Trả lời: 2520
Chọn học sinh từ học sinh xếp vào nhóm có cách.
Chọn học sinh trong học sinh còn lại xếp vào nhóm có cách.
học sinh còn lại xếp vào nhóm có 1 cách.
Số cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Bài toán: Chia 4 học sinh Nhạc, 4 học sinh Họa và 4 học sinh Võ thuật vào 4 hộp (nhóm) giống nhau sao cho mỗi hộp có đủ học sinh ở 3 lĩnh vực.
Bước 1: Giả sử các hộp khác nhau
Số cách chia 4 học sinh Nhạc là
Số cách chia 4 học sinh Võ thuật là
Số cách chia 4 học sinh Họa là
Suy ra số cách chia (các hộp giống nhau) là
Bước 2: Tìm số trường hợp bị lặp
Có 4 hộp đều chứa 1 học sinh Nhạc, 1 học sinh Võ thuật và 1 học sinh Họa nên có trường hợp bị lặp.
Vậy số cách chia thực tế là
Điền đáp án: 44.

Bước 1: Chia 6 hộp sữa khác nhau cho 3 người: có cách.
Bước 2: Chia 4 chai nước hoa quả (cùng loại) cho 3 người
Gọi là số chai nước của 3 người nhận được.
Ta có với
Số cách chia là cách.
Bước 3: Chia 2 chai nước khoáng (cùng loại) cho 3 người
Tương tự, số cách chia là số nghiệm tự nhiên của phương trình với là số chai nước 3 người nhận được.
Số cách chia là: cách.
Tổng số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 8100.

Số cách chia 8 học sinh thành 4 cặp (mỗi cặp có đúng 2 học sinh) (thứ tự các cặp không quan trọng) là
Gọi là biến cố “có đúng 2 cặp là cặp đôi nam-nữ”.
Để có đúng 2 cặp nam-nữ thì có 2 cặp nam-nữ và 2 cặp còn lại phải là 1 cặp nam-nam và 1 cặp nữ-nữ.
Bước 1: Chọn học sinh cho cặp cùng giới
Chọn 2 nam từ 4 nam để tạo 1 cặp nam-nam: có cách.
Chọn 2 nữ từ 4 nữ để tạo 1 cặp nữ-nữ: cách.
Bước 2: Chia 2 nam còn lại và 2 nữ còn lại thành 2 cặp nam-nữ
Nam thứ nhất có 2 lựa chọn bạn nữ.
Nam thứ hai có 1 lựa chọn bạn nữ cuối cùng.
Số cách tạo 2 cặp nam-nữ là 2 cách.
Số biến cố thuận lợi là
Suy ra xác suất cần tính là

Điền đáp án: 192.

Gợi ý: Số cách xếp thỏa mãn = Tổng số cách xếp (không điều kiện) – Số vi phạm
Bước 1: Tính tổng số cách xếp (không điều kiện)
Vì mỗi viên bi có 3 cách chọn hộp nên tổng số cách chia 8 viên bi vào 3 hộp tùy ý là
Bước 2: Tính số vi phạm (tức có 1 hộp trống hoặc có 2 hộp trống)
Số vi phạm = Số trường hợp có ít nhất 1 hộp trống – Số trường hợp có đúng 2 hộp trống.
TH1: Có ít nhất 1 hộp trống
Chọn 1 hộp trống: có cách.
Khi đó ta chia 8 viên bi (khác nhau) vào 2 hộp còn lại tùy ý: có cách.
Số cách chia là
TH2: Có đúng 2 hộp trống
Chọn 2 hộp trống: có cách.
8 viên bi cho hết vào hộp còn lại: có 1 cách.
Số cách chia là
Suy ra số trường hợp vi phạm là
Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 5796.

Chọn 3 người vào nhóm A và có một tổ trưởng ta có: cách.
Chọn 3 người vào nhóm B và có một tổ trưởng ta có: cách.
3 người còn lại vào nhóm C và có một tổ trưởng ta có: cách.
Từ đó ta có số phần tử của không gian mẫu là:

Gọi là biến cố thỏa mãn bài toán.
Vì có 4 bác sĩ nên phải có một nhóm có 2 bác sĩ.
Chọn nhóm có 2 bác sĩ mà có 1 tổ trưởng là bác sĩ có .
Chọn nhóm có 1 bác sĩ và bác sí là tổ trưởng có: .
1 bác sĩ còn lại và 2 người còn lại vào nhóm có 1 cách.
Chọn một trong 3 nhóm có 2 bác sĩ có cách.
.
.

Số cách chia 10 phần tử thành 5 cặp (không phân biệt) là
Tập gồm: Số âm 5 số Không 1 số Số dương 4 số
Hai số có tích âm khi và chỉ khi 1 số thuộc tập và 1 số thuộc tập Do đó có tối đa 4 cặp tích âm.
Số cặp tích không âm Số cặp tích âm.
Vì tối đa có 4 cặp tích âm nên
Để có nhiều nhất 2 tập hợp có tích của các phần tử là một số không âm tức ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: (Có 4 cặp tích âm)
Chọn 4 số và 4 số rồi ghép cặp: có cách
(giải thích: khi chọn ra 4 số âm và 4 số dương thì ta cần ghép chúng lại thành các cặp âm-dương: coi 4 số dương cố định, khi đó xếp 4 số âm vào 4 vị trí đối diện với 4 số dương: có cách tạo cặp)
Khi đó 2 số còn lại là số cuối và số sẽ tạo thành 1 cặp tích không âm.
TH1 có số cặp thỏa mãn là
Trường hợp 2: (Có 3 cặp tích âm)
Chọn 3 số và 3 số rồi ghép cặp: có cách.
Khi đó còn lại 2 số 1 số 1 số Để không tạo thêm cặp tích âm, ta có 1 cách xếp duy nhất: 1 số và số thành 1 cặp; 2 số thành 1 cặp.
TH1 có số cặp thỏa mãn là
Số biến cố thuận lợi là
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 29.

Điền đáp án:0,09.
Ta có số phần tử không gian mẫu là
Đánh số 4 nhóm là
- Bước 1: Xếp vào mỗi nhóm một học sinh khá có cách.
- Bước 2: Xếp 5 học sinh giỏi vào 4 nhóm thì có 1 nhóm có 2 học sinh giỏi. Chọn nhóm có 2 học sinh giỏi có 4 cách, chọn 2 học sinh giỏi có cách, xếp 3 học sinh giỏi còn lại có cách.
- Bước 3: Xếp 3 học sinh trung bình có cách.
- Bước 4: Phân bổ bài tập cho các nhóm có cách
Xác suất cần tìm là

Đáp án: 1260
Để một học sinh nhận được 2 quyển sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thảnh ba loại: (Toán-Lý); (Toán- Hóa); (Lý- Hóa).
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh nhận được bộ giải thưởng (Toán-Lý); (Toán-Hóa); (Lý-Hóa).
Khi đó, ta có hệ sau:
Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh:
Chọn 4 bạn bất kì trong 9 bạn để nhận bộ (Toán-Lý): cách.
Chọn 3 bạn bất kì trong 5 bạn còn lại để nhận bộ (Toán-Hóa): cách.
2 bạn còn lại chỉ có 1 cách phát thưởng là bộ (Lý-Hóa).
Vậy

Khi chia 6 món quà cho 5 học sinh sẽ có 1 em nhận được 2 món quà và các bạn còn lại nhận được 1 món quà. Ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 1 học sinh nhận 2 cuốn sách (khác nhau)
Chọn 2 cuốn sách từ 3 cuốn: cách.
Chọn 1 học sinh nhận 2 cuốn sách này: cách.
Còn lại 4 món quà (gồm 1 sách và 3 bút giống nhau) chia cho 4 học sinh còn lại, mỗi người 1 món:
Chọn 1 người trong 4 người để nhận cuốn sách còn lại: cách.
3 người còn lại nhận 3 cây bút giống nhau: chỉ có 1 cách.
Số cách chia ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: 1 học sinh nhận 2 cây bút (giống nhau)
Chọn ra 2 cây bút: có 1 cách.
Chọn 1 học sinh trong 5 người để trao 2 cây bút này: cách.
Còn lại 4 món quà (3 sách khác nhau và 1 bút) chia cho 4 học sinh còn lại, mỗi người 1 món. Đây là bài toán xếp 4 vật khác nhau vào 4 người: có cách.
Số cách chia ở TH2 là cách.
Trường hợp 3: 1 học sinh nhận 1 cuốn sách và 1 cây bút
Chọn ra 1 cây bút: có 1 cách.
Chọn 1 cuốn sách (trong 3 cuốn): cách.
Chọn 1 học sinh để nhận 2 quà trên (1 Sách + 1 Bút): cách.
Còn lại 4 món quà (2 sách khác nhau và 2 bút giống nhau) chia cho 4 học sinh còn lại (hoán vị lặp): có cách.
Số cách chia ở TH3 là cách.
Vậy tổng số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 360.

Giả sử 5 giỏ (khác nhau) lần lượt được đánh số thứ tự: 1, 2, 3, 4, 5.
Bước 1: Xếp 2 quả bóng đỏ vào 5 giỏ
Vì mỗi giỏ chỉ được chứa tối đa 1 quả bóng đỏ, ta chọn 2 giỏ trong 5 giỏ để đặt mỗi giỏ 1 quả bóng đỏ.
Chọn 2 giỏ cho 2 bóng đỏ (giống nhau): cách. Giả sử chọn giỏ 1, 2.
Khi đó, có 2 giỏ (1, 2) đã có 1 bóng đỏ và 3 giỏ (3, 4, 5) còn lại đang trống.
Bước 2: Xếp 8 quả bóng xanh vào 5 giỏ
Gọi số bóng xanh trong 5 giỏ lần lượt là
Tổng số bóng xanh là 8 nên ta có
Dựa vào điều kiện mỗi giỏ có ít nhất 1 và tối đa 3 bóng, ta có:
Với 2 giỏ 1, 2 (đã có bóng đỏ):
Với 3 giỏ 3, 4, 5 (chưa có bóng đỏ):
Đặt cho 3 giỏ chưa có bóng đỏ. Khi đó phương trình trở thành với
Khi đó số cách xếp 8 quả bóng xanh bằng số bộ nghiệm của phương trình Ta có các trường hợp sau:
TH1: Bộ (2, 2, 1, 0, 0): Số cách hoán vị là
TH2: Bộ (2, 1, 1, 1, 0): Số cách hoán vị là
TH3: Bộ (1, 1, 1, 1, 1): Số cách hoán vị là
Suy ra tổng số cách xếp bóng xanh cho mỗi trường hợp chọn giỏ đỏ là cách.
Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 510.

Gọi số đơn vị Calo của 5 món ăn lần lượt là
Theo đề bài, ta có phương trình
Số cách lập thực đơn bằng với số bộ thỏa mãn phương trình trên, ta có các trường hợp thỏa mãn sau:
TH1: Bộ (4, 1, 1, 1, 1): Có cách xếp.
TH2: Bộ (3, 2, 1, 1, 1): Có cách xếp.
TH3: Bộ (2, 2, 2, 1, 1): Có cách xếp.
Vậy có tất cả cách lập thực đơn.
Điền đáp án: 35.

12 quả bóng gồm:
• Bóng xanh số chẵn: Có 4 quả 2, 4, 6, 8.
• Bóng xanh số lẻ: Có 4 quả 1, 3, 5, 7.
• Bóng vàng: 4 quả (giống nhau).
Bước 1: Chọn và xếp 4 bóng xanh chẵn vào 1 ngăn
Chọn 1 trong 3 hộp A, B, C để chứa 4 quả bóng mang số chẵn: 3 cách.
Vì các ngăn là phân biệt nên số cách xếp 4 quả bóng chẵn là cách.
Bước 2: Xếp 4 quả bóng mang số lẻ vào 8 vị trí còn lại của 2 hộp: cách.
Bước 3: Xếp 4 quả bóng vàng giống nhau vào 4 vị trí còn lại: 1 cách.
Suy ra
Điền đáp án: 1728.

Gọi là số lượng học sinh chọn 4 loại sô-cô-la.
Ta có với điều kiện nguyên dương và đôi một khác nhau.
Suy ra chỉ có duy nhất một bộ số thỏa mãn là
Vì 4 loại sô-cô-la là khác nhau, ta thực hiện chia 10 học sinh thành các nhóm có số lượng 1, 2, 3, 4:
Bước 1: Chọn nhóm 1 người, 2 người, 3 người và 4 người: có cách.
Bước 2: Hoán vị 4 nhóm này cho 4 loại sô-cô-la: có cách.
Vậy

Điền đáp án: 3024.

Để thỏa mãn điều kiện "mọi số trong hộp A < mọi số trong hộp B < mọi số trong hộp C" thì các quả bóng phải được chia thành 3 cụm liên tiếp:
Hộp A chứa các bóng từ
Hộp B chứa các bóng từ
Hộp C chứa các bóng từ
với
Note: Tổng của số hạng đầu tiên của một dãy số liên tiếp là
Để tổng các số trong mỗi hộp phải là bội của 3 thì
Hộp A: có tổng các số là phải chia hết cho 3.
Điều này xảy ra khi hoặc là bội của 3
Hộp B: Tổng từ đến là với Vì nên để thì cũng phải chia hết cho 3.
Tương tự
Hộp C: Tổng còn lại chắc chắn sẽ chia hết cho 3 vì tổng từ 1 đến 15 là (chia hết cho 3).
Khi đó số sắp xếp thỏa mãn bằng số cách chọn ra cặp với
Để chọn ra một cách xếp, ta chỉ cần chọn 2 số bất kỳ trong tập và gán số nhỏ cho số lớn cho nên số cách chọn là
Vậy có 36 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Điền đáp án: 36.

Đầu tiên, ta chọn ra 5 viên kẹo trong 9 viên kẹo.
TH1: Không có viên kẹo sô-cô-la
Có 4 bộ (Sô-cô-la; Dâu; Bạc hà) thỏa mãn là
TH2: Có viên kẹo sô-cô-la
Có 5 bộ (Sô-cô-la; Dâu; Bạc hà) thỏa mãn là
Tiếp đến, ta sẽ thực hiện chia kẹo cho 2 bạn Tùng và Lâm
Dựa vào công thức chia kẹo Euler, ta có: Chia viên kẹo giống nhau cho 2 bạn: có cách. Khi đó:
+) có cách chia.
+) có cách chia.
+) có cách chia.
+) có cách chia.
+) có cách chia.
+) có cách chia.
+) có cách chia.
+) có cách chia.
+) có cách chia.
Vậy tổng số cách chia kẹo là
Điền đáp án: 114.