Câu 1 [1134422]: Một cửa hàng đồ thể thao bán bóng chuyền theo từng hộp, mỗi hộp chứa 20 quả bóng, trong đó có 1 quả bóng duy nhất có hình ngôi sao. Bạn sẽ được nhận thưởng một quả bóng đá nếu bạn chọn ngẫu nhiên 4 quả bóng từ một hộp và trong đó có quả bóng hình ngôi sao. Một khách hàng chọn ra 3 hộp bóng chuyền và mỗi hộp chọn ngẫu nhiên ra 4 quả bóng chuyền để mua, người khách kiểm tra xem có trúng thưởng hay không. Xác suất để khách hàng đó trúng thưởng đúng 2 quả bóng đá là 
Hãy tính giá trị của 
(Trong đó 
là hai số tự nhiên và 
tối giản).
Hãy tính giá trị của (Trong đó là hai số tự nhiên và tối giản).
Bước 1: Tính xác suất chọn được bóng có hình ngôi sao trong một hộp
Trong mỗi hộp có 20 quả bóng, trong đó có 1 quả bóng ngôi sao và 19 quả bóng thường.
Khách hàng chọn ngẫu nhiên 4 quả bóng từ hộp này.
Số cách chọn 4 quả bóng bất kỳ là
Số cách chọn 4 quả bóng sao cho có quả ngôi sao là
(vì để có quả ngôi sao, ta phải chọn quả có hình ngôi sao (có 1 cách) và chọn thêm 3 quả nữa từ 19 quả thường (có 
cách)).
Suy ra xác suất trúng thưởng khi chọn một hộp là
Xác suất không trúng thưởng trong một hộp là
Bước 2: Tính xác suất trúng thưởng đúng 2 quả bóng đá từ 3 hộp
Việc kiểm tra 3 hộp bóng chuyền tương đương với thực hiện 3 phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công mỗi lần là
Áo dụng công thức Bernoulli, ta có xác suất để khách hàng đó trúng thưởng đúng 2 quả bóng đá là
Điền đáp án: 137.
Trong mỗi hộp có 20 quả bóng, trong đó có 1 quả bóng ngôi sao và 19 quả bóng thường.
Khách hàng chọn ngẫu nhiên 4 quả bóng từ hộp này.
Số cách chọn 4 quả bóng bất kỳ là
Số cách chọn 4 quả bóng sao cho có quả ngôi sao là
(vì để có quả ngôi sao, ta phải chọn quả có hình ngôi sao (có 1 cách) và chọn thêm 3 quả nữa từ 19 quả thường (có cách)).
Suy ra xác suất trúng thưởng khi chọn một hộp là
Xác suất không trúng thưởng trong một hộp là
Bước 2: Tính xác suất trúng thưởng đúng 2 quả bóng đá từ 3 hộp
Việc kiểm tra 3 hộp bóng chuyền tương đương với thực hiện 3 phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công mỗi lần là
Áo dụng công thức Bernoulli, ta có xác suất để khách hàng đó trúng thưởng đúng 2 quả bóng đá là
Điền đáp án: 137.
Câu 2 [1040884]: Mỗi lượt, ta gieo một con xúc xắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tình xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy, có ít nhất một lượt gieo được kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,23.
Xác suất gieo ra được mặt 1 chấm trong 1 lượt gieo là
Xác suất ra mặt sấp là
Xác suất trong 1 lần gieo ra được mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp là
Xác suất trong 1 lần gieo không ra được mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp là
Xác suất trong 3 lần gieo không ra được mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp là
Xác suất cần tìm là
Xác suất gieo ra được mặt 1 chấm trong 1 lượt gieo là
Xác suất ra mặt sấp là
Xác suất trong 1 lần gieo ra được mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp là
Xác suất trong 1 lần gieo không ra được mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp là
Xác suất trong 3 lần gieo không ra được mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp là
Xác suất cần tìm là
Câu 3 [1134423]: Cho một đồng xu không cân đối với xác suất xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa khác 0. Tung đồng xu đó 5 lần liên tiếp, xác suất nhận được mặt ngửa đúng một lần bằng với xác suất nhận được mặt ngửa đúng hai lần. Xác suất để đồng xu đó xuất hiện mặt ngửa đúng 3 lần trong số 5 lần tung là 
(
là phân số tối giản). Tính 
( là phân số tối giản). Tính
Gọi 
là xác suất xuất hiện mặt ngửa trong một lần tung 
Khi đó, xác suất xuất hiện mặt sấp là
Áp dụng công thức Bernoulli cho
lần tung liên tiếp, ta có:
Xác suất nhận được mặt ngửa đúng 1 lần là
Xác suất nhận được mặt ngửa đúng 2 lần là
Theo đề bài, ta có
Chia cả hai vế cho
(vì 
và 
ta được
Vậy xác suất mặt ngửa là
và xác suất mặt sấp là 
Xác suất để xuất hiện mặt ngửa đúng 3 lần trong 5 lần tung là
Điền đáp án: 283.
là xác suất xuất hiện mặt ngửa trong một lần tung
Khi đó, xác suất xuất hiện mặt sấp là
Áp dụng công thức Bernoulli cho
lần tung liên tiếp, ta có:
Xác suất nhận được mặt ngửa đúng 1 lần là
Xác suất nhận được mặt ngửa đúng 2 lần là
Theo đề bài, ta có
Chia cả hai vế cho
(vì và ta được
Vậy xác suất mặt ngửa là
và xác suất mặt sấp là
Xác suất để xuất hiện mặt ngửa đúng 3 lần trong 5 lần tung là
Điền đáp án: 283.
Câu 4 [1134424]: Một con xúc xắc được tung bởi người A 3 lần và người B 4 lần. Gọi 
và 
lần lượt là số lần xuất hiện mặt là bội số của 3 đối với người A và người B. Xác suất để 
là 
Hãy tính 
và lần lượt là số lần xuất hiện mặt là bội số của 3 đối với người A và người B. Xác suất để là Hãy tính
Khi tung một con xúc xắc, các mặt là bội số của 3 là 3 và 6. Do đó:
• Xác suất để xuất hiện mặt là bội số của 3 trong một lần tung là
• Xác suất không xuất hiện mặt là bội số của 3 là
Người A tung 3 lần
và người B tung 4 lần 
Để
ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1:
và 
+) 
tức trong 3 lần tung của người A: xuất hiện đúng 2 lần mặt là bội số của 3 và xác suất này bằng 
+) 
tức cả 4 lần tung của người B thì đều xuất hiện mặt là bội số của 3 và xác suất này bằng 
Vì việc tung xúc xắc của hai người là độc lập nên xác suất TH1 xảy ra là
Trường hợp 2:
và 
+)
tức cả 3 lần tung của người A thì đều xuất hiện mặt là bội số của 3 và xác suất này bằng 
+)
tức trong 4 lần tung của người B: xuất hiện đúng 3 lần mặt là bội số của 3 và xác suất này bằng 
Vì việc tung xúc xắc của hai người là độc lập nên xác suất TH1 xảy ra là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 4374.
• Xác suất để xuất hiện mặt là bội số của 3 trong một lần tung là
• Xác suất không xuất hiện mặt là bội số của 3 là
Người A tung 3 lần
và người B tung 4 lần
Để
ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1:
và
+) tức trong 3 lần tung của người A: xuất hiện đúng 2 lần mặt là bội số của 3 và xác suất này bằng
+) tức cả 4 lần tung của người B thì đều xuất hiện mặt là bội số của 3 và xác suất này bằng
Vì việc tung xúc xắc của hai người là độc lập nên xác suất TH1 xảy ra là
Trường hợp 2:
và
+)
tức cả 3 lần tung của người A thì đều xuất hiện mặt là bội số của 3 và xác suất này bằng
+)
tức trong 4 lần tung của người B: xuất hiện đúng 3 lần mặt là bội số của 3 và xác suất này bằng
Vì việc tung xúc xắc của hai người là độc lập nên xác suất TH1 xảy ra là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 4374.
Câu 5 [1040894]: Để đảm bảo thông tin nhận chính xác nhất, một bit nhị phân (0 hoặc 1) được truyền lặp lại trong 5 lần. Mỗi bit truyền đi có 10% khả năng bị lỗi nghĩa là 0 thành 1 hoặc 1 thành 0. Hệ thống nhận sẽ giải mã theo nguyên tắc đa số, tức là có 3 hoặc nhiều hơn bit 1 thì kết quả là 1, ngược lại là 0. Nếu bit được gửi ban đầu là 0 thì xác suất người nhận được bit 0 bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
TH1: Có 3 lần xuất hiện bit 0
Xác suất là
TH2: Có 4 lần xuất hiện bit 0
Xác suất là
TH3: Có 5 lần xuất hiện bit 0
Xác suất là
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 99,1.
Mức độ: Vận dụng (8+).
TH1: Có 3 lần xuất hiện bit 0
Xác suất là
TH2: Có 4 lần xuất hiện bit 0
Xác suất là
TH3: Có 5 lần xuất hiện bit 0
Xác suất là
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 99,1.
Câu 6 [1134425]: Trong một trò chơi, có một quân mã nằm tại gốc tọa độ 
trên trục 
Thực hiện phép thử sau bằng cách sử dụng một con xúc xắc:
• Nếu số chấm xuất hiện lớn hơn 2, di chuyển quân mã thêm 1 đơn vị theo chiều dương.
• Nếu số chấm xuất hiện nhỏ hơn hoặc bằng 2, quân mã đứng yên.
Khi lặp lại phép thử này 4 lần, xác suất để tọa độ của quân mã sau 4 lần lớn hơn hoặc bằng 2 là
Hãy tính 
trên trục Thực hiện phép thử sau bằng cách sử dụng một con xúc xắc: • Nếu số chấm xuất hiện lớn hơn 2, di chuyển quân mã thêm 1 đơn vị theo chiều dương.
• Nếu số chấm xuất hiện nhỏ hơn hoặc bằng 2, quân mã đứng yên.
Khi lặp lại phép thử này 4 lần, xác suất để tọa độ của quân mã sau 4 lần lớn hơn hoặc bằng 2 là
Hãy tính
Xét một lần tung xúc xắc:
•Quân mã di chuyển sang phải 1 đơn vị nếu số chấm xuất hiện lớn hơn 2: tức các mặt 3, 4, 5, 6. Và xác suất là
• Quân mã đứng yên nếu số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 2: tức các mặt 1, 2. Và xác suất là
Gọi
là tọa độ của quân mã sau 4 lần thử. Vì mỗi lần có thể di chuyển tối đa 1 đơn vị nên 
bằng đúng số lần thành công trong 4 lần thử 
Xác suất để tọa độ quân mã lớn hơn hoặc bằng 2 bằng
Hoặc các em có thể tính theo biến cố đối là
Áp dụng công thức Bernoulli, ta có
Xác suất
(tức cả 4 lần đứng yên) là 
Xác suất
(tức 3 lần đứng yên và 1 lần di chuyển) là
Vậy xác suất
là 
Điền đáp án: 648.
•Quân mã di chuyển sang phải 1 đơn vị nếu số chấm xuất hiện lớn hơn 2: tức các mặt 3, 4, 5, 6. Và xác suất là
• Quân mã đứng yên nếu số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 2: tức các mặt 1, 2. Và xác suất là
Gọi
là tọa độ của quân mã sau 4 lần thử. Vì mỗi lần có thể di chuyển tối đa 1 đơn vị nên bằng đúng số lần thành công trong 4 lần thử
Xác suất để tọa độ quân mã lớn hơn hoặc bằng 2 bằng
Hoặc các em có thể tính theo biến cố đối là
Áp dụng công thức Bernoulli, ta có
Xác suất
(tức cả 4 lần đứng yên) là
Xác suất
(tức 3 lần đứng yên và 1 lần di chuyển) là
Vậy xác suất
là
Điền đáp án: 648.
Câu 7 [1040895]: Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không học bài và đánh hú họa các câu trả lời (giả sử học sinh đó chọn đáp án cho đủ 10 câu hỏi). Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,78.
Gọi
lần lượt là số câu trả lời đúng, sai
Ta có:
Xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1 là
Gọi
lần lượt là số câu trả lời đúng, saiTa có:
Xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1 là
Câu 8 [1134426]: Sáu người bao gồm Tuấn và Trang, ngồi quanh một chiếc bàn hình lục giác đều như hình vẽ. Họ thực hiện một trò chơi với một con xúc xắc theo quy tắc sau:
Người đang giữ xúc xắc sẽ tung nó.
• Nếu số chấm xuất hiện là nhỏ hơn 3, họ sẽ đưa xúc xắc cho người bên cạnh theo chiều kim đồng hồ.
• Nếu số chấm lớn hơn hoặc bằng 3, họ sẽ đưa xúc xắc cho người bên cạnh theo chiều ngược kim đồng hồ.
Bắt đầu từ Tuấn giữ xúc xắc, sau 5 lần thực hiện quy trình trên, xác suất để người Trang là người giữ xúc xắc là
? (Biết Trang ngồi ngay bên cạnh Tuấn theo chiều kim đồng hồ, tham khảo hình vẽ). Hãy tính 
Người đang giữ xúc xắc sẽ tung nó.
• Nếu số chấm xuất hiện là nhỏ hơn 3, họ sẽ đưa xúc xắc cho người bên cạnh theo chiều kim đồng hồ.
• Nếu số chấm lớn hơn hoặc bằng 3, họ sẽ đưa xúc xắc cho người bên cạnh theo chiều ngược kim đồng hồ.
Bắt đầu từ Tuấn giữ xúc xắc, sau 5 lần thực hiện quy trình trên, xác suất để người Trang là người giữ xúc xắc là
? (Biết Trang ngồi ngay bên cạnh Tuấn theo chiều kim đồng hồ, tham khảo hình vẽ). Hãy tính
Từ quy tắc di chuyển xúc xắc, ta có
• Xác suất tiến 1 đơn vị (tức theo chiều kim đồng hồ)
• Xác suất lùi 1 đơn vị (tức ngược chiều kim đồng hồ)
Gọi
là số lần tiến và 
là số lần lùi.
Nhận xét: Trên bàn lục giác, Trang ở vị trí
hoặc 
so với Tuấn. Nên sau 5 lần tung, nếu tổng số bước tiến trừ đi tổng số bước lùi bằng 1 hoặc bằng -5, thì cuối cùng quân xúc xắc đều sẽ dừng lại đúng ngay chỗ Trang ngồi.
TH1: Tổng quãng đường di chuyển là +1
Ta có hệ:
Khi đó xác suất sau 5 lần thực hiện, Trang là người giữ xúc xắc chính là xác suất trong 5 lượt tung thì +1 đơn vị đúng 3 lần và bằng
TH2: Tổng quãng đường di chuyển là -5 (tức lùi 5 lần)
Xác suất lùi cả 5 lần là
Xác suất để Trang giữ xúc xắc là
• Xác suất tiến 1 đơn vị (tức theo chiều kim đồng hồ)
• Xác suất lùi 1 đơn vị (tức ngược chiều kim đồng hồ)
Gọi
là số lần tiến và là số lần lùi.
Nhận xét: Trên bàn lục giác, Trang ở vị trí
hoặc so với Tuấn. Nên sau 5 lần tung, nếu tổng số bước tiến trừ đi tổng số bước lùi bằng 1 hoặc bằng -5, thì cuối cùng quân xúc xắc đều sẽ dừng lại đúng ngay chỗ Trang ngồi.
TH1: Tổng quãng đường di chuyển là +1
Ta có hệ:
Khi đó xác suất sau 5 lần thực hiện, Trang là người giữ xúc xắc chính là xác suất trong 5 lượt tung thì +1 đơn vị đúng 3 lần và bằng
TH2: Tổng quãng đường di chuyển là -5 (tức lùi 5 lần)
Xác suất lùi cả 5 lần là
Xác suất để Trang giữ xúc xắc là
Câu 9 [1168797]: Trên đường tròn tâm 
bán kính bằng 1 có một điểm 
chuyển động. Khi gieo một con xúc xắc, nếu số chấm xuất hiện là 1 hoặc 2 thì điểm 
chuyển động theo chiều kim đồng hồ một góc 
còn trong các trường hợp khác thì điểm 
chuyển động theo chiều ngược kim đồng hồ một góc 
Khi gieo xúc xắc 8 lần, xác suất để điểm 
trở về đúng vị trí ban đầu là 
Khi đó, giá trị của 
là bao nhiêu? (biết rằng 
là số tự nhiên.)
bán kính bằng 1 có một điểm chuyển động. Khi gieo một con xúc xắc, nếu số chấm xuất hiện là 1 hoặc 2 thì điểm chuyển động theo chiều kim đồng hồ một góc còn trong các trường hợp khác thì điểm chuyển động theo chiều ngược kim đồng hồ một góc Khi gieo xúc xắc 8 lần, xác suất để điểm trở về đúng vị trí ban đầu là Khi đó, giá trị của là bao nhiêu? (biết rằng là số tự nhiên.)
Trả lời: 80
- Mỗi lần gieo xúc xắc, nếu ra 1 hoặc 2 thì P quay theo chiều kim đồng hồ
→ ký hiệu là bước H, xác suất 
- Nếu ra
thì P quay ngược chiều kim đồng hồ 
→ ký hiệu là bước T, xác suất 
Ta gieo 8 lần
có 8 bước, mỗi bước là 
hoặc 
+Điều kiện để trở về vị trí ban đầu
Gọi số lần H là
, số làn T là 
Ta có
Độ quay tổng cộng (theo chiều kim đồng hồ là dương) là:
Điểm P quay quanh đường tròn, nên trở về vị trí cũ khi và chỉ khi
là bội số của 
:
Mà
, nên 
Vì
, thử các giá trị 
nguyên:
-
-
-
Vậy chỉ có 3 trường hợp
quay về chỗ cũ:
1.
(1 lần 
lần T)
2.
(4 lần 
lần T)
3.
(7 lần 
lần T)
TH1: TTTTTTTH:
TH2: ННННТТТТ:
TH3: HHHHHHHT:
Tổng xác suất:
Do đó
- Mỗi lần gieo xúc xắc, nếu ra 1 hoặc 2 thì P quay theo chiều kim đồng hồ
→ ký hiệu là bước H, xác suất
- Nếu ra
thì P quay ngược chiều kim đồng hồ → ký hiệu là bước T, xác suất
Ta gieo 8 lần
có 8 bước, mỗi bước là hoặc
+Điều kiện để trở về vị trí ban đầu
Gọi số lần H là
, số làn T là
Ta có
Độ quay tổng cộng (theo chiều kim đồng hồ là dương) là:
Điểm P quay quanh đường tròn, nên trở về vị trí cũ khi và chỉ khi
là bội số của :
Mà
, nên
Vì
, thử các giá trị nguyên:
-
-
-
Vậy chỉ có 3 trường hợp
quay về chỗ cũ:
1.
(1 lần lần T)
2.
(4 lần lần T)
3.
(7 lần lần T)
TH1: TTTTTTTH:
TH2: ННННТТТТ:
TH3: HHHHHHHT:
Tổng xác suất:
Do đó
Câu 10 [713100]: Trong phần thi khởi động của đường lên đỉnh Olympia, mỗi thí sinh phải trả lời 10 câu hỏi, các câu hỏi đều độc lập với nhau. Mỗi câu trả lời đúng được 10 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 5 điểm. Tính xác suất để học sinh A tham dự cuộc thi đường lên đỉnh Olympia có số điểm ở phần thi khởi động lớn hơn hoặc bằng 50 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Thầy xin phép bổ sung dữ kiện đề bài: biết rằng thí sinh đó trả lời các câu hỏi một cách ngẫu nhiên với xác suất đúng là 
Điền đáp án: 0,17.
Gọi
lần lượt là số câu trả lời đúng, sai
Ta có:
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,17.
Gọi
lần lượt là số câu trả lời đúng, sai
Ta có:
Xác suất cần tìm là
Câu 11 [1134427]: Một con xúc xắc được gieo 5 lần. Gọi 
là số lần xuất hiện mặt lẻ. Một đồng xu được gieo 4 lần. Gọi 
là số lần xuất hiện mặt ngửa. Biết xác suất để 
là 
Hãy tính giá trị của 
(Trong đó 
là hai số tự nhiên và 
tối giản).
là số lần xuất hiện mặt lẻ. Một đồng xu được gieo 4 lần. Gọi là số lần xuất hiện mặt ngửa. Biết xác suất để là Hãy tính giá trị của (Trong đó là hai số tự nhiên và tối giản).
• Đối với xúc xắc (gieo 5 lần):
Mặt lẻ gồm các mặt 1, 3, 5 nên xác suất xuất hiện mặt lẻ trong một lần gieo là
Xác suất không xuất hiện mặt lẻ là
Số lần mặt lẻ xuất hiện
• Đối với đồng xu (gieo 4 lần):
Xác suất xuất hiện mặt ngửa trong một lần gieo là
Xác suất không xuất hiện mặt ngửa là
Số lần mặt ngửa xuất hiện
Các trường hợp thỏa mãn
là
Trường hợp 1:
và 
+)
tức trong 5 lần tung xúc xắc có đúng 3 lần xuất hiên mặt lẻ nên xác suất là
+)
tức cả 4 lần gieo đồng xu đều xuất hiên mặt ngửa nên xác suất là 
Xác suất TH1 xảy ra là 
Trường hợp 2:
và 
+)
tức trong 5 lần tung xúc xắc có đúng 4 lần xuất hiên mặt lẻ nên xác suất là
+)
tức trong 4 lần gieo đồng xu có đúng 1 lần xuất hiên mặt ngửa nên xác suất là 
Xác suất TH2 xảy ra là 
Trường hợp 3:
và 
+)
tức cả 5 lần tung xúc xắc đều xuất hiên mặt lẻ nên xác suất là
+)
tức trong 4 lần gieo đồng xu có đúng 2 lần xuất hiên mặt ngửa nên xác suất là
Xác suất TH3 xảy ra là 
Vậy xác suất để
là 
Điền đáp án: 1635.
Mặt lẻ gồm các mặt 1, 3, 5 nên xác suất xuất hiện mặt lẻ trong một lần gieo là
Xác suất không xuất hiện mặt lẻ là
Số lần mặt lẻ xuất hiện
• Đối với đồng xu (gieo 4 lần):
Xác suất xuất hiện mặt ngửa trong một lần gieo là
Xác suất không xuất hiện mặt ngửa là
Số lần mặt ngửa xuất hiện
Các trường hợp thỏa mãn
là
Trường hợp 1:
và
+)
tức trong 5 lần tung xúc xắc có đúng 3 lần xuất hiên mặt lẻ nên xác suất là
+)
tức cả 4 lần gieo đồng xu đều xuất hiên mặt ngửa nên xác suất là
Xác suất TH1 xảy ra là
Trường hợp 2:
và
+)
tức trong 5 lần tung xúc xắc có đúng 4 lần xuất hiên mặt lẻ nên xác suất là
+)
tức trong 4 lần gieo đồng xu có đúng 1 lần xuất hiên mặt ngửa nên xác suất là
Xác suất TH2 xảy ra là
Trường hợp 3:
và
+)
tức cả 5 lần tung xúc xắc đều xuất hiên mặt lẻ nên xác suất là
+)
tức trong 4 lần gieo đồng xu có đúng 2 lần xuất hiên mặt ngửa nên xác suất là
Xác suất TH3 xảy ra là
Vậy xác suất để
là
Điền đáp án: 1635.
Câu 12 [1134428]: Khi tung 2 con xúc xắc và 4 đồng xu cùng một lúc, xác suất để tích số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng với số lượng đồng xu ngửa là 
Hãy tính 
Hãy tính
Khi tung 4 đồng xu, số lượng mặt ngửa 
có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4. Xác suất để có đúng 
mặt ngửa là 
Suy ra
Gọi
là số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc 
Tích 
Để
thì 
phải thuộc tập 
Tuy nhiên, vì số chấm thấp nhất là 1 nên 
Vậy các trường hợp có thể xảy ra là 
Tiếp đến, ta tính xác suất
xảy ra.
Số trường hợp xảy ra khi tung 2 con xúc xắc xắc là
•
Chỉ có 
Có 1 cặp. Xác suất 
•
Có 
Có 2 cặp. Xác suất 
•
Có 
Có 2 cặp. Xác suất 
•
Có 
Có 3 cặp. Xác suất 
Xác suất để 
là
Điền đáp án: 2304.
có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4. Xác suất để có đúng mặt ngửa là
Suy ra
Gọi
là số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc Tích
Để
thì phải thuộc tập Tuy nhiên, vì số chấm thấp nhất là 1 nên Vậy các trường hợp có thể xảy ra là
Tiếp đến, ta tính xác suất
xảy ra.
Số trường hợp xảy ra khi tung 2 con xúc xắc xắc là
•
Chỉ có Có 1 cặp. Xác suất
•
Có Có 2 cặp. Xác suất
•
Có Có 2 cặp. Xác suất
•
Có Có 3 cặp. Xác suất
Xác suất để là
Điền đáp án: 2304.
Câu 13 [1134429]: Yến và Phương đang đối đầu trong một trận chung kết cầu lông cấp trường. Theo quy định, ai chạm mốc thắng 6 ván trước sẽ giành chức vô địch. Tính đến thời điểm hiện tại Yến đang dẫn trước với 2 ván thắng, Phương vẫn chưa thắng được ván nào. Dù đang bị dẫn sâu, nhưng trình độ của cả hai có sự chênh lệch rõ rệt trong từng đường cầu. Trong mỗi ván đấu tiếp theo, xác suất để Yến thắng là 
, trong khi xác suất để Phương thắng chỉ là 
. Gọi 
là xác suất để Phương lộn ngược dòng và giành chiến thắng chung cuộc (
, 
là phân số tối giản). Hãy tìm 
, trong khi xác suất để Phương thắng chỉ là . Gọi là xác suất để Phương lộn ngược dòng và giành chiến thắng chung cuộc (, là phân số tối giản). Hãy tìm
Trong mỗi vòng, xác suất Phương thắng 1 là 
xác suất Phương thua là 
Yến đã thắng 2 ván. Vì người thắng 6 ván trước là người thắng cuộc nên để Phương giành chiến thắng thì Phương thua tối đa 3 ván và Phương phải thắng 6 ván (với ván cuối cùng phải là Phương thắng). Nên ta có các trường hợp: Phương thua 0 + thắng 6; Phương thua 1 + thắng 6; Phương thua 2 + thắng 6; Phương thua 3 + thắng 6.
Do có 1 ván Phương thắng được xếp cố định ở vị trí cuối cùng nên ta không cần sắp xếp chỗ cho 1 ván Phương thắng cuối cùng này nữa nên xác suất Phương thắng 6 ván trong
ván bằng xác suất Phương thắng 5 ván trong 
ván nhân với xác suất Phương thắng ván cuối.
TH1: Phương thua 0 + thắng 5
Áp dụng công thức Bernoulli, ta có
TH2: Phương thua 1 + thắng 5
TH3: Phương thua 2 + thắng 5
TH4: Phương thua 3 + thắng 5
Vậy xác suất phương thắng là
Điền đáp án: 835.
xác suất Phương thua là
Yến đã thắng 2 ván. Vì người thắng 6 ván trước là người thắng cuộc nên để Phương giành chiến thắng thì Phương thua tối đa 3 ván và Phương phải thắng 6 ván (với ván cuối cùng phải là Phương thắng). Nên ta có các trường hợp: Phương thua 0 + thắng 6; Phương thua 1 + thắng 6; Phương thua 2 + thắng 6; Phương thua 3 + thắng 6.
Do có 1 ván Phương thắng được xếp cố định ở vị trí cuối cùng nên ta không cần sắp xếp chỗ cho 1 ván Phương thắng cuối cùng này nữa nên xác suất Phương thắng 6 ván trong
ván bằng xác suất Phương thắng 5 ván trong ván nhân với xác suất Phương thắng ván cuối.
TH1: Phương thua 0 + thắng 5
Áp dụng công thức Bernoulli, ta có
TH2: Phương thua 1 + thắng 5
TH3: Phương thua 2 + thắng 5
TH4: Phương thua 3 + thắng 5
Vậy xác suất phương thắng là
Điền đáp án: 835.
Câu 14 [1040898]: Một ứng dụng học tập có 12 thử thách được đưa ra mỗi buổi học. Mỗi thử thách có 70% khả năng học sinh vượt qua được. Nếu một thử thách được hoàn thành thành công, học sinh sẽ nhận được 1 điểm. Nếu hoàn thành không thành công, điểm học sinh không thay đổi. Tuy nhiên, nếu học sinh hoàn thành liên tiếp 5 thử thách thành công sẽ nhận được 5 điểm thưởng (tức là tổng cộng 10 điểm cho 5 thử thách liên tiếp đó). Xác suất để học sinh nhận được đúng 10 điểm bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng học sinh đó làm tất cả 12 thử thách.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi
lần lượt là số lần vượt quá thử thách, số lần hoàn thành liên tiếp 5 thử thách.
Theo đề bài ta có :
TH1 :
(có đúng 5 lần vượt qua thử thách và chúng là 5 lần liên tiếp)
Có
dãy 5 lần vượt qua thử thách.
Xác suất của trường hợp A là
TH2:
(có đúng 10 lần vượt qua thử thách và không có 5 lần nào vượt qua thử thách liên tiếp)
Khi có 10 thành công thì có 2 thất bại.
Để không có 5 lần liên tiếp vượt qua thử thách, các chuỗi thắng phải có độ dài
.
Có 2 thất bại nên để tách thành 3 chuỗi thắng ta cần đúng hai thất bại làm ngăn cách (2 lần thất bại không xuất hiện ở đầu chuỗi hay cuối).
Các phân chia khả dĩ là
và 
Số hoán vị của
và 
đều là 3 
Tổng 6 dãy.
Xác suất của trường hợp
là 
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 1,55.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi
lần lượt là số lần vượt quá thử thách, số lần hoàn thành liên tiếp 5 thử thách.Theo đề bài ta có :
TH1 :
(có đúng 5 lần vượt qua thử thách và chúng là 5 lần liên tiếp)Có
dãy 5 lần vượt qua thử thách.Xác suất của trường hợp A là
TH2:
(có đúng 10 lần vượt qua thử thách và không có 5 lần nào vượt qua thử thách liên tiếp)Khi có 10 thành công thì có 2 thất bại.
Để không có 5 lần liên tiếp vượt qua thử thách, các chuỗi thắng phải có độ dài
. Có 2 thất bại nên để tách thành 3 chuỗi thắng ta cần đúng hai thất bại làm ngăn cách (2 lần thất bại không xuất hiện ở đầu chuỗi hay cuối).
Các phân chia khả dĩ là
và Số hoán vị của
và đều là 3 Tổng 6 dãy.Xác suất của trường hợp
là Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 1,55.
Câu 15 [1168809]: Bóng bàn là một môn thể thao rất phổ biến trên thế giới. Trong một ván bóng bàn, quyền giao bóng đổi sau mỗi 2 điểm (tức là: một bên giao 2 quả, rồi đến bên kia giao 2 quả,...) Ai đạt 11 điểm trước thì thắng ván.Trong một ván: khi Tú giao bóng thì xác suất Tú thắng một điểm là 
khi Tuấn giao bóng thì xác suất Tú thắng một điểm là 
Biết Tuấn giao bóng trước và xác suất để Tú thắng với tỉ số 
bằng 
(
là phân số tối giản). Tính 
khi Tuấn giao bóng thì xác suất Tú thắng một điểm là Biết Tuấn giao bóng trước và xác suất để Tú thắng với tỉ số bằng ( là phân số tối giản). Tính
Gợi ý: Sử dụng công thức Bernoullli.
Vì tổng số điểm trong ván này là điểm, trình tự giao bóng (mỗi lượt 2 quả) diễn ra như sau:
• Lượt 1 (Điểm 1, 2): Tuấn giao bóng.
• Lượt 2 (Điểm 3, 4): Tú giao bóng.
• Lượt 3 (Điểm 5, 6): Tuấn giao bóng.
• Lượt 4 (Điểm 7, 8): Tú giao bóng.
• Lượt 5 (Điểm 9, 10): Tuấn giao bóng.
• Lượt 6 (Điểm 11, 12): Tú giao bóng.
• Lượt 7 (Điểm 13): Tuấn giao bóng (điểm cuối cùng).
Trong đó: Tuấn giao bóng lần và Tú giao bóng lần.
Để Tú thắng với tỉ số 11:2 thì Tú phải thắng điểm thứ 13 (điểm cuối cùng để đạt 11 điểm) và trong 12 điểm đầu tiên, Tú phải thắng 10 điểm và Tuấn thắng 2 điểm.
Bước 1: Xét 12 điểm đầu (Tú và Tuấn mỗi người giao 6 lần)
Gọi
là số điểm Tú thắng khi Tú giao và 
là số điểm Tú thắng khi Tuấn giao. Khi đó để Tú thắng 10 điểm, ta có các trường hợp sau:
TH1:
Xác suất là
(với 
là xác suất Tú thắng 4 điểm trong 6 điểm Tú giao và 
là xác suất Tú thắng 6 điểm trong 6 điểm Tuấn giao).
TH2:
Xác suất là
TH3:
Xác suất là
Bước 2: Xét điểm 13: Xác suất Tú thắng 1 điểm là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 1993.
Vì tổng số điểm trong ván này là điểm, trình tự giao bóng (mỗi lượt 2 quả) diễn ra như sau:
• Lượt 1 (Điểm 1, 2): Tuấn giao bóng.
• Lượt 2 (Điểm 3, 4): Tú giao bóng.
• Lượt 3 (Điểm 5, 6): Tuấn giao bóng.
• Lượt 4 (Điểm 7, 8): Tú giao bóng.
• Lượt 5 (Điểm 9, 10): Tuấn giao bóng.
• Lượt 6 (Điểm 11, 12): Tú giao bóng.
• Lượt 7 (Điểm 13): Tuấn giao bóng (điểm cuối cùng).
Trong đó: Tuấn giao bóng lần và Tú giao bóng lần.
Để Tú thắng với tỉ số 11:2 thì Tú phải thắng điểm thứ 13 (điểm cuối cùng để đạt 11 điểm) và trong 12 điểm đầu tiên, Tú phải thắng 10 điểm và Tuấn thắng 2 điểm.
Bước 1: Xét 12 điểm đầu (Tú và Tuấn mỗi người giao 6 lần)
Gọi
là số điểm Tú thắng khi Tú giao và là số điểm Tú thắng khi Tuấn giao. Khi đó để Tú thắng 10 điểm, ta có các trường hợp sau:
TH1:
Xác suất là
(với là xác suất Tú thắng 4 điểm trong 6 điểm Tú giao và là xác suất Tú thắng 6 điểm trong 6 điểm Tuấn giao).
TH2:
Xác suất là
TH3:
Xác suất là
Bước 2: Xét điểm 13: Xác suất Tú thắng 1 điểm là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 1993.
Câu 16 [1040893]: Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu hỏi độc lập, mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm. Bạn Duy vì học rất kém môn Tiếng Anh nên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu. Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính k.
Điền đáp án: 6.
Xác suất để Duy làm đúng
câu là 
Để
đạt giá trị lớn nhất thì 
+)
(1)
+)
(2)
Từ (1) và (2)
Xác suất để Duy làm đúng
câu là
Để
đạt giá trị lớn nhất thì
+)
(1)
+)
(2)
Từ (1) và (2)