Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1035726]: Bài toán tìm số ước nguyên dương
∎ Giả sử số tự nhiên được phân tích thành thừa số nguyên tố
∎ Khi đó số ước nguyên dương của số là
Các em xem video bài giảng để hiểu thêm nhé. Chúc các em học tốt!
Câu 2 [519327]: Cho số Hỏi M có tất cả bao nhiêu ước số dương?
A,
B,
C,
D,
Số ước dương là:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [1075989]: Tìm số ước nguyên dương của 20242025.
Điền đáp án: 12.
Ta có:
Nếu một số được phân tích thành , thì số lượng ước nguyên dương là .
Số lượng ước nguyên dương của 2750 là
Câu 4 [1134165]: Số ước nguyên dương của bằng bao nhiêu?
Ta có
Suy ra số ước nguyên đương của là
Điền đáp án: 160.
Câu 5 [1134166]: Cho tập hợp S gồm các số nguyên dương nhỏ hơn 2025, chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc tập hợp S. Gọi là xác suất số được chọn là một số có ước nguyên dương là một số lẻ. Biết rằng là phân số tối giản khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
Ta có “Nếu số ước nguyên dương của một số là số lẻ, thì số đó chắc chắn là một số chính phương”. Do đó các số nguyên dương nhỏ hơn 2025 có dạng với

Vậy có 44 số nhỏ hơn 2025 có ước nguyên dương là một số lẻ.
Suy ra xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 47.
Câu 6 [1134480]: Bài toán tìm số chia hết
Nguyên tắc khi lập một số tự nhiên:
Luôn ưu tiên xét các vị trí (chữ số) bị ràng buộc nhiều nhất trước:
• Ràng buộc vị trí đầu tiên: Chữ số đầu tiên phải khác 0.
• Ràng buộc vị trí cuối cùng: Chữ số cuối cùng bị ràng buộc bởi tính chẵn/lẻ, chia hết,..
• Ràng buộc về sự khác biệt: Nếu các chữ số phải khác nhau, việc chọn ở các bước sau sẽ phụ thuộc vào các bước trước.
Dấu hiệu chia hết
Cho một số tự nhiên có chữ số ():
• Số chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là số chẵn.
• Số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
• Số chia hết cho 4 khi 2 chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 4.
• Số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.
• Số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Chú ý: chia hết cho là các số nguyên tố) khi và chỉ khi n đồng thời chia hết cho cả và
Câu 7 [1075985]: Cho các chữ số từ 0 đến 6, có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số trên mà chia hết cho 5 ?
Điền đáp án: 1320.
Gọi số tự nhiên có 6 chữ số là .
Số cần tìm chia hết cho 5

+)
- Có cách chọn 5 chữ số còn lại
+)
- Có cách chọn 5 chữ số còn lại
Vậy có tất cả số.
Câu 8 [1075987]: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9?
Điền đáp án: 16.
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số là .
Các bộ 3 chữ số khác nhau từ tập đã cho có tổng chia hết cho 9 là và và
- Bộ : có số
- Bộ : có số
- Bộ : có số
Có tất cả số.
Câu 9 [1075998]: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 mà số đó chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5?
Điền đáp án: 467.
Note: Số tự nhiên nhỏ hơn mà chia hết cho có số.
Gọi là tập các số chia hết cho 3.
là tập các số chia hết cho 5.
Khi đó số các số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5 là
Ta có:


Câu 10 [1076004]: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Điền đáp án: 38.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là
Mỗi chữ số đề không vượt quá 5 nên số cần lập được tạo thành từ 6 chữ số
Số cần tìm chia hết cho 15

TH1:
-
Bộ số thỏa mãn là
Có số
-
Bộ số thỏa mãn là
Có số
-
Bộ số thỏa mãn là Có số
TH2:
-
Bộ số thỏa mãn là
Có số
-
Bộ số thỏa mãn là
Có số
Vậy có tất cả số.
Câu 11 [713079]: Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 6 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn bài toán có dạng ().
Theo bài ra: Vì chia hết cho 6 nên phải là số chẵn.
Như vậy, c có 4 cách chọn.
Trường hợp 1: c = 0.
Khi đó, (a;b) là hoán vị của bộ số (1;2), (1;5), (2;4), (3;6), (4;5).
Mỗi trường hợp có 2 cách sắp xếp.
Như vậy có 5.2 = 10 số tự nhiên thỏa mãn bài toán trong trường hợp 1.
Trường hợp 2: c = 2.
Khi đó, (a;b) là hoán vị của bộ số (0;1), (0;4), (1;3), (1;6), (3;4), (4;6).
Mỗi trường hợp có chữ số 0 có 1 cách sắp xếp.
Mỗi trường hợp không có chữ số 0 có 2 cách sắp xếp.
Như vậy, có 2 + 4.2 = 10 số tự nhiên thỏa mãn bài toán trong trường hợp 2.
Trường hợp 3: c = 4.
Khi đó, (a;b) là hoán vị của bộ số (0;2), (0;5), (2;3), (2;6), (3;5), (5;6).
Làm tương tự trường hợp 2, có 2 + 4.2 = 10 số tự nhiên thỏa mãn bài toán trong trường hợp 3.
Trường hợp 4: c = 6.
Khi đó, (a;b) là hoán vị của bộ số (0;3), (1;2), (1;5), (2;4), (4;5).
Làm tương tự trường hợp 2, trường hợp này có 1 + 4.2 = 9 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.
Số phần tử của không gian mẫu: .
Xác suất để chọn được số chia hết cho 6:
.
Câu 12 [1134488]: Bài toán tổng của một số chia hết cho k
Tìm các số nguyên thoả mãn (với k là số nguyên dương)
Đối với chương trình trung học phổ thông, ta sẽ thường gặp bài toán có tổng là một số chia hết cho 2, 3, 4, 5.
Vậy để giải quyết những bài toán chia hết nói chung, ta sẽ sử dụng kĩ năng tìm phần dư như sau:
Bước 1: Chia bộ số theo phần dư
Ta chia các bộ số đề bài cho thành các nhóm theo phần dư:
+ Chia k dư 0
+ Chia k dư 1
+ Chia k dư 2
…..
+ Chia k dư
Bước 2: Nhóm của số trong các nhóm
Sau khi đã chia thành các nhóm, ta thực hiện nhóm các số của từng nhóm với nhau, sao cho phần dư của mỗi số đó có tổng là một số chia hết cho k.
Ví dụ: giả sử bài toán chia hết cho 3, khi cộng 2 số bất kì thì phần dư của hai số đó phải chia hết cho 3.
Ta có thể chọn số 4 (có phần dư là 1) và số 8 (có phần dư là 2) tổng phần dư bằng 3 là một số chia hết cho 3, nên tổng chia hết cho 3.
Bước 3: Đếm số trường hợp thoả mãn
Sau khi đã xác định được số phần tử của từng nhóm, ta sử dụng các quy tắc đếm thông thường để tìm các bộ số thoả mãn yêu cầu
Câu 13 [713084]: Có 50 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi là không gian mẫu của phép thử rút ngẫu nhiên 3 thẻ.
Ta có: .
Gọi là biến cố “tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3”.
50 thẻ được chia thành 3 loại gồm:
+ 16 thẻ có số chia hết cho 3 là .
+ 17 thẻ có số chia cho 3 dư 1 là .
+ 17 thẻ có số chia cho 3 dư 2 là .
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: 3 thẻ được chọn cùng một loại có cách.
TH2: 3 thẻ được chọn mỗi loại 1 thẻ có cách.
Do đó .
Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 bằng:
.
Câu 14 [1134167]: Cho hai hộp bi, hộp thứ nhất có 10 viên bi được đánh số từ 1 đến 10, hộp thứ hai có 8 viên bi được đánh số từ 1 đến 8. Chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp 1 và một viên bi từ hộp 2. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 2 viên bi vừa chọn là một số chia hết cho 3 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Số cách lấy 1 viên từ hộp 1 (10 cách) và 1 viên từ hộp 2 (8 cách) là
Bước 1: Chia bộ số theo phần dư khi chia cho 3
Hộp 1 (từ 1 đến 10):
Nhóm (chia hết cho 3): 3, 6, 9 Có 3 số.
Nhóm (tức chia 3 dư 1): 1, 4, 7, 10 Có 4 số.
Nhóm (tức chia 3 dư 2): 2, 5, 8 Có 3 số.
Hộp 2 (từ 1 đến 8):
Nhóm 3, 6 Có 2 số.
Nhóm 1, 4, 7 Có 3 số.
Nhóm 2, 5, 8 Có 3 số.
Bước 2: Nhóm các cặp phần dư có tổng chia hết cho 3 và đếm số trường hợp thỏa mãn
Để tổng hai số chia hết cho 3, tổng các phần dư tương ứng phải chia hết cho 3. Có các trường hợp sau:
TH1: Cả hai số đều chia hết cho 3
Số cách chọn là
TH2: Số thứ nhất dư 1, số thứ hai dư 2
Số cách chọn là
TH3: Số thứ nhất dư 2, số thứ hai dư 1
Số cách chọn là
Số cách chọn thỏa mãn là cách.
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,34.
Câu 15 [1134168]: Cho tập hợp các số tự nhiên , chọn ngẫu nhiên 2 phần tử thuộc tập S. Tính xác suất để chọn được 2 phần tử có tổng là một số chia hết cho 4 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Chọn 2 số bất kỳ từ tập là
Bước 1: Chia tập S thành các nhóm theo số dư khi chia cho 4
• Nhóm (dư 0): gồm 7 số.
• Nhóm (dư 1): gồm 8 số.
• Nhóm (dư 2): gồm 8 số.
• Nhóm (dư 3): gồm 7 số.
Bước 2: Đếm số cách chọn cặp có tổng chia hết cho 4
Để tổng 2 số chia hết cho 4, ta có các trường hợp sau:
TH1: Chọn 2 số từ nhóm có cách.
TH2: Chọn 2 số từ nhóm có
TH3: Chọn 1 số từ và 1 số từ có
Suy ra tổng số kết quả thuận lợi là
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 0,24.
Câu 16 [1042094]: Ba bạn A; B; C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng bao nhiêu? (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Không gian mẫu có số phần tử là .
+ Lấy một số tự nhiên từ đến
Số chia hết cho thì có số
Số chia cho dư thì có số .
Số chia cho dư thì có số .
+ Ba bạn , , mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn thỏa mãn ba số đó có tổng chia hết cho thì ta có các khả năng sau:
Ba số đều chia hết cho thì có cách chọn.
Ba số đều chia cho dư có cách chọn.
Ba số đều chia cho dư có cách chọn.
Một số chia hết cho , một số chia cho dư , chia cho dư có cách chọn. Vậy xác suất cần tìm là .
Câu 17 [1124046]: Một hộp có 15 chiếc thẻ được đánh số lần lượt từ 1 đến 15. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ từ hộp đó. Tính xác suất để tổng 3 số ghi trên 3 thẻ đó là một số chia hết cho 3.( Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Số cách lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 thẻ từ hộp gồm 15 chiếc thẻ phân biệt là:: cách
Gọi : “ Tập hợp các thẻ trong hộp được đánh số chia hết chia cho 3”, nên
: “ Tập hợp các thẻ trong hộp được đánh số chia chia cho 3 dư 1” nên
: “ Tập hợp các thẻ trong hộp được đánh số chia chia cho 3 dư 2” nên
Để lấy được 3 thẻ mà tổng 3 số ghi trên thẻ chia hết cho 3 thì:
+ TH1: Lấy được 3 thẻ từ tập : cách
+ TH2: Lấy được 3 thẻ từ tập : cách
+ TH3: Lấy được 3 thẻ từ tập : cách
+ TH4: Lấy được 1 thẻ từ hộp , 1 thẻ từ hộp và 1 thẻ từ hộp :
cách
Xác suất để tổng 3 số ghi trên 3 thẻ đó là một số chia hết cho 3 là:
Câu 18 [1134169]: Cho tập hợp S gồm các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 20. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử từ hợp hợp S. Biết rằng xác suất để tổng bình phương của 3 phần tử được chọn là một số chia hết cho 3, được viết dưới dạng phân số tối giản Tính
Số cách chọn 3 phần tử từ tập là
Ta dễ dàng chứng minh được mọi số không chia hết cho 3 khi bình phương lên đều chia 3 dư 1. Do đó, ta phân loại tập thành 2 nhóm sau:
• Nhóm chia hết cho 3: gồm 6 số.
Nếu
• Nhóm không chia hết cho 3: gồm 14 số.
Nếu thì dư 1.
Khi đó để ta có 2 trường hợp sau:
TH1: Cả 3 số cùng thuộc tập
Số cách chọn thỏa mãn là
TH2: Cả 3 số cùng thuộc
Số cách chọn thỏa mãn là
Suy ra số cách lấy thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tính là

Điền đáp án: 127.
Câu 19 [1168798]: Trong một hộp có 8 quả bóng, trên đó lần lượt ghi các số Từ hộp đó rút ngẫu nhiên 4 quả bóng theo thứ tự, không hoàn lại. Gọi các số ghi trên quả thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt là Xác suất để có dạng Hãy tính ( là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau).
Trả lời: 4901
Tổng số cách rút 4 quả bóng theo thứ tự từ các số tự nhiên 1 đến 8, không trùng nhau, là số chỉnh hợp:
Ta có tổng nhỏ nhất của ba số đầu là
Khi , do và , ta chỉ có thể có
Gọi:
- : biến cố
- : biến cố
- : biến cố
Ta cần tính
(1) Trường hợp (biến cố )
Ta có nên là hoán vị của bộ
Số cách chọn và sắp xếp thỏa mãn là:
Do đó
(2) Trường hợp (biến cố )
Ta có nên là hoán vị của bộ
Số cách:
Vì vậy
(3) Trường hợp (biến cố )
Có hai cách phân tích: hoặc
- Với bộ : số hoán vị là
- Với bộ : số hoán vị cũng là
Tổng cộng: cách.
Do đó
Ba biến cố là xung khắc (không thể xảy ra đồng thời), nên:
Vậy