Từ các điều kiện trên, ta thấy với 2 đường thẳng bất kì thì chúng luôn cắt nhau.
Lấy 4 điểm phân biệt để tạo thành 2 đường thẳng: có cách.
Với mỗi bộ 4 điểm phân biệt, có 2 cách tạo ra 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm nằm phía ngoài đường tròn (1 cách cho ra 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm nằm trong đường tròn). Minh họa như hình vẽ.

Do đó với mỗi cách chọn ra 4 điểm sẽ có 2 giao điểm nằm phía ngoài đường tròn tương ứng.
Vậy số giao điểm nằm phía ngoài đường tròn là
Điền đáp án: 660.

Điền đáp án: 0,51.
Số tam giác được tạo thành là .
Số tam giác có chung 1 cạnh với đa giác là .
Số tam giác có chung 2 cạnh với đa giác là .
Vậy xác suất để được tam giác không có chung cạnh với đa giác là .

Nhận thấy: Với mỗi cặp điểm bất kỳ trong mặt phẳng sẽ tạo ra đúng 2 tam giác đều nhận làm cạnh (nằm về hai phía của đường thẳng
Do đó số tam giác đều tạo ra là
Note: Với đa giác đều cạnh, số tam giác đều có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác là Với số tam giác đều có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác là
Tuy nhiên, trong tam giác đều này có trường hợp: 3 đỉnh của tam giác đều là các đỉnh của đa giác bị đếm lặp. Cụ thể với 1 tam giác đều sẽ bị đếm lặp 3 lần (tức đếm thừa 2 lần). Để dễ hình dung, ta minh họa trong trường hợp đơn giản hơn là lục giác đều:

Nếu chọn ra 2 điểm hay hay thì tam giác đều được đếm 1 lần. Do đó 3 bộ cho ra 3 lần đếm lặp. Và điều này tương tự cho đa giác đều 18 cạnh.
Vậy tổng số tam giác đều thực tế là
Điền đáp án: 294.

Số cách chọn ra 3 điểm từ 6 đỉnh của lục giác đều là
Tiếp đến, ta xét các trường hợp tạo thành tam giác có diện tích lớn hơn hoặc bằng
TH1: Có 1 cạnh là cạnh của lục giác đều
Chọn ra 1 cạnh của đa giác làm cạnh của tam giác: có 6 cách.
Với mỗi cách chọn đáy, ta có 2 cách chọn đỉnh tương ứng.
Suy ra có tam giác thỏa mãn.
Để làm rõ tại sao dạng tam giác này lại thỏa mãn, ta tính cụ thể diện tích mỗi tam giác này.
Kí hiệu như hình vẽ. Với 2 tam giác tạo thành từ 1 cạnh là và

Hai tam giác vuông này có diện tích bằng nhau.
Ta có
Vậy hai tam giác này thỏa mãn.
TH2: Có 2 cạnh (liên tiếp) là cạnh của lục giác đều
Không có tam giác nào thỏa mãn vì khi đó diện tích tam giác bằng
TH3: Có 0 cạnh là cạnh của lục giác đều (tức là các tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của lục giác đều)
Lục giác đều có đúng 2 tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của lục giác đều.
Kí hiệu các điểm như hình vẽ.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta có


Vậy hai tam giác đều ở TH3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Kết hợp các trường hợp trên, ta có số cách chọn thỏa mãn là
Xác suất cần tính là

Điền đáp án: 17.

Gọi là trục đối xứng của đa giác đều 20 cạnh.
TH1 : Xét đi qua hai đỉnh đối diện của đa giác đều (có 10 đường thẳng ).
Chọn 2 đoạn thẳng trong 9 đoạn thẳng song song hoặc trùng với thì sẽ tạo thành 1 hình thang hoặc hình chữ nhật có các đỉnh là đỉnh của đa giác.
số hình thang hoặc hình chữ nhật là (hình).
Vì vai trò của 10 đường thẳng như nhau nên có (hình).
TH2 : Xét là đường trung trực của hai cạnh đối diện của đa giác (có 10 đường thẳng ).
Chọn 2 đoạn thẳng trong 10 đoạn thẳng song song với thì sẽ tạo thành 1 hình thang hoặc hình chữ nhật có các đỉnh là đỉnh của đa giác.
số hình thang hoặc hình chữ nhật là (hình).
Vì vai trò của 10 đường thẳng như nhau nên có (hình).
Mặt khác, trong số các hình trên có hình thang (là hình chữ nhật) trùng nhau.
Vậy số hình thang cần tìm là (hình thang).

Đa giác có 18 đỉnh chia đường tròn thành 18 cung nhỏ bằng nhau (tức cung giữa 2 đỉnh liên tiếp), mỗi cung có số đo là
Để tam giác có một góc bằng thì góc đó phải chắn một cung có số đo là (vì góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn).
Nên số cung nhỏ tương ứng với góc nội tiếp là cung nhỏ.
Gọi là số cung nhỏ giữa các đỉnh của tam giác Vì có tất cả 18 cung nhỏ nên
Để có ít nhất một góc bằng giả sử góc nội tiếp chắn cung bằng
Xét các bộ số với và
TH1: Tam giác đều
tương ứng với 1 dạng tam giác đều.
Số tam giác đều thực tế là tam giác (Mỗi tam giác đều được đếm 3 lần nếu ta cố định hoặc bằng 6).
TH2: Tam có đúng một góc bằng
Ta có (thỏa mãn tam giác này có 1 góc bằng Khi đó ta cần xác định thỏa mãn để không tạo thành tam giác đều). Các bộ thỏa mãn là (10 bộ).
Nhận xét: Mỗi bộ số này khi xoay quanh 18 đỉnh sẽ tạo ra 18 tam giác khác nhau (vì các tam giác đều khác nhau).
Số tam giác thỏa mãn ở TH2 là
Vậy tổng số tam giác thỏa mãn là
Điền đáp án: 186.

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh từ 18 đỉnh để tạo thành một tứ giác là
Gọi 4 đỉnh của hình thang cân là Gọi lần lượt là số cung nhỏ giữa các đỉnh Tham khảo hình vẽ.

Vì 18 đỉnh chia đường tròn thành 18 cung nhỏ bằng nhau nên và số đo mỗi cung nhỏ bằng
Vì là hình thang cân nên hai cạnh bên chắn các cung bằng nhau
Khi đó
Góc của hình thang cân là góc nội tiếp đường tròn. Giả sử
Góc chắn cung Số đo cung bằng
Theo định lý góc nội tiếp, ta có số đo cung
Vì mỗi cung nhỏ tương ứng với nên số cung nhỏ là tương ứng với góc là
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình Xét theo giá trị của ta có các trường hợp sau:
• (Bộ: 9, 1, 7, 1)
• (Bộ: 8, 2, 6, 2)
• (Bộ: 7, 3, 5, 3)
• (Bộ: 6, 4, 4, 4)
• (Bộ: 5, 5, 3, 5)
• (Bộ: 4, 6, 2, 6)
• (Bộ: 3, 7, 1, 7)
Tổng cộng có 7 dạng hình thang cân thỏa mãn.
Mỗi dạng hình thang khi thực hiện phép quay quanh 18 đỉnh sẽ tạo ra 18 hình thang khác nhau (vì hình thang không có tính đối tâm nên khi thực hiện quay sẽ không có trường hợp bị trùng lặp). Do đó số hình thang cân thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,04.

Mỗi em bé có 2 lựa chọn (giơ cờ Xanh hoặc cờ Đỏ). Vì có 10 em bé nên tổng số cách giơ cờ (số phần tử của không gian mẫu) là:
10 em bé đứng cách đều nhau trên một vòng tròn tạo thành một thập giác đều nội tiếp.
Một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bắt buộc phải có hai đường chéo là hai đường kính của đường tròn đó. Thập giác đều có 10 đỉnh, suy ra có đường kính đi qua tâm.
Gọi tập hợp 5 đường kính này là
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành bằng cách chọn bất kỳ 2 trong 5 đường kính này.
Để một hình chữ nhật có 4 đỉnh cùng màu, thì 2 đường kính tạo nên nó phải có cùng trạng thái màu ở các đầu mút.Xét một đường kính bất kỳ nối 2 em bé đối diện nhau. Có khả năng xảy ra về màu cờ của 2 em bé này:
• Trạng thái 1 (XX): Cả 2 bé đều giơ Xanh (1 trường hợp: Xanh - Xanh).
• Trạng thái 2 (ĐĐ): Cả 2 bé đều giơ Đỏ (1 trường hợp: Đỏ - Đỏ).
• Trạng thái 3 (Khác): 1 bé Xanh, 1 bé Đỏ (2 trường hợp: Xanh - Đỏ hoặc Đỏ - Xanh).
Điều kiện đề bài: "Không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật" tương đương với:
• Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái XX (để tránh hình chữ nhật toàn màu Xanh). Số đường kính trạng thái XX chỉ được là 0 hoặc 1.
• Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái ĐĐ (để tránh hình chữ nhật toàn màu Đỏ). Số đường kính trạng thái ĐĐ chỉ được là 0 hoặc 1.
Gọi là số đường kính có trạng thái XX.
Gọi là số đường kính có trạng thái ĐĐ.
Số đường kính còn lại là sẽ có trạng thái "Khác" (mỗi đường có 2 cách chọn màu).
Theo lập luận trên, ta cần tìm số cách sao cho và
• Trường hợp 1: (0 đường XX, 0 đường ĐĐ, 5 đường Khác)
Số cách chọn: cách.
• Trường hợp 2: (1 đường XX, 0 đường ĐĐ, 4 đường Khác)
Số cách chọn: cách.
• Trường hợp 3: (0 đường XX, 1 đường ĐĐ, 4 đường Khác)
Số cách chọn: cách.
• Trường hợp 4: (1 đường XX, 1 đường ĐĐ, 3 đường Khác)
Số cách chọn: cách.
Tổng số kết quả thuận lợi là:
Xác suất của biến cố A là:
Giá trị cần tìm là

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh để tạo thành một tứ giác là
Gọi các đỉnh của hình thang cân là Gọi tương ứng là số cung nhỏ giữa các đỉnh Tham khảo hình vẽ.

18 đỉnh của đa giác đều sẽ chia đường tròn thành 18 cung nhỏ nên
Vì là hình thang cân nên Số cung nhỏ ở giữa và bằng nhau hay
Mỗi cung nhỏ giữa hai đỉnh liên tiếp chắn một cung có số đo là
Hình thang có
Ta có góc chắn cung Vì số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn nên số đo cung bằng
Mà giữa và có cung nhỏ (mỗi cung nhỏ có số đo bằng nên
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Chia các trường hợp theo ta được:
• Nếu
• Nếu
• Nếu
• Nếu
• Nếu
Với mỗi một bộ thỏa mãn trên sẽ tạo ra được 1 dạng hình thang cân, vậy có tổng cộng 5 dạng hình thang cân.
Mà với mỗi dạng, khi thực hiện phép quay tức dịch đồng thời các đỉnh của hình thang cân ban đầu lên 1 đỉnh, 2, 3, 4…,18 thì ta lại được 1 hình thang cân mới. Do hình thang không có tính chất đối xứng quay nên 18 hình này là khác nhau.
Do đó với 5 dạng có tất cả hình thang cân được tạo thành. Vậy có 90 tứ giác thỏa mãn.
Suy ra xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,03.

Đầu tiên, ta sẽ xác định không gian mẫu.
Nhận xét: 3 đoạn thẳng phân biệt được tạo từ 6 điểm phân biệt.
Bước 1: Chọn ra 6 điểm phân biệt từ 25 điểm: có cách.
Bước 2: Với mỗi bộ 6 điểm được chọn, số cách nối chúng thành 3 đoạn thẳng riêng biệt là:
Chọn điểm thứ nhất: có 5 cách nối với các điểm còn lại.
Chọn điểm tiếp theo chưa được nối: có 3 cách nối với các điểm còn lại.
Hai điểm cuối cùng tự nối với nhau: 1 cách.
Vậy có cách nối 6 điểm thành 3 đoạn thẳng.
Tổng số cách chọn
Gọi là biến cố "Mỗi đoạn thẳng cắt hai đoạn thẳng còn lại" (tức chúng đôi một cắt nhau).
Gọi 6 điểm được chọn theo thứ tự chiều kim đồng hồ là
Để 3 đoạn thẳng tạo thành cắt nhau từng đôi một, chỉ có duy nhất 1 cách nối là nối các cặp điểm "đối đỉnh" theo kiểu đan xen là và Do đó, cứ mỗi cách chọn ra 6 điểm sẽ có đúng 1 bộ 3 đoạn thẳng thỏa mãn.
Vậy số bộ thỏa mãn là
Xác suất cần tính là

Điền đáp án: 30.

Điền đáp án: 146.
Số phần tử của không gian mẫu là
Chọn điểm 4 điểm bất bỳ để tạo thành 1 tứ giác có cách
Tứ giác có 2 cặp cạnh đối nhau nên có 2 cách để chọn 2 đoạn thẳng ko cắt nhau
Hoán vị của Thảo và Duy có 2 cách
Xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 0,93.

Tổng số điểm là
Số phần tử của không gian mẫu là
Ta tìm số trường hợp chứa 3 điểm thẳng hàng:
- Chọn 3 điểm thuộc có: cách
- Chọn 3 điểm thuộc có: cách
- Chọn 3 điểm thuộc có: cách
- Chọn 3 điểm thuộc có: cách
- Chọn 3 điểm thuộc có: cách
Xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 2.
Gọi lần lượt là 2 số liên tiếp nhau
Không tô màu đỏ và 2 số cùng tính chẵn lẻ
Tô màu đỏ và 2 số khác tính chẵn lẻ
Việc tô màu là đánh dấu sự chuyển tiếp từ chẵn sang lẻ hoặc từ lẻ sang chẵn.
Số lần tô màu đỏ phải là số chẵn
Có 10 số lẻ nên để đi hết 10 số lẻ cần ít nhất 9 lần ko tô màu.
Có 10 số lẻ chẵn để đi hết 10 số chẵn cần ít nhất 9 lần ko tô màu.
Cần ít nhất 18 lần ko tô màu
Có lần tô màu đỏ
Đa giác có 2 cạnh màu đỏ.

Gợi ý: Khi ta cố định 1 phần tử trên lục giác đều thì tính đối xứng quay không còn nữa. Do đó sẽ không xảy ra trường hợp trùng lặp khi quay.
Các tam giác đều có cạnh bằng 1 là
Để tổng 3 số ghi tại 3 đỉnh của các tam giác này không vượt quá thì
Các trường hợp đều không thỏa mãn.
TH1:
Cố định vị trí số 7 tại Tham khảo hình vẽ.

Lúc này còn lại 5 số 1, 3, 4, 5, 6 để xếp vào các đỉnh còn lại. Khi đó:
Vậy cặp có 2 cách chọn (1, 3 hoặc 3, 1).
Lúc này còn lại 3 số 4, 5, 6. Vì 5, 6 đứng cạnh nhau sẽ vi phạm nên chỉ có 1 cách chọn là 4 và
có 2 cách (5, 6 hoặc 6, 5).
Vậy TH1 có cách xếp thỏa mãn.
TH2:
Cố định vị trí số 7 tại Tham khảo hình vẽ.

Khi đó:
được chọn từ 3 số 2, 3, 4: chọn số cho có 3 cách; chọn số cho có 2 cách. Vậy chọn số cho cặp có cách.
Xếp 3 số còn lại vào 3 vị trí: có cách (vì 3 vị trí còn lại xếp như thế nào cũng không vi phạm).
Vậy TH2 có cách xếp thỏa mãn.
Kết hợp 2 trường hợp trên, ta có tam giác thỏa mãn.
Điền đáp án: 40.