Câu 1 [1134462]: Tung một con xúc xắc cân đối ba lần liên tiếp. Xác suất để số chấm gieo được ở lần một lớn hơn số chấm gieo ở cả hai lần còn lại là 
(trong đó 
và phân số 
tối giản). Tính 
(trong đó và phân số tối giản). Tính
Số trường hợp xảy ra khi tung một con xúc xắc cân đối ba lần liên tiếp là 
Gọi
lần lượt là số chấm gieo được ở lần 1, 2, 3. Ta có 
Ta xét lần lượt các trường hợp sau:
+)
Suy ra
Có 1 cách.
+)
Suy ra
Có 
cách.
+)
Suy ra
Có 
cách.
+)
Suy ra
Có 
cách.
+)
Suy ra
Có 
cách.
Có tất cả 
cách thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 216.
Gọi
lần lượt là số chấm gieo được ở lần 1, 2, 3. Ta có Ta xét lần lượt các trường hợp sau:
+)
Suy ra
Có 1 cách.+)
Suy ra
Có cách.+)
Suy ra
Có cách.+)
Suy ra
Có cách.+)
Suy ra
Có cách.Có tất cả cách thỏa mãn.Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 216.
Câu 2 [1134456]: Một xấp bài gồm bốn lá có dạng 
với 
là số nguyên dương, được gọi là một "máy kéo" (Tractor). Dũng có một bộ bài gồm bốn lá cho mỗi số 7, 8, 9 và 10 (tổng cộng 16 lá). Nếu Dũng tráo bài và rút ngẫu nhiên bốn lá từ bộ bài của mình, biết rằng xác suất để bốn lá đó tạo thành một "máy kéo" được viết dưới dạng phân số tối giản 
Giá trị của biểu thức 
bằng bao nhiêu?
với là số nguyên dương, được gọi là một "máy kéo" (Tractor). Dũng có một bộ bài gồm bốn lá cho mỗi số 7, 8, 9 và 10 (tổng cộng 16 lá). Nếu Dũng tráo bài và rút ngẫu nhiên bốn lá từ bộ bài của mình, biết rằng xác suất để bốn lá đó tạo thành một "máy kéo" được viết dưới dạng phân số tối giản Giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu?
Dũng có tổng cộng 16 lá bài (gồm 4 lá số 7, 4 lá số 8, 4 lá số 9 và 4 lá số 10).
Số cách rút ngẫu nhiên 4 lá từ 16 lá là
Một "máy kéo" có dạng
với 
là số nguyên dương. Trong bộ bài từ 7 đến 10, các giá trị của 
có thể là
Trường hợp 1:
Bộ bài là 
Trường hợp 2:
Bộ bài là 
Trường hợp 3:
Bộ bài là 
Với mỗi giá trị
cố định:
Chọn 2 lá số
từ 4 lá số 
có: 
cách.
Chọn 2 lá số
từ 4 lá số 
có: 
cách.
Vậy mỗi bộ
có: 
cách.
Vì có 3 giá trị
khả thi (7, 8, 9) nên tổng số cách thuận lợi là
Xác suất để rút được "máy kéo" là
Vậy
Điền đáp án: 1392.
Số cách rút ngẫu nhiên 4 lá từ 16 lá là
Một "máy kéo" có dạng
với là số nguyên dương. Trong bộ bài từ 7 đến 10, các giá trị của có thể là
Trường hợp 1:
Bộ bài là
Trường hợp 2:
Bộ bài là
Trường hợp 3:
Bộ bài là
Với mỗi giá trị
cố định:
Chọn 2 lá số
từ 4 lá số có: cách.
Chọn 2 lá số
từ 4 lá số có: cách.
Vậy mỗi bộ
có: cách.
Vì có 3 giá trị
khả thi (7, 8, 9) nên tổng số cách thuận lợi là
Xác suất để rút được "máy kéo" là
Vậy
Điền đáp án: 1392.
Câu 3 [1134451]: Gieo một con xúc xắc cân đối ba lần, gọi số chấm xuất hiện ở lần 1, lần 2, lần 3 lần lượt là 
Xác suất để ba số 
thỏa mãn điều kiện: 
là 
(trong đó 
và phân số 
tối giản). Tính 
Xác suất để ba số thỏa mãn điều kiện: là (trong đó và phân số tối giản). Tính
Số khả năng xảy ra khi gieo một con xúc xắc cân đối ba lần là 
Điều kiện:
(cộng các vế của bất phương trình với 1) với 
Vì 
nên 
Thực hiện liệt kê các trường hợp theo
ta được các trường hợp sau:
cách.
cách.
cách.
cách.
Tổng số cách thỏa mãn là 
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 32.
Điều kiện:
(cộng các vế của bất phương trình với 1) với Vì nên
Thực hiện liệt kê các trường hợp theo
ta được các trường hợp sau:
cách.
cách.
cách.
cách.
Tổng số cách thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 32.
Câu 4 [1134464]: Cho hai điểm 
và 
trên mặt phẳng tọa độ. Khi gieo một con xúc xắc cân đối hai lần liên tiếp, gọi số chấm xuất hiện lần lượt là 
và 
Với điểm 
có tọa độ: 
Xác suất để ba điểm 
tạo thành tam giác có diện nhỏ hơn 6 là 
Tính 
và trên mặt phẳng tọa độ. Khi gieo một con xúc xắc cân đối hai lần liên tiếp, gọi số chấm xuất hiện lần lượt là và Với điểm có tọa độ: Xác suất để ba điểm tạo thành tam giác có diện nhỏ hơn 6 là Tính
Số khả năng xảy ra khi gieo một con xúc xắc cân đối hai lần liên tiếp là 
Hai điểm
và 
nằm trên trục tung 
nên 
(với 
là hoành độ điểm 
Với
thì diện tích tam giác 
là 
Để
với 
Xét các giá trị của
ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Với mỗi giá trị của
bất phương trình 
trở thành 
Vậy có 5 giá trị
thỏa mãn tương ứng với 1 giá trị của 
Số cặp thỏa mãn là
Trường hợp 2:
Với mỗi giá trị của
bất phương trình 
trở thành 
Vậy có 2 giá trị
thỏa mãn tương ứng với 1 giá trị của 
Số cặp thỏa mãn là
Lưu ý: Vì
với mọi 
nên 
luôn tạo thành tam giác.
Vậy tổng số trường hợp thỏa mãn là
Xác suất cần tính là 
Điền đáp án: 72.
Hai điểm
và nằm trên trục tung nên (với là hoành độ điểm
Với
thì diện tích tam giác là
Để
với
Xét các giá trị của
ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Với mỗi giá trị của
bất phương trình trở thành
Vậy có 5 giá trị
thỏa mãn tương ứng với 1 giá trị của
Số cặp thỏa mãn là
Trường hợp 2:
Với mỗi giá trị của
bất phương trình trở thành
Vậy có 2 giá trị
thỏa mãn tương ứng với 1 giá trị của
Số cặp thỏa mãn là
Lưu ý: Vì
với mọi nên luôn tạo thành tam giác.
Vậy tổng số trường hợp thỏa mãn là
Xác suất cần tính là
Điền đáp án: 72.
Câu 5 [1134465]: Có hai chiếc hộp hình lập phương đồng chất. Hộp thứ nhất có các mặt ghi số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hộp thứ hai có các mặt ghi số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Thực hiện quy tắc sau:
Tung đồng thời hai hộp một lần.
• Nếu hai số ở mặt đáy khác nhau, ghi lại số nhỏ hơn.
• Nếu hai số ở mặt đáy giống nhau, ghi lại số 6.
Lặp lại quy tắc trên 2 lần. Tính số trường hợp để tổng hai số ghi lại bằng 9.
Tung đồng thời hai hộp một lần.
• Nếu hai số ở mặt đáy khác nhau, ghi lại số nhỏ hơn.
• Nếu hai số ở mặt đáy giống nhau, ghi lại số 6.
Lặp lại quy tắc trên 2 lần. Tính số trường hợp để tổng hai số ghi lại bằng 9.
Gọi số xuất hiện ở đáy hộp 1 là 
và số xuất hiện ở đáy hộp 2 là 
Khi đó số được ghi lại
được xác định như sau:
• Nếu
: 
• Nếu
: 
Các giá trị
có thể nhận được trong một lần tung như sau:
•
: Khi 
với 
6 trường hợp.
•
: Khi 
với 
(5 cách) hoặc 
với 
(4 cách) 
9 trường hợp.
•
: Khi 
với 
(4 cách) hoặc 
với 
(3 cách) 
7 trường hợp.
•
: Khi 
với 
(3 cách) hoặc 
với 
(2 cách) 
5 trường hợp.
•
: Khi 
với 
(2 cách) hoặc 
với 
(1 cách) 
3 trường hợp.
•
:
+) Hai số giống nhau:
5 cách.
+) Hai số khác nhau:
1 cách.
Tổng cộng có 6 trường hợp.
Gọi số ghi lại lần 1 là
và lần 2 là 
Điều kiện: 
Các cặp
có thể là
1. (3, 6): Số cách là
2. (6, 3): Số cách là
3. (4, 5): Số cách là
4. (5, 4): Số cách là
Vậy tổng số trường hợp thỏa mãn là
Điền đáp án: 114.
và số xuất hiện ở đáy hộp 2 là
Khi đó số được ghi lại
được xác định như sau:
• Nếu
:
• Nếu
:
Các giá trị
có thể nhận được trong một lần tung như sau:
•
: Khi với 6 trường hợp.
•
: Khi với (5 cách) hoặc với (4 cách) 9 trường hợp.
•
: Khi với (4 cách) hoặc với (3 cách) 7 trường hợp.
•
: Khi với (3 cách) hoặc với (2 cách) 5 trường hợp.
•
: Khi với (2 cách) hoặc với (1 cách) 3 trường hợp.
•
:
+) Hai số giống nhau:
5 cách.
+) Hai số khác nhau:
1 cách.
Tổng cộng có 6 trường hợp.
Gọi số ghi lại lần 1 là
và lần 2 là Điều kiện:
Các cặp
có thể là
1. (3, 6): Số cách là
2. (6, 3): Số cách là
3. (4, 5): Số cách là
4. (5, 4): Số cách là
Vậy tổng số trường hợp thỏa mãn là
Điền đáp án: 114.
Câu 6 [1168812]: Một trò chơi "vượt ải" được quy định như sau: ở ải thứ 
phải gieo một con xúc xắc 
lần; nếu tổng số chấm thu được trong 
lần gieo lớn hơn 
thì vượt ải. Gọi xác suất người đó vượt qua liên tiếp 3 ải đầu là bằng 
(
là phân số tối giản, 
), tính 
phải gieo một con xúc xắc lần; nếu tổng số chấm thu được trong lần gieo lớn hơn thì vượt ải. Gọi xác suất người đó vượt qua liên tiếp 3 ải đầu là bằng ( là phân số tối giản, ), tính
Trả lời: 343
Muốn vượt liên tiếp 3 ải đầu thì cần:
- Ải 1: gieo 1 lần, được số chấm
- Ải 2: gieo 2 lần, tổng số chấm
- Ải 3: gieo 3 lần, tổng số chấm
Xác suất vượt ải 1:
Ở ải 2, không gian mẫu có
kết quả. Không vượt ải khi 
(với 
). Số nghiệm nguyên dương của 
là 
Vậy xác suất vượt ải 2 là
Ở ải 3, không gian mẫu có
kết quả. Không vượt ải khi 
(với 
). Số nghiệm nguyên dương của 
bằng số cách chọn 3 khoảng trống trong 8 khoảng (bài toán “chia kẹo”), là 
Vì vậy xác suất không vượt ải 3 là
, nên xác suất vượt ải 3 là 
Do các ải độc lập, xác suất vượt liên tiếp 3 ải đầu là
Muốn vượt liên tiếp 3 ải đầu thì cần:
- Ải 1: gieo 1 lần, được số chấm
- Ải 2: gieo 2 lần, tổng số chấm
- Ải 3: gieo 3 lần, tổng số chấm
Xác suất vượt ải 1:
Ở ải 2, không gian mẫu có
kết quả. Không vượt ải khi (với ). Số nghiệm nguyên dương của là Vậy xác suất vượt ải 2 là
Ở ải 3, không gian mẫu có
kết quả. Không vượt ải khi (với ). Số nghiệm nguyên dương của bằng số cách chọn 3 khoảng trống trong 8 khoảng (bài toán “chia kẹo”), là Vì vậy xác suất không vượt ải 3 là
, nên xác suất vượt ải 3 là Do các ải độc lập, xác suất vượt liên tiếp 3 ải đầu là
Câu 7 [1134467]: Mỗi hộp A và hộp B đều có 6 quả bóng bàn. Ta thực hiện một trò chơi tung đồng xu như sau: Tung một đồng xu một lần.
• Nếu là mặt ngửa: Lấy 1 quả bóng bàn từ hộp A cho vào hộp B.
• Nếu là mặt sấp: Lấy 1 quả bóng bàn từ hộp B cho vào hộp A.
Lặp lại trò chơi này 6 lần. Xác suất để số bóng trong hộp B lần đầu tiên đạt bằng 8 sau lần tung thứ 6 là
(trong đó 
và phân số 
tối giản). Tính 
• Nếu là mặt ngửa: Lấy 1 quả bóng bàn từ hộp A cho vào hộp B.
• Nếu là mặt sấp: Lấy 1 quả bóng bàn từ hộp B cho vào hộp A.
Lặp lại trò chơi này 6 lần. Xác suất để số bóng trong hộp B lần đầu tiên đạt bằng 8 sau lần tung thứ 6 là
(trong đó và phân số tối giản). Tính
Vì mỗi lần tung xúc xắc có 2 khả năng (sấp-S hoặc ngửa-N) nên số khả năng xảy ra khi tung xúc xắc 6 lần là 
Số bóng trong B sau 6 lần bằng 8
Có đúng 4 lần Ngửa (N) và 2 lần Sấp (S) (vì 
Điều kiện quan trọng: Số bóng trong B lần đầu tiên đạt bằng 8 tại lần thứ 6.
Tức số bóng trong hộp B không được đạt đến 8 ở các lần tung 1, 2, 3, 4, 5. Điều này tương đương với việc lần 6 phải là N và 5 lần trước đó không có chuỗi nào khiến số bóng chạm 8.
Các dãy (4N, 2S) kết thúc bằng N và thỏa mãn điều kiện là:
1. SSNNNN (6-5-4-5-6-7-8)
2. SNSNNN (6-5-6-5-6-7-8)
3. SNNSNN (6-5-6-7-6-7-8)
4. NSSNNN (6-7-6-5-6-7-8)
5. NSNSNN (6-7-6-7-6-7-8)
Suy ra số kết quả thuận lợi là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 4121.
Số bóng trong B sau 6 lần bằng 8
Có đúng 4 lần Ngửa (N) và 2 lần Sấp (S) (vì
Điều kiện quan trọng: Số bóng trong B lần đầu tiên đạt bằng 8 tại lần thứ 6.
Tức số bóng trong hộp B không được đạt đến 8 ở các lần tung 1, 2, 3, 4, 5. Điều này tương đương với việc lần 6 phải là N và 5 lần trước đó không có chuỗi nào khiến số bóng chạm 8.
Các dãy (4N, 2S) kết thúc bằng N và thỏa mãn điều kiện là:
1. SSNNNN (6-5-4-5-6-7-8)
2. SNSNNN (6-5-6-5-6-7-8)
3. SNNSNN (6-5-6-7-6-7-8)
4. NSSNNN (6-7-6-5-6-7-8)
5. NSNSNN (6-7-6-7-6-7-8)
Suy ra số kết quả thuận lợi là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 4121.
Câu 8 [1134468]: Cho 
là một số thực thỏa mãn 
. Xét một con xúc xắc không cân đối có 6 mặt (được đánh số từ 1 đến 6) sao cho:
- Một mặt
cụ thể xuất hiện với xác suất 
.
- Mặt đối diện của mặt
xuất hiện với xác suất 
.
- Bốn mặt còn lại mỗi mặt xuất hiện với xác suất
.
Biết rằng trên con xúc xắc này, tổng số chấm của hai mặt đối diện luôn bằng 7. Giả sử khi gieo đồng thời hai con xúc xắc như trên, xác suất để tổng số chấm nhận được bằng 7 là
. Hãy tìm giá trị của 
là một số thực thỏa mãn . Xét một con xúc xắc không cân đối có 6 mặt (được đánh số từ 1 đến 6) sao cho: - Một mặt
cụ thể xuất hiện với xác suất . - Mặt đối diện của mặt
xuất hiện với xác suất . - Bốn mặt còn lại mỗi mặt xuất hiện với xác suất
.Biết rằng trên con xúc xắc này, tổng số chấm của hai mặt đối diện luôn bằng 7. Giả sử khi gieo đồng thời hai con xúc xắc như trên, xác suất để tổng số chấm nhận được bằng 7 là
. Hãy tìm giá trị của
Vì tổng các mặt đối diện luôn bằng 7 nên các cặp mặt đối diện là 
, 
và 
Gọi cặp mặt có xác suất không cân đối là
Theo đề bài, ta có
Các mặt còn lại có xác suất là
Khi gieo hai con xúc xắc, tổng số chấm bằng 7 xảy ra khi kết quả là các cặp:
Gọi
là xác suất xuất hiện mặt 
trên một con xúc xắc, 
Khi đó xác suất để tổng bằng 7 là 
Trong 3 cặp đối diện này, có một cặp chứa mặt
và mặt 
, và hai cặp còn lại mỗi mặt đều có xác suất là 
Cặp chứa mặt
và mặt 
có xác suất là 
Mỗi cặp trong 2 cặp còn lại có xác suất là
Khi đó
(vì 
Vậy
Điền đáp án: 0,25.
, và Gọi cặp mặt có xác suất không cân đối là
Theo đề bài, ta cóCác mặt còn lại có xác suất là
Khi gieo hai con xúc xắc, tổng số chấm bằng 7 xảy ra khi kết quả là các cặp:
Gọi
là xác suất xuất hiện mặt trên một con xúc xắc, Khi đó xác suất để tổng bằng 7 là Trong 3 cặp đối diện này, có một cặp chứa mặt
và mặt , và hai cặp còn lại mỗi mặt đều có xác suất là Cặp chứa mặt
và mặt có xác suất là Mỗi cặp trong 2 cặp còn lại có xác suất là
Khi đó
(vì Vậy
Điền đáp án: 0,25.
Câu 9 [1040785]: Trò chơi craps được chơi như sau: Người chơi tung hai xúc xắc. Nếu tổng là 2, 3 hoặc 12 thì thua; nếu tổng là 7 hoặc 11 thì thắng. Nếu tổng khác các giá trị trên, người chơi tiếp tục tung cho đến khi ra lại tổng ban đầu hoặc ra 7. Nếu ra 7 trước thì thua, nếu ra lại tổng ban đầu trước thì thắng. Tính xác suất để người chơi thắng trong trò craps ở lần thứ 3 tung xúc sắc. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,06.
Ta có bảng xác suất để tung ra tổng của 2 con xúc sắc là
Gọi
lần lượt là lần tung thứ 1, 2, 3.
Để người chơi chiến thắng trò chơi trong lượt thứ 3 thì lần đầu tiên người đó phải tung sao cho tổng 2 con xúc sắc thuộc tập
, lần thứ hai được tổng khác số trước đó và khác 7, lần thứ 3 phải tung được tổng có số bằng số của lần tung đầu tiên.Ta có bảng sau:
Xác suất cần tìm là
Ta có bảng xác suất để tung ra tổng của 2 con xúc sắc là
Gọi
lần lượt là lần tung thứ 1, 2, 3.Để người chơi chiến thắng trò chơi trong lượt thứ 3 thì lần đầu tiên người đó phải tung sao cho tổng 2 con xúc sắc thuộc tập
, lần thứ hai được tổng khác số trước đó và khác 7, lần thứ 3 phải tung được tổng có số bằng số của lần tung đầu tiên.Ta có bảng sau:Xác suất cần tìm là
Câu 10 [1134471]: Khải xây dựng một phương pháp tráo đổi xấp bài gồm 10 lá được đánh số từ 1 đến 10. Anh ấy bắt đầu với bộ bài chưa tráo theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 10. Đầu tiên, anh ấy lấy lá bài trên cùng của bộ bài chưa tráo và đặt nó vào một bộ mới gọi là "xấp bài đã tráo". Sau đó, anh ấy tung một đồng xu:
- Nếu là mặt ngửa, anh ấy lấy lá bài tiếp theo từ bộ chưa tráo và đặt lên trên cùng của bộ đã tráo.
- Nếu là mặt sấp, anh ấy lấy lá bài tiếp theo và đặt xuống dưới cùng của bộ đã tráo.
Anh ấy lặp lại quy trình này cho đến khi hết bài. Xác suất để sau khi tráo xong, lá bài nằm trên cùng của xấp bài là một số nguyên tố là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
- Nếu là mặt ngửa, anh ấy lấy lá bài tiếp theo từ bộ chưa tráo và đặt lên trên cùng của bộ đã tráo.
- Nếu là mặt sấp, anh ấy lấy lá bài tiếp theo và đặt xuống dưới cùng của bộ đã tráo.
Anh ấy lặp lại quy trình này cho đến khi hết bài. Xác suất để sau khi tráo xong, lá bài nằm trên cùng của xấp bài là một số nguyên tố là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Để lá bài số 
nằm ở vị trí trên cùng sau khi kết thúc quy trình, cần thỏa mãn hai điều kiện đồng thời:
+) Tại lượt của lá
: Đồng xu phải ra mặt ngửa để lá 
được đặt lên trên cùng của xấp bài hiện tại. Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 
+) Từ lượt của lá
đến lá 10: Tất cả các lá bài này đều phải ra mặt sấp để chúng bị đẩy xuống dưới cùng, không đè lên lá 
Số lượt từ
đến 10 là: 
lượt.
Xác suất cho chuỗi mặt sấp này là:
Công thức tổng quát cho xác suất lá
nằm trên cùng là
Lá bài nằm trên cùng là số nguyên tố khi
• Với
: 
• Với
: 
• Với
: 
• Với
: 
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,08.
nằm ở vị trí trên cùng sau khi kết thúc quy trình, cần thỏa mãn hai điều kiện đồng thời:
+) Tại lượt của lá
: Đồng xu phải ra mặt ngửa để lá được đặt lên trên cùng của xấp bài hiện tại. Xác suất xuất hiện mặt ngửa là
+) Từ lượt của lá
đến lá 10: Tất cả các lá bài này đều phải ra mặt sấp để chúng bị đẩy xuống dưới cùng, không đè lên lá
Số lượt từ
đến 10 là: lượt.
Xác suất cho chuỗi mặt sấp này là:
Công thức tổng quát cho xác suất lá
nằm trên cùng là
Lá bài nằm trên cùng là số nguyên tố khi
• Với
: • Với
: • Với
: • Với
:
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,08.
Câu 11 [1134472]: Một túi đựng 6 quả bóng trắng và 4 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng cùng lúc từ túi này:
• Nếu 2 quả bóng lấy ra có màu khác nhau, bạn tung một đồng xu 3 lần liên tiếp.
• Nếu 2 quả bóng lấy ra có màu giống nhau, bạn tung một đồng xu 2 lần liên tiếp.
Xác suất để mặt ngửa của đồng xu xuất hiện đúng 2 lần là
(trong đó 
và phân số 
tối giản). Tính 
• Nếu 2 quả bóng lấy ra có màu khác nhau, bạn tung một đồng xu 3 lần liên tiếp.
• Nếu 2 quả bóng lấy ra có màu giống nhau, bạn tung một đồng xu 2 lần liên tiếp.
Xác suất để mặt ngửa của đồng xu xuất hiện đúng 2 lần là
(trong đó và phân số tối giản). Tính
Gọi 
là biến cố lấy ra 2 bóng khác màu.
là biến cố lấy ra 2 bóng cùng màu.
là biến cố mặt ngửa đồng xu xuất hiện đúng 2 lần.
Tham khảo sơ đồ cây. Khi đó xác suất cần tính là
Theo công thức xác suất toàn phần:
Bước 1: Tính
Tổng số cách chọn 2 quả bóng từ túi (10 quả) là
Số cách chọn 2 bóng khác màu là
Số cách chọn 2 bóng cùng màu là
Bước 2: Tính
Xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng xác suất xuất hiện mặt sấp và bằng
Sử dụng công thức Bernoulli, xác suất xuất hiện đúng 2 lần ngửa khi tung xúc xắc 3 lần là
Xác suất xuất hiện đúng 2 lần ngửa khi tung xúc xắc 2 lần là
Vậy
Điền đáp án: 79.
là biến cố lấy ra 2 bóng khác màu.
là biến cố lấy ra 2 bóng cùng màu.
là biến cố mặt ngửa đồng xu xuất hiện đúng 2 lần.Tham khảo sơ đồ cây. Khi đó xác suất cần tính là
Theo công thức xác suất toàn phần:
Bước 1: Tính
Tổng số cách chọn 2 quả bóng từ túi (10 quả) là
Số cách chọn 2 bóng khác màu là
Số cách chọn 2 bóng cùng màu là
Bước 2: Tính
Xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng xác suất xuất hiện mặt sấp và bằng
Sử dụng công thức Bernoulli, xác suất xuất hiện đúng 2 lần ngửa khi tung xúc xắc 3 lần là
Xác suất xuất hiện đúng 2 lần ngửa khi tung xúc xắc 2 lần là
Vậy
Điền đáp án: 79.
Câu 12 [1134473]: Trong một trận game có hai phe: Phe Ánh Sáng và Phe Bóng Tối. Mỗi phe triệu hồi 3 quái thú có sức mạnh ngang nhau. Thứ tự ra trận của các quái thú được đánh số là 1, 2 và 3. Quy tắc trò chơi như sau:
• Quái thú số 1 của Phe Ánh Sáng và quái thú số 1 của Phe Bóng Tối sẽ đối đầu trực tiếp ở lượt đầu tiên.
• Quái thú nào thắng trong một lượt đấu sẽ tiếp tục ở lại sân để đối đầu với quái thú tiếp theo theo thứ tự của phe đối phương.
• Quái thú thua cuộc sẽ bị loại khỏi cuộc chơi vĩnh viễn.
• Phe nào có toàn bộ 3 quái thú bị loại trước thì phe đó thua cuộc và trò chơi dừng lại ngay lập tức.
Tính xác suất để quái thú số 2 của Phe Ánh Sáng tiêu diệt được đúng 1 kẻ địch rồi rời sân (viết kết quả dưới dạng số thập phân). Biết rằng xác suất thắng của mỗi quái thú trong mỗi lượt là
và không có kết quả hòa.
• Quái thú số 1 của Phe Ánh Sáng và quái thú số 1 của Phe Bóng Tối sẽ đối đầu trực tiếp ở lượt đầu tiên.
• Quái thú nào thắng trong một lượt đấu sẽ tiếp tục ở lại sân để đối đầu với quái thú tiếp theo theo thứ tự của phe đối phương.
• Quái thú thua cuộc sẽ bị loại khỏi cuộc chơi vĩnh viễn.
• Phe nào có toàn bộ 3 quái thú bị loại trước thì phe đó thua cuộc và trò chơi dừng lại ngay lập tức.
Tính xác suất để quái thú số 2 của Phe Ánh Sáng tiêu diệt được đúng 1 kẻ địch rồi rời sân (viết kết quả dưới dạng số thập phân). Biết rằng xác suất thắng của mỗi quái thú trong mỗi lượt là
và không có kết quả hòa.
Gọi 3 quái thú Phe Ánh Sáng là 
Gọi 3 quái thú Phe Bóng Tối là
Để quái thú số 2 của Phe Ánh Sáng tiêu diệt được đúng 1 kẻ địch rồi rời sân, ta có các kịch bản sau:
Kịch bản 1:
diệt 
rồi thua 
Diễn biến:
thắng 
thắng 
thắng 
Xác suất để kịch bản 1 xảy ra là
Kịch bản 2:
diệt 
rồi thua 
Diễn biến:
thắng 
thắng 
thắng 
thắng 
Xác suất là
Kịch bản 3:
diệt 
và trò chơi dừng lại
Đây là trường hợp
là quái thú cuối cùng tiêu diệt kẻ địch cuối cùng của phe Bóng Tối.
Diễn biến:
thắng 
và 
, sau đó thua 
thắng 
Xác suất là
Tổng xác suất để
diệt đúng 1 kẻ địch rồi rời sân là
Điền đáp án: 0,25.
Gọi 3 quái thú Phe Bóng Tối là
Để quái thú số 2 của Phe Ánh Sáng tiêu diệt được đúng 1 kẻ địch rồi rời sân, ta có các kịch bản sau:
Kịch bản 1:
diệt rồi thua
Diễn biến:
thắng thắng thắng
Xác suất để kịch bản 1 xảy ra là
Kịch bản 2:
diệt rồi thua
Diễn biến:
thắng thắng thắng thắng
Xác suất là
Kịch bản 3:
diệt và trò chơi dừng lại
Đây là trường hợp
là quái thú cuối cùng tiêu diệt kẻ địch cuối cùng của phe Bóng Tối.
Diễn biến:
thắng và , sau đó thua thắng
Xác suất là
Tổng xác suất để
diệt đúng 1 kẻ địch rồi rời sân là
Điền đáp án: 0,25.
Câu 13 [1134470]: Có một chiếc túi chứa 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Thực hiện hai lần thí nghiệm sau: mỗi lần lấy ngẫu nhiên cùng lúc 2 thẻ, ghi lại số rồi bỏ lại vào túi.
• Ở lần lấy thứ nhất, gọi số nhỏ hơn là
và số lớn hơn là 
• Ở lần lấy thứ hai, gọi số nhỏ hơn là
và số lớn hơn là 
• Xét hai tập hợp:
và 
Hãy tìm số lượng các bộ số
thỏa mãn điều kiện 
• Ở lần lấy thứ nhất, gọi số nhỏ hơn là
và số lớn hơn là • Ở lần lấy thứ hai, gọi số nhỏ hơn là
và số lớn hơn là • Xét hai tập hợp:
và Hãy tìm số lượng các bộ số
thỏa mãn điều kiện
Mỗi lần lấy 2 thẻ từ 6 thẻ có 
cách.
Tổng số bộ 
là 
bộ.
Ta có
với 
với 
Gợi ý: Số bộ thỏa mãn = Tổng số bộ - Số bộ vi phạm (tức các bộ thỏa mãn
xảy ra khi:
• TH1:
Chọn 4 số bất kỳ từ 6 số, số nhỏ nhất và số thứ hai làm
; số thứ ba và lớn nhất làm 
Do đó khi chọn 4 số bất kỳ từ 6 số ta luôn được 1 bộ thỏa mãn.
Số cách bộ thỏa mãn là 
• TH2:
Tương tự TH1, ta cũng có
bộ.
Số bộ vi phạm bằng 
Suy ra số bộ thỏa mãn
là 
Điền đáp án: 195.
cách.
Tổng số bộ là bộ.
Ta có
với với
Gợi ý: Số bộ thỏa mãn = Tổng số bộ - Số bộ vi phạm (tức các bộ thỏa mãn
xảy ra khi:
• TH1:
Chọn 4 số bất kỳ từ 6 số, số nhỏ nhất và số thứ hai làm
; số thứ ba và lớn nhất làm Do đó khi chọn 4 số bất kỳ từ 6 số ta luôn được 1 bộ thỏa mãn.
Số cách bộ thỏa mãn là
• TH2:
Tương tự TH1, ta cũng có
bộ.
Số bộ vi phạm bằng
Suy ra số bộ thỏa mãn
là
Điền đáp án: 195.
Câu 14 [1134461]: Có 6 lá bài, mặt trước màu trắng và mặt sau màu xám, đang được đặt ngửa mặt trước lên.
• Mặt trước: Ghi các số tự nhiên từ 1 đến 6.
• Mặt sau: Lá bài có số 1 ở mặt trước thì mặt sau cũng ghi số 1, trong khi đó 5 lá bài còn lại (từ 2 đến 6), mặt sau ghi số tự nhiên nhỏ hơn số ở mặt trước là 1 đơn vị.
Thực hiện quy trình sau bằng cách sử dụng 6 lá bài này và một con xúc xắc:
Gieo xúc xắc một lần, nếu số xuất hiện là
thì lật lá bài ở vị trí thứ 
một lần rồi để lại chỗ cũ. Sau khi lặp lại quy trình trên 2 lần, hãy tìm số trường hợp để số lượng các lá bài khác nhau có ghi số chẵn là 3? (Biết rằng: Nếu màu sắc hoặc số ghi trên lá bài khác nhau thì được coi là các lá bài khác nhau).
• Mặt trước: Ghi các số tự nhiên từ 1 đến 6.
• Mặt sau: Lá bài có số 1 ở mặt trước thì mặt sau cũng ghi số 1, trong khi đó 5 lá bài còn lại (từ 2 đến 6), mặt sau ghi số tự nhiên nhỏ hơn số ở mặt trước là 1 đơn vị.
Thực hiện quy trình sau bằng cách sử dụng 6 lá bài này và một con xúc xắc:
Gieo xúc xắc một lần, nếu số xuất hiện là
thì lật lá bài ở vị trí thứ một lần rồi để lại chỗ cũ. Sau khi lặp lại quy trình trên 2 lần, hãy tìm số trường hợp để số lượng các lá bài khác nhau có ghi số chẵn là 3? (Biết rằng: Nếu màu sắc hoặc số ghi trên lá bài khác nhau thì được coi là các lá bài khác nhau).
Xét tính chẵn/lẻ của các con số trên mỗi lá bài khi lật:
• Lá 1: Mặt trước (L), mặt sau (L)
Luôn Lẻ (không đổi khi lật).
• Lá 2: Mặt trước (C), mặt sau (L)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
• Lá 3: Mặt trước (L), mặt sau (C)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
• Lá 4: Mặt trước (C), mặt sau (L)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
• Lá 5: Mặt trước (L), mặt sau (C)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
• Lá 6: Mặt trước (C), mặt sau (L)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
Ban đầu: Có 3 lá mang số chẵn (Lá 2, 4, 6).
Yêu cầu: Sau 2 lần lật, vẫn có đúng 3 lá mang số chẵn.
Các trường hợp có thể xảy ra là:
TH1: Cả 2 lần lật cùng 1 lá bài
Khi lật một lá 2 lần thì nó trở về trạng thái ban đầu (mặt trước) do đó luôn là 3 lá chẵn như ban đầu.
Số cách:
trường hợp.
TH2: Lật hai lá khác nhau
Để tổng số lá chẵn không đổi, nếu lật một lá Chẵn biến thành Lẻ, thì lá còn lại phải là lá Lẻ biến thành Chẵn.
Nhóm lá đang Chẵn (C
L): 
(3 lá).
Nhóm lá đang Lẻ (L
C): 
(2 lá).
TH2.1: Lần 1 chọn lá nhóm Chẵn, lần 2 chọn lá nhóm Lẻ:
cách.
TH2.2: Lần 1 chọn lá nhóm Lẻ, lần 2 chọn lá nhóm Chẵn:
cách.
TH2 có tổng cộng 
trường hợp.
Vậy tổng số trường hợp thỏa mãn là
Điền đáp án: 18.
• Lá 1: Mặt trước (L), mặt sau (L)
Luôn Lẻ (không đổi khi lật).
• Lá 2: Mặt trước (C), mặt sau (L)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
• Lá 3: Mặt trước (L), mặt sau (C)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
• Lá 4: Mặt trước (C), mặt sau (L)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
• Lá 5: Mặt trước (L), mặt sau (C)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
• Lá 6: Mặt trước (C), mặt sau (L)
Thay đổi tính chẵn lẻ khi lật.
Ban đầu: Có 3 lá mang số chẵn (Lá 2, 4, 6).
Yêu cầu: Sau 2 lần lật, vẫn có đúng 3 lá mang số chẵn.
Các trường hợp có thể xảy ra là:
TH1: Cả 2 lần lật cùng 1 lá bài
Khi lật một lá 2 lần thì nó trở về trạng thái ban đầu (mặt trước) do đó luôn là 3 lá chẵn như ban đầu.
Số cách:
trường hợp.
TH2: Lật hai lá khác nhau
Để tổng số lá chẵn không đổi, nếu lật một lá Chẵn biến thành Lẻ, thì lá còn lại phải là lá Lẻ biến thành Chẵn.
Nhóm lá đang Chẵn (C
L): (3 lá).
Nhóm lá đang Lẻ (L
C): (2 lá).
TH2.1: Lần 1 chọn lá nhóm Chẵn, lần 2 chọn lá nhóm Lẻ:
cách.
TH2.2: Lần 1 chọn lá nhóm Lẻ, lần 2 chọn lá nhóm Chẵn:
cách.
TH2 có tổng cộng trường hợp.
Vậy tổng số trường hợp thỏa mãn là
Điền đáp án: 18.
Câu 15 [1040792]: Bạn Quyết và bạn Tiến chơi một trò chơi, luật chơi của trò chơi như sau:
+ Tiến có 10 thẻ được đánh số
.
+ Quyết có 10 thẻ được đánh số
.
+ Ở mỗi vòng, cả hai người chơi rút ngẫu nhiên một thẻ từ tay mình và so sánh các con số.
Người chơi có số lớn hơn ghi được một điểm, và người chơi có số nhỏ hơn không ghi được điểm nào. Các thẻ đã rút ra sẽ bị bỏ đi.
Biết xác suất sau 5 vòng, điểm của Tiến là 3 bằng
Tính 
+ Tiến có 10 thẻ được đánh số
. + Quyết có 10 thẻ được đánh số
. + Ở mỗi vòng, cả hai người chơi rút ngẫu nhiên một thẻ từ tay mình và so sánh các con số.
Người chơi có số lớn hơn ghi được một điểm, và người chơi có số nhỏ hơn không ghi được điểm nào. Các thẻ đã rút ra sẽ bị bỏ đi.
Biết xác suất sau 5 vòng, điểm của Tiến là 3 bằng
Tính
Điền đáp án: 217
Ta có:
Gọi
là biến cố: “Tiến thắng 3 lần, thua 2 lần’’
Ký hiệu Thắng là
, Thua là 
Ta có các trường hợp sau :
+)
: 1 cách
+)
: 2 cách
: 1 cách
+)
: 4 cách
: 2 cách
: 1 cách
+)
: 8 cách
: 4 cách
: 2 cách
: 1 cách
Có 26 cặp chiến thắng
Chọn vị trí cho lần thắng và hoán vị các lần thắng, lần thua
Xác suất cần tìm là
Ta có:
Gọi
là biến cố: “Tiến thắng 3 lần, thua 2 lần’’Ký hiệu Thắng là
, Thua là Ta có các trường hợp sau :
+)
: 1 cách+)
: 2 cách: 1 cách+)
: 4 cách: 2 cách: 1 cách+)
: 8 cách: 4 cách: 2 cách: 1 cáchCó 26 cặp chiến thắngChọn vị trí cho lần thắng và hoán vị các lần thắng, lần thua
Xác suất cần tìm là
Câu 16 [1134474]: An và Na cùng chơi một trò chơi trên một đường thẳng gồm 6 ô, đánh số từ 0 đến 5. Cả hai đều bắt đầu tại ô số 0. Quy tắc di chuyển như sau:
Trong mỗi lượt, mỗi người tung một đồng xu đồng chất
+ Nếu mặt Ngửa: nhân vật tiến lên 1 ô.
+ Nếu mặt Sấp: nếu đang ở ô số 1, 2, 3, 4, 5: nhân vật lùi lại 1 ô. Nếu đang ở ô số 0, nhân vật không thể lùi mà phải tiến lên ô số 1.
Sau khi cả hai cùng thực hiện xong 5 lượt đi, xác suất để An và Na đứng cùng một ô là bao nhiêu được viết dưới dạng phân số tối giản
, hãy tính 
Trong mỗi lượt, mỗi người tung một đồng xu đồng chất
+ Nếu mặt Ngửa: nhân vật tiến lên 1 ô.
+ Nếu mặt Sấp: nếu đang ở ô số 1, 2, 3, 4, 5: nhân vật lùi lại 1 ô. Nếu đang ở ô số 0, nhân vật không thể lùi mà phải tiến lên ô số 1.
Sau khi cả hai cùng thực hiện xong 5 lượt đi, xác suất để An và Na đứng cùng một ô là bao nhiêu được viết dưới dạng phân số tối giản
, hãy tính
Mỗi người thực hiện 5 lượt tung đồng xu, mỗi lượt có 2 khả năng (Ngửa hoặc Sấp) nên tổng số khả năng di chuyển cho một người là 
Gọi
là xác suất An đứng ở ô thứ 
Suy ra xác suất Na đứng ở ô thứ 
là 
(vì số cách để đi đến cùng 1 ô của An và Na bằng nhau).
Xác suất để sau 5 lượt, An và Na cùng dừng ở một ô là 
Quy tắc chơi:
• Tại ô 0: Dù tung được mặt Ngửa (N) hay mặt Sấp (S), nhân vật đều tiến lên ô 1.
• Tại các ô khác (1, 2, 3, 4, 5): Ngửa thì tiến 1 (+1), Sấp thì lùi 1 (-1).
Nhận thấy sau lượt đi số lẻ (ví dụ tung xúc xắc lần 1, 3, 5 là các lượt đi số lẻ) thì nhân vật đứng ở vị trí lẻ và ngược lại. Do đó sau 5 lần tung thì nhân vật chỉ có thể đến được các ô số lẻ là 1, 3, 5.
TH1:
(tức tiến 5 lần)
Có 2 cách (N-N-N-N-N hoặc S-N-N-N-N).
Khi đó xác một người dừng ở ô 5 là
Xác suất cả An và Na cùng dừng ở ô 5 là 
TH2:
(tức tiến 4 lần và lùi 1 lần)
Lượt 1: Tiến: có 2 cách.
Khi đó lượt 2, 3, 4, 5 phải có 3 tiến và 1 lùi:
+) Lượt 2, 3 lùi + 4, 5 tiến (dựa vào tính chất tại ô 0 sấp = tiến 1 ô): có 1 cách (LLTT).
+) Lượt 2, 3, 4, 5 có 3 tiến và 1 lùi: có
cách.
Có 5 cách cho lượt 2, 3, 4, 5.
Có 
cách để sau 5 lượt nhân vật đến ô 3.
Khi đó xác một người dừng ở ô 3 là
Xác suất cả An và Na cùng dừng ở ô 3 là 
TH3:
Vì sau 5 lượt chỉ có thể đến ô 1, 3, 5 nên tổng xác suất đến 3 ô này bằng 1.
Tức
Xác suất cả An và Na cùng dừng ở ô 1 là 
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 4097.
Gọi
là xác suất An đứng ở ô thứ Suy ra xác suất Na đứng ở ô thứ là (vì số cách để đi đến cùng 1 ô của An và Na bằng nhau).
Xác suất để sau 5 lượt, An và Na cùng dừng ở một ô là
Quy tắc chơi:
• Tại ô 0: Dù tung được mặt Ngửa (N) hay mặt Sấp (S), nhân vật đều tiến lên ô 1.
• Tại các ô khác (1, 2, 3, 4, 5): Ngửa thì tiến 1 (+1), Sấp thì lùi 1 (-1).
Nhận thấy sau lượt đi số lẻ (ví dụ tung xúc xắc lần 1, 3, 5 là các lượt đi số lẻ) thì nhân vật đứng ở vị trí lẻ và ngược lại. Do đó sau 5 lần tung thì nhân vật chỉ có thể đến được các ô số lẻ là 1, 3, 5.
TH1:
(tức tiến 5 lần)
Có 2 cách (N-N-N-N-N hoặc S-N-N-N-N).
Khi đó xác một người dừng ở ô 5 là
Xác suất cả An và Na cùng dừng ở ô 5 là
TH2:
(tức tiến 4 lần và lùi 1 lần)
Lượt 1: Tiến: có 2 cách.
Khi đó lượt 2, 3, 4, 5 phải có 3 tiến và 1 lùi:
+) Lượt 2, 3 lùi + 4, 5 tiến (dựa vào tính chất tại ô 0 sấp = tiến 1 ô): có 1 cách (LLTT).
+) Lượt 2, 3, 4, 5 có 3 tiến và 1 lùi: có
cách.
Có 5 cách cho lượt 2, 3, 4, 5.
Có cách để sau 5 lượt nhân vật đến ô 3.
Khi đó xác một người dừng ở ô 3 là
Xác suất cả An và Na cùng dừng ở ô 3 là
TH3:
Vì sau 5 lượt chỉ có thể đến ô 1, 3, 5 nên tổng xác suất đến 3 ô này bằng 1.
Tức
Xác suất cả An và Na cùng dừng ở ô 1 là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 4097.