Bước 1: Tô màu các ô 2, 3, 4, 5
Sử dụng công thức tính nhanh: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Với số cách tô màu 4 ô này thỏa mãn là
Bước 2: Tô màu ô 1: Vì ô 1 chỉ tiếp giáp với đúng ô 2 nên có 3 cách tô.
Vậy tổng số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 252.

Cách 1: Sử dụng công thức tính nhanh: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Vì điều kiện ô 1 khác màu ô 5 đã đưa bài toán trở thành: dùng 7 màu tô màu đa giác sao cho không có 2 ô kề nhau tô cùng màu.
Áp dụng công thức tính nhanh, ta có số cách tô màu thỏa mãn là
Cách 2: Liệt kê
Ô 1: có 7 cách tô.
Ô 2: có 6 cách tô (khác màu ô 1).
Tô ô 3, 4 và 5:
TH1: Ô 4 cùng màu ô 1 (tức ô 3 phải khác màu ô 1)
Ô 4: có 1 cách tô (cùng màu ô 1).
Ô 3: có 5 cách (khác màu ô 1 và 2)
Ô 5: có 6 cách tô (khác 1 màu cho hai ô 1 và 4).
Số cách tô màu là
TH2: Ô 4 khác màu ô 1 (tức ô 3 có thể cùng màu ô 1)
TH2.1: Ô 3 khác màu ô 1
Ô 3: 5 cách tô (khác màu ô 1 và 2).
Ô 4: có 5 cách tô (khác màu ô 1 và 3).
Ô 5: có 5 cách tô (khác màu ô 1 và 4).
TH2.2: Ô 3 cùng màu ô 1
Ô 3: 1 cách tô.
Ô 4: có 6 cách tô (khác 1 màu tô cho ô 1 và 3).
Ô 5: có 5 cách tô (khác màu ô 1 và 4).
Số cách tô màu là
Tổng số cách tô màu ô 3, 4 và 5 là
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 7770.

Nhắc lại: Số cách tô màu cho đa giác lồi đỉnh từ màu, sao cho mỗi đỉnh được tô bởi một màu và hai đỉnh kề nhau luôn có màu khác nhau là
Nếu coi mỗi học sinh là 1 điểm trên đa giác 7 đỉnh và mỗi mã đề là một màu thì bài toán đã cho trở thành: Tính số cách tô màu cho đa giác lồi 7 đỉnh từ 3 màu, sao cho mỗi đỉnh được tô bởi một màu và hai đỉnh kề nhau luôn có màu khác nhau.
Áp dụng công thức trên, ta có số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 126.

Lưu ý: Luôn bắt đầu tô từ miền giáp với nhiều miền khác nhất.
Bước 1: Tô màu cho khu vực E và F (2 miền giáp với nhiều miền khác nhất)
Có 5 cách chọn màu cho E.
Có 4 cách chọn màu cho F (khác màu E).
Số cách cho bộ là: cách.
Bước 2: Tô màu cho các khu vực còn lại
Cả và đều tiếp giáp với cả và Do đó, màu của và phải khác màu của cả và
Số màu còn lại để chọn cho là: màu.
Số màu còn lại để chọn cho là: màu.
Ta cần chia trường hợp cho và vì chúng ảnh hưởng đến việc chọn màu cho và
Trường hợp 1: và cùng màu
Số cách chọn màu cho là 3 cách.
Khi đó chỉ có 1 cách (phải giống ).
Tô màu A: tiếp giáp với Vì nên chỉ cần khác 2 màu (màu của và màu của ). Vậy có cách.
Tô màu C: tiếp giáp với Vì nên chỉ cần khác 2 màu (màu của và màu của ). Vậy có cách.
Tổng cách tô màu ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: và khác màu
Số cách chọn màu cho là 3 cách.
Số cách chọn màu cho là 2 cách (khác và khác ).
Tô màu A: tiếp giáp với Vì đôi một khác màu, phải khác 3 màu này. Vậy có cách.
Tô màu C: tiếp giáp với Vì đôi một khác màu, phải khác 3 màu này. Vậy có cách.
Tổng cách tô màu ở TH2: cách.
Vậy tổng số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 1020.

Bước 1: Tô màu khu vực A (tiếp giáp với nhiều khu vực nhất): có 5 cách.
Bước 2: Tô màu 5 vùng còn lại
Vì các khu vực này đều tiếp giáp với vùng A nên sẽ chỉ dùng màu còn lại để tô màu 5 vùng B, F, E, D, C.
Gợi ý: Sử dụng công thức tính nhanh: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng k màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Lúc này mỗi khu vực tương ứng với 1 đỉnh của hình đa giác 5 đỉnh nên số cách tô màu thỏa mãn bằng số cách tô đa giác 5 cạnh bằng 4 màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu. Số cách là
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 1020.

Vì mỗi ô có 2 cách tô màu nên số cách tô màu 14 ô là
Các trường hợp tô màu thỏa mãn là
TH1: 3 ô màu đỏ trên cùng 1 hàng
Chọn 1 hàng để tô màu đỏ: 2 cách. Giả sử hàng trên.
Lúc này hàng trên gồm 3 ô màu đỏ và 4 ô màu đen.
Tô 4 ô màu đen: 1 cách. Khi đó 4 ô màu đen tạo ra 5 khe trống. Để không có 2 ô màu đỏ nào cạnh nhau, ta chọn ra 3 trong 5 khe trống để tô màu đỏ: có cách.
TH1 có số cách tô thỏa mãn là
TH2: 2 ô màu đỏ cùng 1 hàng, 1 ô màu đỏ ở hàng còn lại
Chọn vị trí hàng cho 2 ô màu đỏ: 2 cách.
Khi đó hàng có 2 ô màu đỏ sẽ có 5 ô màu đen.
Tô 5 ô màu đen: 1 cách. Khi đó 5 ô màu đen tạo ra 6 khe trống. Xếp 2 ô màu đỏ vào 6 khe trống có cách.
Tô hàng còn lại (gồm 1 ô đỏ và 6 ô đen): Vì ô màu đỏ không được kề nhau nên tô màu đỏ: có 5 cách. Tô màu đen: 1 cách.
TH2 có số cách tô thỏa mãn là
Suy ra xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 85.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Giả sử 4 màu dùng để tô quạt là a, b, c, d.
TH1: Sử dụng 2 trong 4 màu để tô
Số cách chọn 2 trong 4 màu để tô là
Số cách tô màu trung tâm là cách.
Số cách tô màu các cánh quạt là cách (tô cả bốn cánh với 1 màu còn lại).
Suy ra số cách tô TH1 là cách.
TH2: Sử dụng 3 trong 4 màu để tô
Số cách chọn 3 trong 4 màu để tô là cách.
Số cách tô màu trung tâm là cách.
Khi đó, ta sẽ tính số cách dùng 2 màu còn lại để tô 4 cánh quạt.
Số cách tô màu các cánh quạt là cách (ví dụ với trường hợp chọn 3 màu a, b, c với a tô trung tâm và b, c dùng để tô các cánh quạt) tham khảo hình vẽ.

Suy ra số cách tô màu ở TH2 là cách.
TH3: Sử dụng cả 4 màu để tô
Số cách chọn 4 trong 4 màu để tô là 1 cách.
Số cách tô màu trung tâm là cách.
Khi đó ta có 3 màu dùng để tô màu 4 cánh quạt. Minh họa như hình vẽ (với a tô màu trung tâm và các màu b, c, d dùng để tô màu 4 cánh quạt) chọn b là màu xuất hiện 2 lần ta được kết quả:

(tương tự với trường hợp c xuất hiện 2 lần, d xuất hiện 2 lần ta cũng đều được 3 cách tô)
Suy ra số cách tô màu các cánh quạt là cách.
Suy ra số cách tô màu ở TH3 là cách.
Vậy tổng số cách để tô màu chiếc quạt là cách.
Điền đáp án: 96.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Quy tắc đếm).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Ta đánh số các tam giác như hình vẽ sau:

Có 3 cách để chọn để tô màu cho tam giác số 1.
Có 2 cách để tô màu cho tam giác số 3.
TH1 : Hai tam giác 2 và 4 cùng màu
Có 2 cách để tô tam giác 2 và 4 cùng màu
- TH 1.1: Hai tam giác 6 và 8 cùng màu
+ Có 2 cách để tô tam giác 6 và 8 cùng màu
+ Có cách để tô 3 tam giác 5, 7, 9
- TH 1.2: Hai tam giác 6 và 8 khác màu
+ Có 2 cách để tô tam giác 6 và 8 khác màu
+ Có cách để tô 3 tam giác 5, 7, 9
TH2 : Hai tam giác 2 và 4 khác màu
Có 2 cách để tô tam giác 2 và 4 khác màu
- TH 2.1: Hai tam giác 6 và 8 cùng màu
+ Có 1 cách để tô tam giác 6 và 8 cùng màu
+ Có cách để tô 3 tam giác 5, 7, 9
- TH 2.2: Hai tam giác 6 và 8 khác màu
+ Có 3 cách để tô tam giác 6 và 8 khác màu
+ Có cách để tô 3 tam giác 5, 7, 9
Vậy có tất cả cách.
Cách 2: Sử dụng phương pháp truy hồi
Lý thuyết: Số cách tô đa giác cạnh bằng màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu là
Bước 1: Tô màu nhóm 2, 3, 4, 6, 7, 8
Số cách tô màu sao cho không có hai tam giác chung cạnh cùng màu là
Bước 2: Tô màu các ô 1, 5, 9
Mỗi ô có 2 cách tô nên số cách tô màu ô 1, 5, 9 là cách.
Vậy tổng số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 528.

Nhận thấy: Cách tô màu các ô góc và ô 5 (trùng màu hay khác màu) sẽ dẫn đến các cách tô khác cho các ô còn lại. Nên ta sẽ chia trường hợp:
Trường hợp 1: Ô (1,9) và (3,7) cùng màu
Tô ô 1-9 và 3-7 có 4 cách.
+) Ô 5 trùng màu góc (1 cách): Mỗi ô cạnh (2,4,6,8) có 3 cách (tham khảo hình vẽ).

+) Ô 5 khác màu góc (3 cách): Mỗi ô cạnh có 2 cách (tham khảo hình vẽ).

Suy ra số cách tô màu ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: Ô (1,9) và (3,7) khác màu
Tô ô 1-9: 4 cách
Tô ô 3-7: có 3 cách
+) Ô 5 trùng màu ô (1,9) (1 cách): Mỗi ô cạnh (2,4,6,8) có 2 cách (tham khảo hình vẽ).

+) Ô 5 trùng màu ô (3,7) (1 cách): Tương tự, mỗi ô cạnh (2,4,6,8) có 2 cách.
+) Ô 5 khác cả 2 màu góc (2 cách): Mỗi ô cạnh (2,4,6,8) có 1 cách (tham khảo hình vẽ).

Suy ra số cách tô màu ở TH2 là cách.
Vậy số cách tô thỏa mãn là cách.
Điền đáp án: 924.

Bước 1: Tô ô 5: 3 cách.
Bước 2: Tô 3 ô 1, 4, 7
TH1: Ô 4 tô màu đỏ
Tô ô 4: 1 cách.
Tô ô 1: 3 cách.
Tô ô 7: 3 cách.
TH2: Ô 4 tô màu khác màu đỏ
Tô ô 4: 2 cách (vì khác màu đỏ và màu ở ô 5).
Tô ô 1: 2 cách.
Tô ô 7: 2 cách.
Tổng cách tô 3 ô 1, 4, 7 là cách.
Bước 3: Tô 3 ô 3, 6, 9
Tương tự nhóm 3 ô 1, 4, 7 vì tính đối xứng nên cũng có 17 cách tô.
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 867.

Mỗi vùng trong 9 vùng có 4 cách tô màu ngẫu nhiên. Số phần tử của không gian mẫu là
Bước 1: Tô màu vùng 1: Có 4 cách (Giả sử chọn màu xanh).
Bước 2: Tô màu các vùng 2, 3, 4, 5 bằng 3 màu còn lại (đỏ, tím, vàng)
Quy tắc phụ: Nếu hai vùng kề bên trong cùng màu (ví dụ 2, 5 cùng màu) thì vùng ngoài ở giữa (vùng 6) có 3 cách tô; nếu khác màu thì vùng ngoài có 2 cách tô.
Phân chia các trường hợp cho bộ {2, 3, 4, 5}, ta được:
• TH1: Cả 4 bộ (2,3), (3,4), (4,5), (5,2) cùng màu
Chọn 1 trong 3 màu để tô cho cả 4 vùng: có 3 cách.
Tô 4 vùng ngoài (6, 7, 8, 9): mỗi vùng có 3 cách cách.
Số cách ở TH1: (cách).
• TH2: Có 3 vùng cùng màu (ví dụ: bộ 3 vùng (2,3,4) cùng màu)
Chọn ra 3 vùng cùng màu: cách.
Giả sử (2,3,4) cùng màu: có 3 cách chọn màu.
Khi đó tô màu cho vùng 5 có 2 cách.
Tô màu vùng ngoài: Vùng 8, 9 (giáp cặp cùng màu) có cách; Vùng 6, 7 (giáp cặp khác màu) có cách.
Số cách ở TH2: (cách).
• TH3: Có 1 cặp cùng màu (ví dụ: cặp (2,3) cùng màu)
Chọn ra 2 vùng cùng màu: có 4 cách. Giả sử (2,3) cùng màu: có 3 cách chọn màu.
Vùng 9 có 3 cách tô. Vùng 4, 5 có 2 cách tô mỗi vùng. Vùng ngoài 6, 7, 8 có cách.
Số cách ở TH3: (cách).
• TH4: Có 2 vùng đối diện cùng màu
Chọn 2 vùng cùng màu và tô màu vùng 2, 3, 4, 5: có cách.
Tô màu vùng ngoài (6, 7, 8, 9): cách.
Số cách ở TH4: (cách).
• TH5: Không có 2 vùng nào cạnh nhau cùng màu
Dùng 2 màu: có cách.
Dùng 3 màu: có cách.
Tổng cộng cách tô 2,3,4,5 là cách.
Tô màu vùng ngoài (6, 7, 8, 9): mỗi vùng có 2 cách cách.
Số cách ở TH5: (cách).
Kết hợp 5 trường hợp trên, ta được tổng số cách tô thỏa mãn là

Vậy
Điền đáp án: 272.

Đánh số thứ tự các ô như hình.
Ta ưu tiên tô các ô giao với nhiều ô khác nhất.
Bước 1: Tô ô 5 và 6: có cách.
Bước 2: Tô ô 7 và 8: có cách.
Bước 3: Tô ô 2 và 3
TH1: Ô 2 cùng màu với ô 6
Tô ô 2: 1 cách.
Tô ô 3: 4 cách.
TH2: Ô 2 khác màu với ô 6
Tô ô 2: 3 cách (vì khác ô 5 và 6).
Tô ô 3: 3 cách.
Tô ô 2 và 3 có cách.
Bước 4: Tô ô 1 và 4
Tương tự bước 3: có 13 cách.
Bước 5: Tô ô 9 và 10
Tương tự bước 3, có 13 cách.
Bước 6: Tô ô 11: có 4 cách
Vậy tổng số cách tô thỏa mãn là
Vậy 4 chữ số tận cùng của là 2160.
Điền đáp án: 2160.