Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1134404]: Trong một lưới ô vuông có kích thước , mỗi ô vuông đơn vị chứa một chú chim cánh cụt hoặc để trống. Hai chú chim cánh cụt sẽ “giận nhau” nếu chúng ở hai ô liền kề theo đường chéo. Tính số cách điền vào lưới sao cho không có chú chim cánh cụt nào giận nhau.
Thực hiện tô màu như hình vẽ.

Nhận xét:
• Các ô đen chỉ kề chéo với các ô đen khác.
• Các ô trắng chỉ kề chéo với các ô trắng khác.
Vì vậy việc xếp chim vào nhóm ô đen hoàn toàn độc lập với việc xếp chim vào nhóm ô trắng.
Khi đó gọi là số cách xếp vào nhóm 1 (nhóm ô đen) và là số cách xếp vào nhóm 2 (nhóm ô trắng) sao cho không có cặp nào giận nhau, thì tổng số cách sẽ thỏa mãn là
Bước 1: Tính số cách xếp vào nhóm 5 ô đen
Nhận thấy: Ô chính giữa kề chéo với cả 4 ô góc. Các ô đen ở góc không kề chéo nhau.
TH1: Ô chính giữa có 1 chú chim 4 ô góc phải trống: 1 cách.
TH2: Ô chính giữa trống 4 ô góc đặt tùy ý (tức 4 ô đen ở, góc mỗi ô có 2 cách đặt) nên tổng số cách đặt là 16 cách.
cách.
Bước 2: Tính số cách xếp vào nhóm 4 ô trắng
TH1: 0 chú chim: 1 cách.
TH2: 1 chú chim: 4 cách.
TH3: 2 chú chim: 2 cách (chọn 2 ô đối diện).
cách.
Tổng số cách đặt thỏa mãn là
Điền đáp án: 119.
Câu 2 [1134405]: Có bao nhiêu cách khác nhau để đặt 3 đồng xu giống hệt nhau trên bàn cờ vua có kích thước sao cho không có hai đồng xu nào nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột?
Bước 1: Chọn 3 hàng từ 4 hàng của bàn cờ
Vì mỗi đồng xu phải nằm trên một hàng riêng biệt, nên ta cần chọn ra 3 hàng trong số 4 hàng hiện có để đặt 3 đồng xu.
Số cách chọn 3 hàng từ 4 hàng là cách.
Bước 2: Chọn 3 cột từ 4 cột của bàn cờ: có cách.
Bước 3: Xếp đồng xu vào các ô giao nhau
Sau khi đã chọn được 3 hàng và 3 cột, các ô giao nhau tạo thành một lưới có kích thước .
Đồng xu thứ nhất: có 3 cách chọn cột (trong 3 cột đã chọn).
Đồng xu thứ hai: có 2 cách chọn cột (trong 2 cột còn lại).
Đồng xu thứ ba: có 1 cách chọn cột.
Vậy có cách xếp cho mỗi bộ hàng/cột đã chọn.
Vậy tổng số cách đặt 3 đồng xu thỏa mãn là
Điền đáp án: 96.
Câu 3 [1040426]: Cho một hình vuông có 16 ô vuông đơn vị, hãy điền vào mỗi ô các số trong tập hợp sao cho trên mỗi cột và mỗi hàng số đó chỉ xuất hiện đúng 1 lần. Có bao nhiêu cách điền?
Điền đáp án: 567.

Hàng 1 có cách điền
Cột 1: Điền 3 số còn lại có cách
TH1: Điền số 1 vào hàng 3 cột 4.

Theo hình vẽ trên ta có tất cả 4 cách điền

TH2: Điền số 2 vào hàng 3 cột 4


Theo hình vẽ trên ta có duy nhất 1 cách điền

TH3: Điền số 3 vào hàng 3 cột 4.


Theo hình vẽ trên ta có duy nhất 1 cách điền

Vậy có tất cả cách điền
Câu 4 [1040866]: Bạn có 6 đồng xu được đặt trên các đỉnh của một hình lục giác đều. Mỗi đồng xu được gán một giá trị là một số nguyên dương trong tập và mỗi giá trị chỉ được dùng một lần. Có bao nhiêu cách để gán giá trị cho các đồng xu sao cho tổng các giá trị của ba đồng xu bất kỳ tạo thành một tam giác đều là bằng nhau.
Điền đáp án: 72.

Gọi lần lượt là giá trị gán cho các đỉnh
Ba đồng xu bất kỳ tạo thành 1 tam giác đều là bằng nhau nên ta có:

Mỗi đồng xu được gán một giá trị là một số nguyên dương trong tập


Chỉ có 2 bộ số thỏa mãn là và
TH1:
Có tất cả hoán vị thỏa mãn điều kiện
TH2:
Có tất cả hoán vị thỏa mãn điều kiện
Vậy có tất cả 72 cách thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 5 [1167179]: Hai bạn An và Bình cùng chơi trò chơi đánh cờ carô trên một bảng ô vuông kích thước 3x3 (gồm 9 ô trống). Luật chơi quy định An đi trước, mỗi lượt điền một dấu “X” vào một ô trống và Bình đi sau, mỗi lượt điền một dấu “O” vào một ô trống. Trò chơi kết thúc và xác định được người chiến thắng nếu người đó tạo được 3 dấu của mình nằm liên tiếp nhau trên cùng một hàng ngang, hàng dọc hoặc đường chéo. Hỏi có tất cả bao nhiêu trình tự các nước đi để ván cờ kết thúc chính xác ở nước đi thứ 5 với An là người giành chiến thắng?
Để An thắng sau 5 bước thì trình tự XO là và 3 dấu X của An phải nằm trên cùng 1 hàng, 1 cột hoặc 1 đường chéo.
Lưu ý: Vì đề bài yêu cầu tìm số “trình tự” đi tức đề cập đến thứ tự xuất hiện của từng bước đi trong ván cờ.
Trên lưới ô vuông có 3 hàng ngang, 3 hàng dọc và 2 đường chéo tức có đường để điền dấu X.
Bước 1: Chọn 1 đường để điền X: có 8 cách.
Bước 2: Sắp xếp thứ tự X: có cách.
Bước 3: Điền 2 dấu “O” vào 6 ô trống còn lại: có cách.
Vậy số trình tự An thắng là
Điền đáp án: 1440.
Câu 6 [1164061]: Hình bên phải là một máy trò chơi được đơn giản hoá. Khi thả một quả bóng từ cửa vào, bóng sẽ đi qua đúng một trong bốn vị trí Mỗi khi bóng đi qua vị trí nào thì đèn ở vị trí đó sẽ đổi trạng thái: đang tắt thì bật, đang bật thì tắt.

Ví dụ: Nếu ban đầu tất cả đèn đều tắt, thả bóng 2 lần mà cả 2 lần đều đi qua thì đèn ở sẽ bật rồi lại tắt; còn nếu lần lượt đi qua rồi thì đèn ở và đều bật.
Cứ như vậy, mỗi lần bóng đi qua thì đèn đổi trạng thái. Trò chơi kết thúc khi cả bốn đèn đều bật. Gọi xác suất để trò chơi kết thúc đúng ở lần thả bóng thứ 6 là ( là phân số tối giản). Hãy tính (Cho biết: ban đầu tất cả đèn đều tắt; tại mỗi ngã rẽ, bóng đi sang hai hướng với xác suất bằng nhau.)
Xác suất để bóng rơi vào mỗi vị trí là như nhau, mỗi vị trí có xác suất
Để đến lần thứ 6 trò chơi mới kết thúc thì phải có một vị trí nhận 3 quả bóng, và ba vị trí còn lại mỗi vị trí nhận đúng 1 quả bóng: có cách để chọn 1 vị trí nhận quả bóng 3 lần.
Giả sử nhận 3 quả, còn mỗi vị trí nhận 1 quả: số cách sắp thứ tự 6 lần thả là số hoán vị của dãy bằng
Trong đó cần loại các trường hợp mà sau 4 quả bóng thì trò chơi đã kết thúc (tức 4 quả đầu tiên lần lượt rơi vào mỗi vị trí đúng 1 quả), có 4! trường hợp.
Vì thế xác suất cần tìm là
Suy ra nên