Điền đáp án: 126.
Gọi số có 5 chữ số có dạng .
Ta có:
Đặt ()

Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số nghiệm của phương trình trên là

Đặt với
(điều kiện:
Suy ra với mỗi giá trị của số bộ thỏa mãn là
Vậy tổng các bộ thỏa mãn là
Điền đáp án: 2856.

Chọn 3 số từ tập sao cho
Đặt
Khi đó điều kiện trở thành:
Suy ra số cách chọn bộ tương ứng với số cách chọn 3 số bất kỳ từ tập và bằng
Điền đáp án: 560.

Bước 1: Chia kẹo cho học sinh (Ít nhất 1 viên/người)
Gọi là số kẹo của 4 học sinh.
Ta có (với là tổng số kẹo cho học sinh).
Điều kiện:
Bước 2: Chia kẹo vào đĩa (Ít nhất 1 viên/đĩa)
Gọi là số kẹo trong 4 chiếc đĩa.
Ta có (với là tổng số kẹo dư bỏ vào đĩa).
Điều kiện:
Vì toàn bộ 12 viên kẹo được chia hết cho cả học sinh và đĩa nên với
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler 1, ta có số cách chia kẹo thỏa mãn là
Điền đáp án: 330.

Số cách đỗ 8 xe ô tô là cách. Khi đó còn lại 4 ô trống để đỗ xe.
Gọi là biến cố “Ít nhất có 2 ô kề nhau còn trống”
là biến cố “Không có 2 ô nào kề nhau còn trống”
Bước 1: Xếp 8 ô tô thành 1 hàng ngang (không quan trọng thứ tự)
8 ô tô này tạo thành 9 khe trống.
Bước 2: Xếp 4 ô trống (để không có 2 ô trống nào kề nhau)
Chọn ra 4 trong 9 khoảng trống làm ô đất trống: có cách.
Suy ra
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 0,75.

Chọn 1 em nhận được số kẹo lẻ và 2 em còn lại nhận số kẹo chẵn: có cách.
Tiếp đến, ta tính số cách chia kẹo trong mỗi trường hợp.
Gọi số kẹo 2 đứa trẻ nhận được (số lẻ) là Vì mỗi đứa trẻ nhận được ít nhất một viên kẹo nên
Gọi số kẹo đứa trẻ còn lại nhận được (số chẵn): với
Vì có tất cả 20 viên kẹo nên
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler 1, với mỗi trường hợp, số cách chia kẹo thỏa mãn là
Vậy số cách chia kẹo thỏa mãn là
Điền đáp án: 135.

Bước 1: Chia 1 chiếc bút vàng cho 3 bạn: có 3 cách.
Vì có ít nhất một bạn nhận được đầy đủ 3 màu nên ta chia cho bạn được nhận chiếc bút vàng thêm 1 bút xanh và 1 bút đỏ.
Khi đó còn lại 3 chiếc bút đỏ và 1 chiếc bút xanh để chia cho 3 bạn A, B, C.
Bước 2: Chia 1 chiếc bút xanh còn lại: có 3 cách
Khi đó còn lại 3 chiếc bút đỏ để chia cho 3 bạn.
Bước 3: Chia 3 chiếc bút đỏ còn lại
Gọi lần lượt là số bút A, B, C nhận được.
Ta có với
Suy ra số cách chia là
Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 90.

Bài toán: Tìm số nghiệm của phương trình với
TH1:
Phương trình trở thành
(điều kiện:
Với mỗi giá trị thì số bộ nghiệm của phương trình là
Vậy số bộ nghiệm của phương trình là
TH2:
Phương trình trở thành
(điều kiện:
Với mỗi giá trị thì số bộ nghiệm của phương trình là
Vậy số bộ nghiệm của phương trình là
TH3:
Phương trình trở thành
Vậy có 1 bộ thỏa mãn.
Kết hợp 3 trường hợp trên, suy ra

Điền đáp án: 2160.

Số kết quả khi gieo xúc xắc 4 lần là
Gọi kết quả của 4 lần gieo lần lượt là
Điều kiện bài toán: Mỗi lần gieo trong 3 lần cuối đều lớn hơn hoặc bằng lần trước đó nên ta có
Đặt khi đó
Suy ra số kết quả gieo thỏa mãn bằng số bộ nghiệm của phương trình và bằng
Vậy xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 5233.

Gọi lần lượt là số tên được 10 điểm, 9 điểm và 8 điểm.
Ta có và số điểm đạt được là (điểm).
Tổng điểm lớn hơn hoặc bằng 51
Số bộ thỏa mãn = Tổng số trường hợp – Số vi phạm
+) Tính tổng số trường hợp: tức thỏa mãn
Có số bộ thỏa mãn là
+) Tính số vi phạm: tức thỏa mãn
TH1:

Với mỗi giá trị của có tương ứng 1 giá trị nên TH1 có 3 bộ.
TH2:

Vậy TH2 có 1 bộ.
Vậy có tất cả bộ vi phạm.
Suy ra số bộ thỏa mãn là
Điền đáp án: 24.

Gọi là biến cố: "Bộ nghiệm được chọn thỏa mãn hoặc ".
Suy ra : "Bộ nghiệm được chọn thỏa mãn và ".
Xác suất cần tính là
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình với là
Bước 2: Tính
Đặt
Phương trình ban đầu trở thành
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình là
Suy ra xác suất cần tính là

Điền đáp án: 1037.

Xếp 3 cô gái A, B, C thành một hàng sao cho B đứng giữa: có 2 cách.
Chọn và xếp 4 bạn trai đứng giữa A và B: có cách.
Khi đó giữa 3 bạn nữ A, B, C còn lại 3 khe trống để xếp 5 bạn nam còn lại.
Minh họa: _AxxxxB_C_ (với xxxx là 4 bạn trai giữa A và B).
Gọi lần lượt là số bạn nam đứng ở 3 khe trống. Ta có với
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng, số cách chia 5 bạn nam (giống nhau) vào 3 khe trống là
Vì 5 bạn nam là khác nhau nên số cách xếp 5 bạn nam vào 3 khe trống là
Vậy số cách xếp thỏa mãn là

Điền đáp án: 6048.

Bước 1: Tính tổng số cách xếp xe vào bãi (thỏa mãn điều kiện: các xe cùng loại phải đỗ cạnh nhau (liên tiếp))
Coi 2 chiếc loại P thành một nhóm P, 4 chiếc loại Q thành một nhóm Q, 6 chiếc loại R thành một nhóm R (tổng cộng chiếm 12 chỗ).
Khi đó ta cần xếp 6 phần tử gồm P, Q, R và 3 ô trống còn lại: có cách. (lưu ý: Vì các xe cùng loại không phân biệt nên ta không hoán vị nội bộ).
Bước 2: Tính số cách xếp thỏa mãn cả 2 điều kiện
Gợi ý: Số cách xếp thỏa mãn = 120 – Số cách xếp vi phạm điều kiện “các xe loại P phải được đỗ trong cùng 1 khu vực”.
Đánh số 15 chỗ xếp chia theo từng khu vực A, B, C, D, E:
Để 2 chiếc loại P không đỗ cùng 1 khu vực, ta có các trường hợp sau:
TH1: 2 chiếc xe P ở vị trí 3-4

Vị trí 1-2 phải là 2 chỗ trống.
Khi đó ta phải xếp 3 phần tử gồm: nhóm Q, nhóm R và 1 chỗ trống: có cách.
TH1 có 6 cách xếp vi phạm.
TH2: 2 chiếc xe P ở vị trí 6-7

Khi đó nhóm Q (4 xe) cùng với 1 chỗ trống phải xếp ở 5 vị trí trống 1-2-3-4-5 và nhóm R (6 xe) cùng với 2 chỗ trống phải xếp ở 8 vị trí trống còn lại.
Xếp nhóm Q và 1 chỗ trống: có 2 cách.
Xếp nhóm R và 2 chỗ trống có cách.
TH2 có cách vi phạm.
TH3: 2 chiếc xe P ở vị trí 9-10
Tương tự như TH2, có 6 cách vi phạm.
TH4: 2 chiếc xe P ở vị trí 3-4
Tương tự như TH1, ta có 6 cách vi phạm.
Kết hợp 4 trường hợp trên, suy ra số vi phạm là
Vậy số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 96.

là số lượng các số tăng có ít hơn 10 chữ số nên và
Đặt lần lượt khoảng cách giữa và 1; và

Vì với mỗi giá trị tương ứng với 1 giá trị nên số các số thỏa mãn bằng với số nghiệm của phương trình Với mỗi giá trị thì số nghiệm thỏa mãn là
Vậy tổng số thỏa mãn là

Điền đáp án: 4862.

Bước 1: Chia 7 cây bút chì
Gọi số bút chì của 3 học sinh nữ là và 2 học sinh nam là
Theo đề bài, ta có:
(với vì mỗi học sinh nữ nhận ít nhất 1 bút chì).
Vì có thể có học sinh nam không nhận được bút chì nào nên
Tổng số bút chì là
Nhận xét: Số cách chia bút chì thỏa mãn bằng số nghiệm nguyên dương của phương trình
TH1:
Phương trình trở thành
Số cách chia (theo công thức Euler) là cách.
TH2:

Số cách chia là cách.
TH3: Nếu thì (Loại).
Tổng số cách chia bút chì là cách.
Bước 2: Chia 4 cây bút bi
Gọi số bút bi của 3 học sinh nữ là và 2 học sinh nam là
Theo đề bài, ta có: (với vì mỗi nam nhận ít nhất 1 bút bi) và
Tổng số bút bi là
TH1:

Số cách chia (theo công thức Euler) là cách.
TH2:

Số cách chia: có 1 cách duy nhất (tất cả học sinh nữ đều nhận 0 bút).
Tổng số cách chia bút bi là cách.
Kết hợp 2 trường hợp trên, suy ra số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 49.