Câu 1 [1133626]: Trong đợt tình nguyện Mùa Hè Xanh năm 2025, có 12 tình nguyện viên tham dự 3 dự án ở 3 địa điểm khác nhau. Gọi T là số cách chia 12 tình nguyện viên trên thành 3 nhóm về 3 địa điểm trên sao cho mỗi nhóm có ít nhất 3 thành viên. Phần dư của T cho 10000 bằng bao nhiêu?
Gọi 
là số lượng thành viên ở 3 địa điểm (khác nhau) trên.
Ta có
Trường hợp 1: Bộ (6, 3, 3)
Vì 3 địa điểm khác nhau nên số cách hoán vị cho 3 địa điểm là
cách.
Số cách chọn thành viên của bộ này là
Suy ra số cách chia thỏa mãn ở TH1 là
Trường hợp 2: Bộ (5, 4, 3)
Số cách hoán vị cho 3 địa điểm là
cách.
Số cách chọn cho thành viên của bộ này là
Suy ra số cách chia thỏa mãn ở TH2 là
Trường hợp 3: Bộ (4, 4, 4)
Vì các nhóm có số lượng bằng nhau nên chỉ có 1 bộ thỏa mãn. Số cách chia thỏa mãn ở TH3 là
Tổng số cách chia thỏa mãn là 
dư 6410.
Điền đáp án: 6410.
là số lượng thành viên ở 3 địa điểm (khác nhau) trên. Ta có
Trường hợp 1: Bộ (6, 3, 3)
Vì 3 địa điểm khác nhau nên số cách hoán vị cho 3 địa điểm là
cách.Số cách chọn thành viên của bộ này là
Suy ra số cách chia thỏa mãn ở TH1 là
Trường hợp 2: Bộ (5, 4, 3)
Số cách hoán vị cho 3 địa điểm là
cách.Số cách chọn cho thành viên của bộ này là
Suy ra số cách chia thỏa mãn ở TH2 là
Trường hợp 3: Bộ (4, 4, 4)
Vì các nhóm có số lượng bằng nhau nên chỉ có 1 bộ thỏa mãn. Số cách chia thỏa mãn ở TH3 là
Tổng số cách chia thỏa mãn là dư 6410.Điền đáp án: 6410.
Câu 2 [1133566]: Có 4 chiếc bút khác nhau và 6 quyển vở giống hệt nhau. Người ta muốn chia tất cả số bút và vở này vào 3 cái hộp giống hệt nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho mỗi hộp đều có ít nhất 1 chiếc bút? (Lưu ý: quyển vở có thể có hộp không có, hoặc có nhiều).
Bước 1: Chia 4 chiếc bút khác nhau vào 3 hộp giống nhau
Khi đó 4 chiếc bút sẽ có 1 cách chia là 2, 1, 1.
Chọn 2 chiếc bút cho vào hộp: có
cách.
Khi đó 2 chiếc bút còn lại cho vào 2 hộp (giống nhau) có 1 cách.
Có 6 cách chia bút vào hộp.
Lúc này, 3 hộp đã trở thành các hộp khác biệt vì được đánh dấu bởi các bút khác nhau.
Bước 2: Chia 6 quyển vở giống nhau vào 3 hộp khác nhau
Gọi
là số vở ở trong 3 hộp.
Ta có
với 
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng, ta có số cách chia vở là
Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 168.
Khi đó 4 chiếc bút sẽ có 1 cách chia là 2, 1, 1.
Chọn 2 chiếc bút cho vào hộp: có
cách.Khi đó 2 chiếc bút còn lại cho vào 2 hộp (giống nhau) có 1 cách.
Có 6 cách chia bút vào hộp.Lúc này, 3 hộp đã trở thành các hộp khác biệt vì được đánh dấu bởi các bút khác nhau.
Bước 2: Chia 6 quyển vở giống nhau vào 3 hộp khác nhau
Gọi
là số vở ở trong 3 hộp.Ta có
với Áp dụng bài toán chia kẹo Euler mở rộng, ta có số cách chia vở là
Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 168.
Câu 3 [1133567]: Có 3 chiếc máy bán kẹo máy X, máy Y, máy Z. Mỗi lần nhấn nút: Máy X: mỗi lần bấm cho ra 1 viên kẹo. Máy Y: mỗi lần bấm cho ra 2 viên kẹo. Máy Z: mỗi lần bấm cho ra 2 viên kẹo. Ta muốn tính số cách bấm các nút theo thứ tự để lấy được một số lượng kẹo nhất định. Ví dụ: Để lấy được 2 viên kẹo, có 3 cách bấm nút (bấm máy X hai lần, bấm máy Y một lần hoặc bấm máy Z một lần). Tìm số cách bấm các nút theo thứ tự để lấy được tổng cộng 8 viên kẹo.
Để bấm ra 1 viên kẹo: có đúng 1 cách (bấm máy X);
Để bấm ra 2 viên kẹo: có 2 cách (máy Y hoặc máy Z).
Các trường hợp để lấy được 8 viên kẹo (quan trọng thứ tự) là
TH1: 4 lần bấm được 2 viên kẹo
Số bộ thỏa mãn là 1 bộ. Số cách bấm thỏa mãn là
TH2: 3 lần bấm được 2 viên và 2 lần bấm được 1 viên kẹo
Số bộ thỏa mãn (hoán vị lặp) là
bộ. Số cách bấm của mỗi bộ là 
Số cách bấm thỏa mãn là 
TH3: 2 lần bấm được 2 viên và 4 lần bấm được 1 viên kẹo
Số bộ thỏa mãn (hoán vị lặp) là
bộ. Số cách bấm của mỗi bộ là 
Số cách bấm thỏa mãn là 
TH4: 1 lần bấm được 2 viên và 6 lần bấm được 1 viên kẹo
Số bộ thỏa mãn (hoán vị lặp) là
bộ. Số cách bấm của mỗi bộ là 
Số cách bấm thỏa mãn là 
TH5: 8 lần bấm được 1 viên kẹo
Có 1 cách bấm thỏa mãn.
Vậy tổng số cách bấm thỏa mãn là
Điền đáp án: 171.
Để bấm ra 2 viên kẹo: có 2 cách (máy Y hoặc máy Z).
Các trường hợp để lấy được 8 viên kẹo (quan trọng thứ tự) là
TH1: 4 lần bấm được 2 viên kẹo
Số bộ thỏa mãn là 1 bộ. Số cách bấm thỏa mãn là
TH2: 3 lần bấm được 2 viên và 2 lần bấm được 1 viên kẹo
Số bộ thỏa mãn (hoán vị lặp) là
bộ. Số cách bấm của mỗi bộ là Số cách bấm thỏa mãn là TH3: 2 lần bấm được 2 viên và 4 lần bấm được 1 viên kẹo
Số bộ thỏa mãn (hoán vị lặp) là
bộ. Số cách bấm của mỗi bộ là Số cách bấm thỏa mãn là TH4: 1 lần bấm được 2 viên và 6 lần bấm được 1 viên kẹo
Số bộ thỏa mãn (hoán vị lặp) là
bộ. Số cách bấm của mỗi bộ là Số cách bấm thỏa mãn là TH5: 8 lần bấm được 1 viên kẹo
Có 1 cách bấm thỏa mãn.
Vậy tổng số cách bấm thỏa mãn là
Điền đáp án: 171.
Câu 4 [1042108]: Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào là 
giá trị 
bằng bao nhiêu?
giá trị bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Áp dụng quy tắc nhân để xác định số phần tử của không gian mẫu.
Đếm số trường hợp thuận lợi sao cho có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn
khách.
Tính xác suất bằng tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi và số phần tử không gian mẫu.
✒️ Lời giải chi tiết:
Mỗi người khách có
cách chọn cửa hàng nên theo quy tắc nhân, số khả năng xảy ra là 
.
Xét các trường hợp để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn
khách.
Một cửa hàng có
khách, một cửa hàng có 
khách, các cửa hàng còn lại không có khách thì có 
khả năng.
Một cửa hàng có
khách, hai cửa hàng có 
khách thì có 
khả năng.
Một cửa hàng có
khách, một cửa hàng có 
khách thì có 
khả năng.
Một cửa hàng có
khách thì có 
khả năng.
Tổng số trường hợp thuận lợi là
.
Xác suất cần tìm là
.
Từ đó suy ra
.
🔑 Điền đáp án:
.
💡 Phương pháp:
Áp dụng quy tắc nhân để xác định số phần tử của không gian mẫu.
Đếm số trường hợp thuận lợi sao cho có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn
khách.Tính xác suất bằng tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi và số phần tử không gian mẫu.
✒️ Lời giải chi tiết:
Mỗi người khách có
cách chọn cửa hàng nên theo quy tắc nhân, số khả năng xảy ra là .Xét các trường hợp để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn
khách.Một cửa hàng có
khách, một cửa hàng có khách, các cửa hàng còn lại không có khách thì có khả năng.Một cửa hàng có
khách, hai cửa hàng có khách thì có khả năng.Một cửa hàng có
khách, một cửa hàng có khách thì có khả năng.Một cửa hàng có
khách thì có khả năng.Tổng số trường hợp thuận lợi là
.Xác suất cần tìm là
.Từ đó suy ra
.🔑 Điền đáp án:
.
Câu 5 [1133568]: Trong 8 ô trống như hình dưới đây, ta muốn điền 8 số: 
(mỗi số dùng một lần). Gọi 
lần lượt là tổng của các số ở cột 1, cột 2, cột 3 và cột 4.
Hỏi có bao nhiêu cách điền vào các ô trống sao cho:
(mỗi số dùng một lần). Gọi lần lượt là tổng của các số ở cột 1, cột 2, cột 3 và cột 4.Hỏi có bao nhiêu cách điền vào các ô trống sao cho:
Nhận xét: Vì tổng các lũy thừa của 2 luôn khác nhau đôi một 
nên với mỗi cách chia 8 số thành 4 cặp, chỉ có duy nhất 1 thứ tự sắp xếp các cột để thỏa mãn 
Số cách chia 8 số thành 4 nhóm (mỗi nhóm 2 số) mà không phân biệt thứ tự nhóm là
Mỗi cột có 2 ô và có thể đổi chỗ 2 số cho nhau mà không làm thay đổi tổng của cột đó. Với 4 cột, ta có số cách xếp là
Vậy số cách điền thỏa mãn là
Điền đáp án: 1680.
nên với mỗi cách chia 8 số thành 4 cặp, chỉ có duy nhất 1 thứ tự sắp xếp các cột để thỏa mãn Số cách chia 8 số thành 4 nhóm (mỗi nhóm 2 số) mà không phân biệt thứ tự nhóm là
Mỗi cột có 2 ô và có thể đổi chỗ 2 số cho nhau mà không làm thay đổi tổng của cột đó. Với 4 cột, ta có số cách xếp là
Vậy số cách điền thỏa mãn là
Điền đáp án: 1680.
Câu 6 [1133569]: Có 4 bông hoa khác nhau và 3 viên kẹo chocolate giống nhau. Có bao nhiêu cách chia tất cả số hoa và kẹo này cho 5 học sinh sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:
• Không có học sinh nào không nhận được gì (mỗi học sinh nhận ít nhất 1 món).
• Nếu một học sinh nhận từ 2 món trở lên, học sinh đó chỉ được nhận toàn kẹo hoặc chỉ được nhận toàn hoa (không được nhận lẫn lộn cả hoa và kẹo).
• Không có học sinh nào không nhận được gì (mỗi học sinh nhận ít nhất 1 món).
• Nếu một học sinh nhận từ 2 món trở lên, học sinh đó chỉ được nhận toàn kẹo hoặc chỉ được nhận toàn hoa (không được nhận lẫn lộn cả hoa và kẹo).
Điều kiện:
Mỗi người ít nhất 1 món;
Học sinh nhận từ 2 món trở lên thì chỉ được nhận toàn kẹo hoặc chỉ nhận toàn hoa.
TH1: 1 người nhận kẹo
Chọn 1 người nhận kẹo trong 5 người có
cách. Số cách chia 3 kẹo giống nhau cho 1 người có 1 cách.
Khi đó ta cần phải chia 4 bông hoa (khác nhau) cho 4 người còn lại.
Số cách chia hoa là
Số cách chia thỏa mãn ở TH1 là 
TH2: 2 người nhận kẹo
Chọn 2 người nhận kẹo: có
cách. Số cách chia 3 kẹo giống nhau cho 2 người: có 2 cách (2-1 hoặc 1-2).
Khi đó ta cần phải chia 4 bông hoa (khác nhau) cho 3 người còn lại.
Có 3 bộ thỏa mãn là 2-1-1 hoặc 1-2-1 hoặc 1-1-2.
Số cách chia hoa ở mỗi bộ là
Số cách chia thỏa mãn ở TH2 là 
TH3: 3 người nhận kẹo
Chọn 3 người nhận kẹo: có
cách. Số cách chia 3 kẹo giống nhau cho 3 người: có 1 cách.
Khi đó ta cần phải chia 4 bông hoa (khác nhau) cho 2 người còn lại.
TH3.1: Bộ 3-1
Số cách chia là
(chọn 3 bông cho 1 người và người còn lại nhận 1 bông còn lại).
TH3.2: Bộ 1-3
Tương tự, có 4 cách chia.
TH3.3: Bộ 2-2
Số cách chia là
(chọn 2 bông cho 1 người và người còn lại nhận 2 bông còn lại).
Suy ra số cách chia hoa là
Số cách chia thỏa mãn ở TH3 là 
Vậy tổng số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 980.
Mỗi người ít nhất 1 món;
Học sinh nhận từ 2 món trở lên thì chỉ được nhận toàn kẹo hoặc chỉ nhận toàn hoa.
TH1: 1 người nhận kẹo
Chọn 1 người nhận kẹo trong 5 người có
cách. Số cách chia 3 kẹo giống nhau cho 1 người có 1 cách.Khi đó ta cần phải chia 4 bông hoa (khác nhau) cho 4 người còn lại.
Số cách chia hoa là
Số cách chia thỏa mãn ở TH1 là TH2: 2 người nhận kẹo
Chọn 2 người nhận kẹo: có
cách. Số cách chia 3 kẹo giống nhau cho 2 người: có 2 cách (2-1 hoặc 1-2).Khi đó ta cần phải chia 4 bông hoa (khác nhau) cho 3 người còn lại.
Có 3 bộ thỏa mãn là 2-1-1 hoặc 1-2-1 hoặc 1-1-2.
Số cách chia hoa ở mỗi bộ là
Số cách chia thỏa mãn ở TH2 là TH3: 3 người nhận kẹo
Chọn 3 người nhận kẹo: có
cách. Số cách chia 3 kẹo giống nhau cho 3 người: có 1 cách.Khi đó ta cần phải chia 4 bông hoa (khác nhau) cho 2 người còn lại.
TH3.1: Bộ 3-1
Số cách chia là
(chọn 3 bông cho 1 người và người còn lại nhận 1 bông còn lại).TH3.2: Bộ 1-3
Tương tự, có 4 cách chia.
TH3.3: Bộ 2-2
Số cách chia là
(chọn 2 bông cho 1 người và người còn lại nhận 2 bông còn lại).Suy ra số cách chia hoa là
Số cách chia thỏa mãn ở TH3 là Vậy tổng số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 980.
Câu 7 [1133570]: Cho tập hợp S gồm 9 số tự nhiên từ 1 đến 9. Chia ngẫu nhiên tập S thành 3 tập con, mỗi tập hợp có 3 phần tử. Biết xác suất để tổng các phần tử của mỗi tập con đều bằng nhau, là một phân số tối giản 
Giá trị của 
bằng bao nhiêu?
Giá trị của bằng bao nhiêu?
Chia 9 số thành 3 tập con (sử dụng phương pháp của bài toán chia n viên bi khác nhau vào m hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có số lượng bi cho trước) là 
Ta có tổng các số từ 1 đến 9 là
Do đó để 3 tập con có tổng bằng nhau thì mỗi tập phải có tổng là 
Các bộ có tổng bằng 15:
• Bộ chứa số 9: (9, 5, 1), (9, 4, 2)
• Bộ chứa số 8: (8, 6, 1), (8, 5, 2), (8, 4, 3)
• Bộ chứa số 7: (7, 6, 2), (7, 5, 3)
• Bộ chứa số 6: (6, 5, 4)
Đến đây, ta thực hiện ghép 3 bộ sao cho không có số nào trùng nhau. Được kết quả 2 bộ thỏa mãn là
và 
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 141.
Ta có tổng các số từ 1 đến 9 là
Do đó để 3 tập con có tổng bằng nhau thì mỗi tập phải có tổng là Các bộ có tổng bằng 15:
• Bộ chứa số 9: (9, 5, 1), (9, 4, 2)
• Bộ chứa số 8: (8, 6, 1), (8, 5, 2), (8, 4, 3)
• Bộ chứa số 7: (7, 6, 2), (7, 5, 3)
• Bộ chứa số 6: (6, 5, 4)
Đến đây, ta thực hiện ghép 3 bộ sao cho không có số nào trùng nhau. Được kết quả 2 bộ thỏa mãn là
và Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 141.
Câu 8 [1040614]: Để kiếm thêm thu nhập, bạn Hà đã tạo ra một trò chơi và rủ các bạn cùng trường chơi. Trong một cái hộp có 100 tờ vé số, trong đó có 20 vé trúng thưởng 50 nghìn đồng, 10 vé trúng thưởng 100 nghìn đồng, 5 vé trúng thưởng 150 nghìn đồng và 65 vé không trúng thưởng. Bán Hà bán mỗi tờ vé số với giá 50 nghìn đồng, và số lượng vé số được bán hết. Hà chỉ công bố thưởng khi đã bán hết 100 tờ vé số, mỗi người có thể mua nhiều hơn một tờ. Một bạn học sinh mua 4 tờ vé số, xác suất để bạn đó trúng thưởng 200 nghìn đồng bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,11.
Gọi số vé bạn Hà mua trúng thưởng mệnh giá 50 nghìn đồng, 100 nghìn đồng, 150 nghìn đồng, 0 nghìn đồng lần lượt là
Bạn Hà mua 4 vé nên
Ta có:
+)
Bạn Hà đã mua 2 vé trúng 100 nghìn và 2 vé không trúng thưởng.
Số cách là 
+)
Bạn Hà đã mua 1 vé trúng 50 nghìn, 1 vé trúng 150 nghìn và 2 vé không trúng thưởng
Số cách là 
+)
Bạn Hà đã mua 2 vé trúng 50 nghìn ,1 vé trúng 100 nghìn và 1 vé không trúng thưởng.
Số cách là 
+)
Không có giá trị của 
+)
Bạn Hà đã mua 4 vé trúng 50 nghìn
Số cách là 
Xác suất cần tìm là
Gọi số vé bạn Hà mua trúng thưởng mệnh giá 50 nghìn đồng, 100 nghìn đồng, 150 nghìn đồng, 0 nghìn đồng lần lượt là
Bạn Hà mua 4 vé nên
Ta có:
+)
Bạn Hà đã mua 2 vé trúng 100 nghìn và 2 vé không trúng thưởng.Số cách là +)
Bạn Hà đã mua 1 vé trúng 50 nghìn, 1 vé trúng 150 nghìn và 2 vé không trúng thưởngSố cách là +)
Bạn Hà đã mua 2 vé trúng 50 nghìn ,1 vé trúng 100 nghìn và 1 vé không trúng thưởng.Số cách là +)
Không có giá trị của +)
Bạn Hà đã mua 4 vé trúng 50 nghìn Số cách là Xác suất cần tìm là
Câu 9 [1133571]: Có 4 chiếc đĩa giống nhau được đặt trên một bàn tròn với khoảng cách đều nhau. Ta chia 5 cái bánh ngọt khác nhau và 5 hộp sữa giống nhau vào 4 chiếc đĩa này sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:
• Mỗi đĩa phải có ít nhất 1 cái bánh ngọt.
• Tổng số bánh ngọt và hộp sữa trong mỗi đĩa không quá 3.
Hỏi có bao nhiêu cách chia? (Biết rằng các trường hợp do quay vòng tròn mà trùng nhau thì tính là một).
• Mỗi đĩa phải có ít nhất 1 cái bánh ngọt.
• Tổng số bánh ngọt và hộp sữa trong mỗi đĩa không quá 3.
Hỏi có bao nhiêu cách chia? (Biết rằng các trường hợp do quay vòng tròn mà trùng nhau thì tính là một).
Bước 1: Chia 5 bánh (khác nhau)
Có 5 bánh chia vào 4 đĩa sao cho mỗi đĩa ít nhất 1 bánh
Có một đĩa chứa 2 bánh, 3 đĩa còn lại mỗi đĩa chứa 1 bánh.
Chọn 2 bánh và đặt vào một đĩa: có
cách (vì các đĩa là giống nhau nên chọn 1 đĩa để 2 bánh có 1 cách). Khi đã đặt 2 chiếc bánh vào 1 đĩa bất kì trên bàn, thì đĩa này trở thành “mốc” trên bàn tròn. Khi đó 3 đĩa còn lại trở thành các vị trí có thứ tự (giống như hàng ngang).
Xếp 3 bánh còn lại vào 3 vị trí còn lại trên bàn tròn:
cách.
Vậy có
cách xếp bánh.
Bước 2: Chia 5 hộp sữa (giống nhau)
Gọi
là số sữa thêm vào đĩa có 2 bánh, 
là số sữa thêm vào 3 đĩa có 1 bánh.
Ta có phương trình:
với điều kiện 
và 
• TH1:
(Đĩa 2 bánh nhận 1 sữa) 
Các bộ
là hoán vị của 
và 
Có 
bộ thỏa mãn hay có 6 cách chia sữa.
• TH2:
(Đĩa 2 bánh nhận 0 sữa) 
Bộ
duy nhất là hoán vị của 
Có 
cách chia sữa.
Suy ra số cách chia sữa là
Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 540.
Có 5 bánh chia vào 4 đĩa sao cho mỗi đĩa ít nhất 1 bánh
Có một đĩa chứa 2 bánh, 3 đĩa còn lại mỗi đĩa chứa 1 bánh.Chọn 2 bánh và đặt vào một đĩa: có
cách (vì các đĩa là giống nhau nên chọn 1 đĩa để 2 bánh có 1 cách). Khi đã đặt 2 chiếc bánh vào 1 đĩa bất kì trên bàn, thì đĩa này trở thành “mốc” trên bàn tròn. Khi đó 3 đĩa còn lại trở thành các vị trí có thứ tự (giống như hàng ngang).Xếp 3 bánh còn lại vào 3 vị trí còn lại trên bàn tròn:
cách.Vậy có
cách xếp bánh.Bước 2: Chia 5 hộp sữa (giống nhau)
Gọi
là số sữa thêm vào đĩa có 2 bánh, là số sữa thêm vào 3 đĩa có 1 bánh.Ta có phương trình:
với điều kiện và • TH1:
(Đĩa 2 bánh nhận 1 sữa) Các bộ
là hoán vị của và Có bộ thỏa mãn hay có 6 cách chia sữa.• TH2:
(Đĩa 2 bánh nhận 0 sữa) Bộ
duy nhất là hoán vị của Có cách chia sữa.Suy ra số cách chia sữa là
Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 540.
Câu 10 [1133572]: Một cửa hàng bán 5 loại bánh Oreo với các hương vị khác nhau và 3 loại sữa khác nhau. Hai bạn An và Bình cùng vào mua hàng. An là người kén chọn nên cậu ta quyết định không mua quá một chiếc bánh cho mỗi loại hương vị. Ngược lại, Bình chỉ mua bánh Oreo nhưng sẵn lòng mua nhiều chiếc cùng một hương vị. Hỏi có bao nhiêu cách để cả hai rời cửa hàng khi mỗi người đều mua đúng 3 sản phẩm?
Bước 1: Tính số cách chọn của An
An mua đúng 3 sản phẩm từ 8 loại gồm 5 loại bánh (không mua quá 1 chiếc cho mỗi loại) và 3 loại sữa (có thể mua lặp).
TH1: An mua 3 bánh
Số cách An mua hàng là
TH2: An mua 1 hộp sữa + 2 bánh
Số cách An mua hàng là
TH3: An mua 2 hộp sữa (có thể giống nhau) + 1 bánh
Chọn 2 hộp sữa có thể giống nhau từ 3 loại là tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử:
Chọn 1 hộp bánh: có 5 cách
Số cách chọn của An ở TH2 là 
TH4: An mua 3 hộp sữa (có thể giống nhau)
Số cách chọn của An là 1 tổ hợp lặp và bằng
Số cách An mua hàng là 
Bước 2: Tính số cách chọn của Bình
Bình mua đúng 3 sản phẩm trong 5 loại bánh Oreo (có thể mua lặp).
Khi đó áp dụng công thức tổ hợp lặp, số cách Bình mua hàng là
Vậy số cách mua hàng thỏa mãn là
Điền đáp án: 2800.
Note: Công thức Tổ hợp lặp:
Số tổ hợp lặp chập
của 
phần tử (ký hiệu là 
hoặc 
được tính bằng công thức chuyển về tổ hợp chập 
của 
phần tử: 
An mua đúng 3 sản phẩm từ 8 loại gồm 5 loại bánh (không mua quá 1 chiếc cho mỗi loại) và 3 loại sữa (có thể mua lặp).
TH1: An mua 3 bánh
Số cách An mua hàng là
TH2: An mua 1 hộp sữa + 2 bánh
Số cách An mua hàng là
TH3: An mua 2 hộp sữa (có thể giống nhau) + 1 bánh
Chọn 2 hộp sữa có thể giống nhau từ 3 loại là tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử:
Chọn 1 hộp bánh: có 5 cách
Số cách chọn của An ở TH2 là TH4: An mua 3 hộp sữa (có thể giống nhau)
Số cách chọn của An là 1 tổ hợp lặp và bằng
Số cách An mua hàng là Bước 2: Tính số cách chọn của Bình
Bình mua đúng 3 sản phẩm trong 5 loại bánh Oreo (có thể mua lặp).
Khi đó áp dụng công thức tổ hợp lặp, số cách Bình mua hàng là
Vậy số cách mua hàng thỏa mãn là
Điền đáp án: 2800.
Note: Công thức Tổ hợp lặp:
Số tổ hợp lặp chập
của phần tử (ký hiệu là hoặc được tính bằng công thức chuyển về tổ hợp chập của phần tử:
Câu 11 [1133573]: Cho tập hợp 
, chia tập hợp 
thành 3 tập con cùng có 2 phần tử là các tập hợp 
Có bao nhiêu cách chia sao cho tổng các phần tử của mỗi tập con 
theo thứ tự lập thành cấp số cộng?
, chia tập hợp thành 3 tập con cùng có 2 phần tử là các tập hợp Có bao nhiêu cách chia sao cho tổng các phần tử của mỗi tập con theo thứ tự lập thành cấp số cộng?
Giả sử 
Vì
theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên 
Ta có tổng của 3 tập
là 
Mà
Bước 1: Chọn bộ số cho
có 3 cách.
Bước 2: Chọn bộ số cho
từ 4 số còn lại.
Vì 4 số còn lại luôn thỏa mãn điều kiện
tức luôn tạo thành cấp số cộng. Do đó ta chỉ cần chọn 2 số bất kì cho vào tập 
và 2 số còn lại vào tập 
có 
cách.
Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 18.
Vì
theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên Ta có tổng của 3 tập
là Mà
Bước 1: Chọn bộ số cho
có 3 cách.Bước 2: Chọn bộ số cho
từ 4 số còn lại. Vì 4 số còn lại luôn thỏa mãn điều kiện
tức luôn tạo thành cấp số cộng. Do đó ta chỉ cần chọn 2 số bất kì cho vào tập và 2 số còn lại vào tập có cách.Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 18.
Câu 12 [1133574]: Bác An có 4 loại tiền: 10 nghìn đồng, 50 nghìn đồng, 100 nghìn đồng và 500 nghìn đồng. Có bao nhiêu cách để bác thanh toán số tiền đúng 1500 nghìn đồng? (Lưu ý: Phải sử dụng ít nhất mỗi loại tiền một lần và coi số lượng mỗi loại tiền bác An có là không giới hạn và các tờ tiền cùng loại là không phân biệt).
Gọi 
lần lượt là số tờ tiền các loại 10 nghìn đồng, 50 nghìn đồng, 100 nghìn đồng và 500 nghìn đồng mà bác An sử dụng.
Theo đề bài, tổng số tiền là 1500 nghìn đồng nên ta có phương trình
Nhận thấy:
Đặt 
Khi đó phương trình trở thành
TH1:
(điều kiện 
Áp dụng công thức chia kẹo Euler, với mỗi giá trị
số nghiệm nguyên dương của phương trình là 
Suy ra tổng số nghiệm thỏa mãn là
TH2:
(điều kiện 
Áp dụng công thức chia kẹo Euler, với mỗi giá trị
số nghiệm nguyên dương của phương trình là 
Suy ra tổng số nghiệm thỏa mãn là
Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 97.
lần lượt là số tờ tiền các loại 10 nghìn đồng, 50 nghìn đồng, 100 nghìn đồng và 500 nghìn đồng mà bác An sử dụng.Theo đề bài, tổng số tiền là 1500 nghìn đồng nên ta có phương trình
Nhận thấy:
Đặt Khi đó phương trình trở thành
TH1:
(điều kiện Áp dụng công thức chia kẹo Euler, với mỗi giá trị
số nghiệm nguyên dương của phương trình là Suy ra tổng số nghiệm thỏa mãn là
TH2:
(điều kiện Áp dụng công thức chia kẹo Euler, với mỗi giá trị
số nghiệm nguyên dương của phương trình là Suy ra tổng số nghiệm thỏa mãn là
Vậy số cách chia thỏa mãn là
Điền đáp án: 97.
Câu 13 [1040883]: Bạn Thảo muốn tạo một mật mã gồm 7 ký tự khác nhau bằng cách sắp xếp 7 viên ngọc quý mỗi viên một màu khác nhau vào 4 khe cắm được đánh số từ 1 đến 4. Mỗi khe cắm phải có ít nhất một viên ngọc. Thứ tự các viên ngọc trong mỗi khe cắm là quan trọng. Ngoài ra, khe cắm số 1 phải luôn chứa viên ngọc Đỏ và khe cắm số 4 phải luôn chứa viên ngọc Tím (có thể có thêm các viên ngọc khác). Có bao nhiêu cách để bạn Thảo tạo ra mật mã hợp lệ?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi số viên ngọc của khe 1,4,2,3 lần lượt là
Ta có:
TH1:
Số cách là 
TH2:
hoặc 
Có 3 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 3 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là 
TH3:
hoặc 
Có 4 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 4 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là 
TH4:
Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là 
TH5:
hoặc 
Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là 
TH6:
hoặc 
Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ và 3 cách chọn vị trí cho viên Tím hoặc 3 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ và 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là 
Tổng số cách là
Điền đáp án: 6720.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi số viên ngọc của khe 1,4,2,3 lần lượt là
Ta có:
TH1:
Số cách là TH2:
hoặc Có 3 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 3 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là TH3:
hoặc Có 4 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 4 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là TH4:
Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là TH5:
hoặc Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là TH6:
hoặc Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ và 3 cách chọn vị trí cho viên Tím hoặc 3 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ và 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là Tổng số cách là
Điền đáp án: 6720.
Câu 14 [1133575]: Tại một trại huấn luyện Olympic, 10 huấn luyện viên được sắp xếp lưu trú trong 5 phòng: 3 phòng đôi, 1 phòng đơn và 1 phòng ba. Mỗi phòng chỉ có duy nhất một người giữ chìa khóa. Khi di chuyển từ nơi huấn luyện về chỗ ở, họ sử dụng 2 xe ô tô, mỗi xe chở đúng 5 người và đến nơi vào hai thời điểm khác nhau. Biết rằng người giữ chìa khóa của mỗi phòng phải đến nơi cùng lúc hoặc trước những người cùng phòng khác. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thời gian khởi hành cho 10 huấn luyện viên này?
Gọi 
là số người của 3 phòng đôi đi chuyến 1; 
là số người phòng đơn đi chuyến 1; 
là số người phòng ba đi chuyến 1.
Tổng số người đi chuyến 1 là
Dựa vào quy tắc chìa khóa, số người mỗi phòng có thể đi chuyến 1 là:
• Phòng đôi:
(Nếu 
thì đó là người giữ chìa).
• Phòng đơn:
• Phòng ba:
(Nếu 
người giữ chìa; nếu 
người giữ chìa + 1 người khác).
Ta chia trường hợp theo
(phòng ba) và 
(phòng đơn), ta được bảng kết quả sau:
Khi chia 5 thành viên vào chuyến 1 thì 5 người còn lại sẽ ngồi vào chuyến 2, số cách chia sắp xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 57.
là số người của 3 phòng đôi đi chuyến 1; là số người phòng đơn đi chuyến 1; là số người phòng ba đi chuyến 1.Tổng số người đi chuyến 1 là
Dựa vào quy tắc chìa khóa, số người mỗi phòng có thể đi chuyến 1 là:
• Phòng đôi:
(Nếu thì đó là người giữ chìa).• Phòng đơn:
• Phòng ba:
(Nếu người giữ chìa; nếu người giữ chìa + 1 người khác).Ta chia trường hợp theo
(phòng ba) và (phòng đơn), ta được bảng kết quả sau:Khi chia 5 thành viên vào chuyến 1 thì 5 người còn lại sẽ ngồi vào chuyến 2, số cách chia sắp xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 57.
Câu 15 [1168803]: Ta có 6 chiếc hộp phân biệt, 4 quả bóng đỏ và 7 quả bóng xanh.Các quả bóng cùng màu không phân biệt được với nhau (giống hệt nhau).Phân bổ các quả bóng vào hộp sao cho mỗi hộp phải có ít nhất 1 quả bóng, nhiều nhất 3 quả bóng; trong một hộp không được có từ 2 quả bóng đỏ trở lên. Hỏi có bao nhiêu cách phân bố các quả bóng?
Bước 1: Phân bổ bóng đỏ
Mỗi hộp chứa tối đa 1 quả bóng đỏ, do đó ta chọn 4 hộp trong 6 hộp để đặt bóng đỏ: có cách.
Bước 2: Phân bổ bóng xanh
Gọi
là số bóng xanh cho vào 4 hộp đã có bóng đỏ.
Gọi
là số bóng xanh cho vào 2 hộp trống còn lại.
Điều kiện:
Đặt
Phương trình trở thành
với mọi biến thuộc 
Tổng số nghiệm nguyên không âm của phương trình (với điều kiện các biến thuộc
là 
Tuy nhiên trong 252 nghiệm trên có chứa các nghiệm vi phạm (tức có biến
Vì tổng các biến bằng 5 nên chỉ có 1 biến vi phạm.
Chọn 1 trong 6 biến để vi phạm: có 6 cách. Giả sử
Đặt
Phương trình trở thành
Số nghiệm vi phạm là
Số cách xếp bóng xanh thỏa mãn là
cách.
Vậy tổng số cách phân bổ là
Điền đáp án: 1890.
Mỗi hộp chứa tối đa 1 quả bóng đỏ, do đó ta chọn 4 hộp trong 6 hộp để đặt bóng đỏ: có cách.
Bước 2: Phân bổ bóng xanh
Gọi
là số bóng xanh cho vào 4 hộp đã có bóng đỏ.
Gọi
là số bóng xanh cho vào 2 hộp trống còn lại.
Điều kiện:
Đặt
Phương trình trở thành
với mọi biến thuộc
Tổng số nghiệm nguyên không âm của phương trình (với điều kiện các biến thuộc
là
Tuy nhiên trong 252 nghiệm trên có chứa các nghiệm vi phạm (tức có biến
Vì tổng các biến bằng 5 nên chỉ có 1 biến vi phạm.
Chọn 1 trong 6 biến để vi phạm: có 6 cách. Giả sử
Đặt
Phương trình trở thành
Số nghiệm vi phạm là
Số cách xếp bóng xanh thỏa mãn là
cách.
Vậy tổng số cách phân bổ là
Điền đáp án: 1890.
Câu 16 [1153785]: [Đề thi THPT Lê Thánh Tông]: Bác Nghĩa đang giúp con trai sắp xếp 16 cuốn sách ôn thi vào một chiếc kệ 5 ngăn phân biệt, 16 cuốn sách này thuộc 8 môn học khác nhau: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa, Văn, Anh. Mỗi môn học gồm đúng 2 cuốn: một cuốn sách giáo khoa và một cuốn sách bài tập.
Để việc ôn tập đạt hiệu quả cao nhất theo từng khối thi, bác Nghĩa đặt ra các quy tắc khắt khe sau:
• Do ngăn kệ nhỏ, mỗi ngăn chỉ được chứa tối đa 5 cuốn sách và không được để ngăn nào trống.
• Hai cuốn sách của cùng một môn học phải luôn nằm chung một ngăn với nhau.
• Các môn học trong cùng một tổ hợp môn thi phải nằm ở 3 ngăn liên tiếp để thuận tiện cho việc tra cứu. Các tổ hợp bao gồm: (Văn, Sử, Địa), (Toán, Lý, Hóa), (Toán, Hóa, Sinh) và (Toán, Lý, Anh).
• Các cuốn sách trong mỗi ngăn được xếp theo hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn, thứ tự từ trái sang phải.
Tổng số cách sắp xếp 16 cuốn sách này vào 5 ngăn kệ thỏa mãn điều kiện trên là
Tính giá trị của 
Để việc ôn tập đạt hiệu quả cao nhất theo từng khối thi, bác Nghĩa đặt ra các quy tắc khắt khe sau:
• Do ngăn kệ nhỏ, mỗi ngăn chỉ được chứa tối đa 5 cuốn sách và không được để ngăn nào trống.
• Hai cuốn sách của cùng một môn học phải luôn nằm chung một ngăn với nhau.
• Các môn học trong cùng một tổ hợp môn thi phải nằm ở 3 ngăn liên tiếp để thuận tiện cho việc tra cứu. Các tổ hợp bao gồm: (Văn, Sử, Địa), (Toán, Lý, Hóa), (Toán, Hóa, Sinh) và (Toán, Lý, Anh).
• Các cuốn sách trong mỗi ngăn được xếp theo hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn, thứ tự từ trái sang phải.
Tổng số cách sắp xếp 16 cuốn sách này vào 5 ngăn kệ thỏa mãn điều kiện trên là
Tính giá trị của
Đáp số: 
Để xếp 16 cuốn sách vào 5 ngăn sao cho không có ngăn nào được để trống và các sách cùng môn sẽ được xếp chung ngăn thì sẽ xếp được 3 ngăn chứa 4 cuốn (2 môn) và 2 ngăn chứa 2 cuốn (1 môn).
Số cách hoán vị sách trong các ngăn này ( các sách cùng môn ở chung ngăn nhưng không nhất thiết phải ở cạnh nhau) là:
Theo đề yêu cầu, ta đánh giá được như sau:
Ta thấy Toán tham gia vào 3 tổ hợp liên tiếp nên cố định Toán ở ngăn 3 để thỏa tính liền kề của ba tổ hợp môn.
Nhóm xã hội ( Văn, Sử, Địa) phải nằm ở ba ngăn liên tiếp nên hoán vị nội bộ của 3 môn này là:
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các môn tự nhiên xếp đều trên 5 ngăn ( mỗi ngăn một môn tự nhiên). Khi đó có hai khả năng xảy ra là:
Sinh – Hóa – Toán – Lý – Anh
Anh – Lý – Toán – Hóa – Sinh
Lúc này mỗi ngăn chỉ chứa 2 cuốn của tự nhiên nên có thể đặt thêm ba môn Xã Hội vào bất kỳ 3 ngăn liên tiếp trong 5 ngăn đó là (1,2,3); (2,3,4) và (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 2: Có 2 môn tự nhiên nằm ở ngăn 2. Khi đó có 4 khả năng xảy ra là:
Anh ( ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Hóa (ngăn 4)
Hóa ( ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Anh (ngăn 4)
Sinh ( ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Lý ( ngăn 4)
Lý (ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Sinh (ngăn 4)
Khi đó tổ hợp Xã Hội chỉ được xếp vào 3 ngăn liên tiếp là (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 3: Có một cặp tự nhiên nằm ở ngăn 4. Trường hợp này là cách làm đối xứng của trường hợp 2 nên có 24 (cách).
Trường hợp 4: Có hai cặp môn tự nhiên cùng nằm ở ngăn 1 và ngăn 2. Khi đó có 2 khả năng xảy ra là:
Lý, Sinh ( ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán ( ngăn 3)
Hóa, Anh (ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán ( ngăn 3)
Khi đó tổ hợp Xã Hội chỉ được xếp vào 3 ngăn liên tiếp là (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 5: Có hai cặp môn tự nhiên cùng nằm ở ngăn 4 và ngăn 5. Đây là cách làm đối xứng với trường hợp 4 nên có 12 (cách).
Suy ra tổng số xếp sách ở các trường hợp là:
( cách).
Vậy để xếp 18 cuốn sách theo yêu cầu sẽ có:
(cách).
Khi đó:
Để xếp 16 cuốn sách vào 5 ngăn sao cho không có ngăn nào được để trống và các sách cùng môn sẽ được xếp chung ngăn thì sẽ xếp được 3 ngăn chứa 4 cuốn (2 môn) và 2 ngăn chứa 2 cuốn (1 môn).
Số cách hoán vị sách trong các ngăn này ( các sách cùng môn ở chung ngăn nhưng không nhất thiết phải ở cạnh nhau) là:
Theo đề yêu cầu, ta đánh giá được như sau:
Ta thấy Toán tham gia vào 3 tổ hợp liên tiếp nên cố định Toán ở ngăn 3 để thỏa tính liền kề của ba tổ hợp môn.
Nhóm xã hội ( Văn, Sử, Địa) phải nằm ở ba ngăn liên tiếp nên hoán vị nội bộ của 3 môn này là:
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các môn tự nhiên xếp đều trên 5 ngăn ( mỗi ngăn một môn tự nhiên). Khi đó có hai khả năng xảy ra là:
Sinh – Hóa – Toán – Lý – Anh
Anh – Lý – Toán – Hóa – Sinh
Lúc này mỗi ngăn chỉ chứa 2 cuốn của tự nhiên nên có thể đặt thêm ba môn Xã Hội vào bất kỳ 3 ngăn liên tiếp trong 5 ngăn đó là (1,2,3); (2,3,4) và (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 2: Có 2 môn tự nhiên nằm ở ngăn 2. Khi đó có 4 khả năng xảy ra là:
Anh ( ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Hóa (ngăn 4)
Hóa ( ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Anh (ngăn 4)
Sinh ( ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Lý ( ngăn 4)
Lý (ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Sinh (ngăn 4)
Khi đó tổ hợp Xã Hội chỉ được xếp vào 3 ngăn liên tiếp là (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 3: Có một cặp tự nhiên nằm ở ngăn 4. Trường hợp này là cách làm đối xứng của trường hợp 2 nên có 24 (cách).
Trường hợp 4: Có hai cặp môn tự nhiên cùng nằm ở ngăn 1 và ngăn 2. Khi đó có 2 khả năng xảy ra là:
Lý, Sinh ( ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán ( ngăn 3)
Hóa, Anh (ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán ( ngăn 3)
Khi đó tổ hợp Xã Hội chỉ được xếp vào 3 ngăn liên tiếp là (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 5: Có hai cặp môn tự nhiên cùng nằm ở ngăn 4 và ngăn 5. Đây là cách làm đối xứng với trường hợp 4 nên có 12 (cách).
Suy ra tổng số xếp sách ở các trường hợp là:
( cách).
Vậy để xếp 18 cuốn sách theo yêu cầu sẽ có:
(cách).
Khi đó: