Chọn 1 số từ tập có 5 cách.
Chọn 1 số từ tập có 5 cách.
Vậy tổng số cặp có thể là cặp.
Ta cần tìm các cặp sao cho Xét từng giá trị của và tìm các giá trị tương ứng, ta được bảng sau:

Suy ra tổng số cặp thỏa mãn điều kiện là
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,44.

Số kết quả có thể xảy ra là
Các cặp để Lan thắng với là số Lan tung ra và là số Hùng tung ra:
• Có 8 cách.
• Có 4 cách.
• Có 2 cách.
• Có 2 cách.
• Có 1 cách.
• Có 1 cách.
Số kết quả thuận lợi là
Vậy xác suất cần tính là

Điền đáp án: 68.

Tập hợp các số từ 1 đến 7 gồm 4 số lẻ là 1, 3, 5, 7 và 3 số chẵn là 2, 4, 6.
Bước 1: Tính không gian mẫu
Số cách chọn ra 3 số khác nhau là
Bước 2: Tính số trường hợp thuận lợi
Nhận xét: Để cả và đều là số chẵn thì mỗi nhóm phải có ít nhất 1 số chẵn.
Ta sẽ thực hiện chọn số cho nhóm 3 số trước, hiển nhiên 4 số còn lại sẽ vào nhóm 4 số.
Trường hợp 1: Nhóm 3 số được chọn có 1 số chẵn (khi đó nhóm 4 số gồm các số còn lại bao gồm 2 số chẵn)
Chọn 1 số chẵn từ 3 số chẵn: cách.
Chọn 2 số lẻ từ 4 số lẻ: cách.
Số cách thỏa mãn ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: Nhóm 3 số được chọn có 2 số chẵn (khi đó nhóm 4 số gồm các số còn lại bao gồm 1 số chẵn)
Chọn 2 số chẵn từ 3 số chẵn: cách.
Chọn 1 số lẻ từ 4 số lẻ: cách.
Số cách thỏa mãn ở TH1 là cách.
Suy ra tổng số cách chọn thuận lợi là
Xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 13.

Số có 5 chữ số nên
Vì và lần lượt là thương và số dư khi chia cho 100 nên ta có thể viết dưới dạng
Ta có
Vì (giả thiết) và nên suy ra
Vậy các số thỏa mãn là số có 5 chữ số chia hết cho 11.
Ta có Nên do đó số đầu tiên chia hết cho 11 có 5 chữ số là
Ta có
Số lớn nhất có 5 chữ số chia hết cho 11 là
Số lượng các số chia hết cho 11 là
Điền đáp án: 8181.
Gợi ý: Công thức tính nhanh số số hạng của một dãy số cách đều:
Số số hạng = (Số cuối – Số đầu)/Khoảng cách + 1

Điền đáp án: 15.
Gọi 3 phần tử của cấp số nhân theo thứ tự tăng dần là
Ta có:
TH1: là số chính phương
Có 4 số chính phương: 25, 36, 49, 64.
Chọn 2 trong 4 số có cách
TH2: là không số chính phương
Để

Có cách chọn
Có cách
Có cách
Có cách
Có cách
Số tập hợp cần tìm là

Gọi lần lượt là số lần xuất hiện của các chữ số 1, 2, 3.
Điều kiện:
Thay vào biểu thức tổng ta được
Vì nên để thì
Vì nên để thì
TH1:
Bộ số thỏa mãn duy nhất là Số các số được tạo thành từ bộ này là
Vậy TH1 có 30 số thỏa mãn.
TH2:
Bộ số thỏa mãn là Số các số được tạo thành từ bộ này là
Vậy TH2 có 90 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả số thỏa mãn.
Điền đáp án: 120.

Vì nên có thể là số có 1 chữ số, 2 chữ số,…,9 chữ số.
Để là số tăng nghiêm ngặt thì
Nhận xét: Với mỗi cách chọn số từ tập ta được 1 số tăng nghiêm ngặt tương ứng (vì các chữ số khi xếp đã được cố định là xếp tăng dần). Do đó số lượng các số thỏa mãn bằng số tập con (trừ tập rỗng) của tập
Số các số thỏa mãn là số (trừ 1 ở đây là trừ đi tập rỗng).
Điền đáp án: 511.
Note: Theo công thức tập hợp, một tập có phần tử sẽ có tập con (bao gồm cả tập rỗng).

Số tự nhiên có ba chữ số có dạng
Số các số tự nhiên có ba chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là số.
Số phần tử không gian mẫu
Gọi là biến cố: “ 2 số lấy được đều có chữ số hàng chục nhỏ hơn các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị”.
Trường hợp có số.
Trường hợp có số.
Trường hợp có số.
Trường hợp có số.
Trường hợp có số.
Trường hợp có số.
Trường hợp có số.
Vậy có số thỏa mãn chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm.

Vậy

• Không gian mẫu:
• Cấp số cộng là khoảng cách giữa các số luôn bằng nhau, giả sử khoảng cách đó là
• Nếu Có 6 bộ
• Nếu Có 3 bộ
• Nếu Không có bộ nào.
Có tất cả 9 bộ, mỗi bộ chọn thêm 1 số để được 5 số thỏa yêu cầu bài toán, nghĩa là có (bộ).
Tuy nhiên có 5 bộ trùng nhau:
• thêm số và thêm số
• thêm số và thêm số
• thêm số và thêm số
• thêm số và thêm số
• thêm số và thêm số
Nên có (bộ).
Xác suất là

TH1: là độ dài 3 cạnh của một tam giác đều
Có 9 số thỏa mãn.
TH2: là độ dài 3 cạnh của một tam giác cân và không đều.
Chọn 2 trong 3 số bằng nhau: có cách.
Giả sử Để là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì
Không có giá trị thỏa mãn.
(2 số)
(4 số)
(6 số)
số.
Vậy TH2 có cách thỏa mãn.
TH3: là độ dài 3 cạnh của một tam giác thường (3 cạnh khác nhau
Mỗi bộ 3 chữ số khác nhau có cách hoán vị.
Giả sử Để là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì với :
+) 0 số thỏa mãn.
+) số.
+) số.
+) số.
+) số.
+) số.
+)
số.
Vậy TH3 có số thỏa mãn.
Kết hợp 3 trường hợp trên, suy ra số các số thỏa màn là
Điền đáp án: 369.

Gọi số cần tìm là
Điều kiện:
+) Tập
+) Không có cụm
+) Hàng trăm
+) Hàng đơn vị
Ta thực hiện chia trường hợp theo vị trí của số 2, ta được các trường hợp sau:
TH1:
• (3 cách).
• nhưng
Nếu (1 cách). Còn lại 2 số cho (2 cách). số.
Nếu (2 cách). Còn lại 2 số cho (2 cách). số.
Vậy TH1 có số.
TH2:
(để tránh ) và khác các số còn lại (3 cách). Các vị trí có cách. Tổng
Trừ đi các trường hợp vi phạm tại và Còn lại 8 số thỏa mãn.
Vậy TH2 có 8 số.
TH3:
• (để tránh ) và (theo đề). Vậy (2 cách).
• và khác Vậy có thể là hoặc (2 cách).
• là 2 số còn lại (2 cách).
Vậy TH3 có số.
TH4:
• (để tránh ).
• (và ).
• Tính toán các bộ từ sao cho và
Tổng số hoán vị 4 số là
Số cách có
Số cách có
Số cách có cả và
Áp dụng bù trừ, số cách thỏa mãn là
Vậy TH4 có 14 số.
Vậy số các số thỏa mãn là
Điền đáp án: 40.

Điền đáp án: 0,19.
Số cách chọn ba số là .
Vì chọn ba số thì chỉ có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần nên số cách chọn được ba số tạo thành dãy số tăng là 120 cách.
Để mở được cửa thì dãy số có thể là

Xác suất để mở cửa trong lần một là .
Xác suất để mở được cửa trong lần hai (bỏ số đã bấm ở lần một) là .
Xác suất để mở được cửa trong lần ba (bỏ số đã bấm ở hai lần trước) là .
Vậy xác suất để mở được cửa phòng học là

Gọi lần lượt là thời điểm kích hoạt ngẫu nhiên của ba chuông Đô, Fa, Sol.
Theo đề bài, các thời điểm này là số nguyên và không lớn hơn 20 giây, nên
Khi đó:
Chuông Đô vang ở các thời điểm:
Chuông Fa vang ở các thời điểm:
Chuông Sol vang ở các thời điểm:
Vì mỗi chuông có 21 thời điểm kích hoạt có thể xảy ra (từ 0 đến 20), và việc kích hoạt 3 chuông là độc lập nên số phần tử của không gian mẫu là
Để chuỗi âm thanh Đô - Fa - Sol vang lên cùng lúc ở lần thứ 2 của cả dàn chuông thì
Vì nên
Ta liệt kê lần lượt theo giá trị của ta được:
+)
+)
+)
+)
+)
+)
+)
Vậy có tất cả 7 bộ thỏa mãn.
Suy ra xác suất cần tính là

Điền đáp án: 1322.

Gọi số hữu tỉ đó là với và
Theo đề bài:
Ta có (có tổng cộng 8 khối lũy thừa).
Để là phân số tối giản thì 1 thừa số nguyên tố bất kì trong 8 số trên không được xuất hiện ở cả tử và mẫu. Tức mỗi khối lũy thừa (ví dụ phải nằm trọn vẹn ở tử hoặc mẫu.
Gợi ý: Ta thực hiện chia các khối lũy thừa thành 2 nhóm (không quan trọng thứ tự). Vì không là số chính phương nên hiển nhiên khi chia thành 2 nhóm luôn cho ra 1 số lớn hơn và 1 số nhỏ hơn. Khi đó ta mặc định số lớn hơn là mẫu và số nhỏ hơn là tử.
Chọn cho vào 1 hộp: có 1 cách. Lúc này hai hộp đã trở nên khác nhau.
Mỗi khối trong 7 khối lũy thừa còn lại đều có 2 cách chọn (cho vào hộp chứa hoặc cho vào hộp còn lại) có cách xếp 7 khối còn lại.
Vậy có cách chia hay có 128 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Điền đáp án: 128.

Điền đáp án: 2088.
Gọi mật mã cần tìm là .
Mật mã là số chia hết cho 6
chẵn và
Ta có:
Các bộ số thỏa mãn là
Với chẵn thì : có 4 số, : có 4 số, : có 4 số, : có 4 số, : có 4 số, : có 0 số, : có 4 số
Gọi tập hợp các số còn lại là .
+) Xét bộ , tập .
Các số dư khi chia cho 3: Dư 0: 3,6,9; Dư 1: 4,7; Dư 2: 2,5
- 3 số dư 0: cách.
- 1 số dư 0, 1 số dư 1, 1 số dư 2: cách.
Tổng số bộ là bộ.
Mỗi bộ có hoán vị.
Số cách bộ trên là
+) Xét bộ , tập .
Các số dư khi chia cho 3: Dư 0: 3,6,9; Dư 1: 1,4; Dư 2: 5,8
- 3 số dư 0: cách.
- 1 số dư 0, 1 số dư 1, 1 số dư 2: cách.
Tổng số bộ là bộ.
Mỗi bộ có hoán vị.
Số cách bộ trên là
+) Xét bộ , tập .
Các số dư khi chia cho 3: Dư 0: 9; Dư 1: 1,4,7; Dư 2: 2,5,8
- 3 số dư 1: cách.
- 3 số dư 2: cách.
- 1 số dư 0, 1 số dư 1, 1 số dư 2: cách.
Tổng số bộ là bộ.
Mỗi bộ có hoán vị.
Số cách bộ trên là
+) Xét bộ , tập .
Các số dư khi chia cho 3: Dư 0: 3,6,9; Dư 1: 1,7; Dư 2: 2,8
- 3 số dư 0: cách.
- 1 số dư 0, 1 số dư 1, 1 số dư 2: cách.
Tổng số bộ là bộ.
Mỗi bộ có hoán vị.
Số cách bộ trên là
+) Xét bộ , tập .
Các số dư khi chia cho 3: Dư 0: 0,3,9; Dư 1: 4,7; Dư 2: 5,8
- 3 số dư 0 (không tính ) : cách.
- 1 số dư 0, 1 số dư 1, 1 số dư 2 (không tính ): cách.
Tổng số bộ là bộ.
Mỗi bộ có hoán vị.
Số cách bộ trên là
+) Xét bộ , tập .
Các số dư khi chia cho 3: Dư 0: 0,6,9; Dư 1: 1,7; Dư 2: 5,8
- 3 số dư 0 (không tính ) : cách.
- 1 số dư 0, 1 số dư 1, 1 số dư 2 (không tính ): cách.
Tổng số bộ là bộ.
Mỗi bộ có hoán vị.
Số cách bộ trên là
Vậy có tất cả mật mã

Để chia hết cho thì tổng số mũ của thừa số trong tích cuối cùng phải ít nhất là
Tập số được chia thành các nhóm:
• Nhóm : Chứa Chỉ cần chọn 1 số này là tích chia hết cho 9.
• Nhóm : Chứa Cần ít nhất 2 số này để tích chia hết cho 9.
• Nhóm : Không chứa thừa số 3.
Số cách hoàn thiện quá trình chọn là
Gọi là biến cố “ chia hết cho 9”.
là biến cố “ không chia hết cho 9”.
Để không chia hết cho 9 ta có các trường hợp sau:
TH1: Tích không chứa thừa số 3
Tất cả 4 số đều chọn từ nhóm (có 6 số). Số cách chọn là
TH2: Tích chứa duy nhất một thừa số
Tức có đúng 1 số thuộc và các số còn lại thuộc
+) Số từ ở bước 1: số cách chọn là
+) Số từ ở bước 2: số cách chọn là
+) Số từ ở bước 3: số cách chọn là
Tổng TH2 có cách chọn.
Suy ra
Vậy
Điền đáp án: 0,54.

Thầy xin phép bổ sung để: Chữ số đầu tiên khác 0
Điền đáp án: 96.
Gọi số cần tìm có dạng
Ta có:

Vì là số lớn nhất
TH1:
Các chữ số còn lại
- .Các bộ là: mã.
- . Các bộ: mã.
- . Các bộ: , mã.
- . Các bộ: , mã.
- . Các bộ: mã.
- ( Không có bộ nào thỏa mãn)
Tổng cộng TH1 có mã
TH2:
Các chữ số còn lại
- . Các bộ: mã..
- . Các bộ: mã.
- . Các bộ: (loại).
- . Các bộ: (loại).
- . Các bộ: (loại).
Tổng cộng TH2 có mã.
TH3:
Các chữ số còn lại .
- . Bộ: mã.
- . Bộ: mã.
- : Không có bộ nào thỏa mãn
Tổng cộng TH3 có mã.
TH4:
Các chữ số còn lại .
Tổng tối đa của 3 số nhỏ hơn 6 là .
Mà . Trường hợp này không có mã nào.
Vậy có tất cả mã.

Số cách tạo ra một mật khẩu là
Nhận xét: Với mỗi mật khẩu mạnh (được xếp tăng dần) sẽ luôn có 1 mật khẩu mạnh (được xếp giảm dần) tương ứng. Nên số mật khẩu mạnh (được xếp tăng dần) bằng với số mật khẩu mạnh (được xếp tăng dần).
Do đó, ta tính số mật khẩu mạnh (được xếp tăng dần) trước.
Tập hợp gồm 5 chữ số lẻ là và 4 chữ số chẵn là .
Để không có 2 số lẻ nào kề nhau trong 5 số được chọn, số lượng chữ số lẻ chỉ có thể là 1, 2 hoặc 3. Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 1 lẻ + 4 chẵn
Số cách chọn là cách. Do chỉ có 1 số lẻ nên luôn thỏa mãn không có 2 số lẻ kề nhau.
TH1 có 5 mật khẩu thỏa mãn.
Trường hợp 2: 2 lẻ + 3 chẵn
Tổng số cách chọn 2 số lẻ và 3 số chẵn là cách.
Trong 40 cách này có 4 cách vi phạm (tức 2 số lẻ kề nhau).
TH2 có mật khẩu thỏa mãn.
Trường hợp 3: 3 lẻ + 2 chẵn
Để 3 chữ số lẻ không kề nhau thì chỉ có 1 cách xếp là LCLCL. Xét lần lượt các trường hợp chọn số chẵn:
• Chọn : Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ Có cách.• Chọn : Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ Có cách.
• Chọn : Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ Có cách.
• Chọn : Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ Có cách.
• Chọn : Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ Có cách.
• Chọn : Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ Có cách.
TH3 có mật khẩu thỏa mãn.
Suy ra số mật khẩu mạnh (xếp tăng dần) là
Số mật khẩu thỏa mãn là
Xác suất để chọn được mật khẩu mạnh là
Điền đáp án: 8,2.