Câu 1 [1134413]: Cho một hình vuông có kích thước 4x4 chia thành lưới các ô vuông đơn vị. Người ta muốn chia hình vuông này thành 8 hình chữ nhật nhỏ sao cho :
- Các cạnh của mỗi hình chữ nhật phải nằm trên các đường kẻ của lưới.
- Mỗi hình chữ nhật phải có ít nhất 1 cạnh có độ dài bằng 1.
Hỏi có tổng cộng bao nhiêu cách chia như vậy?
- Các cạnh của mỗi hình chữ nhật phải nằm trên các đường kẻ của lưới.
- Mỗi hình chữ nhật phải có ít nhất 1 cạnh có độ dài bằng 1.
Hỏi có tổng cộng bao nhiêu cách chia như vậy?
Điền đáp án: 495.
Trên mỗi hàng có 3 đoạn thẳng có thể chia
Có 4 hàng nên có tất cả
đoạn thẳng
Chọn 4 đoạn thẳng bất kỳ trong 12 đoạn ta luôn có thể chia được 8 hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu đề bài nên số cách cần tìm là
Trên mỗi hàng có 3 đoạn thẳng có thể chia
Có 4 hàng nên có tất cả
đoạn thẳng
Chọn 4 đoạn thẳng bất kỳ trong 12 đoạn ta luôn có thể chia được 8 hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu đề bài nên số cách cần tìm là
Câu 2 [1134414]: Cho một lưới ô vuông kích thước 
gồm 16 ô vuông đơn vị. Chọn ngẫu nhiên 3 ô vuông khác nhau từ lưới này. Biết rằng xác suất để 3 ô được chọn tạo thành một khối liền kề (nghĩa là mỗi ô trong 3 ô đó phải chung ít nhất một cạnh với một ô khác trong nhóm) được viết dưới dạng phân số tối giản 
. Tính 
gồm 16 ô vuông đơn vị. Chọn ngẫu nhiên 3 ô vuông khác nhau từ lưới này. Biết rằng xác suất để 3 ô được chọn tạo thành một khối liền kề (nghĩa là mỗi ô trong 3 ô đó phải chung ít nhất một cạnh với một ô khác trong nhóm) được viết dưới dạng phân số tối giản . Tính
Điền đáp án: 1820.
TH1: 3 ô vuông thẳng hàng
Trên mỗi hàng hoặc cột có 2 bộ 3 ô vuông thẳng hàng
Có 
cách chọn
TH2: 3 ô vuông tạo thành chữ L
Mỗi hình vuông 2x2 có 4 nhóm chữ L
Trong hình vuông 4x4 có tất cả
hình vuông 2x2
Có 
cách chọn
Xác suất cần tìm là
TH1: 3 ô vuông thẳng hàng
Trên mỗi hàng hoặc cột có 2 bộ 3 ô vuông thẳng hàng
Có cách chọn
TH2: 3 ô vuông tạo thành chữ L
Mỗi hình vuông 2x2 có 4 nhóm chữ L
Trong hình vuông 4x4 có tất cả
hình vuông 2x2
Có cách chọn
Xác suất cần tìm là
Câu 3 [1134412]: Có 16 người tham gia một giải đấu đến từ 4 khu vực khác nhau là 
Mỗi khu vực có 4 đại diện được xếp hạng từ 1 đến 4. Ký hiệu người chơi là 
, trong đó 
là khu vực và 
là thứ hạng.
Hỏi có bao nhiêu cách chia 16 người này vào 4 nhóm khác nhau, mỗi nhóm 4 người sao cho các nhóm đều thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1. Mỗi nhóm đều có đủ 4 người từ 4 khu vực khác nhau.
2. Mỗi nhóm đều có đủ 4 người với 4 thứ hạng khác nhau.
Mỗi khu vực có 4 đại diện được xếp hạng từ 1 đến 4. Ký hiệu người chơi là , trong đó là khu vực và là thứ hạng.Hỏi có bao nhiêu cách chia 16 người này vào 4 nhóm khác nhau, mỗi nhóm 4 người sao cho các nhóm đều thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1. Mỗi nhóm đều có đủ 4 người từ 4 khu vực khác nhau.
2. Mỗi nhóm đều có đủ 4 người với 4 thứ hạng khác nhau.
Điền đáp án: 576.
Ta đưa về bài toán điền 4 hàng , 4 cột các số 1,2,3,4 sao cho không hàng, cột nào có số lặp lại
B1: Điền 1,2,3,4 vào
có 
cách
B2: Điền vào cột A có
cách
B3: Điền vào lưới 3x3
có 3 cách : 1,2,3
+)
Ta đưa về bài toán điền 4 hàng , 4 cột các số 1,2,3,4 sao cho không hàng, cột nào có số lặp lại
B1: Điền 1,2,3,4 vào
có cách
B2: Điền vào cột A có
cách
B3: Điền vào lưới 3x3
có 3 cách : 1,2,3
+)
+) 
Có 1 cách
+) 
Có 1 cách
Vậy có tất cả 
cách
Câu 4 [1134415]: Chi có 9 đồng xu cân đối và đồng chất. Chi tung các đồng xu này một cách độc lập và đặt ngẫu nhiên vào các ô của một lưới vuông kích thước 
. Gọi 
là xác suất để sau khi đặt xong, lưới vuông thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: không có hàng nào toàn mặt ngửa, không có cột nào toàn mặt sấp. Biết rằng 
được viết dưới dạng phân số tối giản 
, khi đó giá trị của 
bằng bao nhiêu?
. Gọi là xác suất để sau khi đặt xong, lưới vuông thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: không có hàng nào toàn mặt ngửa, không có cột nào toàn mặt sấp. Biết rằng được viết dưới dạng phân số tối giản , khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 1111.
Ta có:
Gọi
là biến cố: “ Có ít nhất 1 hàng toàn ngửa”
là biến cố: “ Có ít nhất 1 cột toàn sấp”
không thể xảy ra đồng thời nên 
Mỗi hàng có 1 cách điền toàn ngửa
Mỗi hàng có 
cách để hàng đó không toàn ngửa
Có 
cách để cả 3 hàng không có hàng nào toàn ngửa
Xác suất cần tìm là
Ta có:
Gọi
là biến cố: “ Có ít nhất 1 hàng toàn ngửa” là biến cố: “ Có ít nhất 1 cột toàn sấp” không thể xảy ra đồng thời nên Mỗi hàng có 1 cách điền toàn ngửa
Mỗi hàng có cách để hàng đó không toàn ngửa Có cách để cả 3 hàng không có hàng nào toàn ngửaXác suất cần tìm là
Câu 5 [1167181]: Cho tập hợp gồm 
số tự nhiên 
Chọn ngẫu nhiên 
số tự nhiên từ tập và điền vào 
ô vuông của một bảng 
như hình vẽ. Gọi 
là số cách điền thỏa mãn các số trên mỗi đường chéo theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị 
số tự nhiên Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên từ tập và điền vào ô vuông của một bảng như hình vẽ. Gọi là số cách điền thỏa mãn các số trên mỗi đường chéo theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị
Bộ ba số lập thành cấp số nhân từ tập 
là 
Ta có các nhóm cấp số nhân thỏa mãn xếp vào hai đường chéo là:
Nhóm 1:
Nhóm 2:
Nhóm 3:
Bước 1: Xếp 2 bộ 3 vào 2 đường chéo (5 ô)
TH1: Chọn 2 bộ từ nhóm 1
Chọn hai bộ cấp số nhân: 1 cách.
Xếp vào hai đường chéo: 2 cách.
Mỗi bộ có 2 cách xếp thứ tự nên 2 bộ có:
cách.
TH1 có 
cách xếp số vào 2 đường chéo thỏa mãn.
TH2: Chọn 2 bộ từ nhóm 2
Chọn hai bộ cấp số nhân:
cách.
Xếp vào hai đường chéo:
cách.
Mỗi bộ có 2 cách xếp thứ tự nên 2 bộ có:
cách.
TH2 có 
cách xếp số vào 2 đường chéo thỏa mãn.
TH3: Chọn 2 bộ từ nhóm 3
Tương tự TH1, có 8 cách xếp số vào 2 đường chéo thỏa mãn.
Tổng cộng có 
cách xếp hai đường chéo.
Bước 2: Chọn và xếp số vào 4 ô còn lại (từ 13 số còn lại): có
cách.
Vậy
Điền đáp án: 6864.
là Ta có các nhóm cấp số nhân thỏa mãn xếp vào hai đường chéo là:
Nhóm 1:
Nhóm 2:
Nhóm 3:
Bước 1: Xếp 2 bộ 3 vào 2 đường chéo (5 ô)
TH1: Chọn 2 bộ từ nhóm 1
Chọn hai bộ cấp số nhân: 1 cách.
Xếp vào hai đường chéo: 2 cách.
Mỗi bộ có 2 cách xếp thứ tự nên 2 bộ có:
cách. TH1 có cách xếp số vào 2 đường chéo thỏa mãn.TH2: Chọn 2 bộ từ nhóm 2
Chọn hai bộ cấp số nhân:
cách.Xếp vào hai đường chéo:
cách.Mỗi bộ có 2 cách xếp thứ tự nên 2 bộ có:
cách.TH2 có cách xếp số vào 2 đường chéo thỏa mãn.TH3: Chọn 2 bộ từ nhóm 3
Tương tự TH1, có 8 cách xếp số vào 2 đường chéo thỏa mãn.
Tổng cộng có cách xếp hai đường chéo.Bước 2: Chọn và xếp số vào 4 ô còn lại (từ 13 số còn lại): có
cách.Vậy
Điền đáp án: 6864.
Câu 6 [1040951]: Cho một hình vuông 
có 16 ô vuông đơn vị, ta đặt 5 đồng xu giống nhau vào các ô vuông. Gọi a là xác suất 5 đồng xu đặt vào thỏa mãn không có hai đồng xu nào được đặt vào các ô vuông kề nhau (kể cả hàng ngang và hàng dọc) và mỗi hàng phải có ít nhất 1 đồng xu. Tính 
có 16 ô vuông đơn vị, ta đặt 5 đồng xu giống nhau vào các ô vuông. Gọi a là xác suất 5 đồng xu đặt vào thỏa mãn không có hai đồng xu nào được đặt vào các ô vuông kề nhau (kể cả hàng ngang và hàng dọc) và mỗi hàng phải có ít nhất 1 đồng xu. Tính
Điền đáp án: 1456.
TH1: Hàng 1 hoặc hàng 4 có 2 đồng xu
- Có 2 cách chọn hàng cho 2 đồng xu
- Có 3 cách để đặt 2 đồng xu trên hàng đó, giả sử ta đặt trên hàng 1
- Có 2 cách chọn đồng xu ở hàng 2
- Có
cách đặt 2 đồng xu vào 2 hàng còn lại.
Có tất cả 
cách đặt
TH2: Hàng 2 hoặc hàng 3 có 2 đồng xu
- Có 2 cách chọn hàng cho 2 đồng xu
- Có 3 cách để đặt 2 đồng xu trên hàng đó, giả sử ta đặt trên hàng 2
- Có
cách đặt đồng xu ở hàng 1 và 3
- Có 3 cách đặt đồng xu vào hàng cuối.
Có tất cả 
cách đặt
Vậy xác suất cần tìm là
TH1: Hàng 1 hoặc hàng 4 có 2 đồng xu
- Có 2 cách chọn hàng cho 2 đồng xu
- Có 3 cách để đặt 2 đồng xu trên hàng đó, giả sử ta đặt trên hàng 1
- Có 2 cách chọn đồng xu ở hàng 2
- Có
cách đặt 2 đồng xu vào 2 hàng còn lại.Có tất cả cách đặtTH2: Hàng 2 hoặc hàng 3 có 2 đồng xu
- Có 2 cách chọn hàng cho 2 đồng xu
- Có 3 cách để đặt 2 đồng xu trên hàng đó, giả sử ta đặt trên hàng 2
- Có
cách đặt đồng xu ở hàng 1 và 3- Có 3 cách đặt đồng xu vào hàng cuối.
Có tất cả cách đặtVậy xác suất cần tìm là
Câu 7 [1167190]: Cho một hình bát giác đều 
nội tiếp trong một đường tròn tâm 
như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên 
vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất để thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là 
(
là phân số tối giản). Giá trị của 
bằng bao nhiêu?
nội tiếp trong một đường tròn tâm như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất để thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là ( là phân số tối giản). Giá trị của bằng bao nhiêu?
Số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của bát giác đều đã cho là 
Gọi
là biến cố: "Chọn được tam giác vuông".
Gọi
là biến cố: "Ba số lập thành cấp số cộng".
Yêu cầu bài toán: Tính
(vì hai biến cố 
và 
độc lập).
Bước 1: Tính
Nhận xét: Một tam giác là tam giác vuông khi có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
và đỉnh còn lại khác với hai đỉnh của đường kính đó.
Bát diện đều có
đường chéo là đường kính của đường tròn 
Với mỗi đường kính, ta chọn 1 trong 6 đỉnh còn lại để tạo thành tam giác vuông: 
Bước 2: Tính
Lưu ý: Vì đề yêu cầu “ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng” nên việc hoán vị bộ 3 số tạo thành CSC đó không tạo nên trường hợp mới.
Xét các bộ số có công sai
:
Với
: Có 6 bộ 
Với
: Có 4 bộ 
Với
: Có 2 bộ 
Vậy xác suất thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là
Gọi
là biến cố: "Chọn được tam giác vuông".
Gọi
là biến cố: "Ba số lập thành cấp số cộng".
Yêu cầu bài toán: Tính
(vì hai biến cố và độc lập).
Bước 1: Tính
Nhận xét: Một tam giác là tam giác vuông khi có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
và đỉnh còn lại khác với hai đỉnh của đường kính đó.
Bát diện đều có
đường chéo là đường kính của đường tròn Với mỗi đường kính, ta chọn 1 trong 6 đỉnh còn lại để tạo thành tam giác vuông:
Bước 2: Tính
Lưu ý: Vì đề yêu cầu “ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng” nên việc hoán vị bộ 3 số tạo thành CSC đó không tạo nên trường hợp mới.
Xét các bộ số có công sai
:
Với
: Có 6 bộ
Với
: Có 4 bộ
Với
: Có 2 bộ
Vậy xác suất thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là
Câu 8 [1134416]: Một nghệ nhân muốn lát gạch cho một mảng tường hình vuông kích thước 
trong một ngôi chùa cổ. Ông có trong tay 9 viên gạch gốm kích thước 
, bao gồm: 3 viên màu trắng, 3 viên màu xanh lá và 3 viên màu đỏ. Để mảng tường có tính thẩm mỹ và cân bằng về phong thủy, nghệ nhân quy định rằng: trên mỗi hàng ngang và mỗi cột dọc, các viên gạch phải có màu khác nhau đôi một. Vị nghệ nhân đó có bao nhiêu cách sắp xếp các viên gạch để hoàn thành mảng tường đúng theo quy định trên?
trong một ngôi chùa cổ. Ông có trong tay 9 viên gạch gốm kích thước , bao gồm: 3 viên màu trắng, 3 viên màu xanh lá và 3 viên màu đỏ. Để mảng tường có tính thẩm mỹ và cân bằng về phong thủy, nghệ nhân quy định rằng: trên mỗi hàng ngang và mỗi cột dọc, các viên gạch phải có màu khác nhau đôi một. Vị nghệ nhân đó có bao nhiêu cách sắp xếp các viên gạch để hoàn thành mảng tường đúng theo quy định trên?
Điền đáp án: 12.
Gọi 1, 2, 3 lần lượt là màu trắng, xanh, đỏ
Điền 1, 2, 3 vào mỗi hàng và mỗi cột
B1: Điền 1,2, 3 vào
có 
cách
B2: Điền 2 số vào
có 
cách
B3: Điền 4 số còn lại
Giả sử
Có 1 cách điền các số còn lại
Vậy có tất cả
cách
Gọi 1, 2, 3 lần lượt là màu trắng, xanh, đỏ
Điền 1, 2, 3 vào mỗi hàng và mỗi cột
B1: Điền 1,2, 3 vào
có cách
B2: Điền 2 số vào
có cách
B3: Điền 4 số còn lại
Giả sử
Có 1 cách điền các số còn lại
Vậy có tất cả
cách
Câu 9 [1153776]: [Đề thi Sở Hà Nội]: Người ta trang trí một bảng ô vuông 
(như hình 1) bởi các ngôi sao và các bông hoa giống nhau. Mỗi ô vuông nhỏ được dán một ngôi sao hoặc một bông hoa, sao cho trong mỗi hàng và mỗi cột của bảng ô vuông đều có 2 ngôi sao và 2 bông hoa (tham khảo một cách dán trong hình 2). Có tất cả bao nhiêu cách trang trí bảng ô vuông thỏa mãn yêu cầu trên?
(như hình 1) bởi các ngôi sao và các bông hoa giống nhau. Mỗi ô vuông nhỏ được dán một ngôi sao hoặc một bông hoa, sao cho trong mỗi hàng và mỗi cột của bảng ô vuông đều có 2 ngôi sao và 2 bông hoa (tham khảo một cách dán trong hình 2). Có tất cả bao nhiêu cách trang trí bảng ô vuông thỏa mãn yêu cầu trên?
Kí hiệu: ngôi sao là 1 và bông hoa là 0.
Mỗi hàng có số cách dán 2 ngôi sao và 2 bông hoa là
cách.
Tương ứng với 6 cách này, có 6 mẫu hàng. Chia 6 mẫu hàng này thành 3 cặp đối lập như sau:
Cặp 1:
và 
Cặp 2:
và 
Cặp 3:
và 
Để tổng mỗi cột của bảng bằng 2, bốn hàng của bảng phải được tạo thành từ việc chọn ra hai cặp đối lập. Có 2 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Bốn hàng được chọn từ cùng một cặp đối lập
Trong trường hợp này, mỗi mẫu hàng trong cặp đã chọn sẽ xuất hiện đúng 2 lần.
Số cách chọn một cặp từ 3 cặp: 3 cách.
Với mỗi cách chọn, số hoán vị của 4 hàng (trong đó có 2 cặp hàng giống nhau) là
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH1 là 
cách.
Trường hợp 2: Bốn hàng được chọn từ hai cặp đối lập khác nhau
Trong trường hợp này, mỗi mẫu hàng trong hai cặp được chọn xuất hiện đúng 1 lần.
Số cách chọn ra 2 cặp:
cách.
Với mỗi cách chọn, ta có 4 hàng đôi một khác nhau nên số hoán vị là
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH2 là 
cách.
Vậy tổng số cách trang trí bảng thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 90.
Mỗi hàng có số cách dán 2 ngôi sao và 2 bông hoa là
cách.
Tương ứng với 6 cách này, có 6 mẫu hàng. Chia 6 mẫu hàng này thành 3 cặp đối lập như sau:
Cặp 1:
và
Cặp 2:
và
Cặp 3:
và
Để tổng mỗi cột của bảng bằng 2, bốn hàng của bảng phải được tạo thành từ việc chọn ra hai cặp đối lập. Có 2 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Bốn hàng được chọn từ cùng một cặp đối lập
Trong trường hợp này, mỗi mẫu hàng trong cặp đã chọn sẽ xuất hiện đúng 2 lần.
Số cách chọn một cặp từ 3 cặp: 3 cách.
Với mỗi cách chọn, số hoán vị của 4 hàng (trong đó có 2 cặp hàng giống nhau) là
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: Bốn hàng được chọn từ hai cặp đối lập khác nhau
Trong trường hợp này, mỗi mẫu hàng trong hai cặp được chọn xuất hiện đúng 1 lần.
Số cách chọn ra 2 cặp:
cách.
Với mỗi cách chọn, ta có 4 hàng đôi một khác nhau nên số hoán vị là
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH2 là cách.
Vậy tổng số cách trang trí bảng thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 90.
Câu 10 [1040424]: Vương đưa ra cho con trai của anh ấy một câu đố như sau: trong một ma trận 
điền 9 số tự nhiên từ 1 đến 9 thỏa mãn hai điều kiện:
∎ Tổng của mỗi hàng, mỗi cột và tổng của 3 ô chéo nhau là bằng nhau.
∎ Các số điền vào là các số đôi một khác nhau.
Số cách mà con trai anh Vương điền vào ma trận bằng bao nhiêu?
điền 9 số tự nhiên từ 1 đến 9 thỏa mãn hai điều kiện: ∎ Tổng của mỗi hàng, mỗi cột và tổng của 3 ô chéo nhau là bằng nhau.
∎ Các số điền vào là các số đôi một khác nhau.
Số cách mà con trai anh Vương điền vào ma trận bằng bao nhiêu?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Ta có:
(1)
Tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau nên tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng 15
(2)
Tìm các cặp số có tổng bằng 10:
TH1:
nằm trên đường chéo
Không tồn tại 
TH2:
nằm trên cột hoặc hàng
Chọn
có 2 cách
Với
Vậy có tất cả
cách sắp xếp.
Điền đáp án: 8
Mức độ: Vận dụng (8+).
Ta có:
(1)Tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau nên tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng 15
(2)Tìm các cặp số có tổng bằng 10:
TH1:
nằm trên đường chéo
Không tồn tại TH2:
nằm trên cột hoặc hàng
Chọn
có 2 cách
Với
Vậy có tất cả
cách sắp xếp.
Điền đáp án: 8
Câu 11 [1093123]: Bạn Dũng chơi một trò chơi giải đố, Dũng được đưa 9 đồng xu và yêu cầu đặt trên các đỉnh của một hình đa giác đều có 9 cạnh. Mỗi đồng xu được gán một giá trị là một số nguyên dương trong tập 
và mỗi giá trị chỉ được dùng một lần. Dũng vượt qua được thử thách nếu gán giá trị cho các đồng xu sao cho với mỗi tam giác đều có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên, tổng các giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh tam giác đó là bằng nhau. Có bao nhiêu cách để bạn Dũng vượt qua trò chơi trên?
và mỗi giá trị chỉ được dùng một lần. Dũng vượt qua được thử thách nếu gán giá trị cho các đồng xu sao cho với mỗi tam giác đều có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên, tổng các giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh tam giác đó là bằng nhau. Có bao nhiêu cách để bạn Dũng vượt qua trò chơi trên?
Công thức nhanh: Đa giác đều có 
đỉnh có 
tam giác đều.
Suy ra đa giác đều có 9 cạnh tức có
đỉnh có 
tam giác đều.
Tổng giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh của 3 tam giác bằng
Vì tổng các giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh của 3 tam giác là bằng nhau nên tổng các giá trị của 3 đồng xu của mỗi tam giác phải bằng
Thử các trường hợp, ta được 2 bộ ba tam giác thỏa mãn là
Bộ 1:
Bộ 2:
Số cách sắp xếp bộ 1 là
Bước 1: Hoán vị các đỉnh trong 1 tam giác:
Bước 2: Hoán vị 3 tam giác với nhau:
Suy ra số cách sắp xếp bộ 1 là
cách.
Tương tự, số cách sắp xếp của bộ 2 cũng bằng 1296 cách.
Vậy số cách để bạn Dũng vượt qua trò chơi trên bằng
cách.
Điền đáp án: 2592.
đỉnh có tam giác đều.
Suy ra đa giác đều có 9 cạnh tức có
đỉnh có tam giác đều.
Tổng giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh của 3 tam giác bằng
Vì tổng các giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh của 3 tam giác là bằng nhau nên tổng các giá trị của 3 đồng xu của mỗi tam giác phải bằng
Thử các trường hợp, ta được 2 bộ ba tam giác thỏa mãn là
Bộ 1:
Bộ 2:
Số cách sắp xếp bộ 1 là
Bước 1: Hoán vị các đỉnh trong 1 tam giác:
Bước 2: Hoán vị 3 tam giác với nhau:
Suy ra số cách sắp xếp bộ 1 là
cách.
Tương tự, số cách sắp xếp của bộ 2 cũng bằng 1296 cách.
Vậy số cách để bạn Dũng vượt qua trò chơi trên bằng
cách.
Điền đáp án: 2592.
Câu 12 [1131406]: Một con mã đang được đặt ở vị trí chính giữa tâm ô vuông 
trong bàn cờ vua. thầy Nghĩa di chuyển con mã 
bước để sau 
bước đó quân mã quay trở lại vị trí ban đầu với điều kiện 
bước đi không trùng nhau. Mỗi bước di chuyển thầy Nghĩa đều đặt con mã ở các điểm chính giữa tâm ô vuông đó (
điểm đặt con mã sau 
bước được xem là 
điểm ở tâm ô vuông con mã đi đến). Xác suất đường đi của con mã có 
điểm đặt đó là 
đỉnh của hình vuông có dạng 
(là phân số tối giản, 
). Tính 
Cách di chuyển quân mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật
ô vuông (hoặc 
ô vuông).
trong bàn cờ vua. thầy Nghĩa di chuyển con mã bước để sau bước đó quân mã quay trở lại vị trí ban đầu với điều kiện bước đi không trùng nhau. Mỗi bước di chuyển thầy Nghĩa đều đặt con mã ở các điểm chính giữa tâm ô vuông đó ( điểm đặt con mã sau bước được xem là điểm ở tâm ô vuông con mã đi đến). Xác suất đường đi của con mã có điểm đặt đó là đỉnh của hình vuông có dạng (là phân số tối giản, ). Tính Cách di chuyển quân mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật
ô vuông (hoặc ô vuông).
Gọi 
là biến cố: “đường đi của con mã có 
điểm đặt đó là 
đỉnh của hình vuông”
Đặt hệ trục tọa độ
với gốc tọa độ là nơi con mã đang đứng.
Mỗi lần di chuyển con mã chọn một trong 8 vectơ để đi: tọa độ các vectơ nó là:
Gọi 4 bước di chuyển tương ứng với 4 vectơ
Con mã di chuyển về vị trí ban đầu ứng với
Chọn
: 8 cách.
Chọn
(không cùng phương 
): 6 cách.
Chọn
: 1 cách.
Chọn
: 1 cách.
Vậy có
cách đi.
Tuy nhiên có 4 trường hợp con mã đi ra khỏi bàn cờ (vị trí vòng tròn đỏ) nên chỉ còn lại 44 cách di chuyển sau 4 nước về lại vị trí ban đầu.
Suy ra
•Để đường đi của con mã có
điểm đặt đó là 
đỉnh của hình vuông thì 
Do đó:
Chọn
: 8 cách.
Chọn
vuông góc với 
: 2 cách.
Chọn
: 1 cách.
Chọn
: 1 cách.
Suy ra số cách của con mã có
điểm đặt đó là 
đỉnh của hình vuông là 16 cách.
Do đó:
Vậy
là biến cố: “đường đi của con mã có điểm đặt đó là đỉnh của hình vuông”
Đặt hệ trục tọa độ
với gốc tọa độ là nơi con mã đang đứng.
Mỗi lần di chuyển con mã chọn một trong 8 vectơ để đi: tọa độ các vectơ nó là:
Gọi 4 bước di chuyển tương ứng với 4 vectơ
Con mã di chuyển về vị trí ban đầu ứng với
Chọn
: 8 cách.
Chọn
(không cùng phương ): 6 cách.
Chọn
: 1 cách.
Chọn
: 1 cách.
Vậy có
cách đi.
Tuy nhiên có 4 trường hợp con mã đi ra khỏi bàn cờ (vị trí vòng tròn đỏ) nên chỉ còn lại 44 cách di chuyển sau 4 nước về lại vị trí ban đầu.
Suy ra
•Để đường đi của con mã có
điểm đặt đó là đỉnh của hình vuông thì Do đó:
Chọn
: 8 cách.
Chọn
vuông góc với : 2 cách.
Chọn
: 1 cách.
Chọn
: 1 cách.
Suy ra số cách của con mã có
điểm đặt đó là đỉnh của hình vuông là 16 cách.
Do đó:
Vậy
Câu 13 [1153772]: [Đề thi thử Sở Sơn La]: Cho hình vẽ bên gồm 4 tam giác. Người ta chọn 3 số phân biệt từ tập hợp 
để xếp vào 3 tam giác ở 3 góc. Sau đó, tính tổng bình phương của 3 số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho 5?
để xếp vào 3 tam giác ở 3 góc. Sau đó, tính tổng bình phương của 3 số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho 5?
Bước 1: Phân loại các số trong tập 
theo số dư của bình phương khi chia cho 5
Xét một số
ta có các trường hợp số dư của 
khi chia cho 5:
• Nếu
• Nếu 
• Nếu
Từ đó, ta chia tập
thành 3 tập hợp con dựa trên số dư của 
cho 5:
Tập
(bình phương chia hết cho 5): Gồm các số chia hết cho 5.
số.
Tập
(bình phương chia cho 5 dư 1): Gồm các số chia cho 5 dư 1 hoặc 4.
Số chia 5 dư 1:
(6 số).
Số chia 5 dư 4:
(5 số).
số.
Tập
(bình phương chia cho 5 dư 4): Gồm các số chia cho 5 dư 2 hoặc 3.
Số chia 5 dư 2:
(5 số).
Số chia 5 dư 3:
(5 số).
số.
Bước 2: Tìm các bộ 3 số
sao cho tổng bình phương chia hết cho 5
Để
(với các số dư tương ứng là 0, 1, 4), ta có 2 trường hợp thỏa mãn:
Trường hợp 1: Cả 3 số đều thuộc tập
(số dư là 
).
Số cách chọn 3 số từ tập
: 
Trường hợp 2: Mỗi số thuộc một tập khác nhau A, B, C (số dư là 0+1+4 = 5).
Số cách chọn:
Bước 3: Tính tổng số cách xếp
Với mỗi bộ 3 số được chọn, ta có 3! cách xếp vào 3 vị trí ở góc tam giác.
Tổng số cách xếp là:
Vậy có 3360 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
theo số dư của bình phương khi chia cho 5
Xét một số
ta có các trường hợp số dư của khi chia cho 5:
• Nếu
• Nếu
• Nếu
Từ đó, ta chia tập
thành 3 tập hợp con dựa trên số dư của cho 5:
Tập
(bình phương chia hết cho 5): Gồm các số chia hết cho 5.
số.
Tập
(bình phương chia cho 5 dư 1): Gồm các số chia cho 5 dư 1 hoặc 4.
Số chia 5 dư 1:
(6 số).
Số chia 5 dư 4:
(5 số).
số.
Tập
(bình phương chia cho 5 dư 4): Gồm các số chia cho 5 dư 2 hoặc 3.
Số chia 5 dư 2:
(5 số).
Số chia 5 dư 3:
(5 số).
số.
Bước 2: Tìm các bộ 3 số
sao cho tổng bình phương chia hết cho 5
Để
(với các số dư tương ứng là 0, 1, 4), ta có 2 trường hợp thỏa mãn:
Trường hợp 1: Cả 3 số đều thuộc tập
(số dư là ).
Số cách chọn 3 số từ tập
:
Trường hợp 2: Mỗi số thuộc một tập khác nhau A, B, C (số dư là 0+1+4 = 5).
Số cách chọn:
Bước 3: Tính tổng số cách xếp
Với mỗi bộ 3 số được chọn, ta có 3! cách xếp vào 3 vị trí ở góc tam giác.
Tổng số cách xếp là:
Vậy có 3360 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14 [1040417]: Có bao nhiêu cách điền để độ dài cạnh của tam giác bằng 9?
Điền đáp án: 6.
Ta có:
(1)
Vì 6 chữ số trên là 6 chữ số khác nhau thuộc tập
(2)
Từ (1) và (2)
Mà
Tập các giá trị của 
là các hoán vị của các số trong tập 
Ta có:
Mỗi giá trị của 
đều xác định duy nhất 1 giá trị của 
Có 
khả năng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta có:
(1)
Vì 6 chữ số trên là 6 chữ số khác nhau thuộc tập
(2)
Từ (1) và (2)
Mà
Tập các giá trị của là các hoán vị của các số trong tập
Ta có:
Mỗi giá trị của đều xác định duy nhất 1 giá trị của
Có khả năng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 15 [1076037]: Cho một hình vuông có kích thước 
gồm 16 ô vuông đơn vị có kích thước 
Gọi S là tập hợp tất cả các đỉnh của các ô vuông đơn vị. Có bao nhiêu cách để chọn được 3 điểm trong tập S mà 3 điểm đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2?
gồm 16 ô vuông đơn vị có kích thước Gọi S là tập hợp tất cả các đỉnh của các ô vuông đơn vị. Có bao nhiêu cách để chọn được 3 điểm trong tập S mà 3 điểm đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2?