Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1134514]: Công thức 1
Cho đa giác lồi đỉnh .
a) Số đường số đường chéo của đa giác là số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác là .
b) Số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác là
c) Số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác và có đúng 2 cạnh chung với đa giác là
d) Số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác và không có cạnh chung với đa giác là
e) Số đa giác cạnh được tạo thành từ các đỉnh của đa giác sao cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác được tính bằng (công thức Kaplansky).
Câu 2 [1134265]: Cho đa giác lồi có 15 đỉnh, số đường chéo của hình đa giác bằng bao nhiêu?
Note: Số đường số đường chéo của đa giác lồi đỉnh là
Áp dụng công thức tính nhanh trên, ta có số đường chéo của hình đa giác lồi 15 đỉnh là
Điền đáp án: 90.
Câu 3 [1134266]: Cho đa giác lồi đỉnh . Gọi số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác là , Số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác và có đúng 2 cạnh chung với đa giác là Biết rằng , giá trị của bằng bao nhiêu?
Ta có số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác là
Số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác và có đúng 2 cạnh chung với đa giác là

Vậy
Điền đáp án: 12.
Câu 4 [1134267]: Cho đa giác lồi có 10 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gợi ý: Áp dụng công thức Kaplansky: Số đa giác cạnh được tạo thành từ các đỉnh của đa giác sao cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác được tính bằng
Số cách chọn 4 đỉnh từ 10 đỉnh của đa giác trên là
Số cách chọn 4 đỉnh tạo thành một tứ giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 0,12.
Câu 5 [1076011]: Công thức 3: Cho đa giác đều có 2n đỉnh, nội tiếp đường tròn tâm O.
a) Số các tam giác vuông có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là
b) Số tam giác tù có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là
c) Số tam giác nhọn có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là
d) Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác là
a) Số đường kính của đa giác là .
Với mỗi đường kính, ta chọn thêm 1 đỉnh trong số đỉnh còn lại để tạo thành một tam giác vuông.
Vậy có tất cả tam giác vuông.
b) Một tam giác là tam giác tù nếu tất cả 3 đỉnh của nó nằm trên cùng một nửa đường tròn (không tính đường kính).
Cố định một đỉnh của đa giác làm đỉnh góc tù (giả sử đỉnh ).
Để tam giác là tù tại, hai đỉnh còn lại phải nằm về cùng một phía của đường kính đi qua .
Số đỉnh ở một phía của đường kính là .
Ta chọn 2 đỉnh từ nhóm này có cách
Có đỉnh nên số tam giác tù là .
c) Tổng số tam giác có thể tạo ra từ đỉnh là
Từ các kết quả của a, b nên ta có số tam giác nhọn là
d) Một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn thì hai đường chéo của nó phải là hai đường kính của đường tròn đó.
Đa giác có đường kính.
Cứ chọn 2 đường kính bất kỳ trong số đường kính này, ta sẽ thu được 4 đỉnh tạo thành một hình chữ nhật.
Số hình chữ nhật là .
Câu 6 [1040421]: Có bao nhiêu tam giác vuông được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác?
Điền đáp án: 4900.
Để ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mút của một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong số các đỉnh còn lại của đa giác.
Đa giác có 100 đỉnh nên có 50 đường kính.
Số cách chọn 1 đường kính là
Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong 98 đỉnh là
Có tất cả tam giác vuông.
Câu 7 [1040420]: Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là Tính
Điền đáp án: 1176.
Đánh số các đỉnh là
Xét đường chéo của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ đến và đến
Khi đó, mỗi tam giác có dạng là tam giác tù nếu và cùng nằm trong nửa đường tròn
- Chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn.
- Chọn hai điểm là hai điểm tùy ý được lấy từ 49 điểm có cách chọn.
Giả sử nằm giữa và thì tam giác tù tại đỉnh
Mà nên kết quả bị lặp hai lần.
Có 100 cách chọn đỉnh.
Vậy số tam giác tù là
Câu 8 [1076012]: Công thức 4: Cho đa giác đều có 4n đỉnh, số hình vuông có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác là n.
Đa giác đều đỉnh có đường chéo đi qua tâm.
Chọn 1 đường chéo có cách
Ứng với đường chéo vừa chọn có duy nhất 1 đường chéo vuông góc tạo thành 1 hình vuông
Trong mỗi hình vuông, cách chọn đường chéo lặp lại 2 lần nên số hình vuông có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác là
Câu 9 [713102]: Cho đa giác đều 32 cạnh. Gọi là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của . Xác suất để chọn được một hình chữ nhật bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi và biến cố “Tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều”, và biến cố “Hình chữ nhật”.
Ta có số hình tứ giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều là
Từ 32 đỉnh của đa giác đều 32 cạnh, một hình chữ nhật được tạo ra khi chọn ngẫu nhiên 2 đường chéo đi qua tâm.
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 32 cạnh là 16 (số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều bằng một nửa số cạnh của đa giác đó).
Ta có số hình chữ nhật tạo được từ đa giác đều 32 cạnh là
Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là:
Câu 10 [1076035]: Cho hình đa giác đều có 2n đỉnh, biết số đường chéo của hình đa giác bằng lần số lần hình chữ nhật tạo thành từ 4 đỉnh trong 2n của hình đa giác đó. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh?
Điền đáp án: 13.
Số đường chéo của đa giác đều đỉnh là
Có đường chéo đi qua tâm đa giác
Số hình chữ nhật được tạo từ đỉnh là
Theo đề bài ta có:


Câu 11 [1076013]: Công thức 5: Cho đa giác đều có 3n đỉnh (n là số lẻ, ).
a) Số tam giác cân có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác là
b) Số tam giác đều có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác là n.
c) Số tam giác cân nhưng không đều có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác là
a) Trong đa giác đều có số đỉnh lẻ , mỗi đỉnh sẽ có một trục đối xứng đi qua nó và tâm đường tròn.
Chọn 1 đỉnh bất kỳ làm đỉnh tam giác cân có cách chọn.
Trục đối xứng đi qua đỉnh này sẽ chia đỉnh còn lại thành 2 phần bằng nhau, mỗi bên có đỉnh.
Để tạo tam giác cân, ta chọn 2 đỉnh đối xứng nhau qua trục này.
Có cặp đỉnh như vậy.
Tổng số tam giác cân là .
b) Để tạo thành tam giác đều, các đỉnh phải cách đều nhau.
Ta đánh số đỉnh từ 1 đến Với đa giác đỉnh, mỗi đỉnh của tam giác đều phải cách nhau 1 khoảng bằng
Bộ 1: Các đỉnh .
Bộ 2: Các đỉnh .
……………………………….....
Bộ : Các đỉnh .
Nếu chọn đến bộ , các đỉnh sẽ trùng lại với bộ 1 .
Do đó, có đúng tam giác đều.
c) Theo kết quả của a, b, số tam giác cân nhưng không đều là
Câu 12 [1076014]: Công thức 6: Cho đa giác đều có 3n đỉnh (n là số chẵn, ).
a) Số tam giác cân có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác là
b) Số tam giác đều có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác là
c) Số tam giác cân nhưng không đều có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác là
a) Trong đa giác đều có số đỉnh chẵn, có một trục đối xứng đi qua 2 đỉnh và tâm.
Chọn 1 đỉnh bất kỳ làm đỉnh tam giác cân có cách chọn.
Trục đối xứng đi qua đỉnh này sẽ chia đỉnh còn lại thành 2 phần bằng nhau, mỗi bên có đỉnh.
Để tạo tam giác cân, ta chọn 2 đỉnh đối xứng nhau qua trục này.
Có cặp đỉnh như vậy.
Tổng số tam giác cân là .
b) Để tạo thành tam giác đều, các đỉnh phải cách đều nhau.
Ta đánh số đỉnh từ 1 đến
Với đa giác đỉnh, mỗi đỉnh của tam giác đều phải cách nhau 1 khoảng bằng
Bộ 1: Các đỉnh .
Bộ 2: Các đỉnh .
………………………………..
Bộ : Các đỉnh .
Nếu chọn đến bộ , các đỉnh sẽ trùng lại với bộ 1.
Do đó, có đúng tam giác đều.
c) Theo kết quả của a, b, số tam giác cân nhưng không đều là
Câu 13 [1136258]: Cho đa giác đều 45 đỉnh, số tam giác đều có các đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho bằng bao nhiêu?
Note: Cho đa giác đều có 3n đỉnh là số chẵn, Số tam giác đều có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác là
Áp dụng vào bài toán, số tam giác đều có các đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho bằng
Điền đáp án: 15.
Câu 14 [1076032]: Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Số tam giác có 3 đỉnh được chọn trong 15 đỉnh của đa giác và có đặc điểm là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều là bao nhiêu?
Điền đáp án: 90.
Chọn 1 đỉnh của tam giác cân có 15 cách.
Có cặp đỉnh đối xứng qua trục đi qua đỉnh đó.
Chọn 1 cặp đỉnh trong 7 cặp đỉnh có 7 cách.
Số tam giác cân là
Số tam giác đều là
Mỗi tam giác đều được đếm 3 lần
Số tam giác cân nhưng không phải tam giác đều là
Câu 15 [713082]: Cho một đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm . Gọi là tập hợp tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,15.
Chọn 1 đỉnh có 18 cách.
Kẻ trục đối xứng qua đỉnh vừa chọn.
Chọn cặp điểm đối xứng qua trục
Có tam giác thỏa mãn yêu cầu.
Xác suất cần tìm là