Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1134234]: Bài toán: Tô màu các miền (hoặc các đỉnh) sao cho hai miền kề nhau không cùng màu.

Phương pháp: "Quy tắc Dầu Loang"
• Thứ tự ưu tiên: Luôn bắt đầu từ miền giáp với nhiều miền khác nhất.
• Đếm lựa chọn: Điền số cách chọn màu vào từng miền theo thứ tự đã chọn.
Xử lý nút thắt: Nếu một miền kề với hai miền đã tô mà chưa biết hai miền đó giống hay khác màu nhau Phải chia trường hợp.
Câu 2 [1134235]: Cho một hàng ngàng có 4 ô, có bao nhiêu cách tô ba màu xanh, đỏ, vàng vào mỗi ô vuông sao cho không có hai ô vuông nào kề nhau cùng màu?
Kí hiệu các ô như hình.

Điều kiện: Sử dụng 3 màu khác nhau tô sao cho không có 2 ô vuông nào kề nhau cùng màu.
Ô số 1: có 3 cách tô.
Ô số 2: có 2 cách tô (vì khác màu với ô 1).
Ô số 3: có 2 cách tô (khác màu với ô 2).
Ô số 4: có 2 cách tô (khác màu với ô 3).
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 24.
Câu 3 [1134236]: Cho một bản đồ gồm 6 vùng khác nhau (được ký hiệu từ A đến F như hình vẽ). Bạn có 5 hộp sơn với các màu khác nhau hoàn toàn. Hãy tính số cách tô màu bản đồ này sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:
• Sử dụng hết cả 5 màu: Mỗi màu đều phải được xuất hiện trên bản đồ.
• Quy tắc phân bổ: Có đúng 1 màu được dùng để tô cho 2 vùng kề nhau, 4 màu còn lại, mỗi màu chỉ được dùng để tô cho đúng 1 vùng.
• Định nghĩa kề nhau: Hai vùng được coi là kề nhau nếu chúng có chung đường biên giới (dù chỉ là một đoạn nhỏ).
Từ hình vẽ, ta thấy có tất cả 9 cặp vùng kề nhau là
Với mỗi trường hợp chọn 2 vùng kề nhau: Ta coi 2 vùng kề nhau là một khối
Khi đó, bài toán trở thành tô 5 đối tượng là và 4 vùng khác: có cách.
Vậy tổng số cách tô màu là
Điền đáp án: 1080.
Câu 4 [1134237]: Có 5 phần khác nhau 1, 2, 3, 4, 5 của một con thuyền giấy như hình vẽ. Bạn muốn tô màu chúng bằng 7 màu khác nhau. Bạn có thể dùng lại màu đã dùng, nhưng hai phần tiếp giáp nhau (có chung một phần đường biên) phải được tô bằng hai màu khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu?
Dựa vào hình vẽ, ta xác định các mối liên hệ:
• Phần 4 tiếp giáp với nhiều phần nhất: 1, 2, 3, 5.
• Phần 1 tiếp giáp với: 2, 4, 5.
• Phần 2 tiếp giáp với: 1, 4, 3.
• Phần 3 tiếp giáp với: 2, 4.
• Phần 5 tiếp giáp với: 1, 4.
Ta nên bắt đầu từ phần tiếp giáp nhiều nhất để dễ kiểm soát:
Bước 1: Tô phần 4: Có 7 cách chọn màu (do có 7 màu khác nhau).
Bước 2: Tô phần 1 (Phải khác màu phần 4): Có 6 cách chọn màu.
Bước 3: Tô phần 2 (Phải khác màu phần 1 và 4): Có 5 cách chọn màu.
Bước 4: Tô phần 3 (Phải khác màu phần 2 và 4): Có 5 cách chọn màu.
Bước 5: Tô phần 5 (Phải khác màu phần 1 và 4): Có 5 cách chọn màu.
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 5250.
Câu 5 [1134238]: Cho một vùng cố định được chia thành các khu vực khác nhau như hình vẽ, có bao nhiêu cách tô các màu xanh, đỏ, vàng, đen vào mỗi ô vuông trong hình, sao cho mỗi ô vuông được tô bởi một màu và bất kì hai ô vuông nào có chung cạnh được tô bởi hai màu khác nhau?
Note: Nên tô ô tiếp giáp với nhiều vùng trước nhất.
Bài toán: Dùng 4 màu khác nhau để tô màu các ô sao cho không có hai ô nào chung cạnh cùng màu.
Đánh số các ô như hình vẽ.

Ô 4: Có 4 cách tô.
Ô 2 và 6: Mỗi ô có 3 cách tô (vì đều phải khác màu ô 4). Nên số cách tô màu ô 2 và 6 là
Khi đó các ô 1, 3, 5, 7 (là các ô chỉ chung cạnh với duy nhất 1 ô) mỗi ô có 3 cách tô.
Số cách tô màu ô 1, 3, 5, 7 là
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 2916.
Câu 6 [1134239]: Bài Toán: Tô màu đỉnh của đa giác bằng màu khác nhau sao cho mỗi đỉnh tô một màu và không có hai đỉnh kề nhau nào tô cùng màu.
Phương pháp 1: Chia trường hợp (Dành cho bài toán ít cạnh như hình tứ giác)
Để dễ hình dung ta xét

Bước 1: Tô màu cho 2 đỉnh đầu tiên ( và )
• Đỉnh : Có cách chọn màu.
• Đỉnh : Vì kề với nên nên có cách chọn.
Bước 2: Tô màu cho đỉnh C
Đỉnh kề với nên chắc chắn Ta chia làm 2 trường hợp:
Trường hợp 1: cùng màu với
+ Số cách chọn màu cho đỉnh : Chỉ có 1 cách (chọn đúng màu của ).
+ Số cách chọn màu cho đỉnh : cách.
Trường hợp 2: có màu khác
+ Số cách chọn màu cho đỉnh C là cách (khác và )
+ Số cách chọn màu cho đỉnh : cách (khác và )
Vậy bước 2 có cách.
Kết luận: số cách tô k màu cho một tứ giác là
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp truy hồi
Khi số cạnh lớn việc chia nhánh sẽ rất rối. Ta dùng:
Công thức: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng k màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Lưu ý: Đây là công thức mở rộng, dành cho học sinh chuyên toán, học sinh tham gia các kì thi đánh giá năng lực, học sinh giỏi các cấp. Học sinh chỉ thi tốt nghiệp phổ thông tham khảo thêm. Phần chứng minh công thức sẽ được học chi tiết trong bài “Phương pháp đếm bằng công thức truy hồi”.
Câu 7 [1134240]: Cho hình vuông có bao nhiêu cách tô màu các đỉnh hình vuông trên bằng 6 màu khác nhau sao cho mỗi đỉnh chỉ được tô bằng 1 màu và không có 2 đỉnh liên tiếp nào được tô cùng một màu?
Cách 1: Sử dụng công thức tính nhanh: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Bài này có nên số cách tô màu thỏa mãn là
Cách 2: Trình bày tự luận
Bước 1: Tô màu cho 2 đỉnh đầu tiên
Đỉnh có 6 cách.
Đỉnh có 5 cách.
Bước 2: Tô màu 2 đỉnh còn lại
Nhận thấy: và cùng màu hay khác màu thì có cách tô màu khác nhau, nên ta sẽ chia thành 2 trường hợp:
Trường hợp 1: và cùng màu
Đỉnh có 1 cách.
Đỉnh (lúc này chỉ cần trừ ra 1 màu mà và đã dùng): có 5 cách.
Số cách tô và là cách.
Trường hợp 2: và khác màu
Đỉnh có 4 cách (vì khác màu và
Đỉnh (lúc này phải khác và có 4 cách.
Số cách tô và là cách.
Tổng số cách tô 2 đỉnh và là
Vậy tổng số cách tô thỏa mãn là cách.
Điền đáp án: 630.
Câu 8 [1134241]: Một hình vuông được chia thành tám tam giác vuông cân bằng nhau được đánh số từ 1 đến 8 như hình vẽ. Có bao nhiêu cách tô các màu xanh, đỏ, tím, vàng vào mỗi ô vuông trong hình, sao cho mỗi tam giác vuông được tô bởi một màu và bất kì hai tam giác vuông nào có chung cạnh được tô bởi hai màu khác nhau?
Bước 1: Tô màu cụm trung tâm (1, 2, 3, 4)
Cách 1: Sử dụng công thức tính nhanh: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Số cách tô màu với là
Cách 2:
Ô 1: có 4 cách tô.
Ô 2: có 3 cách tô.
Trường hợp 1: Ô 1 và ô 3 cùng màu
Ô 3: có 1 cách tô.
Ô 4: có 3 cách tô (khác với 1 màu đã tô cho cả ô 1 và 3).
cách tô màu.
Trường hợp 2: Ô 1 và ô 3 khác màu
Ô 3: có 2 cách tô (khác màu với ô 1 và 2).
Ô 4: có 2 cách tô (khác với 2 màu đã tô ô 1 và 3).
cách tô màu.
Số cách tô màu ô 1 và 3 là
Tổng cách tô màu cụm trung tâm là cách.
Bước 2: Tô màu các ô lớp ngoài (5, 6, 7, 8)
Mỗi ô 5, 6, 7, 8 chỉ tiếp giáp với đúng 1 tam giác nên mỗi ô này đều có 3 cách tô.
Số cách tô màu các ô 5, 6, 7, 8 là
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 6804.
Câu 9 [1134242]: Cho hình lục giác 4 đường chéo chia hình lục giác trên thành 6 tam giác phân biệt (tham khảo hình vẽ). Có bao nhiêu cách tô các màu vàng, nâu, hồng, tím vào mỗi tam giác trong hình, sao cho mỗi mỗi tam giác được tô bởi một màu và có ít nhất một cặp tam giác có chung cạnh được tô cùng một màu?
Đánh số các tam giác như hình vẽ.

Yêu cầu bài toán: Dùng 4 màu khác nhau tô 6 tam giác này sao cho có ít nhất 1 cặp tam giác có chung cạnh tô cùng màu.
Số cách tô thỏa mãn = Tổng cách tô – Số vi phạm (tô màu sao cho không có tam giác nào có chung cạnh tô cùng màu).
Mỗi tam giác có 4 cách tô màu bất kì nên tổng số cách tô là
Tiếp đến ta tính số cách tô màu vi phạm.
Bước 1: Tô 4 tam giác 1, 2, 3, 4
Sử dụng công thức tính nhanh: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Với số cách tô màu là
Bước 2: Tô màu tam giác 5, 6
Mỗi tam giác đều chỉ có chung cạnh với 1 tam giác nên mỗi tam giác này có 3 cách tô.
Số cách tô màu ô 5, 6 là
Số cách tô màu vi phạm là
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 3340.
Câu 10 [1134243]: Có 6 hình vuông có kích thước bằng nhau được đánh số tự nhiên từ 1 đến 6 như hình vẽ. Sử dụng một trong 4 màu khác nhau để tô vào mỗi hình vuông sao cho hai hình vuông có chung cạnh phải được tô bằng hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu?
Bước 1: Tô 4 ô vuông 1, 2, 4, 5
Sử dụng công thức tính nhanh: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Với ta có số cách tô màu thỏa mãn là
Bước 2: Tô 2 ô vuông 3, 6
TH1: Ô 3 cùng màu với ô 5
Ô 3: 1 cách.
Ô 6: 3 cách. Có cách tô màu ô 1, 3.
TH2: Ô 3 khác màu với ô 5
Ô 3 (khác màu với 2 ô 2 và 5): 2 cách.
Ô 6 (khác màu với 2 ô 3 và 5): 2 cách.
Có cách tô màu ô 1, 3.
Có tổng cộng cách tô màu ô 1, 3.
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 588.
Câu 11 [1134244]: Cho một hình vuông được chia thành 5 phần A, B, C, D, E như hình vẽ. Bạn Dũng có 5 màu khác nhau và tô ngẫu nhiên 1 một cho các vùng của hình vuông, mỗi vùng chỉ được tô một màu. Biết rằng xác suất để bạn Dũng tô các vùng thỏa mãn “với mỗi hai vùng tiếp xúc nhau được tô bởi hai màu khác nhau”, được viết dưới dạng phân số tối giản Giá trị của bằng bao nhiêu?
Mỗi vùng có 5 cách tô màu bất kì nên tổng số cách tô màu (bất kì) là
Tiếp đến, ta tính số cách tô màu thỏa mãn điều kiện: Mỗi hai vùng tiếp xúc nhau được tô bởi hai màu khác nhau.
Để dễ dàng, ta tô ô tiếp giáp với nhiều vùng nhất.
Bước 1: Tô vùng A: có 5 cách.
Bước 2: Tô 4 vùng B, C, D, E
Vì 4 vùng B, C, D, E phải khác màu vùng A nên ta dùng 4 màu còn lại để tô 4 vùng này.
Sử dụng công thức tính nhanh: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Với số cách tô màu 4 vùng này thỏa mãn là
Số cách tô màu thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tìm là