Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1134183]: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có các chữ số đôi một khác nhau và thoả mãn điều kiện
Gọi các số có 5 chữ số đôi một khác nhau có dạng
Điều kiện:
+)
+) là số chẵn
+) Các chữ số đôi một khác nhau.
Vì điều kiện của và có sự giao thoa ở các chữ số chẵn nên ta chia bài toán thành các trường hợp dựa trên tính chẵn lẻ của như sau:
Trường hợp 1:
Bước 1: Chọn : Có 3 cách chọn.
Bước 2: Chọn : Vì và nên có cách chọn.
Bước 3: Chọn 3 chữ số còn lại từ 8 chữ số còn lại và xếp thứ tự: có cách.
Vậy TH1 có số thỏa mãn.
Trường hợp 2:
Bước 1: Chọn : Có 2 cách chọn.
Bước 2: Chọn : Vì và ( là số lẻ nên không trùng với nên có 5 cách chọn.
Bước 3: Chọn 3 chữ số còn lại từ 8 chữ số còn lại và xếp thứ tự: có cách.
Vậy TH2 có số thỏa mãn.
Kết hợp 2 trường hợp trên, tổng số các số tự nhiên thỏa mãn là
Điền đáp án: 7392.
Câu 2 [1134184]: Từ 3 chữ số 1, 2, 3, lập các số tự nhiên có 4 chữ số bằng cách cho phép lặp lại các chữ số. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên mà trong đó có cả chữ số 1 và chữ số 2?
Bước 1: Tính tổng các số có thể lập
Từ 3 chữ số 1, 2, 3, mỗi vị trí trong số có 4 chữ số đều có 3 cách chọn nên số các số tự nhiên có 4 chữ số tạo thành là số.
Bước 2: Tính các trường hợp vi phạm
Các số vi phạm là các số thiếu chữ số 1 hoặc thiếu chữ số 2 (hoặc thiếu cả hai).
• Gọi là tập các số không có chữ số 1. Khi đó các chữ số chỉ được chọn từ Số cách lập là số.
• Gọi là tập các số không có chữ số 2. Các chữ số chỉ được chọn từ Số cách lập là số.
• là tập không có cả 1 và 2 (tức là chỉ gồm chữ số 3): Có 1 số là 3333.
Áp dụng công thức bao hàm và loại trừ, ta có số các số vi phạm (không có 1 hoặc không có 2) là
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu (có cả 1 và 2) là
Điền đáp án: 50.
Câu 3 [711176]: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị?
Đáp án: 108
Cách 1: Gọi là số cần lập
Theo bài ra ta có: (1)
Mà và đôi một khác nhau nên
(2)
Từ (1), (2) suy ra:
Phương trình này có các bộ nghiệm là:
Với mỗi bộ ta có số.
Vậy có 3.36 = 108 số cần lập.
Cách 2: Gọi là số cần lập
Ta có:

Do
Suy ra ta có các cặp sau:
Với mỗi bộ như vậy ta có cách chọn và cách chọn
Do đó có: số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4 [713071]: Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi là số tự nhiên có chữ số khác nhau.
Khi đó có số.
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố số có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ.
TH1: Một trong hai chữ số cuối có chữ số : Có số.
TH2: Hai chữ số tận cùng không có chữ số : Có số.
Suy ra
Vậy
Câu 5 [1075972]: Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn tổng các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm bằng 10?
Điền đáp án: 1872.
Gọi số tự nhiên 5 chữ số cần lập có dạng
Ta có:
Các bộ số thỏa mãn là
;;;;;;;
Trường hợp 1: Bộ chứa chữ số 0
- Xếp , e: Có cách.
- Chọn : Có 7 cách
- Chọn : Có 6 cách
Có số.
Trường hợp 2: Bộ không chứa chữ số 0
- Xếp , e: Có cách.
- Chọn : phải khác 0 và khác 3 số đã chọn
có 6 cách.
- Chọn : phải khác 4 số đã chọn
có 6 cách.
Có số.
Vậy có tất cả số
Câu 6 [1134185]: Từ các số tự nhiên từ 1 đến 15, chọn ngẫu nhiên 3 số khác nhau. Xác suất để tích của ba số đó là bội số của 5 và tổng của ba số đó là bội số của 3" là (trong đó là phân số tối giản và ). Tính
Ta chia 15 số thành 3 nhóm dựa trên số dư khi chia cho 3:
• Nhóm (chia hết cho 3): Có 5 số (trong đó số 15 chia hết cho 5).
• Nhóm (chia dư 1): Có 5 số (trong đó số 10 chia hết cho 5).
• Nhóm (chia dư 2): Có 5 số (trong đó số 5 chia hết cho 5).
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Số cách chọn 3 số khác nhau từ 15 số là
Bước 2: Tính số cách chọn để tổng 3 số đó chia hết cho 3
TH1: 3 số cùng thuộc một nhóm hoặc hoặc
Chọn 1 nhóm: có 3 cách.
Với mỗi nhóm (3 nhóm đều có 5 số), số cách chọn ra 3 số trong 1 nhóm là cách.
Suy ra có cách.
TH2: Mỗi số thuộc một nhóm khác nhau: có cách.
Tổng số cách chọn 3 số có tổng chia hết cho 3 là cách.
Bước 3: Sử dụng phần bù để tìm số cách thỏa mãn tích chia hết cho 5
Nhận xét: Trong 155 cách lấy thỏa mãn trên có chứa các cách 3 số có tích không chia hết cho 5 mà ta cần loại ra. Và để "Tích 3 số chia hết cho 5" thì trong 3 số được chọn phải có ít nhất một số thuộc tập
Do đó: Số cách thỏa mãn = 155 – Số vi phạm (tức không chứa số nào thuộc tập
Khi loại bỏ mỗi nhóm còn lại đúng 4 số nên số cách lấy 3 số có tổng chia hết cho 3 và tích không chia hết cho 5 là
TH1 (3 số cùng nhóm, không chứa 5, 10, 15): có cách.
TH2 (Mỗi số 1 nhóm, không chứa 5, 10, 15): có cách.
Số cách có tổng chia hết cho 3 nhưng tích không chia hết cho 5 là cách.
Vậy số cách thỏa mãn cả 2 điều kiện là
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 534.
Câu 7 [1134187]: Cho một dãy số gồm các số từ 1 đến 8. Quy tắc cho phép ta đổi chỗ hai số bất kỳ trong dãy nếu tổng của chúng là một số chính phương. Quy trình này có thể lặp lại với số lần tùy ý. Hỏi có tối đa bao nhiêu chuỗi số khác nhau có thể tạo ra từ dãy số ban đầu bằng cách sử dụng quy tắc trên?
Dãy số ban đầu: 12345678.
Nhận xét: Mỗi cách đổi chỗ hai số cho nhau sẽ tạo ra 1 chuỗi mới.
Bước 1: Tìm các cặp số có tổng là 1 số chính phương
+) Tổng bằng 4:
+) Tổng bằng 9:
Bước 2: Chia thành các nhóm có “thông suốt” với nhau và tính số cách đổi chỗ
Note: Nếu đổi được với đổi được với thì có thể hoán đổi vị trí tùy ý cho nhau. Dựa vào các cặp trên, ta chia 8 số thành 3 nhóm độc lập:
• Nhóm 1:
Vì từ số 6, ta có thể đổi chỗ sang vị trí của số 3. Từ 3 có thể đổi sang 1, từ 1 có thể đổi sang 8. Do đó 4 con số này có thể hoán đổi vị trí hoàn toàn cho nhau thông qua các bước trung gian.
Số cách xếp nhóm là cách.
• Nhóm 2:
Số cách xếp nhóm là cách.
• Nhóm 3:
Số cách xếp nhóm là cách.
Khi đó số chuỗi số khác nhau được tạo ra là
Điền đáp án: 96.
Câu 8 [1124004]: Dịp cuối tuần một nhóm n bạn gồm Khoa, Khôi, Thảo và (n -3) bạn khác cùng nhau đến rạp chiếu phim xem bộ phim “Mưa đỏ”. Khi xếp tùy ý nhóm bạn này vào dãy ghế được đánh số từ 1 đến n , mỗi bạn ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của Khoa, Thảo, Khôi theo thứ tự lập thành cấp số cộng là Tìm n ?
Có
Gọi lần lượt là số ghế của Khoa, Thảo, Khôi. Do là cấp số cộng nên
Chứng tỏ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Gọi là tập hợp các ghế số chẵn, là tập hợp các ghế số lẻ.
Với hai phần tử thuộc hoặc thì hiển nhiên tồn tại cấp số cộng
Trường hợp chẵn:
Khi đó, có phần tử và có phần tử.
Có , nên số cấp số cộng là và số kết quả thuận lợi là (do mỗi bộ có cấp số cộng và ba bạn
Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).
Theo đề, có phương trình: (loại).
Trường hợp lẻ:
Khi đó, có phần tử và có phần tử.
Có và ,nên số cấp số cộng là và số kết quả có thể là (do mỗi bộ có cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).
Theo đề, có phương trình:
Câu 9 [713104]: Gọi là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau lập thành từ các số tự nhiên 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập . Xác suất để số được chọn có tích các chữ số hoặc là số chính phương, hoặc là số lẻ là bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 0,19.
Gọi là biến cố “ Tích 3 chữ số là số chính phương”
là biến cố “ Tích 3 chữ số là số lẻ”
Tích của ba chữ số là số chính phương khi và chỉ khi số mũ của các thừa số nguyên tố trong tích là số chẵn.
Ta có:
Bộ 3 số có tích là số chính phương là







Ta có:

Xác suất cần tìm là
Câu 10 [1134186]: Một hình vuông được chia thành 25 ô nhỏ, mỗi ô được ghi một số tự nhiên từ 1 đến 25 như hình vẽ. Người ta muốn chọn ra 2 số trong 25 số này sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:

• Hai số được chọn nằm ở hai hàng khác nhau.
• Hai số được chọn nằm ở hai cột khác nhau.
• Tổng của hai số được chọn là một bội số của 5.
• Trong hai số được chọn, một số là số chẵn và một số là số lẻ.
Ví dụ: Chọn số 2 và 13 thỏa mãn các điều kiện, nhưng chọn số 12 và 20 thì không thỏa mãn.
Nhận thấy: Các cột từ trái qua phải khi chia 5 lần lượt có số dư là 1, 2, 3, 4, 0.

Để chọn được từ 2 hàng/cột, 2 số có tổng chia hết cho 5 thì ta có 2 trường hợp sau:
TH1: 1 số cột 1 + 1 số cột 4
Nếu chọn 1 số chẵn từ cột 1: Có 2 cách. Với mỗi cách, có đúng 1 cách để chọn 1 số lẻ ở cột 4. Nên có 2 cách chọn thỏa mãn.
Nếu chọn 1 số lẻ từ cột 1: Có 3 cách. Với mỗi cách, có đúng 2 cách để chọn 1 số chẵn ở cột 4. Nên có cách chọn thỏa mãn.
TH1 có cách chọn thỏa mãn.
TH2: 1 số cột 2 + 1 số cột 3
Nếu chọn 1 số chẵn từ cột 2: Có 3 cách. Với mỗi cách, có đúng 2 cách để chọn 1 số lẻ ở cột 3. Nên có cách chọn thỏa mãn.
Nếu chọn 1 số lẻ từ cột 2: Có 2 cách. Với mỗi cách, có đúng 1 cách để chọn 1 số chẵn ở cột 4. Nên có 2 cách chọn thỏa mãn.
TH2 có cách chọn thỏa mãn.
Vậy có cách chọn thỏa mãn.
Điền đáp án: 16.
Câu 11 [711178]: Cho tập hợp gồm các số tự nhiên từ 1 đến 2018. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số từ mà các số đó lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương?
Điền đáp án: 161.
Gọi 5 số lấy ra là lần lượt tạo thành 1 cấp số nhân có công bội là


+)
Có 126 cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
+)
Có 24 cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
+)
Có 7 cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
+)
Có 3 cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
+)
Có cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
Câu 12 [1136611]: Hai bạn Hải và Sơn cùng chơi một trò chơi như sau: Hải có một hộp gồm 9 quả bóng được đánh số từ 1 đến 9, Sơn có một hộp gồm 8 quả bóng được đánh số từ 1 đến 8. Mỗi bạn bốc ngẫu nhiên 3 quả bóng từ hộp của mình rồi xếp các số ghi trên 3 quả bóng bốc được theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số có 3 chữ số. Bạn nào có số lớn hơn là người chiến thắng. Tính xác suất để Sơn thua (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Số cách chọn của Hải là:
Số cách chọn của Sơn là:
Do đó:
Ta thấy nếu số của Hải lớn hơn số của Sơn thì xảy ra trong hai trường hợp sau:
*Trường hợp 1: Hải chọn được quả bóng số 9
Nếu Hải chọn được bóng số 9, số của Hải chắc chắn bắt đầu bằng chữ số 9 (dạng 9bc)
Do đó, hễ Hải có số 9 là Hải chắc chắn thắng.
Số cách Hải chọn có số 9 là: cách.
Với mỗi cách này, Sơn có thể chọn bất kỳ trong 56 cách.
Số kết quả thuận lợi ở TH1:
*Trường hợp 2: Hải không chọn được quả bóng số 9
Lúc này, cả Hải và Sơn đều chọn 3 bóng từ cùng một tập số
Số cặp kết quả trong trường hợp này là:
Vì tập số của hai bạn là như nhau, nên theo tính đối xứng, số trường hợp Hải thắng () sẽ bằng số trường hợp Sơn thắng ().
Số trường hợp hòa () xảy ra khi hai bạn chọn trùng bộ 3 quả bóng: có 56 trường hợp.
Số kết quả Hải thắng (Sơn thua) ở TH2 là:
Tổng số trường hợp thuận lợi để Sơn thua là:
Xác suất để Sơn thua là:
Câu 13 [1134189]: Người ta muốn thiết kế các con xúc xắc đặc biệt có 6 mặt được đánh số từ đến kèm theo các điều kiện sau:
- Về con số: Số và số bắt buộc phải nằm ở hai mặt đối diện nhau.
- Về màu sắc: Mỗi mặt được tô bởi một trong hai màu: Đỏ hoặc Vàng. Đặc biệt, hai mặt đối diện nhau luôn phải có cùng một màu.
- Quy ước: Hai thiết kế được coi là giống nhau nếu có thể xoay con xúc xắc này để thu được con xúc xắc kia sao cho các số và màu sắc ở các mặt tương ứng hoàn toàn trùng khớp.
Hãy tìm tổng số lượng các thiết kế xúc xắc khác nhau có thể tạo ra?
Bước 1: Tính số cách chia cặp số
Cố định cặp ở 2 mặt đối diện: 1 cách.
Khi đó, 4 mặt bên còn lại sẽ tạo thành 1 vòng khép kín, nên có thể tạo trùng lặp khi quay. Do đó số cách xếp 4 số vào 4 mặt là 1 hoán vị vòng tròn và bằng cách xếp.
Bước 2: Tính số cách tô màu
Do các mặt giờ đã khác nhau nên mỗi cách tô màu vào các cặp mặt đối diện sẽ không bị trùng lại khi xoay.
Có 3 cặp mặt đối diện, mỗi cặp có 2 lựa chọn màu (Đỏ hoặc Vàng) nên số cách tô màu là cách.
Vậy số cách thiết kế là
Điền đáp án: 48.
Câu 14 [1134190]: Tại mỗi đỉnh của một đa giác đều 12 cạnh, ta viết một số nguyên dương bất kì thỏa mãn điều kiện sau: khi ta cộng 3 số nằm trên 3 đỉnh liên tiếp luôn thu được kết quả là 31. Có bao nhiêu cách để thực hiện việc ghi số này?

Gọi các số tại 12 đỉnh là
Vì tổng 3 số liên tiếp luôn bằng 31, ta có
Thực hiện tương tự, ta thu được
Nhận xét: Số cách ghi số thỏa mãn bằng với số bộ ba số nguyên dương thỏa mãn phương trình
Áp dụng công thức bài toán chia kẹo, suy ra số nghiệm của phương trình là
Điền đáp án: 435.
Câu 15 [1167176]: Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc gọi là xác suất số lấy được là số lẻ đồng thời tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị. Giá trị của bằng bao nhiêu?
1. Phân tích đề bài
• Tập hợp số: Tổng các chữ số là
• Không gian mẫu (): Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập từ là số. Vậy
• Biến cố cần tìm: Gọi số đó là Điều kiện:
Số lẻ
Tổng 3 chữ số đầu lớn hơn tổng 3 chữ số cuối đúng 1 đơn vị:
2. Giải hệ phương trình điều kiện
Gọi và
Ta có hệ:
Vậy ta cần tìm các bộ 3 số từ tập có tổng bằng 10, trong đó phải chứa một chữ số lẻ để làm
3. Liệt kê các trường hợp của
Tập các bộ 3 chữ số khác nhau từ có tổng bằng 10 là:
• Bộ 1:
• Bộ 2:
• Bộ 3:
Bây giờ ta xét điều kiện số lẻ () cho từng bộ:
Trường hợp 1:
• có 2 cách chọn (là 1 hoặc 3).
• có 2! cách chọn.
• (3 số còn lại) có 3! cách chọn.
• Số các số thỏa mãn:
Trường hợp 2:
• có 2 cách chọn (là 1 hoặc 5).
• có 2! cách chọn.
• có 3! cách chọn.
• Số các số thỏa mãn:
Trường hợp 3:
• có 2 cách chọn (là 3 hoặc 5).
• có 2! cách chọn.
• có 3! cách chọn.
• Số các số thỏa mãn:
4. Tính xác suất và kết quả
Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố là:
Xác suất là:
Giá trị của 230T là:
Đáp số: 23.
Câu 16 [1134192]: Duy viết các chữ số từ 1 đến 9 lên bảng. Sau đó, Duy xóa ngẫu nhiên ít nhất một chữ số trên bảng, biết rằng xác suất để mỗi chữ số bất kỳ bị xóa đều bằng . Gọi là xác suất để tích của các chữ số còn lại trên bảng là một số chính phương (với m, n là các số nguyên dương và là phân số tối giản). Quy ước nếu xóa hết tất cả các số, tích các số còn lại được coi là . Tính giá trị của biểu thức
Vì mỗi số từ 1 đến 9 đều có 2 khả năng là xóa hoặc giữ nguyên nên số khả năng xảy ra là
Nhận xét: Vì 1, 4, 9 đều là các số chính phương nên việc xóa hay giữ nguyên các số này không ảnh hưởng đến kết quả tích các số trên bảng là số chính phương.
Bước 1: Các số 1, 4, 9 (mỗi số có 2 lựa chọn: xóa hoặc giữ nguyên): có cách.
Bước 2: Xóa các số không thể tạo thành số chính phương
Nhận thấy: số 5 và 7 khi nhân với bất kì số nào trong các số còn lại đều không tạo thành số chính phương nên 5 và 7 có 1 cách là xóa.
Bước 3: Xét các số còn lại
Khi đó trên bảng còn lại 4 số 2, 3, 6, 8. Ta cần lựa chọn xóa và giữ nguyên sao cho tích các số còn lại là 1 số chính phương.
TH1: Giữ lại 3 và 6: có 2 cách (giữ lại 2, 3, 6 hoặc giữ lại 8, 3, 6).
TH2: Xóa cả 3 và 6: có 2 cách (giữ lại 2, 8 hoặc xóa cả 2 và 8).
Các trường hợp giữ 1 trong 2 số 3 hoặc 6 thì đều không có trường hợp nào thỏa mãn.
Vậy tổng số cách thỏa mãn là
Xác suất cần tính là

Điền đáp án: 257.
Câu 17 [1167178]: Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng trong đó bằng Giá trị của bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Số các số có 5 chữ số là
Ta có
TH1:
Khi đó
+) Từ điều kiện suy ra Nên có 1 cách để chọn số cho và
+)
Có cách chọn số để gán cho và
Tuy nhiên trong cách trên có chứa các cách vi phạm là (tức chọn 2 số trong 10, 11, 12 để gán cho và cách.
Số cách thỏa mãn là
TH1 có cách chọn thỏa mãn.
TH2:
Điều kiện trở thành:
+) có cách gán cho và
+) có cách gán cho và (với là cách vi phạm
TH2 có cách chọn thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 506.
Câu 18 [1134191]: Nhà ảo thuật Dr. Sói có các thẻ A, B và C. Trong màn biểu diễn, ông yêu cầu một tình nguyện viên chọn ngẫu nhiên một số từ đến và cho biết số đó xuất hiện trên những thẻ nào. Dựa vào thông tin này, Dr. Sói có thể đoán chính xác số đã chọn (ví dụ: nếu khách nói "thẻ và ", ông sẽ đoán là số "").
Một ngày nọ, Dr. Sói làm mất thẻ và không nhớ các số trên đó. Trong lúc vội vã, ông chọn ngẫu nhiên số khác nhau từ đến để viết lên một thẻ mới. Biết rằng xác suất để sau khi thay thế, Dr. Sói vẫn có thể thực hiện thành công màn ảo thuật của mình được viết dưới dạng phân số tối giản Tính
Điền đáp án: 1289
Ta giả sử số trên các bộ:
- Không có : 1
- Chỉ có : 2, 3, 4- Có : 5, 6, 7
- Có : 8
Số phần tử của không gian mẫu là
Khi mất đi thẻ thì số trên các bộ:
- Không có : 1
- Chỉ có : 2, 3
- Có : 5, 6, 7
- Có : 8
khi đó là số 2 hoặc 7Thẻ C chỉ có 2 hoặc 7: 2 cách
khi đó là số 3 hoặc 6Thẻ C chỉ có 3 hoặc 6: 2 cách
khi đó là số 5 hoặc 8 Thẻ C chỉ có 5 hoặc 8: 2 cách
Bộ không có khi đó là số 5 hoặc 8Thẻ C chỉ có 5 hoặc 8: 2 cách
Xác suất cần tìm là