Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1075965]: Với các chữ số 2,3, 4,5,6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số 3,6 không đứng cạnh nhau?
Điền đáp án: 72.
Gọi số tự nhiên 5 chữ số cần lập có dạng
Có số tự nhiên có 5 chữ số lập từ 5 chữ số trên.
Xếp 2 chữ số 3, 6 cạnh nhau trong 5 ô trống có cách.
3 chữ số còn lại có cách xếp
Có thể lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 2 [1075988]: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này lẻ và không chia hết cho 5?
Điền đáp án: 15 120.
Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là .
Số cần tìm là số lẻ và không chia hết cho 5

Có cách chọn 7 chữ số còn lại
Có tất cả số.
Câu 3 [1075981]: Có bao nhiêu số tự nhiên thuộc khoảng được thành lập từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8?
Điền đáp án: 75.
Gọi số cần lập có dạng
- Có 3 cách chọn
- Có cách chọn 2 chữ số còn lại
Vậy có tất cả số.
Câu 4 [1134170]: Chọn ba số phân biệt từ tập hợp sao cho tổng của chúng chia hết cho 3. Có bao nhiêu cách thực hiện việc này?
Công thức sử dụng: Số các số tự nhiên nhỏ hơn mà chia cho dư là
Lưu ý: Các số tự nhiên nhỏ hơn bao gồm cả số 0, nên nếu tập ta đang xét không bao gồm số 0 thì nhóm chia hết cho chỉ có số nha!
Tập các số nguyên dương nhỏ hơn 35 được chia thành các nhóm theo phần dư:
Nhóm 1: Số các số chia hết cho 3 là số.
Nhóm 2: Số các số chia 3 dư 1 là số.
Nhóm 3: Số các số chia 3 dư 2 là số.
Khi đó số trường hợp chọn ra 3 số có tổng chia hết cho 3 là
TH1: 3 số thuộc nhóm 1: có cách chọn.
TH2: 3 số thuộc nhóm 2: có cách chọn.
TH3: 3 số thuộc nhóm 3: có cách chọn.
TH4: 1 số thuộc nhóm 1, 1 số thuộc nhóm 2 và 1 số thuộc nhóm 3: có cách chọn.
Vậy các cách chọn thỏa mãn là
Điền đáp án: 2002.
Câu 5 [1134171]: Một số có tự nhiên có bốn chữ số được gọi là số chứa đựng nếu số có hai chữ số lớn hơn số có hai chữ số . (Ví dụ: 4291 và 4091 là các số chứa đựng, nhưng 2359 không phải là số chứa đựng). Hãy tìm số lượng các số chứa đựng.
Phân tích các số:
+) Số là số có hai chữ số được ghép bởi chữ số hàng nghìn và hàng đơn vị
Vì là chữ số hàng nghìn nên
Chữ số
Suy ra có thể nhận các giá trị từ đến Tổng cộng có 90 giá trị.
+) Số là số có hai chữ số được ghép bởi chữ số hàng trăm và hàng chục
Chữ số
Suy ra có thể nhận các giá trị từ đến Tổng cộng có 100 giá trị.
Ta cần tìm số cặp thỏa mãn và mỗi cặp sẽ tương ứng với 1 số chứa đựng.
Gọi là giá trị của
Gọi là giá trị của
Với mỗi giá trị cụ thể của thì tương ứng thỏa mãn là các giá trị hay có giá trị thỏa mãn.
Vậy tổng số lượng các số thỏa mãn là
Điền đáp án: 4905.
Câu 6 [1134172]: Có 8 tấm thẻ được đánh số: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4. Chọn ra 7 tấm thẻ từ 8 tấm này và xếp chúng thành một hàng ngang. Tính số cách xếp sao cho tích của hai số ghi trên hai tấm thẻ cạnh nhau luôn là một số chẵn. (Lưu ý: Các tấm thẻ có cùng số thì không phân biệt với nhau).
Tích của hai số ghi trên hai tấm thẻ cạnh nhau bất kỳ luôn là số chẵn khi và chỉ khi các số lẻ không đứng cạnh nhau.
TH1: Bỏ đi số 1
Khi đó còn lại 3 số lẻ (1, 3, 3) và 4 số chẵn (2, 2, 2, 4)
Xếp 4 số chẵn: có cách. Khi đó 4 số chẵn tạo ra 5 khe trống.
Chọn 3 trong 5 khe trống cho số lẻ: có cách.
Xếp 3 số lẻ (1, 3, 3) vào 3 vị trí đã chọn: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH1 là cách.
TH2: Bỏ đi số 3
Tương tự TH1, ta cũng được 120 cách.
TH3: Bỏ đi số 2
Khi đó còn lại 4 số lẻ (1, 1, 3, 3) và 3 số chẵn (2, 2, 4).
Xếp 3 số chẵn: có cách. Khi đó 3 số chẵn tạo thành 4 khe trống.
Để 4 số lẻ không cạnh nhau, ta xếp 4 số lẻ 1, 1, 3, 3 vào 4 khe trống: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH3 là cách.
TH4: Bỏ đi số 4
Khi đó còn lại 4 số lẻ (1, 1, 3, 3) và 3 số chẵn (2, 2, 2).
Xếp 3 số chẵn: có 1 cách. Khi đó 3 số chẵn tạo thành 4 khe trống.
Để 4 số lẻ không cạnh nhau, ta xếp 4 số lẻ 1, 1, 3, 3 vào 4 khe trống: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH4 là cách.
Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 264.
Câu 7 [1124274]: Anh Nam mới vừa mua xe ô tô nhưng chưa ra biển số, anh rất mong muốn 5 chữ số trên biển số xe của mình là “không lùi” hoặc “không quá bé”. Theo cách nghĩ của anh Nam, đó là một số tự nhiên có 5 chữ số dạng sao cho Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên phù hợp với mong muốn của anh Nam?
Ta có được chọn từ tập
Đây là bài toán chọn 5 phần từ từ tập hợp với phép chọn có thể có các phần tử trùng nhau.
Suy ra tổ hợp chập của phần tử với phép lặp có công thức là cách.
Ta có (số lượng phần tử trong tập ) và (số lượng chữ số cần chọn).
Suy ra số các số tự nhiên phù hợp là
Cách khác:
Do nên ="" ="" Đặt ; ; ; ;

Do đó mỗi các chọn một bộ tương ứng với một cách chọn năm số phân biệt từ tập
Vậy ra số các số tự nhiên phù hợp là
Câu 8 [1134173]: Có 5 quả bóng được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5. Người ta muốn xếp các quả bóng này vào 3 chiếc hộp A, B và C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho không có hộp nào chứa các quả bóng mà tổng các số ghi trên đó lớn hơn hoặc bằng 13? (Lưu ý: Hộp trống được coi là có tổng bằng 0).
Số cách xếp thỏa mãn = Tổng số cách xếp – Số vi phạm.
Bước 1: Tính tổng số cách xếp
Mỗi quả bóng đều có 3 lựa chọn (hộp A, B hoặc C) nên số cách xếp 5 quả tùy ý là
Bước 2: Tính số vi phạm (tức có hộp có tổng các số lớn hơn hoặc bằng 13)
Tổng của cả 5 quả bóng là Do đó các bộ số có tổng là
TH1: Tổng bằng 15 (tất cả 5 quả vào cùng 1 hộp): Có 3 cách.
TH2: Tổng bằng 14 (thiếu quả số 1).
Chọn 1 hộp chứa bộ 3 cách
Quả số 1 phải vào 1 trong 2 hộp còn lại: 2 cách.
Số cách xếp ở TH2 là
TH3: Tổng bằng 13 (thiếu quả số 2).
Chọn 1 hộp chứa bộ 3 cách.
Quả số 2 phải vào 1 trong 2 hộp còn lại: 2 cách.
Số cách xếp ở TH2 là
Suy ra tổng số trường hợp vi phạm là cách.
Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 228.
Câu 9 [1134174]: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau Gọi là biến cố “chọn được số thoả mãn: sau khi sắp xếp 4 chữ số theo thứ tự tăng dần, ta lập được 1 cấp số cộng”. Xác suất của biến cố được viết dưới dạng phân số tối giản khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là
Khi đó số cách chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số là
Bước 2: Xác định các bộ số thỏa mãn
Gọi bộ chữ số sau khi sắp xếp tăng dần là với
Giả sử công sai của cấp số cộng là Ta có
Vì nên Ta có các trường hợp sau:
• Trường hợp
Với mỗi giá trị của ta có 1 bộ số thỏa mãn tương ứng nên ta có 7 bộ số thỏa mãn: (trong đó có 1 bộ chứa số 0).
• Trường hợp
Có 4 bộ: (trong đó có 1 bộ chứa số 0).
• Trường hợp (1 bộ chứa số 0).
Có 1 bộ:
Vậy tổng cộng có 3 bộ chứa số 0 và 9 bộ không chứa số 0.
Nhận xét:
+) Với 1 bộ chứa số 0: Số cách hoán vị là cách.
+) Với 1 bộ không chứa số 0: Số cách hoán vị là cách.
Vậy tổng số kết quả thuận lợi là
Vậy xác suất của biến cố là

Điền đáp án: 89.
Câu 10 [1134175]: Cho ba tập hợp số sau đây: Chọn ngẫu nhiên trong mỗi tập hợp một số. Xác suất để tích ba số được chọn chia ba dư 1 là Hãy tính
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Số cách lấy mỗi tập 1 phần tử là
Bước 2: Tính số cách chọn thỏa mãn
Ta nhận thấy quy luật:
dư 2 (Số mũ lẻ);
dư 1 (Số mũ chẵn);
dư 2 (Số mũ lẻ);
dư 1 (Số mũ chẵn);
dư 2 (Số mũ lẻ);
Suy ra 2 mũ lẻ chia 3 dư 2 và 2 mũ chẵn chia 3 dư 1. Do đó, ta chia các tập hợp theo số dư khi chia cho 3:
Có 1 số dư 1 và 2 số dư 2.
Có 2 số dư 1 và 1 số dư 2.
Có 1 số dư 1 và 2 số dư 2.
Gợi ý: Nếu lần lượt là số dư của cho thì có cùng số dư với
Khi đó để tích 3 số chia 3 dư 1 thì ta có các trường hợp sau:
TH1: Cả 3 số dư đều là 1 (vì dư 1)
Số cách chọn là
TH2: Một số dư là 1 và hai số dư là 2 (vì dư 1).
+) (1, 2, 2): cách. (với 1 đại diện chia 3 dư 1; 2 đại diện chia 3 dư 2)
+) (2, 1, 2): cách.
+) (2, 2, 1): cách.
TH2 có cách.
Suy ra số cách chọn thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 243.
Câu 11 [1134176]: Cho 9 chữ số từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ra 3 chữ số khác nhau để lập thành một số tự nhiên có 3 chữ số sao cho thỏa mãn điều kiện tổng của bất kỳ hai chữ số nào trong số đó đều không bằng 9. Ví dụ: Số không thỏa mãn điều kiện Hãy tìm số lượng các số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện trên.
Trong tập hợp gồm
+) Các cặp chữ số có tổng bằng 9 là Tổng 4 cặp.
+) Chữ số còn lại không thuộc cặp nào là: 9.
Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 số bất kỳ và sắp xếp: có số.
Bước 2: Tính số vi phạm (tức có 2 số tổng bằng 9)
Chọn 1 cặp có tổng bằng 9: Có 4 cặp.
Chọn 1 chữ số còn lại từ 7 chữ số còn lại: Có 7 cách.
Hoán vị 3 chữ số này: có cách.
Suy ra số trường hợp vi phạm là số.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là số.
Điền đáp án: 336.
Câu 12 [1134177]: Cho tập hợp các số tự nhiên Xét các tập con có đúng 5 phần tử của tập . Một phần tử được gọi là cô lập nếu cả và đều không thuộc Số lượng các tập con sao cho trong không có phần tử nào cô lập là Hãy viết 4 chữ số tận cùng của (giữ nguyên thứ tự).
Để tập có 5 phần tử và không có phần tử nào cô lập, ta có 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: gồm 5 số liên tiếp
Giả sử
Ta có Vì với mỗi giá trị có tương ứng 1 tập thỏa mãn nên TH1 có 1999 cách chọn ra tập thỏa mãn.
Trường hợp 2: Một nhóm 3 số liên tiếp và một nhóm 2 số liên tiếp
Giả sử 2 nhóm liên tiếp là (3 phần tử liên tiếp) và (2 phần tử liên tiếp).
Số phần tử không được chọn là số.
Xếp 1998 số này thành một hàng, tạo thành khoảng trống (tính cả hai đầu).
Để và không chạm nhau (để tránh tạo thành 5 số liên tiếp), ta chọn 2 vị trí trong 1999 khoảng trống này để đặt chúng vào.
Chọn 2 vị trí trong 1999 vị trí: cách.
Vì và khác nhau về kích thước, ta có thể hoán vị thứ tự của chúng: cách.
Số cách chọn là
Vậy tổng số tập con thỏa mãn là
Điền đáp án: 6001.
Giải thích cách làm cho trường hợp 2:
Xét tập ta cần chọn cụm (2 số liên tiếp) và cụm (3 số liên tiếp) và không đứng cạnh nhau).
Khi đó có số không được chọn. Xếp 3 số không được chọn làm "vách ngăn" (ký hiệu là X): _X_X_X_ (có 4 vị trí trống).Xếp khối và khối vào 2 trong 4 vị trí trống đó. Ví dụ: [A]X_X[B]X_.
Khi đó, đếm theo thứ tự từ trái sang phải, ta được:
Vậy và các số 3, 4, 8 chính là các số X không được chọn.
Và vì khi chọn ra 2 chỗ từ các vị trí trống để đặt vào là không xét đến thứ tự, tuy nhiên hai tập này khác nhau về kích thước nên nếu đặt A vào vị trí 1, B vào vị trí 2 và nếu đặt B vào vị trí 1 và A vào vị trí 2 sẽ cho ra 2 kết quả khác nhau. Do đó ta cần nhân thêm 2.
Câu 13 [1134178]: An, Bình và Chi đang cùng nhau học phương trình nổi tiếng . Để ghi nhớ công thức này, họ quyết định chơi một trò chơi như sau: An và Bình mỗi người chọn ngẫu nhiên một số nguyên từ đến 50 (bao gồm cả 1 và 50), sau đó lần lượt thay các số đã chọn vào vị trí của E và m trong phương trình. Tiếp theo, Chi giải phương trình để tìm giá trị tuyệt đối của c. Biết rằng xác suất để kết quả của Chi là một số hữu tỉ được viết dưới dạng phân số tối giản Tính
Note: Mọi số nguyên dương đều có thể viết duy nhất dưới dạng trong đó là tích của các thừa số nguyên tố có số mũ lẻ không chứa ước chính phương nào khác 1).
Tổng số khả năng xảy ra khi An và Bình chọn số là
Gọi là số của An chọn và là số của Bình chọn

Để là số hữu tỉ, thì phải là bình phương của một phân số tối giản.
có cùng “phần dư không chính phương”

Trừ các số trên, các số còn lại như 11, 13, 14, 15, 17, ... không thể nhân với số chính phương nào khác để ra số
Số lượng các số “đứng một mình” này là số.
Mỗi số này chỉ tạo được 1 cặp duy nhất với chính nó (ví dụ: nên 23 số này tạo thành cặp thỏa mãn.
Tổng số cặp thỏa mãn là
Xác suất cần tính là

Điền đáp án: 2569.
Câu 14 [1134179]: [Đề HSG Tỉnh Ninh Bình]: Chọn ngẫu nhiên 5 số phân biệt từ tập hợp để xếp vào 5 ô A, B, C, D, O như hình vẽ (mỗi ô xếp một số). Gọi là biến cố: "Số 13 xếp ở ô và tổng các số xếp ở các ô A, O, C bằng tổng các số xếp ở các ô B, O, D". Biết (với là phân số tối giản). Khi đó bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Sử dụng kĩ thuật soi gương (dựa trên tính đối xứng của tổng): “Trong một tập hợp gồm số cách đều nhau, các cặp số có cùng tổng sẽ nằm đối xứng nhau qua "tâm" của tập hợp”.
Tập hợp có tất cả 11 số. Khi đó số cách chọn 5 số từ 11 số và xếp vào 5 vị trí là
Vì số 13 nằm ở ô nên còn lại 10 số là 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 để đặt vào các ô
Điều kiện:
Gọi Khi đó, các cặp số có tổng bằng nhau sẽ nằm đối xứng qua
+) có 5 cặp có tổng bằng nhau và nằm đối xứng qua 11 là Suy ra có cách chọn ra 2 cặp có tổng bằng 22.
+) và Mỗi giá trị của có 4 cặp có tổng bằng nhau. Suy ra có cách chọn ra 2 cặp thỏa mãn.
+) và Có 4 cặp cách.
+) và Có 3 cặp cách.
+) và Có 3 cặp cách.
+) và Có 2 cặp cách.
+) và Có 2 cặp cách.
Suy ra có tất cả bộ số thỏa mãn.
Hoán vị A-C: có 2 cách.
Hoán vị B-D: có 2 cách.
Hoán vị 2 bộ (A,C) với (B,D): có 2 cách.
Vậy


Điền đáp án: 698.
Câu 15 [1153781]: [Đề thi Liên Trường-Nghệ An]: Một hộp đựng 25 lá thăm khác nhau được đánh số từ 1 đến 25. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 lá thăm ở hộp. Tính xác suất để trong 4 lá thăm được chọn có ít nhất 2 lá thăm là số nguyên tố và tổng của 4 số trên 4 là thăm đó là một số chẵn (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi là biến cố “trong 4 lá thăm được chọn có ít nhất 2 lá thăm là số nguyên tố và tổng của 4 số đó là một số chẵn”.

Trong 25 lá thăm có 1 số chẵn là số nguyên tố, 8 số lẻ là số nguyên tố, 11 số chẵn không phải số nguyên tố và 5 số lẻ không phải nguyên tố.
Để trong 4 lá thăm được chọn có ít nhất 2 lá thăm là số nguyên tố và tổng của 4 số đó là một số chẵn ta có các trường hợp sau:
TH1: 2 số lẻ là số nguyên tố, 2 số lẻ không là số nguyên tố, có cách chọn.
TH2: 2 số lẻ là số nguyên tố, 2 số chẵn không là số nguyên tố, có cách chọn.
TH3: 1 số lẻ là số nguyên tố, 1 số chẵn là số nguyên tố, 1 số chẵn không là số nguyên tố và 1 số lẻ không là số nguyên tố có cách chọn.
TH4: 3 số lẻ là số nguyên tố, 1 số lẻ không là số nguyên tố, có cách chọn.
TH5: 2 số lẻ là số nguyên tố, 1 số chẵn là số nguyên tố , 1 số chẵn không là số nguyên tố, có cách chọn.
TH6: 4 số lẻ là số nguyên tố có cách chọn.
Vậy
Vậy
Điền đáp án: 0,23.
Câu 16 [1123541]: Công ty VinaElectro sản xuất một loại thiết bị điển tử tiêu dùng và đánh số seri cho từng sản phầm bằng một mã 6 chữ số được tạo ngẫu nhiên từ các số và chữ số đầu tiên không được là Trong một chương trình khuyến mãi nhân dịp ra mắt sản phẩm mới, công ty muốn tặng quà cho khách hàng nếu sản phẩm của họ mua có mã seri “đặc biệt” – là mã số có tích các chữ số bằng Biết xác suất để khách hàng được tặng quà (tức có mã “đặc biệt”) là với là phân số tối giản và Tính
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi là biến cố: “Khách hàng được tặng quà”
Vì mã seri “đặc biệt” là mã số có tích các chữ số bằng , mà dãy số có 6 chữ số nên ta ta chỉ có 3 cách phân tích như sau:

Do đó, số phần tử của biến cố chính là tổng số hoán vị của 3 bộ , , Suy ra số phần tử của biến cố là:

Xác suất khách hàng được tặng quà là:
Câu 17 [1136868]: Trong một hộp kín đựng 102 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 102. Lấy ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ hộp. Có bao nhiêu cách lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập thành một cấp số cộng.
Giả sử ba tấm thẻ lấy ra có số ghi là theo thứ tự tăng dần ().
Để ba số này lập thành một cấp số cộng, ta phải có tính chất:
Điều này có nghĩa là tổng của số đầu và số cuối phải là một số chẵn (vì luôn chẵn).
Để tổng là số chẵn, thì và phải cùng tính chẵn lẻ (tức là cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ).
Nhận xét quan trọng: Khi bạn chọn được 2 số đầu và cuối ( và ) có cùng tính chẵn lẻ, thì số ở giữa () sẽ là duy nhất và chắc chắn là số nguyên nằm giữa và
Bài toán quy về việc: Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ tập hợp sao cho 2 tấm đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Tập hợp có 102 phần tử.
Số lượng số lẻ là: Số lượng = số.
Số lượng số chẵn là: Số lượng = số.
Để có 3 số lập thành cấp số cộng, ta cần chọn 2 số đầu cuối từ cùng một nhóm (chẵn hoặc lẻ):
+ Trường hợp 1: Chọn 2 số đều là số lẻ.
Số cách chọn 2 số từ 51 số lẻ là tổ hợp chập 2 của 51:
(Ví dụ: Chọn 1 và 5 thì số ở giữa chắc chắn là 3. Bộ là 1, 3, 5)
+ Trường hợp 2: Chọn 2 số đều là số chẵn.
Số cách chọn 2 số từ 51 số chẵn là tổ hợp chập 2 của 51:

(Ví dụ: Chọn 2 và 10 thì số ở giữa chắc chắn là 6. Bộ là 2, 6, 10)
Bước 3: Tổng hợp kết quả.
Tổng số cách lấy được ba tấm thẻ lập thành cấp số cộng là:
Câu 18 [1134180]: Dũng đang tham gia một trò chơi giải mật thư, trên một hàng ngang có 7 ô vuông, bạn Dũng đặt ngẫu nhiên vào mỗi ô vuông từ trái qua phải một tấm thẻ ghi số hoặc . Bạn Dũng giải được mật thư nếu sau 7 lần đặt thẻ, tổng của giá trị thẻ mỗi hai ô liên tiếp tính từ trái qua phải luôn là một số không âm (ở ô đầu tiên ta coi tổng đó bằng giá trị của ô đó). Biết rằng xác suất để bạn Dũng giải được mật thư được viết dưới dạng phân số tối giản . Giá trị của bằng bao nhiêu?
Mỗi ô trong 7 ô vuông có 2 lựa chọn (số hoặc số nên tổng số cách đặt thẻ vào 7 ô là
Gọi là biến cố “Tổng của giá trị thẻ mỗi hai ô liên tiếp tính từ trái qua phải luôn là một số không âm”.
Để thỏa mãn điều kiện này, thẻ ở ô đầu tiên (từ trái qua phải) phải là 1 và không có 2 thẻ nào được đặt cạnh nhau.
Khi đó ta cần đặt thẻ vào 6 ô còn lại. Ta có các trường hợp sau:
TH1: Có 0 thẻ và 6 thẻ 1: Có 1 cách đặt thỏa mãn là 1111111.
TH2: Có 1 thẻ và 6 thẻ 1
Xếp thẻ vào 1 trong 6 vị trí: có 6 cách.
Khi đó 6 thẻ 1 còn lại: có 1 cách.
Vậy TH2 có 6 cách đặt thỏa mãn.
TH3: Có 2 thẻ và 4 thẻ 1
Xếp 4 thẻ 1 thành hàng: có 1 cách. Khi đó 4 thẻ này tạo thành 5 khe trống.
Xếp 2 thẻ vào 2 trong 5 khe trống: có cách.
Vậy TH3 có 10 cách đặt thỏa mãn.
TH4: Có 3 thẻ và 3 thẻ 1
Xếp 3 thẻ 1 thành hàng: có 1 cách. Khi đó 3 thẻ này tạo thành 4 khe trống.
Xếp 3 thẻ vào 3 trong 4 khe trống: có cách.
Vậy TH4 có 4 cách đặt thỏa mãn.
Vậy có cách để Dũng giải được mật thư.
Xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 2688.
Câu 19 [1134181]: Hà và Hưng tham gia một trò chơi, mỗi người cùng chọn ngẫu nhiên một chiếc thẻ được đánh số là các số tự nhiên trong đoạn . Quy tắc tính điểm cho thẻ được chọn như sau:
- Nếu chọn thẻ ghi số 0, người chơi được 0 điểm;
- Nếu thẻ ghi một số lẻ, người chơi sẽ có điểm cao hơn số liền trước nó 1 đơn vị;
- Nếu thẻ ghi một số chẵn, người chơi sẽ có điểm bằng với điểm của một nửa giá trị của nó.
Biết rằng xác suất để cả hai bạn Hưng và Hà nhận được số điểm bằng nhau, được viết dưới dạng phân số tối giản Giá trị của bằng bao nhiêu?
Tổng số cách chọn thẻ của Hưng và Hà là
Giải thích quy tắc tính điểm:
• Số 0: 0 điểm.
• Số 1 (lẻ): Lấy điểm số 0 + 1 = 1 điểm.
• Số 2 (chẵn): Lấy điểm của (2:2) = điểm số 1 = 1 điểm.
• Số 3 (lẻ): Lấy điểm số 2 + 1 = 1 + 1 = 2 điểm.
• Số 4 (chẵn): Lấy điểm của (4:2) = điểm số 2 = 1 điểm.
• Số 5 (lẻ): Lấy điểm số 4 + 1 = 1 + 1 = 2 điểm.
• Số 6 (chẵn): Lấy điểm của (6:2) = điểm số 3 = 2 điểm.
• Số 7 (lẻ): Lấy điểm số 6 + 1 = 2 + 1 = 3 điểm.
Quan sát quy luật:
• Các số có 1 điểm: _ là các số có dạng Có 7 số.
• Các số có 2 điểm: _ là tổng của hai số bất kì ở dòng trên, ví dụ
• Các số có 3 điểm: _là tổng của ba số ở dòng đầu tiên (dòng số có 1 điểm), ví dụ
…..
• Các số có 7 điểm: là tổng của 7 số ở dòng đầu tiên.
Khi đó ta chia các số tự nhiên thuộc thành các nhóm có cùng số điểm (và để 2 bạn có cùng số điểm thì phải chọn các số cùng 1 nhóm):
Nhóm 0 điểm: 1 số có 1 cách chọn thẻ.
Nhóm 1 điểm: 7 số có cách chọn thẻ.
Nhóm 2 điểm (là tổng 2 trong 7 số): số có cách chọn thẻ.
Nhóm 3 điểm (là tổng 3 trong 7 số): số có cách chọn thẻ.
Nhóm 4 điểm: số có cách chọn thẻ.
Nhóm 5 điểm: số có cách chọn thẻ.
Nhóm 6 điểm: số có cách chọn thẻ.
Nhóm 7 điểm: 1 số có 1 cách chọn thẻ.
Vậy số cách bốc thẻ thỏa mãn là
Suy ra xác suất cần tính là

Điền đáp án: 2477.
Câu 20 [1134182]: Nam có một khối lập phương bằng gỗ, mỗi mặt được sơn một màu khác nhau trong 6 màu. Nam chia mỗi mặt của khối lập phương thành 4 ô vuông nhỏ bằng nhau, tạo thành 24 ô vuông trên toàn bề mặt. Nam muốn điền các số từ 1 đến 24 vào 24 ô vuông này sao cho thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Tại các đỉnh của khối lập phương: Tổng của 3 số nằm ở 3 ô vuông chung đỉnh đó phải là một bội số của 3.
- Tại mỗi mặt của khối lập phương: Tổng của 2 số nằm ở 2 ô vuông có chung cạnh cũng phải là một bội số của 3.
Gọi T là số cách để Nam có thể sắp xếp các con số thoả mãn điều kiện trên. Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Chia các số tự nhiên từ 1 đến 24 chia vào các nhóm theo số dư khi chia cho 3:
• Nhóm (chia hết cho 3): có 8 số.
• Nhóm (chia 3 dư 1): có 8 số.
• Nhóm (chia 3 dư 2): có 8 số.
Điều kiện:
• Điều kiện cạnh: Tổng 2 ô kề nhau chia hết cho 3 Mỗi mặt chỉ có thể chứa cặp hoặc chỉ chứa cặp
• Điều kiện đỉnh: Tổng 3 ô tại đỉnh chia hết cho 3.
Do đó, ta xếp 8 số thuộc nhóm vào 2 mặt đối diện của khối lập phương (mỗi mặt 4 ô, tổng là 8 ô).
Bước 1: Xếp nhóm
Chọn 1 cặp mặt đối diện trong 3 cặp mặt của khối lập phương Có cách.
Xếp 8 số nhóm vào 8 ô có cách.
Nhóm có cách xếp.
Bước 2: Xếp 2 nhóm và vào các ô còn lại
Để thỏa mãn điều kiện, các mặt còn lại phải chứa các số dư 1 và 2 xen kẽ nhau (như bàn cờ).
Khi đã cố định 2 mặt việc đặt nhóm vào các ô còn lại chỉ có 2 cách (đảo vị trí nhóm 1 và nhóm 2).
8 số nhóm có cách xếp.
8 số nhóm có cách xếp.
Số cách xếp nhóm và là
Số cách xếp là

Điền đáp án: 14,6.