Số cách xếp 8 học sinh vào 8 ghế trống là cách.
Gọi là biến cố “ít nhất 2 học sinh nam ngồi cạnh nhau”.
Biến cố đối là "Không có học sinh nam nào ngồi cạnh nhau".
Để không có 2 học sinh nam nào ngồi cạnh nhau ta có đúng 2 cách (Kí hiệu: B-học sinh nam, G-học sinh nữ).

Mà trong mỗi cách có cách sắp xếp (4 bạn nam và 4 bạn nữ) nên tổng số cách ở 2 cách xếp là cách.

Vậy xác suất cần tính là

Điền đáp án: 4420.

Gọi là số ở hình tam giác và 4 số ở các hình vuông lần lượt là (tính từ trái qua phải)
Điều kiện:
•
• Hai hình vuông chung cạnh phải viết số khác nhau tức , và
Trường hợp
Các số có thể chọn cho hình vuông là (có 5 số).
Số cách chọn 5 cách.
Số cách chọn 4 cách (khác ).
Số cách chọn 4 cách (khác ).
Số cách chọn 4 cách (khác ).
Số cách cách.
Trường hợp
Các số có thể chọn cho hình vuông là (có 4 số).
Tương tự, số cách: cách.
Trường hợp
Các số có thể chọn là (có 3 số).
Số cách: cách.
Trường hợp
Các số có thể chọn là (có 2 số).
Số cách: cách.
Trường hợp và không có cách nào thỏa mãn.
Vậy tổng số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 454.

Số cách xếp hai số 0 và 2 vào 9 ô (vì mỗi ô có 2 cách chọn) là

Ta xét vị trí của các số 0 để thỏa mãn điều kiện: mỗi trong 4 lưới con chỉ chứa duy nhất một số 0.
TH1: Số 0 nằm ở ô trung tâm (5): 1 cách
TH2: Số 0 nằm ở 4 ô góc (1, 3, 7, 9): 1 cách
TH3: Số 0 nằm ở các ô khác (2, 4, 6, 8)
+) Số 0 ở 2-8 hoặc 4-6: có 2 cách
+) Số 0 ở 1-3-8; 7-9-2; 1-7-6; 4-3-9: có 4 cách
Có cách thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tính là

Điền đáp án: 1536.

Mỗi dòng có tổng bằng có 2 dạng là và
Suy ra không gian mẫu có
TH1: Có hàng là
Nếu hàng 1 là thì để các cột có tổng bằng 0, hai hàng còn lại phải là đối ngẫu của nhau (ví dụ hàng 2 là thì hàng 3 phải là ).
Mỗi hàng 2 có 6 cách chọn, hàng 3 sẽ cố định theo hàng 2. Suy ra có cách.
Nếu hàng 1 và 2 là thì hàng 3 cố định là (bảng toàn 0).
Do đó có cách.
TH2: Không có hàng nào là
Hàng 1 có 6 cách xếp là hoán vị của
Ở hàng 2 không được có cột trùng với hàng 1 nên mỗi hoán vị của hàng 1 có 2 cách để xếp tương ứng ở dòng 2. Ví dụ hàng 1 là thì hàng 2 là hoặc
Khi đó hàng 3 sẽ xác định duy nhất do tổng cột bằng 0.
Do đó có cách.
Vậy xác suất để mỗi cột bằng 0 là
Giá trị của
Điền đáp án: 310.

Điền đáp án: 80.

Ta liệt kê theo 1 chu trình mở:
Chọn vị trí điền số 1 có 8 cách ( trừ H5 vì sẽ luôn có 1 và 6 ở 2 ô vuông chung cạnh)
Giả sử vị trí là điểm xuất phát
Con đường chỉ có thể kết thúc ở hoặc
Giả sử kết thúc ở :
+ Số 5 ở vị trí :
+ Số 5 ở vị trí :
+ Số 5 ở vị trí :



Có chu trình thỏa mãn
Tổng số cách cần tìm là

Nội dung kiến thức:
Toán lớp 10 (Các quy tắc tính xác suất) + Toán lớp 11 (Cấp số cộng)
Mức độ:
Vận dụng.
Lời giải chi tiết:
Số phần tử của không gian mẫu là (cách).
Gọi là biễn cố "Bạn Nam giải được mật khẩu".
Vi mỗi bộ ba số lập thành một một cãp số cộng nên
Khi đó bộ ba số phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ, ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Bộ ba số cùng chẵn.
Ta có 2 bộ ba số thỏa mãn là và
Với mỗi cách xếp một bộ ba số vào ba vị trí thì có duy nhất một số được chọn để xếp vào vị trí , một số được chọn để xễp vào vị trí , một số được chọn để xếp vào vị trí .
Số cách Nam giải được mật thư trong trường hợp này là (cách).
Trường hợp 2: Bộ ba số cùng lẻ.
Ta có 6 bộ sáu số thỏa mãn là ,
Với mỗi cách xếp một bộ ba số vào ba vị trí thì có duy nhất một số được chọn để xếp vào vị trí , một số được chọn để xếp vào vị trí , một số được chọn để xếp vào vị trí .
Số cách Nam giải được mật thư trong trường hợp này là (cách).
Xác suất để bạn Nam giải được mật thư là

Điền đáp án: 2520.

Điền đáp án: 532

Ký hiệu là Hàng 1, là Cột 8
Để lần thứ 4 đi đến ô cuối cùng thì ở lần 3 quân xe ở các ô của hoặc
Gọi các nước đi ở hoặc là Về (V), các nước đi còn lại là Đi (Đ)
Bước 1 là Đ, Bước 4 là V
TH1: ĐĐĐV
Bước 1 có 12 cách, Bước 2 có 12 cách, Bước 3 có 2 cách , Bước 4 có 1 cáchCó cách
TH2: ĐĐVV
Bước 1 có 12 cách, Bước 2 có 2 cách, Bước 3 có 6 cách , Bước 4 có 1 cáchCó cách
TH3: ĐVĐV
Bước 1 có 2 cách, Bước 2 có 7 cách, Bước 3 có 2 cách , Bước 4 có 1 cáchCó cách
TH4: ĐVVV
Bước 1 có 2 cách, Bước 2 có 6 cách, Bước 3 có 6 cách , Bước 4 có 1 cáchCó cách
Tổng số cách cần tìm là

Không gian mẫu của biến cố là:
Giả sử 4 số lấy ra bao gồm trong đó là số chính giữa và (giả sử là 3 số ở ba vòng tròn xung quanh, vì không phân biệt thứ tự nên theo yêu cầu bài toán ta có:
Ta xét các TH có thể xảy ra của số
TH1: thì không tồn tại các số thoả mãn
TH2: Ta có các bộ thoả mãn là: Có 1 bộ
TH3: Ta có các bộ thoả mãn là: Có 1 bộ
TH4: Ta có các bộ thoả mãn là: Có 3 bộ
TH5: Ta có các bộ thoả mãn là: Có 4 bộ
TH6: Ta có các bộ thoả mãn là: Có 7 bộ
Vậy xác suất của biến cố trên là: Vậy
Điền đáp án: 16.

Vì các con cờ đặt ở ô đen không tấn công được các con cờ đặt ở ô trắng nên việc đặt quân cờ vào ô đen và ô trắng là độc lập. Khi đó số cách đặt thỏa mãn điều kiện “không có bất kì quân Tượng nào có thể tấn công lẫn nhau” bằng số cách đặt cờ vào ô trắng nhân với số cách đặt cờ vào ô đen.
Nhận thấy chỉ có tối đa 3 quân tượng trên 1 loại ô do dó mỗi loại ô sẽ có đúng 3 quân Tượng.
Bước 1: Đặt 3 quân Tượng vào ô trắng (mỗi cột 1 quân)
Kí hiệu các cột như hình vẽ.

Cột 2: có 2 cách đặt (1 hoặc 4)
Cột 1: có 2 cách đặt.
Cột 3: có 1 cách đặt.
Vậy có cách đặt 3 quân tượng vào ô trắng.
Bước 2: Đặt 3 quân Tượng vào ô đen: có 4 cách (do cấu hình là như nhau).
Vậy số cách đặt thỏa mãn là cách.
Điền đáp án: 16.

Điền đáp án: 25.

Từ ô Bắt đầu có 2 cách di chuyển: đến ô số 1 hoặc ô số 3
Từ ô số 1 :
- Có 1 cách đến ô Rồng.
+ Từ ô Rồng có 4 cách đi đến ô rìa (1,3,4,6)
+ Từ ô rìa (1,3,4,6) có 3 cách di chuyển
- Có 2 cách di chuyển (đến ô Bắt đầu hoặc ô số 2)
+ Từ ô Bắt đầu có 2 cách đi chuyển đến ô rìa (1,3)
+ Từ ô rìa (1,3) có 3 cách di chuyển
Số phần tử của không gian mẫu là
Có 2 cách di chuyển để sau 4 lần ko đi qua ô Rồng và đến được ô Kho báu là
- Bắt đầu 124Kho báu
- Bắt đầu 356Kho báu
Xác suất cần tìm là

Chọn ngẫu nhiên 5 thẻ từ 15 thẻ và xếp vào 5 vị trí (có phân biệt thứ tự):
Bước 1: Chọn 1 thẻ bất kỳ đặt vào ô
Có 15 cách chọn thẻ cho ô Giả sử thẻ ở có màu xanh.
Bước 2: Chọn thẻ cho 4 ô còn lại (A, B, C, D)
Để thỏa mãn điều kiện về, thì 4 ô này phải:
• Các thẻ được chọn từ 10 thẻ gồm 5 thẻ đỏ và 5 thẻ vàng.
• Các cặp hình có chung 1 đỉnh là: A-B, D-C, B-C, A-B phải khác số. Các cặp đối diện A-C và B-D không chung đỉnh nên có thể trùng số.
Ta có 3 trường hợp sau:
TH1: Dùng 4 số khác nhau
Số cách chọn và xếp số vào 4 ô là cách.
Mỗi số lại có 2 cách chọn màu nên số cách chọn màu cho 4 số là cách.
Kết quả TH1: cách.
TH2: Dùng 3 số khác nhau
Khi đó, có 1 cặp đối diện trùng số hoặc Chọn 1 trong 2 cặp đối diện để trùng số: cách.
Chọn và xếp 1 số cho cặp trùng, 2 số cho 2 ô còn lại: cách.
Mỗi số có 2 cách chọn màu nên 3 số có cách.
Kết quả TH2: cách.
TH3: Dùng 2 số khác nhau
Khi đó và (với
Chọn và xếp 2 số từ 4 số: cách.
Mỗi số có 2 cách chọn màu nên 2 số có cách chọn màu.
Kết quả TH3: cách.
Vậy tổng số cách thuận lợi là
Suy ra xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,12.

Số cách điền ngẫu nhiên 9 số vào 9 ô là
Ta có là biến cố “Số cách xếp mà tồn tại ít nhất một hàng hoặc một cột toàn số chẵn”.
Ta sẽ tính thông qua biến cố đối.
Trường hợp 1: 4 chẵn + 5 lẻ
Bỏ 1 số chẵn để được bộ 4 chẵn + 5 lẻ: cách.
Chọn 1 hàng hoặc 1 cột để điền toàn chẵn: cách.
Xếp 3 số chẵn vào hàng/cột đó: cách.
Xếp 6 số còn lại: cách.
Số cách xếp ở TH1 là
Trường hợp 2: 5 chẵn + 4 lẻ
Bỏ 1 số lẻ để được bộ 5 chẵn + 4 lẻ: cách.
Chọn 1 hàng hoặc 1 cột để điền số chẵn: cách.
Xếp 3 số chẵn vào hàng/cột đó: cách.
Xếp 6 số còn lại vào 6 ô trống: cách.
Số cách xếp là
Nhận thấy: Vì có 5 số chẵn nên sẽ có các trường hợp có 1 cột và 1 hàng toàn chẵn. Tuy nhiên khi đếm theo cách có 1 hàng hoặc 1 cột toàn chẵn như trên thì các trường hợp này bị đếm lặp thành 2 cách. Do đó ta cần trừ đi các trường hợp trùng này.
Ví dụ: Hình dưới chỉ là một cách xếp. Nhưng theo cách đếm: 1 hàng toàn chẵn hoặc 1 cột toàn chẵn thì cách xếp này lại được tính là 2 cách.

Tính số cách trùng:
Bỏ 1 số lẻ để được bộ 5 chẵn + 4 lẻ: cách.
Chọn ra 1 cột + 1 hàng toàn chẵn: cách.
Xếp 5 số chẵn vào các cột + hàng vừa chọn: cách.
Xếp 4 số lẻ còn lại vào các ô: cách.
Số cách trùng là
Số cách xếp ở TH2 là
Suy ra
Suy ra xác suất cần tìm là
Vậy
Điền đáp án: 43.

Tập hợp độ dài dây treo là (chục ).
Số phần tử không gian mẫu
Để chiều dài dây treo của đèn ở giữa bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó thì chiều dài dây treo đèn ở các đỉnh phải cùng tính chẵn lẻ (để chiều dài dây treo tại các vị trí là một số thuộc tập ).
Hơn nữa, chiều dài các dây treo tại các vị trí phải không tạo thành cấp số cộng (vì nếu thì ).
TH1: cùng chẵn, tức thuộc tập hợp
Bỏ các bộ lập thành cấp số cộng, ta có bộ thỏa mãn là
Với mỗi bộ, có cách sắp xếp.
Khi đó trường hợp này có cách sắp xếp.
TH2: cùng lẻ, tức là thuộc tập hợp
Bỏ các bộ lập thành cấp số cộng, ta có bộ thỏa mãn là
Với mỗi bộ, có cách sắp xếp.
Khi đó trường hợp này có cách sắp xếp.
Do đó
Vậy
Điền đáp án: 7560.

Điền đáp án: 90.
Bước 1: Điền hàng thứ nhất
- Một hàng cần điền hai số 1 và hai số
- Số cách để chọn 2 vị trí cho số 1 là cách.
Bước 2: Điền hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư
Số cách điền các hàng còn lại sẽ phụ thuộc vào cách điền hàng đầu tiên.
Ta sẽ cố định một cách điền hàng thứ nhất, ví dụ
Trường hợp 1: Hàng 2 giống hệt hàng 1.
- Số cách điền hàng 2: Chỉ có 1 cách
- Khi đó, tổng của 2 hàng đầu tiên cho mỗi cột là
- Để tổng 4 hàng bằng 0, tổng của hàng 3 và hàng 4 cho mỗi cột phải là
- Điều này chỉ có thể xảy ra khi hàng 3 và hàng 4 đều là (−1,−1,1,1).
Vậy có 1 cách để hoàn thành ma trận trong trường hợp này.
Trường hợp 2: Hàng 2 có 1 số 1 trùng vị trí với hàng 1.
- Số cách điền hàng 2:
+ Chọn 1 vị trí có số 1 từ hàng 1 để giữ lại số 1 có 2 cách.
+ Chọn 1 vị trí có số từ hàng 1 để đổi thành số có 2 cách.
+ Các vị trí còn lại được xác định.
Số cách điền hàng 2 là cách. Ví dụ:
- Khi đó, tổng của 2 hàng đầu tiên cho mỗi cột là:
- Tổng của hàng 3 và hàng 4 cho mỗi cột phải là
- Hàng 3 và hàng 4 phải có 2 số 1 và 2 số
- Để tổng cột bằng 0, 2 ô ở cột 2 và 2 ô ở cột 3 phải có tổng bằng 0 (1 ô 1 và 1 ô ), có 2!=2 cách sắp xếp cho 2 ô này.
- Khi đó hàng 3 và hàng 4 cũng phải có tổng bằng 0.
Tổng số cách trong trường hợp này là
Trường hợp 3: Hàng 2 không có số 1 nào trùng vị trí với hàng 1.
- Số cách điền hàng 2 là 1 cách:
- Khi đó, tổng của 2 hàng đầu tiên cho mỗi cột đều là 0.
- Để tổng của 4 hàng bằng 0, tổng của hàng 3 và hàng 4 cho mỗi cột cũng phải bằng 0.
- Số cách điền hàng 3 là
- Hàng 4 sẽ được xác định để tổng các cột bằng 0.
Tổng số cách trong trường hợp này là 6.
Vậy tổng số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là

Giả thiết cho: “Một quả bóng sẽ rơi vào lỗ trống đầu tiên có kích thước lớn hơn hoặc bằng đường kính quả bóng”.
Mà lỗ 5 và 4 đã có quả 1 quả đường kính 5 và 1 quả đường kính 4 lọt vào nên lúc này còn lại 3 lỗ có đường kính 1, 2, 3. Do đó 3 quả bóng còn lại phải có đường kính
Bước 1: Tìm số dãy đẹp gồm 3 quả bóng có kích thước
Để 3 quả lọt hết vào các lỗ , khi sắp xếp tăng dần , điều kiện là Các bộ kích thước thỏa mãn và số hoán vị tương ứng là:
• Bộ : Có 1 dãy là
• Bộ : Có dãy.
• Bộ : Có dãy.
• Bộ : Có dãy.
• Bộ : Có dãy.
Tổng cộng có dãy đẹp cho 3 quả bóng nhỏ.
Bước 2: Chèn các quả bóng đường kính 4 và 5 vào dãy 5 quả (3 quả bóng nhỏ tạo ra 5 khoảng trống để có thể xếp quả bóng đường kính 4 và 5 vào)
Việc chèn hai quả bóng đường kính 4 và 5 bất kỳ vị trí nào trong dãy cũng không làm thay đổi tính chất "đẹp" của 3 quả bóng ban đầu.
Có 5 vị trí để đặt quả bóng đường kính 5 vào dãy.
Sau khi đặt quả bóng 5, có 4 vị trí còn lại để đặt quả bóng đường kính 4.
Số cách chèn hai quả bóng đường kính 4 và 5 là cách.
Vậy tổng số dãy đẹp khác nhau là
Điền đáp án: 320.