Phương pháp 1
Chúng ta thực hiện chọn bi cho từng hộp một:
Bước 1: Chọn viên bi từ viên để vào hộp 1. Số cách:
Bước 2: Chọn viên bi từ viên còn lại để vào hộp 2. Số cách:
Bước 3: Chọn viên bi từ viên còn lại để vào hộp 3. Số cách:
……………………..
Công thức tổng quát. Vậy theo quy tắc nhân, tổng số cách chia là:

Khi khai triển các tổ hợp này theo giai thừa, ta có một công thức rất đẹp (gọi là hệ số đa thức):
Phương pháp 2
Giả sử số lượng bi trong các hộp lần lượt là
Khi đó ta có tổng số bi là
Bản chất bài toán trên chính là một bài “Hoán Vị Lặp”, các em có thể hiểu như sau:
Bước 1: Hãy tưởng tượng viên bi được xếp thành một hàng ngang theo thứ tự từ đến Bây giờ, em có chiếc nhãn để dán lên các viên bi đó:
chiếc nhãn ghi chữ "Hộp 1".
chiếc nhãn ghi chữ "Hộp 2".
...
chiếc nhãn ghi chữ "Hộp ".
Bước 2: Vì các nhãn cùng tên là giống hệt nhau, nên đây chính là bài toán hoán vị lặp của phần tử, trong đó có các nhóm phần tử giống nhau với số lượng lần lượt là
Sử dụng công thức hoán vị lặp, ta có số cách thực hiện là:

Cách 1: Sử dụng quy tắc chọn lần lượt (Tổ hợp)
Ta thực hiện chọn bi cho từng hộp một:
Bước 1: Chọn 3 viên bi từ 10 viên để vào hộp thứ nhất: có cách.
Bước 2: Chọn 3 viên bi từ 7 viên còn lại để vào hộp thứ hai: có cách.
Bước 3: Chọn 4 viên bi còn lại để vào hộp thứ ba: có cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số cách là
Cách 2: Sử dụng công thức Hệ số đa thức (Hoán vị lặp)
Khi chia vật khác nhau vào nhóm có số lượng cho trước thì số cách thực hiện là
Áp dụng với và các nhóm ta có số cách chia là
Điền đáp án: 4200.

Chia 12 đội bóng khác nhau thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng có số đội như nhau tức có đội.
Thực hiện chọn lần lượt các đội vào các bảng, ta có
Hoặc áp dụng công thức hệ số đa thức khi chia vật vào hộp có số lượng (với ta có
Gọi là biến cố "Việt Nam và Thái Lan cùng một bảng".
Bước 1: Chọn 1 bảng cho Việt Nam và Thái Lan: Có cách.
Bước 2: Chọn thêm 2 đội nữa vào bảng đó (để đủ 4 đội) từ 10 đội còn lại: Có cách.
Bước 3: Chia 8 đội (khác nhau) còn lại vào 2 bảng còn lại (mỗi bảng 4 đội): Có cách.
Số cách xếp thỏa mãn biến cố là
Xác suất để hai đội nằm cùng một bảng là

Điền đáp án: 14.

Trường hợp 1: Bộ số
Bước 1: Hoán vị bộ số
Vì 3 người là khác nhau, nên số bộ số thỏa mãn là bộ.
Bước 2: Chia hoa
Với mỗi bộ, bài toán là: chia 8 bông hoa khác nhau cho 3 bạn với số hoa của mỗi bạn là 4, 2, 2. Số cách chia là
Số cách chia thỏa mãn ở TH1 là (cách).
Trường hợp 2: Bộ số
Bước 1: Hoán vị bộ số
Số bộ thỏa mãn là bộ.
Bước 2: Chia hoa
Với mỗi bộ, bài toán là: chia 8 bông hoa khác nhau cho 3 bạn với số hoa của mỗi bạn là 3, 3, 2. Số cách chia là
Số cách chia thỏa mãn ở TH2 là (cách).
Tổng số cách chia hoa thỏa mãn là
Điền đáp án: 2940.
Note: Ở bước 2 ở mỗi trường hợp, các em có thể thực hiện chọn hoa cho từng bạn hoặc áp dụng luôn công thức ở lý thuyết nhé!

Phương Pháp
Bản chất của bài toán này cũng tương tự như bài toán phân phối 1, nhưng do vai trò của các chiếc hộp là giống nhau nên sẽ có trường hợp bị lặp lại
Khi đó ta chỉ cần lấy số cách ở bài toán phân phối 1 chia cho số trường hợp bị lặp. Cách làm như sau:
Bước 1: Giả sử các hộp khác nhau (tạm thời đưa về Bài toán 1).
Số cách phân phối nếu các hộp khác nhau là: (cách chứng minh ở trên).
Bước 2: Tìm số trường hợp bị lặp.
Vì các hộp giống nhau, việc hoán đổi vị trí của các hộp có cùng số lượng bi sẽ không tạo ra cách chia mới.
Giả sử có hộp cùng chứa viên bi, hộp cùng chứa viên bi,..., như vậy sẽ có số trường hợp bị lặp bằng
Bước 3: Thực hiện phép chia.
Sau khi đã xác định được số trường hợp bị lặp, ta có kết quả cuối cùng bằng

Bước 1: Giả sử các hộp khác nhau
Số cách chia 10 viên bi khác nhau và 3 chiếc hộp khác nhau với số lượng bi trong các hộp là 3, 3, 4 là
Bước 2: Tìm số trường hợp bị lặp
Có 2 hộp cùng chứa số lượng là 3 viên bi. Vì 2 hộp này giống hệt nhau, nên việc hoán đổi toàn bộ bi của hộp này sang hộp kia không tạo ra cách chia mới.
Số trường hợp bị lặp là
Bước 3: Thực hiện phép chia
Số cách chia thực tế khi các hộp giống nhau là
Điền đáp án: 2100.

Đính chính: Nhóm tác giả xin gửi lời xin lỗi chân thành đến các em học sinh. Bản in đầu tiên, không tránh khỏi có sai sót. Các em sửa lại đề bài như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
Vì 4 nhóm có số lượng sinh viên bằng nhau nên số thành viên mỗi nhóm bằng người.
Bước 1: Phân bổ 4 sinh viên y khoa vào 4 nhóm (thỏa mãn mỗi nhóm có ít nhất 1 sinh viên y khoa)
Vì 4 nhóm này như nhau nên ta có cách chia.
Sau khi chia 4 sinh viên y khoa (khác nhau) vào 4 nhóm thì 4 nhóm này trở thành 4 nhóm khác nhau.
Bước 2: Phân bổ 5 sinh viên sư phạm (thỏa mãn mỗi nhóm có ít nhất 1 sinh viên sư phạm)
Chọn 1 nhóm có 2 sinh viên sư phạm: có 4 cách (giả sử nhóm 1).
Chọn 2 sinh viên vào nhóm này: có cách.
Phân bổ 3 sinh viên còn lại cho 3 nhóm còn lại: có cách.
Số cách phân bổ 5 sinh viên sư phạm là
Bước 3: Phân bổ 7 sinh viên còn lại
Khi thực hiện xong bước 1, 2, thì trong 4 nhóm gồm: 1 nhóm 3 sinh viên và 3 nhóm còn lại có 2 sinh viên.
Do đó phân bổ 7 sinh viên còn lại lần lượt là 1; 2; 2; 2 (để thỏa mãn mỗi nhóm có 4 sinh viên).
Số cách chia 7 sinh viên còn lại là
Vậy số cách chia là

Điền đáp án: 15120.

Note: Các tập con ở bài này có vai trò như nhau.
Trường hợp 1: Bộ số
Bước 1: Giả sử 4 tập khác nhau. Số cách chia là
Bước 2: Vì 4 tập giống nhau và có 3 tập cùng chứa 1 phần tử nên số trường hợp lặp là
Bước 3: Số cách chia thực tế là (cách).
Trường hợp 2: Bộ số
Bước 1: Giả sử 4 tập khác nhau. Số cách chia là
Bước 2: Có 2 tập chứa 2 phần tử lặp) và có 2 tập chứa 1 phần tử lặp). Tổng số trường hợp lặp là
Bước 3: Số cách chia thực tế là (cách).
Tổng số cách chia tập S thỏa mãn là
Điền đáp án: 65.