Chọn 2 điểm bất kì trong 6 điểm sẽ tạo ra 1 dây cung nên số dây cung trên đường tròn là
Số cách chọn ra 4 dây cung là
Nhận thấy, khi chọn 4 điểm bất kì từ 6 điểm trên đường tròn, ta luôn được 1 tứ giác lồi. Do đó số tứ giác lồi tạo thành là
Vậy xác suất cần tính là

Điền đáp án: 8282.

Gọi đa giác là
Số phần từ của không gian mẫu là
Gọi là biến cố "Chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu"
Gọi là biến cố "Chọn được tam giác có đúng một cạnh màu xanh (cạnh đa giác)"
Giả sử xét cạnh màu xanh ta có 16 cách chọn đỉnh
Nên số phần tử của B là
Gọi C là biến cố "Chọn được tam giác có đúng hai cạnh màu xanh", như vậy tam giác đó có hai cạnh là hai cạnh liên tiếp của đa giác, nên
Ta có
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu là

Suy ra

Điền đáp án: 97.

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh có .
Gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác .
Giả sử chọn được một tam giác tù với góc nhọn, tù, nhọn.
Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh có 30 cách. Kẻ đường kính của đường tròn đi qua đỉnh vừa chọn chia đường tròn thành hai phần.(Bên trái và bên phải).
Để tạo thành một tam giác tù thì hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải.
Hai đỉnh cùng nằm bên trái có cách.
Hai đỉnh cùng nằm bên phải có cách.
Vì trong mỗi tam giác vai trò của đỉnh và như nhau nên số tam giác tù tạo thành là: .
Xác suất cần tìm là .

Note:
+) Cho đa giác lồi đỉnh
Áp dụng công thức Kaplansky: Số đa giác cạnh được tạo thành từ các đỉnh của đa giác sao cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác được tính bằng
+) Vì một đa giác có cạnh thì luôn có đúng đỉnh và ngược lại.
Áp dụng vào bài toán (với đa giác lồi đỉnh và cạnh) thì số ngũ giác có 5 đỉnh là các đỉnh của đa giác trên sao cho không có cạnh nào của ngũ giác là cạnh của đa giác bằng
Điền đáp án: 4004.

Chọn một đỉnh đầu tiên làm đỉnh của tứ giác có 15 cách.
Vì bốn đỉnh của tứ giác không có cạnh nào là cạnh thuộc đa giác nên giữa các đỉnh của tứ giác sẽ có đỉnh là đỉnh của đa giác
Vì đa giác có 15 đỉnh, đã chọn 4 đỉnh làm đỉnh của tứ giác, vì vậy tổng số đỉnh của của đa giác không được chọn và nằm giữa 4 đỉnh đã chọn là của đa giác
Số nghiệm nguyên dương của phương trình là: (Bài toán chia kẹo Euler)
Vì đỉnh đầu tiên có 15 cách chọn, tuy nhiên vai trò của 4 đỉnh trong tứ giác là như nhau
Số tứ giác tạo thành

Điền đáp án: 35.
Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là
Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là
Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là
Số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là .
Theo giả thiết ta có:

Số cách chọn 3 đỉnh từ 25 đỉnh là
Note: Trong đường tròn, một tam giác là tam giác tù nếu cả 3 đỉnh của nó nằm gọn trong một cung có số đo nhỏ hơn (một nửa đường tròn).
Với đa giác đều 25 đỉnh:
• Khoảng cách giữa 2 đỉnh liên tiếp là
Khi đó một nửa đường tròn sẽ chứa tối đa: khoảng cách.
Vì số đỉnh là số nguyên, nên cụm đỉnh nằm gọn trong "nửa đường tròn" chỉ có thể chứa tối đa 12 khoảng cách, tức chứa 13 đỉnh liên tiếp.
Bước 1: Cố định 1 đỉnh làm đỉnh đầu tiên: có 25 cách chọn.
Khi đó còn lại 12 đỉnh liên tiếp để chọn.
Bước 2: Chọn 2 đỉnh còn lại trong số 12 đỉnh còn lại: có cách.
Suy ra số tam giác tù là
Vậy xác suất để chọn được tam giác tù là

Điền đáp án: 79.
Note: Hoặc các em có thể áp dụng công thức tính nhanh sau để tính số tam giác tù tạo thành nhé!
+) Công thức 1:
Cho đa giác đều có đỉnh nội tiếp đường tròn tâm Số tam giác tù có đỉnh là các đỉnh của đa giác là
+) Công thức 2:
Cho đa giác đều có đỉnh nội tiếp đường tròn tâm Số tam giác tù có đỉnh là các đỉnh của đa giác là

Từ 24 đỉnh của đa giác , số cách chọn ra 2 đỉnh bất kỳ là
Với mỗi cặp đỉnh bất kỳ trong mặt phẳng, có đúng 3 hình vuông nhận và làm đỉnh là:
• 2 hình vuông nhận làm cạnh (nằm về hai phía của đường thẳng ).
• 1 hình vuông nhận làm đường chéo.
Ví dụ trên hình bát giác đều:

Tổng số hình vuông được tạo ra (nếu không có sự trùng lặp) là
Nhận thấy: Sự trùng lặp chỉ xảy ra khi một hình vuông có cả 4 đỉnh đều thuộc tập hợp 24 đỉnh của Ví dụ trên hình bát giác đều:

Mỗi cặp điểm trên hình vuông (có 4 đỉnh đều thuộc đa giác) thì đều chứa hình vuông Do đó hình vuông đã được đếm lặp 6 lần (hay đếm thừa 5 lần).
• Số hình vuông có 4 đỉnh thuộc là hình.
• Mỗi hình vuông này có cặp đỉnh. Theo cách tính ở bước 2, mỗi hình vuông này đã bị đếm lặp đúng 6 lần.
Vậy số hình vuông thực tế là
Điền đáp án: 798.

Phân tích:
• Đa giác đều đỉnh: Chia đường tròn ngoại tiếp thành 30 cung bằng nhau, mỗi cung nhỏ có số đo là
• Để góc nội tiếp bằng Theo tính chất hình học, góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn. Suy ra góc nội tiếp sẽ chắn một cung có số đo là Do đó để tạo thành 1 tam giác có 1 góc bằng ta chọn 2 điểm sao cho số đo cung đó bằng và sau đó ta chọn 1 điểm còn lại phù hợp để tạo thành tam giác.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh từ 30 đỉnh để tạo thành một tam giác là
Giả sử tam giác được chọn là có Ta có:
Góc chắn cung (ta xét cung không chứa điểm và số đo cung này phải bằng
Vì mỗi cung nhỏ (tương ứng với khoảng cách giữa 2 đỉnh kề nhau) là nên cung phải tương ứng với khoảng cách giữa các đỉnh.
Tức giữa đỉnh và (theo chiều cung không chứa ) phải có đúng 20 cạnh của đa giác.
Bước 1: Chọn vị trí cho cặp
Chọn 1 vị trí trong 30 đỉnh cho có 30 cách.
Khi đó với mỗi cách chọn ta chỉ có duy nhất 1 cách chọn vị trí cho
Do đó, có 30 cách chọn vị trí cho cặp trên đường tròn.
Bước 2: Chọn vị trí cho
Vì chứa đúng 20 cạnh tương ứng với 21 đỉnh (bao gồm cả nên còn lại đỉnh còn lại nằm trên cung
Với mỗi cặp đã chọn, điểm phải nằm trên cung có 9 cách.
Vậy tổng số tam giác thỏa mãn là tam giác.
Xác suất để chọn được tam giác có một góc là
Điền đáp án: 0,07.

Gọi là biến cố “4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có 2 góc ở 2 đỉnh liền kề, chung một cạnh của tứ giác là 2 góc tù”.
là biến cố “4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có góc vuông”.

Đa giác đều 36 cạnh, nên tứ giác có 4 đỉnh trong các đỉnh của đa giác là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác nội tiếp có góc vuông là tứ giác có đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
Đa giác đều 36 cạnh có 18 đường chéo.
Vậy

Điền đáp án: 0,91.

Số cách chọn ngẫu nhiên 3 điểm phân biệt từ 18 điểm đã cho là
Nhận xét:
• Nếu tam giác là tam giác nhọn, tâm nằm bên trong tam giác.
• Nếu tam giác là tam giác vuông, tâm nằm trên cạnh huyền.
• Nếu tam giác là tam giác tù, tâm nằm ngoài tam giác.
Số tam giác thỏa mãn nằm ngoài tam giác = Số tam giác vuông + Số tam giác tù
Tổng số tam giác – Số tam giác nhọn.
Áp dụng công thức tính nhanh, số tam giác nhọn có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác (với là
Suy ra số tam giác thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tính là
Điền đáp án: 0,79.
Nhắc lại: Công thức 2: Cho đa giác đều có đỉnh nội tiếp đường tròn tâm Số tam giác nhọn có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là

Chọn 3 đỉnh bất kỳ từ 36 đỉnh là
Để 3 đỉnh tạo thành một tam giác vuông nội tiếp đường tròn thì tam giác đó phải nhận 1 trong 18 đường kính của đa giác làm cạnh huyền.
Giả sử cạnh huyền là
Chọn 1 điểm khác B, C trong 34 điểm còn lại.
Diện tích tam giác vuông là với là khoảng cách từ đến
Mỗi cung nhỏ chắn giữa 2 đỉnh kề nhau có số đo
Khoảng cách với
Khi đó
Để là số nguyên, mà nên
Trường hợp 1:
Ứng với mỗi đường kính, có 4 điểm thỏa mãn (mỗi giá trị cho 2 điểm đối xứng qua đường kính).
Trường hợp 2:
Ứng với mỗi đường kính, có 2 điểm thỏa mãn (đỉnh cao nhất và thấp nhất so với đường kính). Số tam giác vuông có diện tích nguyên là: tam giác.
Xác suất cần tìm là:

Điền đáp án: 604.

Đa giác cạnh có đỉnh.
Số cách chọn 3 đỉnh từ đỉnh:
Số cách chọn 3 đỉnh cùng phía:
- Chọn 1 đỉnh làm mốc: (cách).
- Chọn 2 đỉnh còn lại trong số đỉnh nằm trên nửa đường tròn theo chiều kim đồng hồ: (cách).
Vậy số cách chọn 3 đỉnh bất kì cùng phía là
Ta có
Điền đáp án: 22.

Đa giác đều 36 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm
+) Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số các đỉnh của đa giác đã cho thì số các chọn là
+) Vì đa giác đều 36 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm nên mỗi cạnh là 1 dây của cung có số đo góc nội tiếp chắn cung này có số đo nên góc của tam giác có số đo là góc nội tiếp thì sẽ chắn cung nhỏ liên tiếp này.
Để chọn được ba đỉnh tạo thành một tam giác có một góc bằng ta thực hiện 2 bước:
Bước 1: chọn 1 đỉnh ở góc giả sử có 36 cách chọn.
Bước 2: Chọn 2 đỉnh và làm 2 đỉnh còn lại của tam giác, thì với có 11 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, tổng số cách chọn 3 đỉnh để được tam giác có một góc là

Điền đáp án: 33.