Câu 1 [1040502]: Thầy Duy có một bộ câu hỏi gồm 
câu hỏi khác nhau trong đó có 
câu khó, 
câu trung bình và 
câu dễ. Thầy Duy muốn tạo ra các đề gồm 5 câu hỏi và mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 
loại câu và số câu dễ không ít hơn 
để có tính phân hóa tốt nhất. Số cách thầy Duy tạo đề bằng 
. Tính 
câu hỏi khác nhau trong đó có câu khó, câu trung bình và câu dễ. Thầy Duy muốn tạo ra các đề gồm 5 câu hỏi và mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả loại câu và số câu dễ không ít hơn để có tính phân hóa tốt nhất. Số cách thầy Duy tạo đề bằng . Tính
Điền đáp án: 2275.
TH1: Số câu dễ là 2, số câu khó là 1, số câu trung bình là 2
Có
cách
TH2: Số câu dễ là 2, số câu khó là 2, số câu trung bình là 1
Có
cách
TH3: Số câu dễ là 3, số câu khó là 1, số câu trung bình là 1
Có
cách
TH1: Số câu dễ là 2, số câu khó là 1, số câu trung bình là 2
Có
cáchTH2: Số câu dễ là 2, số câu khó là 2, số câu trung bình là 1
Có
cáchTH3: Số câu dễ là 3, số câu khó là 1, số câu trung bình là 1
Có
cách
Câu 2 [1133837]: Hai người bạn là Nam và Việt mỗi người có một bộ thẻ giống hệt nhau, gồm 4 chiếc thẻ đánh số từ 1 đến 4. Nam rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ bộ của mình, Việt cũng rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ bộ của mình. Xác suất để số điểm tổng trên tay hai bạn bằng nhau là 
Hãy tính 
Hãy tính
Số cách rút thẻ (không điều kiện) của hai bạn là 
Vì các thẻ được đánh số từ 1 đến 4 nên các trường hợp để tổng điểm trên tay hai bạn bằng nhau là:
Tổng bằng 3:
có 1 cách rút thẻ thỏa mãn.
Tổng bằng 4:
có 1 cách rút thẻ thỏa mãn.
Tổng bằng 5:
có 
cách rút thẻ thỏa mãn.
Tổng bằng 6:
có 1 cách rút thẻ thỏa mãn.
Tổng bằng 7:
có 1 cách rút thẻ thỏa mãn.
Suy ra số cách rút thẻ thỏa mãn tổng điểm trên tay hai bạn bằng nhau là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 324.
Vì các thẻ được đánh số từ 1 đến 4 nên các trường hợp để tổng điểm trên tay hai bạn bằng nhau là:
Tổng bằng 3:
có 1 cách rút thẻ thỏa mãn.
Tổng bằng 4:
có 1 cách rút thẻ thỏa mãn.
Tổng bằng 5:
có cách rút thẻ thỏa mãn.
Tổng bằng 6:
có 1 cách rút thẻ thỏa mãn.
Tổng bằng 7:
có 1 cách rút thẻ thỏa mãn.
Suy ra số cách rút thẻ thỏa mãn tổng điểm trên tay hai bạn bằng nhau là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 324.
Câu 3 [1075956]: Một cửa hàng có 18 mặt hàng khác nhau được chia thành 3 loại: 7 mặt hàng loại A (giá tiền lẻ), 6 mặt hàng loại B (giá tiền chẵn) và 5 mặt hàng loại C (giá tiền chẵn). Cần chọn ra 5 mặt hàng để đóng gói thành một combo. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho tích giá tiền của 5 mặt hàng được chọn là một số chẵn đồng thời số lượng mặt hàng loại A được chọn không vượt quá 2?
Điền đáp án: 6237.
TH1: 0 sản phẩm loại
(chọn 5 từ 11 sản phẩm giá chẵn): 
.
TH2: 1 sản phẩm loại
(chọn 1 từ 7 loại 
từ 11 loại chẵn): 
TH3: 2 sản phẩm loại
(chọn 2 từ 7 loại 
từ 11 loại chẵn): 
Tổng số cách là
cách.
TH1: 0 sản phẩm loại
(chọn 5 từ 11 sản phẩm giá chẵn): .
TH2: 1 sản phẩm loại
(chọn 1 từ 7 loại từ 11 loại chẵn):
TH3: 2 sản phẩm loại
(chọn 2 từ 7 loại từ 11 loại chẵn):
Tổng số cách là
cách.
Câu 4 [1133842]: Một hình vuông lớn ghép bởi 24 hình chữ nhật bằng nhau. Gọi 
là trung điểm hai cạnh đối diện. Mỗi phía của đường thẳng 
có 12 hình chữ nhật. Chọn ngẫu nhiên 4 hình chữ nhật ở mỗi phía để tô đen (tổng 8 hình, tham khảo hình vẽ). Gấp hình vuông theo trục 
Xác suất để có đúng một cặp hình đen trùng khít lên nhau là là 
(trong đó phân số 
tối giản và 
). Tính 
là trung điểm hai cạnh đối diện. Mỗi phía của đường thẳng có 12 hình chữ nhật. Chọn ngẫu nhiên 4 hình chữ nhật ở mỗi phía để tô đen (tổng 8 hình, tham khảo hình vẽ). Gấp hình vuông theo trục Xác suất để có đúng một cặp hình đen trùng khít lên nhau là là (trong đó phân số tối giản và ). Tính
Ta có tất cả 12 cặp hình chữ nhật đối xứng nhau qua 
Số cách chọn ngẫu nhiên 4 hình chữ nhật ở mỗi phía để tô đen là
Gọi
là biến cố “có đúng một cặp hình đen trùng khít lên nhau”.
Bước 1: Chọn 1 cặp trong 12 cặp đối xứng để cả 2 hình đều được tô đen: Có
cách.
Bước 2: Chọn 3 hình đen còn lại ở phía bên trái từ 11 hình còn lại: Có
cách.
Bước 3: Chọn 3 hình đen còn lại ở phía bên phải
Để không có thêm cặp nào trùng khít, ta phải tránh chọn các hình đối xứng với 3 hình đã chọn ở phía bên trái. Vậy còn lại
hình để chọn.
Số cách chọn thỏa mãn là
cách.
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 719.
Số cách chọn ngẫu nhiên 4 hình chữ nhật ở mỗi phía để tô đen là
Gọi
là biến cố “có đúng một cặp hình đen trùng khít lên nhau”.
Bước 1: Chọn 1 cặp trong 12 cặp đối xứng để cả 2 hình đều được tô đen: Có
cách.
Bước 2: Chọn 3 hình đen còn lại ở phía bên trái từ 11 hình còn lại: Có
cách.
Bước 3: Chọn 3 hình đen còn lại ở phía bên phải
Để không có thêm cặp nào trùng khít, ta phải tránh chọn các hình đối xứng với 3 hình đã chọn ở phía bên trái. Vậy còn lại
hình để chọn.
Số cách chọn thỏa mãn là
cách.
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 719.
Câu 5 [1133838]: Lớp 12A có 10 nữ, 15 nam. Lớp 12B có 4 nữ, 10 nam. Biết có 
cách để lập ủy ban 7 người sao cho có đúng 4 học sinh lớp 12 B và đúng 5 nam. Tính 
cách để lập ủy ban 7 người sao cho có đúng 4 học sinh lớp 12 B và đúng 5 nam. Tính
Yêu cầu bài toán: Chọn ra 7 người (4 HS từ lớp B, 3 HS từ lớp A) sao cho có đúng 5 nam và 2 nữ.
Vì lớp A chỉ có tối đa 3 người, nên số Nam lấy từ lớp A tối đa là 3. Để đủ 5 Nam, lớp B phải đóng góp ít nhất 2 Nam. Ta có bảng thống kê các trường hợp thỏa mãn sau:
Suy ra
Điền đáp án: 7686.
Vì lớp A chỉ có tối đa 3 người, nên số Nam lấy từ lớp A tối đa là 3. Để đủ 5 Nam, lớp B phải đóng góp ít nhất 2 Nam. Ta có bảng thống kê các trường hợp thỏa mãn sau:
Suy ra
Điền đáp án: 7686.
Câu 6 [1133840]: Trong túi A và túi B, mỗi túi đều chứa 9 viên bi được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bạn Tuấn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi A, và bạn Tú lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi B. Sau khi kiểm tra số trên hai viên bi, họ không bỏ chúng lại vào túi. Khi lặp lại hành động này lần thứ hai, tính xác suất để:
• Lần thứ nhất: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là khác nhau.
• Lần thứ hai: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là giống nhau.
Biết xác suất này bằng
tính 
• Lần thứ nhất: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là khác nhau.
• Lần thứ hai: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là giống nhau.
Biết xác suất này bằng
tính
Gọi 
là biến cố “Lần thứ nhất: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là khác nhau”.
Gọi
là biến cố “Lần thứ hai: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là giống nhau”.
Khi đó xác suất cần tính là
với 
là xác suất lần thứ hai: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là giống nhau khi biết lần thứ nhất: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là khác nhau.
+) Tính
Số cách bốc mỗi túi 1 viên bi tùy ý (từ túi A: 9 viên, túi B: 9 viên) là
Số cách bốc Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là khác nhau là
+) Tính
Sau khi bốc lần thứ nhất (ra 2 viên khác nhau) thì mỗi túi còn lại 8 viên (trong đó còn lại 7 viên bi giống nhau). Do đó
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 576.
là biến cố “Lần thứ nhất: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là khác nhau”.
Gọi
là biến cố “Lần thứ hai: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là giống nhau”.
Khi đó xác suất cần tính là
với là xác suất lần thứ hai: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là giống nhau khi biết lần thứ nhất: Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là khác nhau.
+) Tính
Số cách bốc mỗi túi 1 viên bi tùy ý (từ túi A: 9 viên, túi B: 9 viên) là
Số cách bốc Hai số ghi trên hai viên bi lấy ra là khác nhau là
+) Tính
Sau khi bốc lần thứ nhất (ra 2 viên khác nhau) thì mỗi túi còn lại 8 viên (trong đó còn lại 7 viên bi giống nhau). Do đó
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 576.
Câu 7 [1133841]: Hộp A chứa 4 quả bóng đỏ và 5 quả bóng đen. Hộp B hiện đang trống. Ta lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp A.
• Nếu có ít nhất một quả bóng đỏ được lấy ra, ta bỏ 2 quả bóng vừa lấy vào hộp B.
• Nếu không có quả bóng đỏ nào được lấy ra, ta bỏ 2 quả bóng vừa lấy vào hộp B, sau đó lấy thêm 2 quả bóng nữa từ hộp A rồi cũng bỏ vào hộp B.
Xác suất để sau cùng hộp B có đúng 1 quả bóng đỏ là
Tính 
• Nếu có ít nhất một quả bóng đỏ được lấy ra, ta bỏ 2 quả bóng vừa lấy vào hộp B.
• Nếu không có quả bóng đỏ nào được lấy ra, ta bỏ 2 quả bóng vừa lấy vào hộp B, sau đó lấy thêm 2 quả bóng nữa từ hộp A rồi cũng bỏ vào hộp B.
Xác suất để sau cùng hộp B có đúng 1 quả bóng đỏ là
Tính
Từ điều kiện bài toán, để sau khi lấy ngẫu nhiên 2 quả từ hộp A thì hộp B có đúng 1 quả bóng đỏ xảy ra khi:
Trường hợp 1: Lần 1 có ít nhất một quả đỏ
Số cách chọn 2 quả bất kỳ từ 9 quả là
Để hộp B có đúng 1 đỏ, lần 1 phải lấy được 1 Đỏ và 1 Đen.
Số cách chọn 1 đỏ và 1 đen từ hộp A là
Xác suất Trường hợp 1 xảy ra là
Trường hợp 2: Lần 1 không có quả đỏ nào (Cả 2 đều Đen)
Bước 1: Xác suất lần 1 lấy 2 quả Đen là
Bước 2: Tính xác xuất lần 2 lấy được lấy 1 đỏ và 1 đen
Sau khi lấy 2 quả Đen, hộp A còn lại 4 Đỏ + 3 Đen = 7 quả.
Theo quy tắc, ta lấy tiếp 2 quả nữa từ 7 quả này bỏ vào hộp B. Để hộp B có đúng 1 đỏ, lần lấy thứ hai này phải chọn được 1 Đỏ và 1 Đen.
Xác suất lấy 1 đỏ và 1 đen từ 7 quả còn lại là
Xác suất Trường hợp 2 xảy ra là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 140.
Trường hợp 1: Lần 1 có ít nhất một quả đỏ
Số cách chọn 2 quả bất kỳ từ 9 quả là
Để hộp B có đúng 1 đỏ, lần 1 phải lấy được 1 Đỏ và 1 Đen.
Số cách chọn 1 đỏ và 1 đen từ hộp A là
Xác suất Trường hợp 1 xảy ra là
Trường hợp 2: Lần 1 không có quả đỏ nào (Cả 2 đều Đen)
Bước 1: Xác suất lần 1 lấy 2 quả Đen là
Bước 2: Tính xác xuất lần 2 lấy được lấy 1 đỏ và 1 đen
Sau khi lấy 2 quả Đen, hộp A còn lại 4 Đỏ + 3 Đen = 7 quả.
Theo quy tắc, ta lấy tiếp 2 quả nữa từ 7 quả này bỏ vào hộp B. Để hộp B có đúng 1 đỏ, lần lấy thứ hai này phải chọn được 1 Đỏ và 1 Đen.
Xác suất lấy 1 đỏ và 1 đen từ 7 quả còn lại là
Xác suất Trường hợp 2 xảy ra là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 140.
Câu 8 [1133839]: Có một chiếc hộp chứa 9 quả bóng được đánh số tự nhiên từ 1 đến 9. Một người lấy ngẫu nhiên từng quả bóng ra ngoài (không hoàn lại bóng vào hộp). Người này sẽ dừng lại khi tất cả các quả bóng mang số chẵn được lấy ra. Xác suất để người này dừng lại ở lần thứ 7 là 
(với 
là các số tự nhiên và phân số 
tối giản). Hãy tìm giá trị của 
(với là các số tự nhiên và phân số tối giản). Hãy tìm giá trị của
Tập hợp 
gồm 4 số chẵn 
và 5 số lẻ 
Để dừng ở lần thứ 7 thì quả bóng thứ 7 phải là quả chẵn cuối cùng và 6 lần đầu lấy được đúng 3 quả chẵn và 3 quả lẻ (trong 8 quả còn lại).
Bước 1: Xác suất lần 7 lấy được quả chẵn là
Bước 2: Xác suất 6 lần đầu lấy được đúng 3 chẵn, 3 lẻ (lúc này còn lại 8 quả gồm 3 số chẵn và 5 số lẻ) là
Vậy xác suất để người này dừng lại ở lần thứ 7 là
Điền đáp án: 73.
gồm 4 số chẵn và 5 số lẻ
Để dừng ở lần thứ 7 thì quả bóng thứ 7 phải là quả chẵn cuối cùng và 6 lần đầu lấy được đúng 3 quả chẵn và 3 quả lẻ (trong 8 quả còn lại).
Bước 1: Xác suất lần 7 lấy được quả chẵn là
Bước 2: Xác suất 6 lần đầu lấy được đúng 3 chẵn, 3 lẻ (lúc này còn lại 8 quả gồm 3 số chẵn và 5 số lẻ) là
Vậy xác suất để người này dừng lại ở lần thứ 7 là
Điền đáp án: 73.
Câu 9 [1040620]: Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi. Thí sinh chọn 3 phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình
Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi do thí sinh A chọn và 3 câu hỏi do thí sinh B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là
. Tính 
Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi do thí sinh A chọn và 3 câu hỏi do thí sinh B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là
. Tính
Điền đáp án: 2550.
Ta có:
Thí sinh A chọn 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trước nên số cách là
Thí sinh B chọn 3 câu hỏi trong 7 câu hỏi còn lại nên số cách là
Xác suất cần tìm là
Ta có:
Thí sinh A chọn 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trước nên số cách là
Thí sinh B chọn 3 câu hỏi trong 7 câu hỏi còn lại nên số cách là
Xác suất cần tìm là
Câu 10 [1075955]: Một nhà sưu tập sách có 16 cuốn sách khác nhau thuộc 3 thể loại: 8 cuốn Văn học (trong đó có 2 cuốn A và B), 5 cuốn Khoa học và 3 cuốn Lịch sử. Anh ấy muốn chọn ra 9 cuốn để trưng bày trên kệ. Điều kiện là phải chọn ít nhất 4 cuốn Văn học, ít nhất 2 cuốn Khoa học và ít nhất 1 cuốn Lịch sử. Ngoài ra, 2 cuốn sách Văn học A và B không được chọn đồng thời vì chúng chiếm quá nhiều diện tích. Hỏi có bao nhiêu cách để lập danh mục sách trưng bày?
Điền đáp án: 5575.
Trước hết, ta xét các bộ số lượng (Văn - Khoa - Sử) tổng bẳng 9 thỏa mãn điểu kiện tối thiểu:
-
-
-
-
-
-
Khi
và 
cùng có mặt, ta cần chọn 7 cuốn còn lại từ 14 cuốn, với số lượng Văn học giảm đi 2:
-
-
-
-
-
-
Tổng số cách chọn sao cho
và 
cùng có mặt là
cách.
Tổng số cách cần tìm là
cách.
Trước hết, ta xét các bộ số lượng (Văn - Khoa - Sử) tổng bẳng 9 thỏa mãn điểu kiện tối thiểu:
-
-
-
-
-
-
Khi
và cùng có mặt, ta cần chọn 7 cuốn còn lại từ 14 cuốn, với số lượng Văn học giảm đi 2:
-
-
-
-
-
-
Tổng số cách chọn sao cho
và cùng có mặt là
cách.
Tổng số cách cần tìm là
cách.
Câu 11 [1075948]: Có 12 thẻ số được đánh số từ 1 đến 12. Lấy ngẫu nhiên 3 thẻ từ 12 thẻ này. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho tổng các số ghi trên 3 thẻ được chọn là một số nguyên tố?
Điền đáp án: 62.
B1: Xác định phạm vi của tổng
Tổng nhỏ nhất:
.
Tổng lớn nhất:
.
Các số nguyên tố trong khoảng
là: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 .
B2: Liệt kê các bộ 3 số
cớ tổng bằng số nguyên tố
Tổng = 7:
cách.
Tổng = 11:
cách.
Tổng = 13: (1, 2, 10), (1, 3, 9), (1, 4, 8), (1, 5, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 5, 6), (3, 4, 6)
cách.
Tổng = 17:
cách.
Tổng = 19:
cách.
Tổng = 23:
cách
Tổng = 29:
→ 4 cách.
Tổng = 31:
cách.
Tổng cộng số cách chọn:
cách.
B1: Xác định phạm vi của tổng
Tổng nhỏ nhất:
.Tổng lớn nhất:
.Các số nguyên tố trong khoảng
là: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 .B2: Liệt kê các bộ 3 số
cớ tổng bằng số nguyên tốTổng = 7:
cách.Tổng = 11:
cách.Tổng = 13: (1, 2, 10), (1, 3, 9), (1, 4, 8), (1, 5, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 5, 6), (3, 4, 6)
cách.Tổng = 17:
cách.Tổng = 19:
cách.Tổng = 23:
cách Tổng = 29:
→ 4 cách.Tổng = 31:
cách.Tổng cộng số cách chọn:
cách.
Câu 12 [1075940]: Một câu lạc bộ cờ vua có 15 thành viên, gồm 8 nam (trong đó 3 người trên 40 tuổi) và 7 nữ (trong đó 2 người trên 40 tuổi). Cần chọn ra một đội tuyển 6 người để tham gia giải đấu, biết rằng đội tuyển phải có số lượng nam và nữ bằng nhau và số lượng thành viên trên 40 tuổi không được vượt quá 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển cờ vua?
Điền đáp án: 1400.
Trong 8 nam có 3 người trên 40 tuổi và 5 người dưới 40 tuổi
Trong 7 nam có 2 người trên 40 tuổi và 5 người dưới 40 tuổi
Số lượng nam và nữ bằng nhau nên đội sẽ gồm 3 nam, 3 nữ
TH1: Không có thành viên nào trên 40 tuổi.
Số cách chọn là
TH2: Có 1 thành viên trên 40 tuổi.
- 1 nam trên 40 tuổi có
cách
- 1 nữ trên 40 tuổi có
cách
Tổng số cách chọn là 500
TH3: Có 2 thành viên trên 40 tuổi.
- 2 nam trên 40 tuổi có
- 2 nữ trên 40 tuổi có
- 1 nam, 1 nữ trên 40 tuổi có
Tổng số cách chọn là 800 Vậy tổng số cách cần tìm là
Trong 8 nam có 3 người trên 40 tuổi và 5 người dưới 40 tuổi
Trong 7 nam có 2 người trên 40 tuổi và 5 người dưới 40 tuổi
Số lượng nam và nữ bằng nhau nên đội sẽ gồm 3 nam, 3 nữ
TH1: Không có thành viên nào trên 40 tuổi.
Số cách chọn là
TH2: Có 1 thành viên trên 40 tuổi.
- 1 nam trên 40 tuổi có
cách
- 1 nữ trên 40 tuổi có
cách
Tổng số cách chọn là 500
TH3: Có 2 thành viên trên 40 tuổi.
- 2 nam trên 40 tuổi có
- 2 nữ trên 40 tuổi có
- 1 nam, 1 nữ trên 40 tuổi có
Tổng số cách chọn là 800 Vậy tổng số cách cần tìm là
Câu 13 [1133843]: Một trường học tổ chức 9 môn học lựa chọn gồm:
• 2 môn Ngữ văn: Ngữ Văn 1; Ngữ Văn 2.
• 3 môn Toán: Toán 1, Toán 2 và Toán 3.
• 4 môn Khoa học: Khoa học 1, khoa học 2, khoa học 3, khoa học 4.
Hai học sinh A và B chọn các môn học từ 9 môn này sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:
• Mỗi học sinh chọn đúng 3 môn, trong đó phải có ít nhất 1 môn Ngữ văn và ít nhất 1 môn Toán.
• Số môn giống nhau giữa A và B là đúng 1 môn.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn môn học cho hai học sinh A và B?
• 2 môn Ngữ văn: Ngữ Văn 1; Ngữ Văn 2.
• 3 môn Toán: Toán 1, Toán 2 và Toán 3.
• 4 môn Khoa học: Khoa học 1, khoa học 2, khoa học 3, khoa học 4.
Hai học sinh A và B chọn các môn học từ 9 môn này sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:
• Mỗi học sinh chọn đúng 3 môn, trong đó phải có ít nhất 1 môn Ngữ văn và ít nhất 1 môn Toán.
• Số môn giống nhau giữa A và B là đúng 1 môn.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn môn học cho hai học sinh A và B?
Trường hợp 1: A chọn 2 Văn + 1 Toán (khi đó còn lại 2 Toán khác và 4 Khoa học)
Số cách chọn của A:
cách.
Số cách chọn của B (chung đúng 1 môn với A):
+) Cùng môn Văn: B chọn 1 trong 2 Văn của A: có 2 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: có
cách (tức có 1 toán + 1 khoa học; 2 toán).
Có 
cách để B chọn.
+) Cùng môn Toán: Không có trường hợp thỏa mãn (có ít nhất 1 môn Ngữ văn).
Vậy TH1 có số cách thỏa mãn là
Trường hợp 2: A chọn 1 Văn + 2 Toán (khi đó còn lại 1 Văn khác, 1 Toán khác và 4 Khoa học)
vSố cách chọn của A:
cách.
Số cách chọn của B (chung đúng 1 môn với A):
+) Cùng môn Văn: B lấy môn Văn của A: có 1 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: có
cách (tức 1 văn + 1 toán; 1 toán + 1 khoa học)
Có 
cách để B chọn.
+) Cùng môn Toán: B lấy 1 trong 2 môn Toán của A: có 2 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: có
cách (tức 1 văn + 1 toán; 1 văn + 1 khoa học)
Có 
cách để B chọn.
Vậy TH2 có số cách thỏa mãn là
Trường hợp 3: A chọn 1 Văn + 1 Toán + 1 Khoa học (khi đó còn lại 1 Văn khác, 2 Toán khác và 3 Khoa học khác)
Số cách chọn của A:
cách.
Số cách chọn của B (chung đúng 1 môn với A):
+) Cùng môn Văn: B lấy Văn của A: 1 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: Có
cách (tức 1 văn + 1 toán; 2 toán; 1 toán + 1 khoa học)
Có 
cách để B chọn.
+) Cùng môn Toán: B lấy Toán của A: 1 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: Có
cách (tức 1 văn + 1 toán; 1 văn + 1 khoa học).
Có 
cách để B chọn.
+) Cùng môn Khoa học: B lấy Khoa học của A: 1 cách.
Để thỏa mãn điều kiện thì 2 môn còn lại, B phải chọn 1 văn + 1 toán: Có
cách.
Có 
cách để B chọn.
Vậy TH3 có số cách thỏa mãn là
Vậy tổng số cách chọn cho cả hai học sinh A và B là
Điền đáp án: 528.
Số cách chọn của A:
cách.
Số cách chọn của B (chung đúng 1 môn với A):
+) Cùng môn Văn: B chọn 1 trong 2 Văn của A: có 2 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: có
cách (tức có 1 toán + 1 khoa học; 2 toán).
Có cách để B chọn.
+) Cùng môn Toán: Không có trường hợp thỏa mãn (có ít nhất 1 môn Ngữ văn).
Vậy TH1 có số cách thỏa mãn là
Trường hợp 2: A chọn 1 Văn + 2 Toán (khi đó còn lại 1 Văn khác, 1 Toán khác và 4 Khoa học)
vSố cách chọn của A:
cách.
Số cách chọn của B (chung đúng 1 môn với A):
+) Cùng môn Văn: B lấy môn Văn của A: có 1 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: có
cách (tức 1 văn + 1 toán; 1 toán + 1 khoa học)
Có cách để B chọn.
+) Cùng môn Toán: B lấy 1 trong 2 môn Toán của A: có 2 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: có
cách (tức 1 văn + 1 toán; 1 văn + 1 khoa học)
Có cách để B chọn.
Vậy TH2 có số cách thỏa mãn là
Trường hợp 3: A chọn 1 Văn + 1 Toán + 1 Khoa học (khi đó còn lại 1 Văn khác, 2 Toán khác và 3 Khoa học khác)
Số cách chọn của A:
cách.
Số cách chọn của B (chung đúng 1 môn với A):
+) Cùng môn Văn: B lấy Văn của A: 1 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: Có
cách (tức 1 văn + 1 toán; 2 toán; 1 toán + 1 khoa học)
Có cách để B chọn.
+) Cùng môn Toán: B lấy Toán của A: 1 cách.
Chọn 2 môn còn lại thỏa mãn: Có
cách (tức 1 văn + 1 toán; 1 văn + 1 khoa học).
Có cách để B chọn.
+) Cùng môn Khoa học: B lấy Khoa học của A: 1 cách.
Để thỏa mãn điều kiện thì 2 môn còn lại, B phải chọn 1 văn + 1 toán: Có
cách.
Có cách để B chọn.
Vậy TH3 có số cách thỏa mãn là
Vậy tổng số cách chọn cho cả hai học sinh A và B là
Điền đáp án: 528.
Câu 14 [1139912]: Trong một túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng. Các viên bi có cùng màu thì giống hệt nhau. Gọi số cách lấy ra 5 viên bi và sắp xếp chúng vào 5 ô sao cho 5 ô bi đó có ít nhất một viên bi đỏ bằng T. Phần dư của T cho 10000 bằng bao nhiêu?
Vì các bi cùng màu là giống nhau và số lượng mỗi viên bi đều lớn hơn 5 nên tổng số cách sắp xếp bi vào 5 ô bằng số cách dùng 3 màu đỏ, vàng, xanh tô cho 5 ô.
Mỗi ô có 3 lựa chọn là đỏ, vàng hoặc xanh nên số cách xếp bi vào 5 ô là
cách.
Tương tự, số cách sắp xếp không có viên bi đỏ nào (mỗi ô chỉ có 2 lựa chọn xanh, vàng) là
cách.
Suy ra số cách có ít nhất một viên bi đỏ là
dư 211.
Điền đáp án: 211.
Mỗi ô có 3 lựa chọn là đỏ, vàng hoặc xanh nên số cách xếp bi vào 5 ô là
cách.
Tương tự, số cách sắp xếp không có viên bi đỏ nào (mỗi ô chỉ có 2 lựa chọn xanh, vàng) là
cách.
Suy ra số cách có ít nhất một viên bi đỏ là
dư 211.
Điền đáp án: 211.
Câu 15 [1168814]: Trong một hộp có 8 quả bóng nhỏ giống hệt nhau, chỉ khác màu: có 2 bóng đỏ, 2 bóng đen và 4 bóng trắng. Từ hộp lấy ra từng quả một, không hoàn lại. Nếu cứ tiếp tục rút cho đến khi rút hết 8 quả bóng, xác suất để màu đỏ là màu bị rút hết trước tiên là 
(trong đó 
là phân số tối giản, 
), tính 
(trong đó là phân số tối giản, ), tính
Trả lời: 1853
Gọi xác suất "bóng trắng là màu bị rút hết trước tiên" là
, khi đó xác suất "bóng đỏ là màu bị rút hết trước tiên" bằng 
(vì xác suất bóng đỏ và bóng đen bằng nhau)
Từ 8 quả bóng, mỗi lần rút 1 quả, không hoàn lại, cho tới khi rút hết, có tất cả
cách rút.
- Nếu quả trắng cuối cùng xuất hiện ở lần rút thứ 4, thì có
cách rút.
- Nếu quả trắng cuối cùng xuất hiện ở lần rút thứ 5, thì có
cách rút.
- Nếu quả trắng cuối cùng xuất hiện ở lần rút thứ 6, thì có
cách rút.
- Nếu quả trắng cuối cùng xuất hiện ở lần rút thứ 7, thì có
cách rút.
Vì vậy
Suy ra xác suất bóng đỏ bị rút hết trước tiên là
Gọi xác suất "bóng trắng là màu bị rút hết trước tiên" là
, khi đó xác suất "bóng đỏ là màu bị rút hết trước tiên" bằng (vì xác suất bóng đỏ và bóng đen bằng nhau)
Từ 8 quả bóng, mỗi lần rút 1 quả, không hoàn lại, cho tới khi rút hết, có tất cả
cách rút.
- Nếu quả trắng cuối cùng xuất hiện ở lần rút thứ 4, thì có
cách rút.
- Nếu quả trắng cuối cùng xuất hiện ở lần rút thứ 5, thì có
cách rút.
- Nếu quả trắng cuối cùng xuất hiện ở lần rút thứ 6, thì có
cách rút.
- Nếu quả trắng cuối cùng xuất hiện ở lần rút thứ 7, thì có
cách rút.
Vì vậy
Suy ra xác suất bóng đỏ bị rút hết trước tiên là
Câu 16 [1168815]: Trong một kỳ thi bằng hình thức vấn đáp, ban tổ chức chuẩn bị một bộ câu hỏi gồm 12 câu hỏi khác nhau, mỗi câu được đựng trong một phong bì kín giống hệt nhau. Có ba thí sinh 
và 
cùng tham gia. Quy tắc chọn câu hỏi như sau: mỗi thí sinh lần lượt chọn ngẫu nhiên 4 phong bì từ bộ 12 câu hỏi đó để xác định phần thi của mình (sau khi mỗi thí sinh chọn xong, các câu hỏi được hoàn trả lại để thí sinh tiếp theo vẫn chọn từ bộ 12 câu ban đầu). Biết rằng xác suất để xảy ra đồng thời hai điều kiện:
• Có ít nhất một câu hỏi mà cả ba thí sinh
đều chọn giống nhau.
• Tổng số câu hỏi khác nhau mà cả ba thí sinh đã chọn được là đúng 9 câu.
được viết dưới dạng phân số tối giản
(với 
là các số nguyên dương). Tính giá trị của biểu thức 
và cùng tham gia. Quy tắc chọn câu hỏi như sau: mỗi thí sinh lần lượt chọn ngẫu nhiên 4 phong bì từ bộ 12 câu hỏi đó để xác định phần thi của mình (sau khi mỗi thí sinh chọn xong, các câu hỏi được hoàn trả lại để thí sinh tiếp theo vẫn chọn từ bộ 12 câu ban đầu). Biết rằng xác suất để xảy ra đồng thời hai điều kiện:• Có ít nhất một câu hỏi mà cả ba thí sinh
đều chọn giống nhau.• Tổng số câu hỏi khác nhau mà cả ba thí sinh đã chọn được là đúng 9 câu.
được viết dưới dạng phân số tối giản
(với là các số nguyên dương). Tính giá trị của biểu thức
Số cách để 3 học sinh bốc bộ 4 câu hỏi bất kì là 
Gọi
là số câu chung của cả 3 bạn 
Nếu
Số câu còn lại của mỗi bạn là 
Tổng số câu hỏi khác nhau tối đa là 
(Loại). Suy ra 
không thể bằng 2, 3, hay 4.
Nếu
Mỗi bạn còn lại 
câu.
Nếu tất cả các câu này đều khác nhau, tổng số câu là
.
Để có đúng 9 câu khác nhau, ta cần giảm 1 câu bằng cách cho đúng 2 bạn trùng nhau thêm 1 câu nữa.
Do đó 12 câu hỏi sẽ gồm:
• 1 câu xuất hiện 3 lần.
• 1 câu xuất hiện đúng 2 lần.
• 7 câu còn lại xuất hiện đúng 1 lần.
Bước 1: Chọn và xếp 1 câu xuất hiện 3 lần:
cách.
Bước 2: Chọn ra 2 bạn có chung 1 câu:
cách. Giả sử chọn A và B.
Chọn ra 1 câu cho 2 bạn này:
cách.
Chọn và xếp 1 câu chung cho 2 bạn là 
Bước 3: Chọn và xếp 7 câu khác nhau (từ 10 câu còn lại)
Lúc này, A và B còn lại 2 câu khác; C còn lại 3 câu khác cần chọn. Số cách chọn là
Số cách chọn thỏa mãn là 
Xác suất cần tìm là 
Vậy
Điền đáp án: 5893.
Gọi
là số câu chung của cả 3 bạn
Nếu
Số câu còn lại của mỗi bạn là Tổng số câu hỏi khác nhau tối đa là (Loại). Suy ra không thể bằng 2, 3, hay 4.
Nếu
Mỗi bạn còn lại câu.
Nếu tất cả các câu này đều khác nhau, tổng số câu là
.
Để có đúng 9 câu khác nhau, ta cần giảm 1 câu bằng cách cho đúng 2 bạn trùng nhau thêm 1 câu nữa.
Do đó 12 câu hỏi sẽ gồm:
• 1 câu xuất hiện 3 lần.
• 1 câu xuất hiện đúng 2 lần.
• 7 câu còn lại xuất hiện đúng 1 lần.
Bước 1: Chọn và xếp 1 câu xuất hiện 3 lần:
cách.
Bước 2: Chọn ra 2 bạn có chung 1 câu:
cách. Giả sử chọn A và B.
Chọn ra 1 câu cho 2 bạn này:
cách.
Chọn và xếp 1 câu chung cho 2 bạn là
Bước 3: Chọn và xếp 7 câu khác nhau (từ 10 câu còn lại)
Lúc này, A và B còn lại 2 câu khác; C còn lại 3 câu khác cần chọn. Số cách chọn là
Số cách chọn thỏa mãn là
Xác suất cần tìm là
Vậy
Điền đáp án: 5893.
Câu 17 [1075959]: Một Tòa án cần thành lập Ban Hội Thẩm gồm 7 thành viên từ một danh sách 15 luật sư có sẵn, bao gồm: 8 nam và 7 nữ. Trong danh sách có 3 chuyên gia luật hình sự (gồm 2 nam, 1 nữ) và 5 chuyên gia luật dân sự (gồm 3 nam, 2 nữ). Ban Hội Thẩm phải có số lượng nữ lớn hơn số lượng nam và phải có ít nhất 2 chuyên gia luật hình sự. Hơn nữa, một luật sư nữ N1 và một luật sư nam M1 không được làm việc cùng nhau do xung đột lợi ích, nhưng một luật sư nữ N2 và chuyên gia luật hình sự M2 (nam) bắt buộc phải cùng có mặt trong hội đồng. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để lập Ban Hội Thẩm thỏa mãn tất cả các điều kiện phức tạp này?
Có 15 luật sư gồm: 8 nam, 7 nữ. Trong đó:
• Nhóm Hình sự (HS): 3 người (2 nam, 1 nữ).
• Nhóm còn lại: 12 người (6 nam- có M1, 6 nữ- có N1).
Yêu cầu lập Ban Hội Thẩm gồm 7 người thỏa mãn các điều kiện:
1. Số nữ > số nam
2. Có ít nhất 2 chuyên gia hình sự
3. M2 (nam, hình sự) và N2 (nữ) bắt buộc có mặt
4. N1 (nữ) và M1 (nam) không được cùng xuất hiện
Vì M2 (nam hình sự) và N2 (nữ) bắt buộc có mặt nên ta chỉ cần chọn thêm 5 người từ 13 người còn lại.
Danh sách 13 người còn lại gồm:
• Nhóm Hình sự (HS): 2 người (1 nam, 1 nữ).
• Nhóm còn lại: 11 người (6 nam - có M1, 5 nữ - có N1).
Điều kiện lúc này:
+) Nữ > Nam (tức 5 nữ + 0 nam; 4 nữ + 1 nam; 3 nữ + 2 nam).
+) Cần ít nhất thêm 1 chuyên gia hình sự nữa (Vì để thỏa mãn "Ít nhất 2 chuyên gia hình sự", mà đã có M2, nên ta cần chọn thêm ít nhất 1 người từ nhóm 2 người HS còn lại)
+) N1 và M1 không được cùng xuất hiện
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: 3 Nữ + 2 Nam
Tổng cách chọn 3 Nữ, 2 Nam bất kỳ:
Số cách chọn không có HS nào (tức chọn 3 Nữ, 2 Nam từ 5 nữ và 6 nam không thuộc nhóm HS):
Số cách có ít nhất 1 HS là 
Mà trong 270 cách trên có chứa các cách vi phạm (có cả M1 và N1).
Số cách vi phạm (có cả nam M1 và nữ N1): ta cần chọn thêm 2 nữ, 1 nam từ 11 người còn lại sao cho có ít nhất 1 HS. Có
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH1 là 
cách.
TH2: 4 Nữ + 1 Nam
Tổng cách chọn 4 Nữ, 1 Nam bất kỳ:
Số cách chọn không có HS nào:
Số cách có ít nhất 1 HS: 
Mà trong 75 cách này có chứa các cách vi phạm (có cả M1 và N1).
Số cách vi phạm (có cả M1 và N1):
Đã lấy nữ N1, nam M1
cần chọn thêm 3 nữ từ 5 người nữ còn lại sao cho có ít nhất 1 HS: Có 
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH2 là 
cách.
TH3: 5 Nữ + 0 Nam
Vì không chọn nam nên điều kiện "M1 không cùng N1" luôn thỏa mãn (vì M1 không xuất hiện).
Tổng cách chọn 5 Nữ bất kỳ:
Số cách chọn không có HS nào (Chỉ có 1 cách duy nhất là chọn hết 5 nữ không phải HS): có
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH3 là 
cách.
Tổng số cách lập Ban Hội Thẩm là
Điền đáp án: 314.
• Nhóm Hình sự (HS): 3 người (2 nam, 1 nữ).
• Nhóm còn lại: 12 người (6 nam- có M1, 6 nữ- có N1).
Yêu cầu lập Ban Hội Thẩm gồm 7 người thỏa mãn các điều kiện:
1. Số nữ > số nam
2. Có ít nhất 2 chuyên gia hình sự
3. M2 (nam, hình sự) và N2 (nữ) bắt buộc có mặt
4. N1 (nữ) và M1 (nam) không được cùng xuất hiện
Vì M2 (nam hình sự) và N2 (nữ) bắt buộc có mặt nên ta chỉ cần chọn thêm 5 người từ 13 người còn lại.
Danh sách 13 người còn lại gồm:
• Nhóm Hình sự (HS): 2 người (1 nam, 1 nữ).
• Nhóm còn lại: 11 người (6 nam - có M1, 5 nữ - có N1).
Điều kiện lúc này:
+) Nữ > Nam (tức 5 nữ + 0 nam; 4 nữ + 1 nam; 3 nữ + 2 nam).
+) Cần ít nhất thêm 1 chuyên gia hình sự nữa (Vì để thỏa mãn "Ít nhất 2 chuyên gia hình sự", mà đã có M2, nên ta cần chọn thêm ít nhất 1 người từ nhóm 2 người HS còn lại)
+) N1 và M1 không được cùng xuất hiện
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: 3 Nữ + 2 Nam
Tổng cách chọn 3 Nữ, 2 Nam bất kỳ:
Số cách chọn không có HS nào (tức chọn 3 Nữ, 2 Nam từ 5 nữ và 6 nam không thuộc nhóm HS):
Số cách có ít nhất 1 HS là Mà trong 270 cách trên có chứa các cách vi phạm (có cả M1 và N1).Số cách vi phạm (có cả nam M1 và nữ N1): ta cần chọn thêm 2 nữ, 1 nam từ 11 người còn lại sao cho có ít nhất 1 HS. Có
cách.Số cách thỏa mãn ở TH1 là cách.TH2: 4 Nữ + 1 Nam
Tổng cách chọn 4 Nữ, 1 Nam bất kỳ:
Số cách chọn không có HS nào:
Số cách có ít nhất 1 HS: Mà trong 75 cách này có chứa các cách vi phạm (có cả M1 và N1).Số cách vi phạm (có cả M1 và N1):
Đã lấy nữ N1, nam M1
cần chọn thêm 3 nữ từ 5 người nữ còn lại sao cho có ít nhất 1 HS: Có cách.Số cách thỏa mãn ở TH2 là cách.TH3: 5 Nữ + 0 Nam
Vì không chọn nam nên điều kiện "M1 không cùng N1" luôn thỏa mãn (vì M1 không xuất hiện).
Tổng cách chọn 5 Nữ bất kỳ:
Số cách chọn không có HS nào (Chỉ có 1 cách duy nhất là chọn hết 5 nữ không phải HS): có
cách.Số cách thỏa mãn ở TH3 là cách.Tổng số cách lập Ban Hội Thẩm là
Điền đáp án: 314.
Câu 18 [1133844]: Trong một cái ao có 
con cá. Để ước lượng số cá, người nông dân thực hiện quy trình sau:
+ Ngày thứ nhất: Bắt ngẫu nhiên 10 con cá, đánh dấu (sơn màu) lên chúng rồi thả lại vào ao.
+ Ngày thứ hai: Bắt ngẫu nhiên 23 con cá từ ao và thấy có đúng 3 con đã được đánh dấu từ hôm trước.
Gọi
là xác suất để bắt được đúng 3 con cá đã sơn màu trong tổng số 23 con cá được bắt ra ở ngày thứ hai. Tìm giá trị của 
để xác suất 
đạt giá trị lớn nhất.
con cá. Để ước lượng số cá, người nông dân thực hiện quy trình sau:+ Ngày thứ nhất: Bắt ngẫu nhiên 10 con cá, đánh dấu (sơn màu) lên chúng rồi thả lại vào ao.
+ Ngày thứ hai: Bắt ngẫu nhiên 23 con cá từ ao và thấy có đúng 3 con đã được đánh dấu từ hôm trước.
Gọi
là xác suất để bắt được đúng 3 con cá đã sơn màu trong tổng số 23 con cá được bắt ra ở ngày thứ hai. Tìm giá trị của để xác suất đạt giá trị lớn nhất.
Số cá trong ao là 
Số cá đã được đánh dấu:
Số cá không được đánh dấu:
Số cá bắt ra ở ngày thứ hai:
Số cá đã đánh dấu trong mẫu bắt ra:
Xác suất để bắt được đúng 3 con cá đã đánh dấu là
Vì
là biến rời rạc 
đồ thị của 
là tập hợp các điểm cô lập chứ không phải một đường cong liền mạch. Do đó, thay vì dùng đạo hàm, ta sử dụng phương pháp sai phân (xét hiệu 
hoặc xét tỷ số để đánh giá tính tăng, giảm của dãy số.
Xét tỷ số giữa
và 
(vì nếu 
thì dãy số 
đang tăng còn nếu 
thì dãy 
đang giảm. Khi đó giá trị 
làm cho tỷ số chuyển từ lớn hơn 1 sang nhỏ hơn 1 chính là "đỉnh", nơi 
đạt giá trị lớn nhất). Lưu ý: Phương pháp xét tỉ số và so sánh với 1 chỉ đúng khi các số hạng trong dãy đều dương.
(Điều kiện: để 
dương thì 
Để
đạt giá trị lớn nhất, ta tìm số tự nhiên 
sao cho tỷ số này bắt đầu nhỏ hơn 1.
Xét bất phương trình
Với
ta có 
nghĩa là dãy số đang tăng.
Với
ta có 
nghĩa là dãy số đang giảm.
Do đó, giá trị
đạt lớn nhất tại 
Số cá đã được đánh dấu:
Số cá không được đánh dấu:
Số cá bắt ra ở ngày thứ hai:
Số cá đã đánh dấu trong mẫu bắt ra:
Xác suất để bắt được đúng 3 con cá đã đánh dấu là
Vì
là biến rời rạc đồ thị của là tập hợp các điểm cô lập chứ không phải một đường cong liền mạch. Do đó, thay vì dùng đạo hàm, ta sử dụng phương pháp sai phân (xét hiệu hoặc xét tỷ số để đánh giá tính tăng, giảm của dãy số.Xét tỷ số giữa
và (vì nếu thì dãy số đang tăng còn nếu thì dãy đang giảm. Khi đó giá trị làm cho tỷ số chuyển từ lớn hơn 1 sang nhỏ hơn 1 chính là "đỉnh", nơi đạt giá trị lớn nhất). Lưu ý: Phương pháp xét tỉ số và so sánh với 1 chỉ đúng khi các số hạng trong dãy đều dương. (Điều kiện: để dương thì Để
đạt giá trị lớn nhất, ta tìm số tự nhiên sao cho tỷ số này bắt đầu nhỏ hơn 1.Xét bất phương trình
Với
ta có nghĩa là dãy số đang tăng.Với
ta có nghĩa là dãy số đang giảm.Do đó, giá trị
đạt lớn nhất tại