Câu 1 [805421]: Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ.
A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn 3 học sinh tùy ý từ nhóm 6 học sinh có: 
cách.
Chọn 3 học sinh nam từ 4 học sinh nam có:
cách.
Do đó, số cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ là:
cách.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
cách. Chọn 3 học sinh nam từ 4 học sinh nam có:
cách. Do đó, số cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ là:
cách.Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [601657]: Đi vào một khu di tích nọ có bốn cửa Đông, Tây, Nam, Bắc. Một người đi vào tham quan rồi đi ra phải đi hai cửa khác nhau. Số cách đi vào và đi ra của người đó là:
A, 
B, 
C, 
D, 
Để đi vào có 4 cách chọn cửa và đi ra có 3 cách chọn cửa (Do 2 cửa khác nhau)
Do đó theo quy tắc nhân có
cách đi vào và đi ra.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Do đó theo quy tắc nhân có
cách đi vào và đi ra. Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 3 [805337]: Một hộp đựng 
viên bi gồm 10 viên bi màu trắng, 25 viên bi màu đỏ và 15 viên bi màu xanh. Có bao nhiêu cách chọn 8 viên bi trong hộp đó mà không có viên bi nào màu xanh?
viên bi gồm 10 viên bi màu trắng, 25 viên bi màu đỏ và 15 viên bi màu xanh. Có bao nhiêu cách chọn 8 viên bi trong hộp đó mà không có viên bi nào màu xanh? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Số cách chọn 
viên bi từ 35 viên bi trắng + đỏ là: 
Chọn đáp án C. Đáp án: C
viên bi từ 35 viên bi trắng + đỏ là: Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [519307]: Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau ?
A, 120.
B, 192.
C, 312.
D, 216.
Giả sử số đó là 
Trường hợp 1:
chọn 
có 
cách 
có 
số thỏa mãn
Truờng hợp 2:
chọn 
có 4 cách chọn, chọn 
có 
cách 
có 
cách
Do đó có
số thỏa mãn.
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Trường hợp 1:
chọn có cách có số thỏa mãnTruờng hợp 2:
chọn có 4 cách chọn, chọn có cách có cách Do đó có
số thỏa mãn. Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 5 [237546]: Một lớp có 45 học sinh. Mỗi em đều đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn: bóng đá và bóng chuyền. Có 35 em đăng ký môn bóng đá, 15 em đăng ký môn bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn?
A, 5.
B, 10.
C, 30.
D, 25.
Phương pháp: Sử dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ cho hợp 2 tập hợp: 
Gọi A là tập hợp các học sinh đăng ký chơi bóng đá, B là tập hợp các học sinh đăng ký chơi bóng chuyền. Khi đó,
là số học sinh đăng kí chơi cả hai môn bóng đá và bóng chuyền; 
là số học sinh của lớp.
Tử giả thiết bài cho, ta có
Suy ra số học sinh đăng ký cả 2 môn là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Gọi A là tập hợp các học sinh đăng ký chơi bóng đá, B là tập hợp các học sinh đăng ký chơi bóng chuyền. Khi đó,
là số học sinh đăng kí chơi cả hai môn bóng đá và bóng chuyền; là số học sinh của lớp.Tử giả thiết bài cho, ta có
Suy ra số học sinh đăng ký cả 2 môn là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 6 [629656]: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 2?
A, 1512.
B, 2568.
C, 2120.
D, 1680.
Giả sử số đó là 
Trường hợp 1 :
chọn 
có 
cách nên có 
số thỏa mãn
Trường hợp 2:
chọn 
có 4 cách chọn, chọn 
có 7 cách chọn, chọn 
có 
cách chọn nên có 
số thỏa mãn. Do đó có 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Trường hợp 1 :
chọn có cách nên có số thỏa mãnTrường hợp 2:
chọn có 4 cách chọn, chọn có 7 cách chọn, chọn có cách chọn nên có số thỏa mãn. Do đó có Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 7 [1127292]: Một tòa nhà 5 tầng được sơn bằng 4 màu khác nhau sao cho mỗi tầng được sơn một màu. Không nhất thiết phải sử dụng cả 4 màu. Có bao nhiêu cách để sơn tòa nhà nếu:Bất kỳ 2 tầng liền kề nào cũng phải được sơn bằng các màu khác nhau?
Tầng 1: Có 4 cách chọn màu (có thể chọn bất kỳ màu nào trong 4 màu).
Tầng 2: Phải khác màu tầng 1, nên có
cách chọn màu.
Tầng 3: Phải khác màu tầng 2, nên có
cách chọn màu. (Tầng 3 có thể trùng màu với tầng 1, chỉ cần khác tầng 2).
Tầng 4: Phải khác màu tầng 3, nên có
cách chọn màu.
Tầng 5: Phải khác màu tầng 4, nên có
cách chọn màu.
Theo quy tắc nhân, suy ra tổng số cách sơn tòa nhà là
(cách).
Điền đáp án: 324.
Tầng 2: Phải khác màu tầng 1, nên có
cách chọn màu.
Tầng 3: Phải khác màu tầng 2, nên có
cách chọn màu. (Tầng 3 có thể trùng màu với tầng 1, chỉ cần khác tầng 2).
Tầng 4: Phải khác màu tầng 3, nên có
cách chọn màu.
Tầng 5: Phải khác màu tầng 4, nên có
cách chọn màu.
Theo quy tắc nhân, suy ra tổng số cách sơn tòa nhà là
(cách).
Điền đáp án: 324.
Câu 8 [219700]: Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?
Số cách lấy ra 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 2 bi vàng là: 
(cách)
Số cách lấy ra 2 bi xanh, 2 bi đỏ là:
(cách)
Số cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ là:
(cách)
(cách)Số cách lấy ra 2 bi xanh, 2 bi đỏ là:
(cách)Số cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ là:
(cách)
Câu 9 [1127293]: Có bao dãy gồm 10 chữ cái trong đó các chữ cái trong dãy chỉ gồm các chữ 
và 
(không nhất thiết tất cả các chữ cái này đều phải xuất hiện), trong đó: 
không bao giờ đứng ngay trước 
, 
không bao giờ đứng ngay trước 
và 
không bao giờ đứng ngay trước 
và (không nhất thiết tất cả các chữ cái này đều phải xuất hiện), trong đó: không bao giờ đứng ngay trước , không bao giờ đứng ngay trước và không bao giờ đứng ngay trước
Vị trí 1: Có 3 cách chọn (có thể là 
hoặc 
Vị trí 2: Theo đề bài, ta có các ràng buộc:
• Nếu vị trí 1 là
Vị trí 2 không được là 
(vậy có thể là 
hoặc 
2 cách).
• Nếu vị trí 1 là
Vị trí 2 không được là 
(vậy có thể là 
hoặc 
2 cách).
• Nếu vị trí 1 là
Vị trí 2 không được là 
(vậy có thể là 
hoặc 
2 cách).
• Như vậy, dù vị trí trước đó là gì, vị trí tiếp theo luôn có đúng 2 cách chọn để thỏa mãn điều kiện.
Các vị trí từ 3 đến 10: Tương tự như vị trí 2, mỗi vị trí đứng sau đều chỉ bị cấm đúng 1 chữ cái dựa trên chữ cái ngay trước nó. Do đó, mỗi vị trí đều có 2 cách chọn.
Áp dụng Quy tắc nhân cho 10 vị trí, ta có số dãy thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng
Điền đáp án: 1536.
hoặc
Vị trí 2: Theo đề bài, ta có các ràng buộc:
• Nếu vị trí 1 là
Vị trí 2 không được là (vậy có thể là hoặc 2 cách).
• Nếu vị trí 1 là
Vị trí 2 không được là (vậy có thể là hoặc 2 cách).
• Nếu vị trí 1 là
Vị trí 2 không được là (vậy có thể là hoặc 2 cách).
• Như vậy, dù vị trí trước đó là gì, vị trí tiếp theo luôn có đúng 2 cách chọn để thỏa mãn điều kiện.
Các vị trí từ 3 đến 10: Tương tự như vị trí 2, mỗi vị trí đứng sau đều chỉ bị cấm đúng 1 chữ cái dựa trên chữ cái ngay trước nó. Do đó, mỗi vị trí đều có 2 cách chọn.
Áp dụng Quy tắc nhân cho 10 vị trí, ta có số dãy thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng
Điền đáp án: 1536.
Câu 10 [1035702]: Một quán nhỏ bày bán 26 bình hoa khác nhau gồm có 12 bình màu xanh và 14 bình màu đỏ. Bạn An muốn mua 4 bình hoa sao cho có ít nhất 
bình màu xanh. Số cách chọn bình của bạn An là bao nhiêu?
bình màu xanh. Số cách chọn bình của bạn An là bao nhiêu?
Số cách chọn 2 bình màu xanh và 2 bình màu đỏ là: 
Số cách chọn 3 bình màu xanh và 1 bình màu đỏ là:
Số cách chọn 4 bình màu xanh là:
Tổng số cách chọn là
Số cách chọn 3 bình màu xanh và 1 bình màu đỏ là:
Số cách chọn 4 bình màu xanh là:
Tổng số cách chọn là
Câu 11 [1127294]: Cho 5 ký tự 
Chọn 7 ký tự từ 5 ký tự này (cho phép lặp lại) và sắp xếp chúng thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thỏa mãn các điều kiện sau
• Cả hai đầu của dãy đều là chữ số.
• Chữ cái
xuất hiện đúng một lần.
Chọn 7 ký tự từ 5 ký tự này (cho phép lặp lại) và sắp xếp chúng thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thỏa mãn các điều kiện sau• Cả hai đầu của dãy đều là chữ số.
• Chữ cái
xuất hiện đúng một lần.
Trong 5 kí tự đã cho có 2 chữ số 
và 3 chữ cái 
Bước 1: Chọn và sắp xếp hai của đầu dãy (vị trí 1 và 7)
Theo điều kiện, cả hai đầu dãy đều phải là chữ số.
Vị trí số 1: Có 2 cách chọn (có thể là 1 hoặc 2).
Vị trí số 7: Có 2 cách chọn (có thể là 1 hoặc 2, vì đề bài cho phép lặp lại).
Suy ra số cách chọn hai đầu là
(cách).
Bước 2: Xếp chữ cái
vào các vị trí còn lại
Chữ cái
phải xuất hiện đúng một lần. Vì hai đầu đã là chữ số nên chữ cái 
chỉ có thể nằm ở một trong 5 vị trí trống ở giữa (từ vị trí 2 đến vị trí 6).
Do đó số cách chọn vị trí cho
là 5 cách.
Bước 3: Chọn ký tự cho 4 vị trí trống còn lại
Sau khi đã đặt hai chữ số ở đầu và chữ
vào một vị trí thì còn lại 4 vị trí trống.
Tại mỗi vị trí này, chúng ta có thể chọn bất kỳ ký tự nào trong tập hợp ban đầu ngoại trừ chữ
(vì 
chỉ được xuất hiện đúng 1 lần). Các ký tự có thể chọn là 
tổng cộng có 4 lựa chọn cho mỗi vị trí.
Suy ra số cách chọn cho 4 vị trí còn lại là
(cách).
Áp dụng quy tắc nhân, suy ra số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện bài toán là
(cách).
Điền đáp án: 5120.
và 3 chữ cái
Bước 1: Chọn và sắp xếp hai của đầu dãy (vị trí 1 và 7)
Theo điều kiện, cả hai đầu dãy đều phải là chữ số.
Vị trí số 1: Có 2 cách chọn (có thể là 1 hoặc 2).
Vị trí số 7: Có 2 cách chọn (có thể là 1 hoặc 2, vì đề bài cho phép lặp lại).
Suy ra số cách chọn hai đầu là
(cách).
Bước 2: Xếp chữ cái
vào các vị trí còn lại
Chữ cái
phải xuất hiện đúng một lần. Vì hai đầu đã là chữ số nên chữ cái chỉ có thể nằm ở một trong 5 vị trí trống ở giữa (từ vị trí 2 đến vị trí 6).
Do đó số cách chọn vị trí cho
là 5 cách.
Bước 3: Chọn ký tự cho 4 vị trí trống còn lại
Sau khi đã đặt hai chữ số ở đầu và chữ
vào một vị trí thì còn lại 4 vị trí trống.
Tại mỗi vị trí này, chúng ta có thể chọn bất kỳ ký tự nào trong tập hợp ban đầu ngoại trừ chữ
(vì chỉ được xuất hiện đúng 1 lần). Các ký tự có thể chọn là tổng cộng có 4 lựa chọn cho mỗi vị trí.
Suy ra số cách chọn cho 4 vị trí còn lại là
(cách).
Áp dụng quy tắc nhân, suy ra số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện bài toán là
(cách).
Điền đáp án: 5120.
Câu 12 [1035698]: Cho tam giác 
trên cạnh 
lấy 4 điểm khác 
trên cạnh 
lấy 5 điểm khác 
trên cạnh 
lấy 6 điểm khác 
Gọi 
là tổng số tứ giác tạo thành khi lấy 4 điểm trong 15 điểm nói trên. Khi đó 
bằng bao nhiêu?
trên cạnh lấy 4 điểm khác trên cạnh lấy 5 điểm khác trên cạnh lấy 6 điểm khác Gọi là tổng số tứ giác tạo thành khi lấy 4 điểm trong 15 điểm nói trên. Khi đó bằng bao nhiêu?
Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ:
Tổng số tứ giác tạo thành = Tổng số cách lấy 4 điểm từ 15 điểm - Vi phạm (tức 4 điểm không tạo thành tứ giác)
Tổng số cách lấy 4 điểm từ 15 điểm là
Số trường hợp vi phạm là:
TH1: Số cách lấy 4 điểm trong đó, ba điểm nằm trên một cạnh, điểm thứ tư trên cạnh khác là
TH2: Số cách lấy 4 điểm trong đó cả 4 điểm đều nằm trên một cạch là
Vậy
Điền đáp án: 1020.
Tổng số tứ giác tạo thành = Tổng số cách lấy 4 điểm từ 15 điểm - Vi phạm (tức 4 điểm không tạo thành tứ giác)
Tổng số cách lấy 4 điểm từ 15 điểm là
Số trường hợp vi phạm là:
TH1: Số cách lấy 4 điểm trong đó, ba điểm nằm trên một cạnh, điểm thứ tư trên cạnh khác là
TH2: Số cách lấy 4 điểm trong đó cả 4 điểm đều nằm trên một cạch là
Vậy
Điền đáp án: 1020.
Câu 13 [1035674]: Một quán cafe nhạc cần trang trí một bức tường vuông được chia thành bốn ô như hình vẽ. Có bao nhiêu cách để người thợ sơn có thể dùng bốn màu khác nhau để sơn tấm tường này sao cho mỗi ô vuông được tô một màu và những ô vuông cạnh nhau không có màu trùng nhau?
Trả lời: 
Trường hợp 1. Ô số
và ô số 
cùng màu.
Chọn màu cho ô số
: có 4 cách. Chọn màu cho ô số 
: có 
cách.
Hai ô số
và 
đều có cùng số cách chọn là 
Vậy số cách chọn màu trong trường hợp này là:
.
Trường hợp 2: Ô số
và ô số 
không cùng màu.
Chọn màu cho ô số
: có 
cách. Chọn màu cho ô số 
: có 
cách.
Hai ô số
và 4 đều có cùng số cách chọn là 
Vậy số cách chọn màu trong trường hợp này là:
.
Vậy số cách chọn màu thỏa mãn là:
Trường hợp 1. Ô số
và ô số cùng màu. Chọn màu cho ô số
: có 4 cách. Chọn màu cho ô số : có cách.Hai ô số
và đều có cùng số cách chọn là Vậy số cách chọn màu trong trường hợp này là:
.Trường hợp 2: Ô số
và ô số không cùng màu.Chọn màu cho ô số
: có cách. Chọn màu cho ô số : có cách.Hai ô số
và 4 đều có cùng số cách chọn là Vậy số cách chọn màu trong trường hợp này là:
.Vậy số cách chọn màu thỏa mãn là:
Câu 14 [237535]: Hội khỏe Phù Đổng của trường Trần Phú, lớp 
có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh thi điền kinh, 20 học sinh thi nhảy xa, 15 học sinh thi nhảy cao, 7 em không tham gia môn nào, 5 em tham gia cả 3 môn. Hỏi số em tham gia chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?
có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh thi điền kinh, 20 học sinh thi nhảy xa, 15 học sinh thi nhảy cao, 7 em không tham gia môn nào, 5 em tham gia cả 3 môn. Hỏi số em tham gia chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu? 
Gọi
theo thứ tự là số học sinh chỉ thi môn điền kinh, nhảy xa, nhảy cao.
là số học sinh chỉ thi hai môn điền kinh và nhảy xa
là số học sinh chỉ thi hai môn nhảy xa và nhảy cao
là số học sinh chỉ thi hai môn điền kinh và nhảy caoSố em thi ít nhất một môn là:
Dựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình sau:
Cộng vế với vế của
ta có: 
Từ
ta có: 
Vậy có 21 học sinh chỉ thi một trong ba nội dung trên.
Câu 15 [1167189]: Trong giải cờ vua giao hữu tại một trường THPT chào mừng ngày thành lập Đoàn 26/3, các vận động viên nam và nữ cùng tham gia thi đấu. Để đảm bảo tính công bằng, giúp mỗi kỳ thủ đều được cầm quân Trắng và quân Đen khi đối đầu với các đối thủ khác thì Ban tổ chức quy định thể thức thi đấu vòng tròn hai lượt, tức là mỗi cặp vận động viên sẽ thi đấu với nhau đúng 2 ván. Biết rằng giải chỉ có 2 vận động viên nữ tham gia. Sau khi kết thúc giải, Ban tổ chức thống kê được số ván các vận động viên nam thi đấu với nhau nhiều hơn số ván họ thi đấu với các vận động viên nữ là 66 ván. Hỏi tổng số ván mà tất cả các vận động viên đã thi đấu là bao nhiêu?
Gọi 
là số vận động viên (VĐV) nam tham gia (
).
Số ván VĐV nam thi đấu với nhau là
Số ván VĐV nam thi đấu với VĐV nữ là
Vì số ván VĐV nam thi đấu với nhau nhiều hơn số ván VĐV nam thi đấu với VĐV nữ 66 ván nên ta có
Vậy tổng cộng có 13 VĐV (bao gồm 11 nam và 2 nữ).
Tổng số ván thi đấu của giải là
ván.
Điền đáp án: 156.
là số vận động viên (VĐV) nam tham gia ().
Số ván VĐV nam thi đấu với nhau là
Số ván VĐV nam thi đấu với VĐV nữ là
Vì số ván VĐV nam thi đấu với nhau nhiều hơn số ván VĐV nam thi đấu với VĐV nữ 66 ván nên ta có
Vậy tổng cộng có 13 VĐV (bao gồm 11 nam và 2 nữ).
Tổng số ván thi đấu của giải là
ván.
Điền đáp án: 156.