (vượt quá 4).
TH1: Hộp B chứa cả 5 món
Có cách (tất cả vào B).TH2: Hộp C chứa cả 5 món
Có cách (tất cả vào C).Vậy có tất cả 2 TH vi phạm.
Suy ra số cách chia 5 quà còn lại vào 2 hộp B, C thỏa mãn điều kiện là
cách.Sử dụng quy tắc nhân, suy ra số cách phân chia quà vào 3 hộp thỏa mãn là
Điền đáp án: 630.
Câu 8 [1127286]: Có 6 quả bóng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và ba cái hộp A, B, C. Người ta muốn xếp tất cả bóng vào các hộp sao cho không có hộp nào có tổng các số ghi trên bóng từ 19 trở lên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp bóng? (nếu hộp trống thì coi tổng là 0).
Bước 1: Tính tổng số cách xếp (không điều kiện)
Mỗi quả bóng có 3 cách chọn hộp nên với 6 quả bóng, ta có
Bước 2: Tính số trường hợp vi phạm (Tức tổng 1 hộp
Vì tổng tất cả các số là 21 nên các tập hợp có tổng
chỉ có thể là:
Tổng bằng 21:
Có 3 cách (Chọn 1 trong 3 hộp để chứa cả 6 bóng).
Tổng bằng 20:
Chọn 1 hộp chứa 5 bóng này có 3 cách.
Quả bóng số 1 còn lại phải ở 1 trong 2 hộp kia nên có 2 cách.
Suy ra số cách xếp bóng ở TH này là
cách.
Tổng bằng 19:
Tương tự, ta có số cách xếp bóng ở TH này là
cách.
Áp dụng nguyên lí bao hàm và loại trừ, ta có
Số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán = Tổng số cách xếp - Vi phạm
Điền đáp án: 714.
Mỗi quả bóng có 3 cách chọn hộp nên với 6 quả bóng, ta có
Bước 2: Tính số trường hợp vi phạm (Tức tổng 1 hộp
Vì tổng tất cả các số là 21 nên các tập hợp có tổng
chỉ có thể là:
Tổng bằng 21:
Có 3 cách (Chọn 1 trong 3 hộp để chứa cả 6 bóng).
Tổng bằng 20:
Chọn 1 hộp chứa 5 bóng này có 3 cách.
Quả bóng số 1 còn lại phải ở 1 trong 2 hộp kia nên có 2 cách.
Suy ra số cách xếp bóng ở TH này là
cách.
Tổng bằng 19:
Tương tự, ta có số cách xếp bóng ở TH này là
cách.
Áp dụng nguyên lí bao hàm và loại trừ, ta có
Số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán = Tổng số cách xếp - Vi phạm
Điền đáp án: 714.
Câu 9 [1127287]: Có 5 người cùng bước vào một thang máy tại tầng 1. Họ sẽ bước ra tại bất kỳ tầng nào từ tầng 4 đến tầng 9. Tất cả những người còn lại trong thang máy buộc phải bước ra khi đến tầng 9. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để tất cả mọi người bước ra khỏi thang máy? (Biết rằng thang máy không dừng ở tầng 2 và tầng 3, và tất cả mọi người có thể cùng ra tại một tầng duy nhất).
Người thứ nhất có 6 lựa chọn tầng (từ tầng 4 đến tầng 9) để bước ra
Người thứ 2 có 6 lựa chọn tầng (từ tầng 4 đến tầng 9) để bước ra
...
Người thứ 5 có 6 lựa chọn tầng (từ tầng 4 đến tầng 9) để bước ra
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách thỏa mãn bài toán là
(cách).
Điền đáp án: 7776.
Người thứ 2 có 6 lựa chọn tầng (từ tầng 4 đến tầng 9) để bước ra
...
Người thứ 5 có 6 lựa chọn tầng (từ tầng 4 đến tầng 9) để bước ra
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách thỏa mãn bài toán là
(cách).Điền đáp án: 7776.
Câu 10 [219702]: Cho hai đường thẳng 
và 
song song với nhau. Trên đường thẳng 
có 5 điểm phân biệt và trên đường thẳng 
có 10 điểm phân biệt. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm nằm trên 2 đường thẳng 
và 
đã cho?
và song song với nhau. Trên đường thẳng có 5 điểm phân biệt và trên đường thẳng có 10 điểm phân biệt. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm nằm trên 2 đường thẳng và đã cho?
TH1: Chọn 2 đỉnh trên đường thẳng 
và 1 đỉnh trên đường thẳng 
có: 
(cách).
TH2: Chọn 2 đỉnh trên đường thẳng
và 1 đỉnh trên đường thẳng 
có: 
(cách).
Có 
tam giác có các đỉnh là các điểm nằm trên 2 đường thẳng 
và 
đã cho.
và 1 đỉnh trên đường thẳng có: (cách).TH2: Chọn 2 đỉnh trên đường thẳng
và 1 đỉnh trên đường thẳng có: (cách). Có tam giác có các đỉnh là các điểm nằm trên 2 đường thẳng và đã cho.
Câu 11 [1127288]: Bạn Tuấn muốn lập một mật khẩu gồm 5 chữ số. Để lập mật khẩu này, Tuấn chọn 2 chữ số khác nhau từ tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến 9. Mật khẩu phải chứa cả hai chữ số đã chọn (tức là không được phép chỉ dùng một chữ số duy nhất cho cả 5 vị trí). Hỏi Tuấn có bao nhiêu cách lập mật khẩu?
Bước 1: Chọn 2 chữ số khác nhau
Chọn 2 số từ tập hợp
(sử dụng Tổ hợp) ta có 
cách.
Bước 2: Lập mật khẩu 5 chữ số từ 2 số đã chọn (thỏa mãn mật khẩu chứa cả hai số đã chọn)
Chữ số thứ nhất có 2 cách chọn (1 trong 2 số đã chọn)
Chữ số thứ 2 có 2 cách chọn
...
Chữ số thứ 5 có 2 cách chọn
Suy ra có
mật khẩu được tạo thành từ 2 số.
Trường hợp vi phạm: tức mật khẩu chỉ gồm 1 chữ số duy nhất (toàn
hoặc toàn 
nên có 2 cách (là aaaaa và bbbbb).
Suy ra số cách lập mật khẩu hợp lệ cho mỗi cặp số là
cách.
Theo Quy tắc nhân, số mật khẩu Tuấn có thể tạo ra là
Điền đáp án: 1080.
Chọn 2 số từ tập hợp
(sử dụng Tổ hợp) ta có cách.Bước 2: Lập mật khẩu 5 chữ số từ 2 số đã chọn (thỏa mãn mật khẩu chứa cả hai số đã chọn)
Chữ số thứ nhất có 2 cách chọn (1 trong 2 số đã chọn)
Chữ số thứ 2 có 2 cách chọn
...
Chữ số thứ 5 có 2 cách chọn
Suy ra có
mật khẩu được tạo thành từ 2 số.Trường hợp vi phạm: tức mật khẩu chỉ gồm 1 chữ số duy nhất (toàn
hoặc toàn nên có 2 cách (là aaaaa và bbbbb).Suy ra số cách lập mật khẩu hợp lệ cho mỗi cặp số là
cách.Theo Quy tắc nhân, số mật khẩu Tuấn có thể tạo ra là
Điền đáp án: 1080.
Câu 12 [1127289]: Có 4 người cùng đi đến rạp chiếu phim và thấy có 5 bộ phim khác nhau đang được trình chiếu. Nếu mỗi người chỉ chọn xem duy nhất một bộ phim, thì có bao nhiêu cách để 4 người này lựa chọn phim?
Người thứ nhất có 5 cách chọn phim để xem (chọn 1 trong 5 bộ phim)
Người thứ 2 có 5 cách chọn phim để xem
...
Người thứ 4 có 5 cách chọn phim để xem
Áp dụng quy tắc nhân, suy ra số cách để 4 người này lựa chọn phim là
(cách).
Điền đáp án: 625.
Người thứ 2 có 5 cách chọn phim để xem
...
Người thứ 4 có 5 cách chọn phim để xem
Áp dụng quy tắc nhân, suy ra số cách để 4 người này lựa chọn phim là
(cách).Điền đáp án: 625.
Câu 13 [1127290]: Cho tập hợp 
Có bao nhiêu số nguyên trong trong tập hợp 
mà không có dạng 
hoặc 
, với 
Có bao nhiêu số nguyên trong trong tập hợp mà không có dạng hoặc , với
Gợi ý: Các số thỏa mãn = Tổng các phần tử tập 
- Vi phạm
Bước 1: Tập
có 10000 phần tử.
Bước 2: Tìm số lượng các số vi phạm (có dạng
hoặc 
• Dạng
Có 100 số.
• Dạng
Vì 
nên 
Có 21 số.
• Vừa có dạng
vừa có dạng 
(tức số có dạng 
Vì 
nên 
Có 4 số.
Áp dụng Nguyên lý bao hàm và loại trừ, suy ra số các số có dạng
hoặc 
là 
Suy ra số các phần tử của tập
không có dạng 
hoặc 
là 
Điền đáp án: 9883.
- Vi phạm
Bước 1: Tập
có 10000 phần tử.
Bước 2: Tìm số lượng các số vi phạm (có dạng
hoặc
• Dạng
Có 100 số.
• Dạng
Vì nên Có 21 số.
• Vừa có dạng
vừa có dạng (tức số có dạng Vì nên Có 4 số.
Áp dụng Nguyên lý bao hàm và loại trừ, suy ra số các số có dạng
hoặc là
Suy ra số các phần tử của tập
không có dạng hoặc là
Điền đáp án: 9883.
Câu 14 [1127291]: Nam có 4 món quà khác nhau muốn tặng cho 4 người bạn của mình. Nam có thể tặng nhiều quà cho một người hoặc có người không nhận được quà nào cả. Hỏi Nam có bao nhiêu cách tặng quà sao cho có ít nhất một người nhận được đúng 1 món quà?
Bước 1: Tổng số cách chia quà
Mỗi món trong 4 món quà có 4 lựa chọn người nhận nên có
cách chia quà.
Bước 2: Số cách vi phạm (Không ai nhận đúng 1 món)
Vì có tổng 4 món quà nên để không ai nhận đúng 1 món thì số quà mỗi người nhận chỉ có thể là các bộ
hoặc 
TH (4,0,0,0): Có 4 cách (Chọn 1 người trong 4 người để nhận hết quà).
TH (2,2,0,0): Có
cách chọn 2 người nhận quà.
Chọn 2 món quà cho người thứ nhất có
cách (2 món còn lại cho người thứ hai).
Số cách chia quà là
cách.
Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, suy ra số cách có ít nhất một người nhận đúng 1 món là
cách.
Điền đáp án: 216.
Mỗi món trong 4 món quà có 4 lựa chọn người nhận nên có
cách chia quà.
Bước 2: Số cách vi phạm (Không ai nhận đúng 1 món)
Vì có tổng 4 món quà nên để không ai nhận đúng 1 món thì số quà mỗi người nhận chỉ có thể là các bộ
hoặc
TH (4,0,0,0): Có 4 cách (Chọn 1 người trong 4 người để nhận hết quà).
TH (2,2,0,0): Có
cách chọn 2 người nhận quà.
Chọn 2 món quà cho người thứ nhất có
cách (2 món còn lại cho người thứ hai).
Số cách chia quà là
cách.
Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, suy ra số cách có ít nhất một người nhận đúng 1 món là
cách.
Điền đáp án: 216.
Câu 15 [237532]: Một nhóm học sinh giỏi các môn: Anh, Toán, Văn. Có 
em giỏi Văn, 
em giỏi Anh, 
em giỏi Toán, 
em giỏi Văn và Toán, 
em giỏi Toán và Anh, 
em giỏi Văn và Anh, 
em giỏi cả ba môn. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em học sinh?
em giỏi Văn, em giỏi Anh, em giỏi Toán, em giỏi Văn và Toán, em giỏi Toán và Anh, em giỏi Văn và Anh, em giỏi cả ba môn. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em học sinh?
Phương pháp: Áp dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ cho 3 tập hợp.
Gọi
lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Văn, Anh và Toán. Khi đó số học sinh của nhóm bằng 
Từ giả thiết, ta có
(giỏi cả Văn và Toán);
(giỏi cả Toán và Anh);
(giỏi cả Văn và Anh);
(giỏi cả ba môn).
Áp dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có số học sinh trong nhóm là
Điền đáp án: 30.
Gọi
lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Văn, Anh và Toán. Khi đó số học sinh của nhóm bằng
Từ giả thiết, ta có
(giỏi cả Văn và Toán);
(giỏi cả Toán và Anh);
(giỏi cả Văn và Anh);
(giỏi cả ba môn).
Áp dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có số học sinh trong nhóm là
Điền đáp án: 30.