Để nhân vật game trở về vị trí ban đầu thì số lần nhất nút di chuyển lên bằng số lần nhấn nhút di chuyển xuống và số lần nhấn nút di chuyển sang trái bằng số lần nhấn nút di chuyển sang phải.
Trường hợp 1:
Trong trường hợp này có 0 bước lên, 0 bước xuống, 4 bước trái, 4 bước phải. Số cách sắp xếp 4 bước L và 4 bước R trong tổng số 8 bước là: cách.
Trường hợp 2: Trong trường hợp có 1 bước lên, 1 bước xuống, 3 bước trái, 3 bước phải có cách.
Trường hợp 3: Trong trường hợp này có 2 bước lên, 2 bước xuống, 2 bước trái, 2 bước phải có cách.
Trường hợp 4: Trong trường hợp này có 3 bước lên, 3 bước xuống, 1 bước trái, 1 bước phải có: cách.
Trường hợp 5: Trong trường hợp có 4 bước lên, 4 bước xuống, 0 bước trái, 0 bước phải có : cách.
Vậy tổng số cách di chuyển để nhân vật trở về đúng vị trí ban đầu sau 8 bước là tổng của tất cả các trường hợp trên: 70+1120+2520+1120+70=4900 cách.

Điền đáp án: 14.

Gọi lần lượt là số bước tiến, lùi
TH1: Hoàng đến
Có cách
Loại trừ trường hợp đi đến trước lần 7
Lùi 5 bước liên tiếp đến
Còn 1 bước tiến và 1 bước lùi có cách
Vậy có cách
TH2: Hoàng đến
Có cách
Loại trừ trường hợp:
+) Đến ở lần 3:
- 3 bước đầu tiến liên tiếp, còn lại 2 bước tiến, 2 bước lùi nên có cách
+) Đến ở lần 5 ( 4 tiến, 1 lùi), bước số 5 là bước tiến
- 4 bước đầu tiên( 3 tiến , 1 lùi) : TTLT, TLTT, LTTT
- 2 bước còn lại có cách
Có cách
Vậy có cách
Tổng số cách cần tìm là cách

Điền đáp án: 0,14.
Gọi lần lượt là số lần Sấp, Ngửa
Ta có hệ phương trình:
Số phần tử của không gian mẫu là Số quân cờ tăng thêm
Lần đầu không thể là mặt Sấp vì khi đó số chấm sẽ nhỏ hơn 9 nên lần đầu là mặt Ngửa
Gọi lần lượt là số lần Sấp giữa các lần Ngửa :
Ta có:
vì không thỏa mãn
+) Có 3 cặp thỏa mãn
+) Có 4 cặp thỏa mãn
+) Có 5 cặp thỏa mãn
Xác suất cần tìm là

TH1: Có đúng 1 đĩa không có bánh
Chọn ra 1 đĩa không có bánh: có 6 cách.
Giả sử đĩa 5 không có bánh, các đĩa còn lại đều có bánh.
Để các đĩa 1, 2, 3, 4, 6 đều có bánh phải có 2 lần xúc xắc ra mặt 1, 3.
Khi đó lượt xúc xắc còn lại có thể ra các số 1, 2 hoặc 3.
Vậy với trường hợp để đĩa 1 không có bánh, thì ta có các nhóm sau (do các lần thực hiện diễn ra theo trình tự thời gian: tung xúc xắc lần 1, 2, 3 nên thứ tự quan trọng):
Nhóm {1, 3, 1}: có bộ.
Nhóm {1, 3, 2}: có bộ.
Nhóm {1, 3, 3}: có bộ.
Trường hợp đĩa 1 không có bánh có cách.
Vậy TH1 có cách thỏa mãn
TH2: Có đúng 2 đĩa không có bánh (2 đĩa này phải cạnh nhau)
Chọn ra 2 đĩa cạnh nhau không có bánh: có 6 cách.
Giả sử đĩa 4 và 5 không có bánh và các đĩa còn lại đều có bánh.
Khi đó 2 lần xúc xắc phải ra 1 và 2. Lần xúc xắc còn lại có thể là 1 hoặc 2. Vậy với trường hợp để đĩa 4 và 5 không có bánh, thì ta có các nhóm sau:
Nhóm {1, 2, 1}: có bộ.
Nhóm {1, 2, 2}: có bộ.
Trường hợp đĩa 4 và 5 không có bánh có cách.
Vậy TH2 có cách thỏa mãn
Vậy số trường hợp thỏa mãn là
Điền đáp án: 108.

Số trường hợp xảy ra khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp là
Note: Với bộ 3 số bất kì thì ta luôn dễ dàng chứng minh được (tức bằng 2 lần hiệu của số lớn nhất trừ số bé nhất).
Suy ra

Vậy cả 3 số chấm xuất hiện chỉ được phép xuất hiện trong một khoảng có độ dài bằng 3.
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta có các nhóm chứa các số có hiệu không quá 3 là
Khi đó chỉ cần con xúc xắc xuất hiện ra 3 trong 4 số của 1 trong 3 nhóm thì luôn thỏa mãn hệ thức bài cho.
Vì có thể giống nhau nên mỗi nhóm có cách chọn bộ
Vì có 3 nhóm nên tổng số cách chọn bộ là
Tuy nhiên trong 192 cách trên có chứa các bộ trùng nhau:
Phần trùng giữa và là có bộ trùng.
Phần trùng giữa và là có bộ trùng.
Vậy số trường hợp thỏa mãn (không trùng lặp) là
Suy ra xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,64.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Quỳnh chọn trước có 3 cách
Hà chọn sau có 2 cách
Quỳnh và Hà quay có cách

Quỳnh quay được:
- Số 9: Hà có 6 cách thua.
- Số 5: Hà có 3 cách thua.
- Số 3: Hà có 2 cách thua.
- Số 4: Hà có 2 cách thua.
- Số 8: Hà có 5 cách thua.
- Số 7: Hà có 4 cách thua.
- Số 6: Hà có 4 cách thua.
- Số 2: Hà có 1 cách thua.
Có 27 cách để Hà chiến thắng
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,50.

Mỗi lần tung xúc xắc đều có 6 khả năng xảy ra nên số trường hợp xảy ra trong tổng số 6 lần tung cuối là
Số điểm sau 3 lần tung: Dũng: 17 điểm; Nam: 6 điểm. Suy ra Nam đang thua 11 điểm.
Nhận xét: Để Nam thắng sau 3 lần tung còn lại, tổng 3 lần cuối của Nam phải lớn hơn tổng 3 lần cuối của Dũng cộng với khoảng cách 11 điểm
Vì là tổng của 3 con xúc xắc nên Do đó Ta được bảng kết quả sau:

Note:
Để tổng bằng 18: có 1 bộ (6, 6, 6).
Để tổng bằng 17: nên có cách để tung 3 con xúc xắc sao cho tổng bằng 17.
Để tổng bằng 16: (mỗi bộ có 3 hoán vị) nên có 6 cách của X.
….
Thực hiện tương tự, ta được bảng trên.
Từ bảng trên, ta có tổng số cách thắng của Nam là
Vậy xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 3895.

Vì cả hai cùng xuất phát ở bậc số 0 nên để An và Bình cùng kết thúc ở bậc số 10 thì số ván An thắng và số ván Bình thắng phải bằng nhau.
Gọi là số ván có người thắng - người thua. Trong đó, An thắng ván và Bình thắng ván. Suy ra
Vậy số ván hòa là (điều kiện
Tổng số bậc của An sau 5 ván là
Phương trình này luôn đúng với mọi sao cho Vậy có thể là
TH1: (0 Thắng, 0 Thua, 5 Hòa)
Số cách sắp xếp: cách.
TH2: (1 Thắng, 1 Thua, 3 Hòa)
Số cách sắp xếp (hoán vị lặp): cách.
TH3: (2 Thắng, 2 Thua, 1 Hòa)
Số cách sắp xếp (hoán vị lặp): cách.
Tổng số trường hợp thỏa mãn là
Điền đáp án: 51.

Số cách lấy bóng ra 6 lần không hoàn lại là (Vì hai quả bóng đánh cùng 1 số là không phân biệt nên ta dùng hoán vị lặp).
Nhận xét: Mỗi kết quả của không gian mẫu cho ta một cặp số Có 3 khả năng xảy ra giữa và là Vì vai trò của bộ ba số và là hoàn toàn như nhau trong việc lấy bóng, nên số trường hợp bằng với số trường hợp
Gọi là số trường hợp Khi đó số trường hợp bằng
Để thì tức mỗi bộ đều là 3, 4 , 5.
Số cách sắp xếp bộ có cách. Khi đó bộ chỉ có 1 cách (vì phải giống bộ Suy ra số trường hợp là
Số trường hợp bằng
Vậy xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 274.

Điền đáp án: 1585
Có 5 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 9, 11
Ta cần tính xác suất 5 lần đầu tiên đều xuất hiện số nguyên tố.
Xác suất lần 1 suất hiện sốn nguyên tố là
Xác suất lần 2 suất hiện sốn nguyên tố là
Xác suất lần 3 suất hiện sốn nguyên tố là
Xác suất lần 4 suất hiện sốn nguyên tố là
Xác suất lần 5 suất hiện sốn nguyên tố là
Xác suất cần tìm là

Nội dung kiến thức: Toán lớp (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Phân tích: Để sau 3 lần lật, một đồng xu đang từ trạng thái này sang trạng thái khác (hoặc giữ nguyên), ta dựa vào tính chẵn lẻ của số lần lật:
• Đồng xu 1, 2 (đang Ngửa): Để kết thúc vẫn Ngửa, tổng số lần bị lật phải là số chẵn (tức là 0 hoặc 2).
• Đồng xu 3, 4, 5 (đang Sấp): Để kết thúc thành Ngửa, tổng số lần bị lật phải là số lẻ (tức là 1 hoặc 3).
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Mỗi lần gieo, có 6 khả năng xảy ra nên với 3 lần gieo, tổng số kết quả (không gian mẫu) là
Bước 2: Xác định số trường hợp thuận lợi
Gọi là biến cố “sau 3 lần lặp, tất cả 5 đồng xu đều đang ở mặt ngửa”
Gọi là số lần gieo được mặt 6 (lật cả 5 đồng xu).
Gọi là số lần gieo được mặt
Tổng số lần lật của đồng xu thứ là
TH1: Có đúng 0 lần xuất hiện mặt 6 (tức
Số lần lật mỗi đồng xu bằng số lần gieo trúng mặt đó tức
Dễ thấy để sau 3 lần tất cả 5 đồng xu đều ngửa thì và (tức gieo được 1 lần 3, 1 lần 4, 1 lần 5 và không gieo ra 1 và 2).
Suy ra có cách.
TH2: Có đúng 1 lần xuất hiện mặt 6 (tức
Khi có 1 lần gieo trúng mặt 6, tất cả đồng xu đã bị lật 1 lần. Để tổng số lần lật thỏa mãn điều kiện ban đầu thì:
• Đồng xu 1, 2: chẵn phải lẻ.
• Đồng xu 3, 4, 5: lẻ phải chẵn.
Tổng số lần gieo còn lại là lần nên
Vì lẻ nên tối thiểu mỗi số là 1. Tổng
Suy ra và
Có cách.
TH3: Có 2 hoặc 3 lần xuất hiện mặt 6 (tức
• Với phải chẵn, lẻ. Tổng (Vô lý vì 3 số lẻ không thể có tổng là 1).
• Với phải lẻ, chẵn. Tổng (Vô lý vì 2 số lẻ không thể có tổng là 0).
Kết hợp 3 trường hợp trên, suy ra số kết quả thuận lợi là


Điền đáp án : 5833.