Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1076020]: Cho hai đường thẳng song song d và d’. Trên đường thẳng d lấy 5 điểm khác nhau, trên đường thẳng d’ lấy 8 điểm khác nhau. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu véc tơ mà các điểm đầu và điểm cuối không cùng nằm trên một đường thẳng?
Điền đáp án: 80.
Trường hợp 1: Điểm đẩu thuộc , điểm cuối thuộc
- Có 5 cách chọn điểm đầu.
- Có 8 cách chọn điểm cuối.
- Số vectơ tạo thành:
Trường hợp 2: Điểm đầu thuộc , điểm cuối thuộc
- Có 8 cách chọn điểm đầu
- Có 5 cách chọn điểm cuối
- Số vectơ tạo thành:
Tổng số vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Câu 2 [1134211]: Cho tam giác Trên cạnh lấy các điểm chia đoạn thẳng này thành 14 phần bằng nhau. Nối mỗi điểm chia đó với đỉnh Trên cạnh lấy các điểm chia đoạn thẳng này thành 14 phần bằng nhau. Nối mỗi điểm chia đó với đỉnh Tính số lượng tất cả các tam giác được tạo thành trong hình vẽ được (bao gồm cả tam giác ).
Trên cạnh lấy thêm 13 điểm để chia thành 14 đoạn bằng nhau. Nối các điểm này với ta được 15 tia xuất phát từ (tính cả và ).
Trên cạnh lấy thêm 13 điểm để chia thành 14 đoạn bằng nhau. Nối các điểm này với ta được 15 tia xuất phát từ (tính cả và ).
Để tạo thành một tam giác trong hình vẽ này, ta cần chọn ra 3 đường thẳng cắt nhau đôi một và không đồng quy. Các đường thẳng có sẵn bao gồm:
+) Nhóm tia từ : Có đường (14 tia chia + cạnh ).
+) Nhóm tia từ : Có đường (14 tia chia + cạnh ).
Có 3 trường hợp tạo thành tam giác như sau:
Trường hợp 1: Tam giác tạo bởi 2 tia từ và 1 tia từ (không tính )
Chọn 2 tia từ và 1 tia từ (không tính cạnh chung ). Số tam giác tạo thành là
Trường hợp 2: Tam giác tạo bởi 2 tia từ và 1 tia từ (không tính )
Chọn 2 tia từ và 1 tia từ (không tính cạnh chung ). Số tam giác tạo thành là
Trường hợp 3: Các tam giác có một cạnh là
Đỉnh còn lại của tam giác được tạo bởi giao điểm của 1 tia từ và 1 tia từ nên số tam giác tạo thành là
Vậy số tam giác tạo thành là
Điền đáp án: 2744.
Câu 3 [1134216]: Một đa diện lồi có các mặt bao gồm: 12 hình vuông, 8 hình lục giác đều và 6 hình bát giác đều. Tại mỗi đỉnh của đa diện có đúng một hình vuông, một hình lục giác và một hình bát giác gặp nhau. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nối các đỉnh của đa diện nằm hoàn toàn bên trong đa diện (không nằm trên cạnh hoặc trên các mặt của đa diện)?
Gợi ý: Vì đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ chỉ có thể là: Cạnh, Đường chéo mặt hoặc Đường chéo trong nên Số đoạn thẳng nằm hoàn toàn bên trong đa diện = Tổng số đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ - Số cạnh của đa diện – Số đường chéo của các mặt.
Theo đề bài, tại mỗi đỉnh có đúng 3 mặt gặp nhau (1 hình vuông, 1 hình lục giác, 1 hình bát giác). Do đó, mỗi đỉnh là giao điểm của đúng 3 cạnh.
Bước 1: Tính số đỉnh của đa diện
Tổng số đỉnh của các mặt đơn lẻ (12 hình vuông, 8 hình lục giác đều và 6 hình bát giác đều) là (đỉnh).
Vì mỗi đỉnh của đa diện là nơi hội tụ 3 mặt, nên mỗi đỉnh đã được đếm 3 lần. Do đó số đỉnh của đa diện đã cho là (đỉnh).
Suy ra tổng số đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ là
Bước 2: Tính số cạnh của đa diện
Số cạnh của các mặt đơn lẻ (12 hình vuông, 8 hình lục giác đều và 6 hình bát giác đều) là (cạnh).
Tuy nhiên trong đa diện đều, mỗi cạnh là cạnh chung của 2 mặt, do đó mỗi cạnh đã được đếm 2 lần. Vậy số cạnh của đa diện là
Bước 3: Tính số đường chéo của các mặt
Note: Đường chéo của một đa giác cạnh được tính bằng công thức:
• 12 hình vuông: Mỗi hình vuông có 2 đường chéo. Suy ra số đường chéo trên 12 mặt hình vuông là
• 8 hình lục giác đều Mỗi hình có đường chéo.
• Suy ra số đường chéo trên 8 mặt hình lúc giác đều là
• 6 hình bát giác đều Mỗi hình có đường chéo. Suy ra có tổng cộng (đường chéo).
Tổng số đường chéo trên tất cả các mặt là
Vậy số đoạn thẳng cần tìm là
Điền đáp án: 840.
Câu 4 [1134217]: Trong mặt phẳng tọa độ xét tập hợp gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn điều kiện và (tham khảo hình vẽ). Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ tập Tính số cách chọn sao cho 3 điểm đó tạo thành một tam giác.
Gợi ý: Số cách tạo thành tam giác = Tổng số cách chọn 3 điểm bất kì – Số vi phạm (tức 3 điểm thẳng hàng).
Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 điểm bất kì
Trên hình có điểm.
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 điểm là
Bước 2: Tính số vi phạm
Để 3 điểm không tạo thành tam giác khi và chỉ khi chúng nằm thẳng hàng. Ta đếm các đường thẳng chứa ít nhất 3 điểm:
• Hàng ngang: Có 4 hàng ngang, mỗi hàng có 5 điểm.
Số cách chọn 3 điểm trên một hàng ngang:
Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là cách.
• Hàng dọc: Có 5 hàng dọc, mỗi hàng có 4 điểm.
Số cách chọn 3 điểm trên một hàng dọc:
Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là cách.
• Đường chéo: Ta đếm các đường chéo có đúng hoặc hơn 3 điểm:
Có 4 đường chéo chứa 4 điểm: Số cách là cách.
Có 8 đường chéo chứa đúng 3 điểm (tham khảo hình vẽ): Số cách là cách.

Tổng số trường hợp vi phạm là cách.
Vậy số cách chọn 3 điểm tạo thành tam giác là
Điền đáp án: 1056.
Câu 5 [1042109]: Trong mặt phẳng cho hình chữ nhật với và Gọi là tập hợp tất cả các điểm nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của Lấy ngẫu nhiên một điểm Xác suất để bằng tính

Nhận thấy các điểm cần tìm nằm trên đường thẳng với Dễ thấy trên các đường có lần lượt 91;90;...;81 điểm.
Vậy xác suất cần tìm:
Vậy
Câu 6 [711175]: Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng đi qua các cặp điểm trong 5 điểm đó không có 2 đường thẳng nào song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các đường vuông góc với tất cả các đường thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm còn lại. Không kể 5 điểm đã cho số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó nhiều nhất là bao nhiêu?
Điền đáp án: 310.


B1: Chọn 2 trong 5 đỉnh có cách
B2: Xác định số giao điểm của 2 đỉnh vừa cho.
Từ kẻ được 6 đường vuông góc
Từ kẻ được 6 đường vuông góc
Từ kẻ được 36 cặp đường thẳng
Có 3 đường thẳng mà từ kẻ vuông góc tại ra các đường thẳng song song
Số giao điểm tối đa tạo ra từ các đường vuông góc kẻ từ là
Trong 1 tam giác có 3 đường cao đồng quy nên số giao điểm bị trùng là
Vậy số giao điểm tối đa được tạo ra là .
Câu 7 [1134218]: Cho một hình lăng trụ ngũ giác đều có 10 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số 10 đỉnh này để tạo thành một tam giác. Xác suất để không có cạnh nào của tam giác đó là cạnh của hình lăng trụ là (trong đó phân số tối giản và ). Hãy tính

Vì không có bất kì 3 đỉnh nào thẳng hàng nên tổng số tam giác tạo thành bằng số cách chọn 3 đỉnh bất kỳ từ 10 đỉnh là
Gợi ý: Số tam giác thỏa mãn = 120 – Số vi phạm (tức tam giác có chứa cạnh của lăng trụ).
TH1: Tam giác có ĐÚNG 2 cạnh là cạnh lăng trụ
Một tam giác có 2 cạnh là cạnh của lăng trụ khi và chỉ khi 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh liên tiếp của một mặt nào đó.
• Tại 2 mặt đáy (là các hình ngũ giác): Mỗi mặt có 5 bộ 3 đỉnh liên tiếp (ví dụ: nên mỗi mặt có 5 tam giác.
2 đáy có số tam giác là tam giác.
• Tại 5 mặt bên (là các hình chữ nhật): Mỗi mặt bên có 4 bộ 3 đỉnh liên tiếp (ví dụ mặt có: nên mỗi mặt có đúng 3 tam giác chứa đúng 2 cạnh của lăng trụ.
5 mặt bên có số tam giác là tam giác.
Vậy số tam giác vi phạm ở TH1 là
TH2: Tam giác có ĐÚNG 1 cạnh là cạnh lăng trụ
Ta chọn 1 cạnh làm gốc và chọn đỉnh thứ 3 sao cho không tạo thêm cạnh nào khác là cạnh của lăng trụ.
• Chọn cạnh đáy (10 cạnh) làm gốc: Mỗi cạnh (ví dụ ) có 4 đỉnh thỏa mãn (tương ứng là tương tự với 10 cạnh.
Số tam giác vi phạm là tam giác.
• Chọn cạnh bên (5 cạnh) làm gốc: Mỗi cạnh (ví dụ ) có 4 đỉnh thỏa mãn
Số tam giác vi phạm là tam giác.
Vậy số tam giác vi phạm ở TH2 là tam giác.
Số tam giác không có cạnh nào là cạnh lăng trụ là
Xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 257.
Câu 8 [1134215]: Trong hình bình hành vẽ đường chéo Từ đỉnh vẽ 4 đoạn thẳng nối đến 4 điểm trên cạnh Từ đỉnh vẽ 3 đoạn thẳng nối đến 3 điểm trên cạnh Ngoài ra, vẽ thêm 2 đoạn thẳng song song với cạnh nối giữa các điểm trên cạnh và để tạo thành hình như trên. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu hình tam giác được tạo thành từ các đoạn thẳng trong hình này?
Nhận thấy: Không có tam giác nào vừa thuộc miền vừa thuộc miền Nên tổng số tam giác tạo thành bằng tổng số tam giác thuộc miền và số tam giác thuộc miền
TH1: Tam giác thuộc miền

Nhận xét: Các tam giác trong miền này luôn có 1 đỉnh là Do đó ta cần chọn 2 đỉnh (cùng thuộc 1 đoạn thẳng) từ các đỉnh thuộc vào miền
Số tam giác tạo thành là
TH2: Tam giác thuộc miền

Tương tự TH1, ta có số tam giác tạo thành là
Vậy tổng số tam giác trong hình (có cạnh là các đoạn thẳng trong hình) là
Điền đáp án: 75.
Câu 9 [1134220]: Có 10 thùng hàng hình hộp chữ nhật giống hệt nhau với kích thước mỗi thùng là (cm). Các thùng hàng được xếp chồng lên nhau thành một cột đứng. Hướng của mỗi thùng được chọn ngẫu nhiên, đồng đều và độc lập giữa các thùng. Xác suất để chồng thùng hàng có tổng chiều bằng 41 cm, được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản Giá trị của bằng bao nhiêu?
Vì mỗi thùng có kích thước nên mỗi thùng sẽ có 3 cách đặt: đặt theo chiều cao là 3, 4 hoặc 6. Khi đó 10 thùng có số cách xếp là
Gọi lần lượt là số thùng có chiều cao Từ giả thiết, ta có hệ phương trình

Vậy các bộ số thỏa mãn là
Bộ (1, 8, 1): Số cách xếp thùng là
Bộ (3, 5, 2): Số cách xếp thùng là
Bộ (5, 2, 3): Số cách xếp thùng là
Tổng số cách xếp thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tính là

Điền đáp án: 2660.
Câu 10 [1134229]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi là tập hợp các điểm có tọa độ với x, y, z là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: . Chọn ngẫu nhiên hai điểm phân biệt từ tập hợp . Biết rằng xác suất để trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm được chọn cũng thuộc tập hợp được viết dưới dạng phân số tối giản (với ). Tính giá trị biểu thức .
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Vì các tọa độ là số nguyên nên
có 3 giá trị (2 chẵn: ; 1 lẻ: ).
có 4 giá trị (2 chẵn: ; 2 lẻ:
có 5 giá trị (3 chẵn: 0, 2, 4; 2 lẻ: 1, 3)
Tổng số điểm trong tập là điểm.
Số cách chọn 2 điểm phân biệt từ là
Bước 2: Xác định số cách chọn thỏa mãn
Giả sử hai điểm được chọn là và Khi đó trung điểm có tọa độ
Để thì các tọa độ của phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi
• cùng tính chẵn lẻ.
• cùng tính chẵn lẻ.
• cùng tính chẵn lẻ.
Tức là hai điểm và phải thuộc cùng một "nhóm tính chẵn lẻ". Ta có bảng sau:

Vậy xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 200.
Câu 11 [1153777]: [Đề thi Sở Thái Nguyên]: Tung đồng thời hai con xúc xắc khác nhau đều cân đối và đồng nhất ba lần. Bằng cách cộng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc trong mỗi lần tung ta được một số ngẫu nhiên từ 2 đến 12. Gọi ba số này lần lượt là a, b và t. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có hai cạnh có độ dài là a, b và góc xen giữa chúng bằng độ. Xác suất để tam giác này là tam giác vuông bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi là tổng số chấm trong mỗi lần tung, Xác suất được tính như sau:
•
•
•
•
•
•
Gọi là tam giác tạo thành với đối diện cạnh đối diện cạnh và đối diện cạnh và
Để tam giác tạo thành là tam giác vuông, ta có 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Tam giác vuông tại
Khi đó
Xác suất để là
Trong trường hợp này, với bất kỳ độ dài ta cũng luôn có một tam giác vuông.
Do đó xác suất ở TH1 là
Trường hợp 2: Tam giác vuông tại hoặc
TH2.1: Tam giác vuông tại đỉnh
Khi đó Vì là các số nguyên dương nên phải là một số hữu tỉ dương. Thử các giá trị của góc : chỉ có tương ứng với thỏa mãn là số hữu tỉ.
Xác suất xảy ra là
Nếu vuông tại : Ta cần Các cặp thỏa mãn và xác suất tương ứng là : Xác suất : Xác suất : Xác suất : Xác suất : Xác suất
Tổng xác suất để là
TH2.2: Tam giác vuông tại
Vì vai trò của là như nhau nên xác suất cũng là
Tổng xác suất TH2 là
Vậy xác suất để tam giác tạo thành là tam giác vuông là
Điền đáp án: 0,17.
Câu 12 [1167857]: Trong một mạng lưới ô vuông, gồm 4 hình vuông bằng nhau có cạnh bằng 1. Mạng lưới trên gồm 9 điểm (như hình vẽ), chọn ngẫu nhiên 3 điểm phân biệt từ 9 điểm trên, sau đó gán ngẫu nhiên tên của chúng là và Tính xác suất để tích vô hướng của hai vectơ và nhận giá trị âm. Biết xác suất này được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản (với ), hãy tính giá trị của biểu thức
Tổng số cách chọn có thứ tự từ 9 điểm là
Xét các trường hợp của :
(1) Loại 1: là điểm 5.

- Nếu thì thẳng hàng và nằm giữa Qua điểm 5 có 4 đường thẳng chứa 3 điểm (ngang, dọc và 2 đường chéo), nên có cách (vì trên mỗi đường thẳng đó, là hai đầu mút và có 2 thứ tự).
- Nếu : chọn là một trong 4 điểm góc (4 cách). Với mỗi cách chọn có đúng 2 lựa chọn cho để được góc Do có thứ tự nên nhân thêm được cách.
Vậy với có cách.
(2) Loại 2: là một trong các điểm Khi đó không có cách chọn để
(3) Loại 3: là một trong các điểm Lấy làm ví dụ, theo hình có 3 kiểu chọn thỏa mãn, số cách (không phân biệt thứ tự ) lần lượt là

Do đó, với mỗi loại này có cặp mà có thứ tự nên nhân ; lại có 4 vị trí loại này, nên số cách là
Tổng số cách thỏa là
Vậy xác suất cần tìm là
Suy ra
Câu 13 [1134221]: Cho một lưới ô vuông có kích thước bao gồm 100 ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh dài 1 đơn vị. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 điểm trên lưới ô vuông trên sao cho độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm đó là một số nguyên?
Lưới ô vuông có 11 đường ngang và 11 đường dọc, tạo thành nút lưới.
Giả sử 2 điểm được chọn có tọa độ là và với Khoảng cách với và ().
Để khoảng cách giữa 2 điểm là số nguyên ta có các trường hợp sau:
TH1: 2 điểm nằm trên cùng đường ngang hoặc dọc (tức hoặc
• Chọn trên các đường ngang: Có 11 đường, mỗi đường chọn 2 điểm từ 11 điểm:
• Chọn trên các đường dọc: Tương tự, có
TH1 có cách thỏa mãn.
TH2: 2 điểm tạo thành đường xiên
Khoảng cách là số nguyên khi là cạnh của tam giác vuông Pythagore. Trong phạm vi lưới có các cặp sau:
• Cặp và
Số hình chữ nhật kích thước là
Số hình chữ nhật kích thước là
Mỗi hình chữ nhật có 2 đường chéo thỏa mãn nên có cách.
• Cặp và
Số hình chữ nhật kích thước là
Số hình chữ nhật kích thước là
Mỗi hình chữ nhật có 2 đường chéo thỏa mãn: cách.
Tổng số cách chọn là
Điền đáp án: 1494.
Câu 14 [1134222]: Trong tam giác người ta vẽ 4 đoạn thẳng nối đỉnh với các điểm chia cạnh thành 5 phần bằng nhau. Tiếp theo, vẽ 3 đoạn thẳng song song với nối các điểm chia cạnh và thành 4 phần bằng nhau để tạo thành hình vẽ như trên. Nếu diện tích tam giác là 80, hãy tính số lượng hình thang có thể được tạo ra từ các đường thẳng trong hình này mà có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 10.
Kí hiệu các điểm như hình vẽ.

Từ cách chia hình, ta có
Bước 1: Xác định diện tích các hình thang con ở mỗi hàng
Xét và ta có

Xét và ta có
Tương tự, ta tính được
Suy ra
Dựa vào Định lí Thalès kết hợp với ta dễ dàng chứng minh được các hình thang trên cùng 1 hàng bằng nhau.
Do đó mỗi hình thang trên hàng đều có diện tích bằng
Mỗi hình thang trên hàng đều có diện tích bằng
Mỗi hình thang trên hàng đều có diện tích bằng
Ta thu được hình sau (các số ở các hình thang con là diện tích của các hình thang đó).

Bước 2: Đếm số hình thang có diện tích
+) Hàng 1: có 5 hình (có diện tích bằng 3) và 4 hình (có diện tích bằng 6) và 3 hình (có diện tích bằng 9) nên số hình thỏa mãn là
+) Hàng 2: có 5 hình (có diện tích bằng 5) và 4 hình (có diện tích bằng 10). Tổng cộng: 9 hình thỏa mãn.
+) Hàng 3: có 5 hình (có diện tích bằng 7).
+) Hàng 1+hàng 2: có 5 hình (có diện tích bằng 8) thỏa mãn.
+) Hàng 2+hàng 3: không có hình nào thỏa mãn.
Vậy tổng số hình thang thỏa mãn là
Điền đáp án: 31.
Câu 15 [1100156]: Trên mặt phẳng toạ độ gọi là tập hợp các điểm sao cho là các số nguyên thuộc đoạn Chọn ra 4 điểm bất kì thuộc tập hợp sao cho 4 điểm đó tạo thành một hình chữ nhật có các cạnh song song với trục toạ độ nhưng không phải hình vuông. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách như vậy?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Gợi ý: Số TH là hình chữ nhật (không phải hình vuông) = Số TH là hình chữ nhật – Số TH là hình vuông.
Bước 1: Tính số TH chọn ra 4 điểm trong tập hợp tạo thành hình chữ nhật (tính cả hình vuông)

Minh họa các điểm trong tập hợp thuộc vào lưới ô vuông như hình.

Nhận thấy cứ chọn 2 điểm bất kì trên trục và 2 điểm bất kì trên trục ta luôn được 1 hình chữ nhật.
Trục Có cách chọn ra 2 điểm trong 12 điểm.
Trục Có cách chọn ra 2 điểm trong 12 điểm.
Suy ra số cách tạo thành hình chữ nhật bằng cách.
Bước 2: Tính số TH chọn ra 4 điểm trong tập hợp tạo thành hình vuông
Nhận thấy khi chọn ra 2 điểm bất kì trên mỗi trục mà khoảng cách giữa hai điểm trên một trục là bằng nhau thì hình tạo thành sẽ là hình vuông (tham khảo hình vẽ).

Cách 1: Đếm
+) Với Các cặp điểm có khoảng cách bằng 1 là
Trục (tất cả có 11 cặp).
Trục tương tự cũng có tất cả có 11 cặp.
Suy ra số hình vuông tạo thành là
Vì hai trục là như nhau nên số cặp ở 2 trục bằng nhau.
+) Với Các cặp điểm có khoảng cách bằng 2 là
Trục đều có (tất cả có 10 cặp) nên số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Các cặp điểm có khoảng cách bằng 3 là
Trục đều có (tất cả có 9 cặp) nên số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Các cặp điểm có khoảng cách bằng 4 là
Trục đều có (tất cả có 8 cặp) nên số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng 1.
+) Với Có 0 hình vuông được tạo thành.
Vậy có tất cả trường hợp tạo thành hình vuông.
Suy ra số TH là hình chữ nhật (không phải hình vuông) bằng
Cách 2: Cách làm tổng quát
Các em xem cách này ở video để xem thầy Tuấn xử lý ở trường hợp tổng quát sẽ như thế nào nhé!
Điền đáp án: 3850.
Câu 16 [1134213]: Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập Sau đó chọn tiếp 3 số từ 997 số còn lại. Tính xác suất để một viên gạch kích thước có thể bỏ vừa vào một chiếc hộp kích thước (sau khi xoay phù hợp, các cạnh viên gạch song song với cạnh hộp)? (viết kết quả dưới dạng số thập phân).
Bước 1: Tính không gian mẫu
Số cách chọn ra 6 số và chia thành 2 nhóm (3-3) là
Bước 2: Tính số cách chọn thỏa mãn
Chọn ngẫu nhiên 6 số từ tập: có cách.
Giả sử 6 số được chọn là với .
Số cách chia 6 số này thành 2 nhóm (một nhóm 3 số cho gạch, một nhóm 3 số cho hộp) là cách.
Để viên gạch (kích thước ) bỏ vừa hộp (kích thước thì
Do đó với mỗi cách chọn 6 số, chỉ có 5 bộ sau đây giúp viên gạch (tập ) nhỏ hơn hộp (tập ) tương ứng là
Bộ 1.
Bộ 2.
Bộ 3.
Bộ 4.
Bộ 5.
(Các bộ khác đều vi phạm ít nhất một cặp)
Suy ra số bộ thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 0,25.