Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1134252]: Cho hình vẽ gồm 6 vùng A, B, C, D, E, F. Bạn hãy dùng 5 màu sắc khác nhau để tô các vùng này. Có thể dùng lại màu đã chọn, nhưng các vùng tiếp giáp nhau (có chung 1 phần đường biên) thì phải tô màu khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu? (Biết rằng mỗi vùng chỉ tô một màu duy nhất).
Dùng 5 màu khác nhau để tô màu các vùng A, B, C, D, E, F.
Bước 1: Tô màu A (giáp với nhiều vùng nhất): có 5 cách.
Bước 2: Tô màu các ô còn lại
TH1: D trùng màu với A
Tô D: có 1 cách.
Tô C, E: mỗi vùng có 4 cách.
TH2: D khác màu với A
Tô D: có 4 cách.
Tô C, E: mỗi vùng có 3 cách.
Số cách tô C, D, E là
Bước 3: Tô B, F: Mỗi vùng có 3 cách tô (vì phải khác màu với 2 ô kề với nó).
Vậy tổng số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 2340.
Câu 2 [1134253]: Ông Tuấn có tám hộp sơn với tám màu khác nhau. Ông ta muốn sơn bốn ô vuông đơn vị của một tấm ván 2 x 2 sao cho các ô vuông đơn vị liền kề được sơn bằng các màu khác nhau. Xác định số lượng các cách tô màu khác nhau mà ông Tuấn có thể tạo ra. Hai cách tô màu được coi là giống nhau nếu cách tô màu này có thể thu được từ cách tô màu kia bằng cách quay.
TH1: Dùng 4 màu để tô
Chọn ra 4 màu để tô: cách.
Với mỗi bộ 4 màu, số cách tô màu (hoán vị vòng tròn) là
Số cách tô màu TH1 là
TH2: Dùng 3 màu để tô (2 ô cùng màu)
Chọn ra 3 màu để tô: cách. Giả sử 3 màu là 1, 2, 3.
Chọn 1 màu để tô vào 2 ô cùng màu: 3 cách. Giả sử chọn màu 1.

Khi đó với mỗi bộ màu chọn ra: có 1 cách tô thỏa mãn (vì cách cách xếp khác khi quay dẫn đến trùng).
Số cách tô màu TH2 là
TH3: Dùng 2 màu để tô (2 ô chéo nhau cùng màu)
Chọn ra 2 màu để tô: cách.
Với mỗi bộ màu chọn ra: có đúng 1 cách tô (vì khi quay cách còn lại trùng).

Số cách tô màu TH3 là
Vậy tổng số cách tô thỏa mãn là
Điền đáp án: 616.
Câu 3 [1134254]: Có 5 học sinh lớp 10 là Kết quả tư vấn cuối học kỳ cho thấy:
• muốn học khác lớp với
• muốn học khác lớp với
• muốn học khác lớp với
• muốn học khác lớp với cả và
Hãy tính số cách xếp 5 học sinh này vào 4 lớp khác nhau sao cho tất cả nguyện vọng của các em đều được đáp ứng. (Lưu ý: Có thể có lớp không có học sinh nào trong 5 em này được xếp vào).
Từ giả thiết, ta có sơ đồ sau:

Lúc này việc xếp các bạn A, B, C, D, E vào 4 lớp khác nhau sao cho thỏa mãn các bạn có chung cạnh khác lớp với nhau trở thành việc dùng 4 màu tô vào các đỉnh sao cho các đỉnh trên 1 cạnh khác màu nhau.
Bước 1: Tô màu A, B, C, D
Sử dụng công thức tính nhanh: trong đó là số cách tô đa giác cạnh bằng k màu khác nhau sao cho không có bất kì 2 đỉnh liên tiếp nào lại cùng màu.
Với số cách tô màu thỏa mãn là
Bước 2: Tô màu E: có 3 cách (vì E chỉ cần khác D).
Vậy số cách xếp 5 học sinh này vào 4 lớp khác nhau thỏa mãn là
Điền đáp án: 252.
Câu 4 [1134255]: Có 6 hình vuông có kích thước bằng nhau được đánh số tự nhiên từ 1 đến 6 như hình vẽ. Sử dụng một phần hoặc tất cả 4 màu khác nhau để tô vào 6 hình vuông này sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:
• Hình vuông số 1 và hình vuông số 3 phải được tô cùng một màu.
• Hai hình vuông có chung cạnh phải được tô bằng hai màu khác nhau.

Hỏi có bao nhiêu cách tô màu? (Biết rằng mỗi hình vuông chỉ tô một màu duy nhất).
Bước 1: Tô màu ô 1 và 3: 4 cách.
Bước 2: Tô màu các ô còn lại
Vì cách tô màu ô 5 (cùng hay khác màu với ô 1, 3) ảnh hưởng đến cách tô màu các ô còn lại nên ta chia trường hợp như sau:
TH1: 5 cùng màu với 1 và 3
Tô màu ô 5: 1 cách.
Tô màu ô 2: 3 cách.
Tô màu ô 4 và 3 (mỗi ô có 3 cách): cách.
TH2: 5 khác màu với 1 và 3
Tô màu ô 5: 3 cách.
Tô màu ô 2: 2 cách (khác màu ô 1-3 và 5).
Tô màu ô 4 và 3 (mỗi ô có 2 cách): cách.
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 204.
Câu 5 [1134256]: Một hình vuông được chia thành tám tam giác vuông cân như hình vẽ. Chọn ra 3 tam giác khác nhau và tô một trong 3 màu: xanh, đỏ, vàng cho chúng sao cho không có hai tam giác nào được tô màu có chung cạnh (Lưu ý: không nhất thiết phải dùng cả 3 màu). Hỏi có bao nhiêu cách?
Yêu cầu bài toán: Tính số cách dùng 3 màu khác nhau tô cho 3 tam giác (không tam giác nào chung cạnh).
Bước 1: Tính số cách chọn 3 tam giác không chung cạnh
Bài toán tương đương với việc chọn 3 vị trí không kề nhau từ 8 vị trí xếp thành vòng tròn.
Nhắc lại: Công thức Kaplansky: Số cách chọn ra người sao cho không có 2 người nào ngồi cạnh nhau từ người ngồi xung quanh một bàn tròn là cách.
Số cách chọn là
Bước 2: Tô màu cho 3 tam giác đã chọn
Vì 3 tam giác được chọn không có ràng buộc về màu sắc (màu tùy ý từ 3 màu xanh, đỏ, vàng) nên số cách tô màu cho mỗi bộ 3 là
Vậy tổng số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài
Điền đáp án: 432.
Câu 6 [1134257]: Có 6 khu vực như hình vẽ. Bạn muốn tô màu các khu vực này bằng một trong 5 màu: Đỏ, Xanh, Vàng, Chàm, Tím. Có thể sử dụng một màu nhiều lần, nhưng hai khu vực tiếp giáp nhau phải được tô bằng các màu khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu? (Lưu ý: Không nhất thiết phải dùng hết cả 5 màu và hai khu vực có chung một phần nhỏ đường biên cũng được coi là tiếp giáp).
Bước 1: Tô màu C: 5 cách.
Bước 2: Tô màu D: 4 cách.
Bước 3: Tô màu các màu còn lại
TH1: A cùng màu với D
Tô màu A: 1 cách.
Tô màu B và E (mỗi ô có 3 cách): cách.
Tô màu F: 3 cách.
TH2: A khác màu với D
Tô màu A: 3 cách (khác màu C và D).
Tô màu B và E (mỗi ô có 2 cách): cách.
Tô màu F: 3 cách.
Vậy tổng số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 1260.
Câu 7 [1134258]: Có 9 ngăn tủ hình chữ nhật được đánh số từ 1 đến 9 như hình vẽ Người ta muốn sơn 9 ngăn tủ này bằng 9 màu sắc khác nhau (trong đó có hai màu Đỏ và màu Xanh) sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:

• Phải sử dụng tất cả 9 màu đã cho.
• Mỗi ngăn tủ chỉ được sơn một màu duy nhất.
• Hai ngăn tủ được sơn màu Đỏ và màu Xanh không được chung nhau bất kỳ đỉnh nào.
Gọi số cách sơn là Tính giá trị của
Gợi ý: Số cách thỏa mãn = Tổng số cách – Vi phạm (tức hai ngăn tủ sơn màu Đỏ và Xanh chung nhau ít nhất 1 đỉnh).
Bước 1: Tổng số cách sơn:
Bước 2: Tính số vi phạm
TH1: Hai ngăn tủ có chung 2 đỉnh (chung 1 cạnh)
+) 2 ô cùng hàng ngang:
+) 2 ô cùng hàng dọc:
Vậy có 12 trường hợp chung 2 đỉnh.
Số cách tô màu cho TH1 là
TH2: Hai ngăn tủ chung đúng 1 đỉnh
Liệt kê theo đường chéo, ta được các ngăn chung 1 đỉnh là 4-8, 1-5, 5-9, 2-6, 2-4, 3-5, 5-7, 6-8. Vậy có 8 trường hợp chung 1 đỉnh.
Số cách tô màu cho TH2 là
Suy ra số cách vi phạm là
Số cách tô thỏa mãn là

Điền đáp án: 5376.
Câu 8 [1134259]: Có 10 hình vuông bằng nhau được đánh số từ 1 đến 10 như hình vẽ. Sử dụng một số màu trong 5 màu khác nhau để tô vào đúng 7 hình vuông, trong đó phải bao gồm các hình số 1, 3, 5, 7, 10, sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:

• Các hình vuông số 1, 3, 5, 7, 10 đều được tô cùng một màu.
• Hai hình vuông chung cạnh không được tô cùng một màu.
• Mỗi hình vuông chỉ được tô bởi một màu duy nhất.
Hỏi có bao nhiêu cách tô màu?
Bước 1: Tô màu 5 ô 1, 3, 5, 7, 10: có 5 cách (giả sử màu xanh).

Bước 2: Chọn ra 2 ô nữa và tô màu (lúc này còn lại 4 màu khác nhau)
TH1: 2 ô này có chung cạnh
Có 2 cách chọn ra 2 ô chung cạnh (6-8 và 6-9).
Tô màu cho 2 ô chung cạnh: cách.
TH1 có cách tô.
TH2: 2 ô này có không chung cạnh
Số cách chọn ra 2 ô không chung cạnh (từ 5 ô còn lại) là cách.
Tô màu cho 2 ô không chung cạnh: cách.
TH2 có cách tô.
Vậy số cách tô màu thỏa mãn là
Điền đáp án: 760.
Câu 9 [1134260]: Mỗi ô vuông đơn vị của một lưới vuông kích thước được tô ngẫu nhiên bằng một trong hai màu: xanh lam hoặc đỏ và khả năng mỗi ô nhận một trong hai màu là như nhau. Biết rằng xác suất để sau khi tô màu, trong lưới không xuất hiện bất kỳ một khối ô vuông nào toàn màu đỏ là (với m, n là các số nguyên tố cùng nhau). Tính giá trị của
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Lưới có tổng cộng 9 ô vuông đơn vị. Mỗi ô có 2 cách tô màu (xanh hoặc đỏ).
Số cách tô màu ngẫu nhiên là
Gợi ý: Số cách tô thỏa mãn = Tổng cách tô – Số cách vi phạm (có ít nhất một khối màu đỏ)
Bước 2: Tính số trường hợp có ít nhất một khối màu đỏ
Trong lưới , có tất cả 4 khối
Gọi lần lượt là các biến cố khối ở góc trên-trái, trên-phải, dưới-trái, và dưới-phải được tô hoàn toàn màu đỏ.
Ta cần tính theo nguyên lý bao hàm - loại trừ:

• Trường hợp 1: 1 khối đỏ
Chọn 1 khối tô màu đỏ: 4 cách
Tô màu 5 ô còn lại (mỗi ô có 2 cách): cách.
Tổng số cách tô ở TH1 là
• Trường hợp 2: 2 khối đỏ
TH2.1: Hai khối kề cạnh (ví dụ )
Chọn ra 2 khối kề cạnh: có 4 cách.
Hai khối này chung nhau 2 ô, tổng cộng cố định 6 ô đỏ, còn lại 3 ô tự do.
Tô màu 3 ô còn lại (mỗi ô có 2 cách): cách.

TH2.2: Hai khối đối đỉnh (ví dụ )
Chọn ra 2 khối đối đỉnh: có 2 cách. Hai khối này chung nhau 1 ô (ô trung tâm), tổng cộng cố định 7 ô đỏ, còn lại 2 ô tự do (mỗi ô có 2 cách tô).

Tổng số cách tô ở TH2 là
• Trường hợp 3: 3 khối đỏ
Có cách chọn ra 3 khối tô màu đỏ.
Ba khối bất kỳ khi kết hợp lại sẽ cố định 8 ô (chỉ còn 1 ô ở góc là tự do).

• Trường hợp 4: cả 4 khối đỏ
Tức cả 9 ô phải tô màu đỏ.

Vậy tổng số trường hợp vi phạm (có ít nhất một khối đỏ) là
Bước 3: Tính số trường hợp thỏa mãn
Số trường hợp không xuất hiện khối đỏ là
Vậy xác suất cần tính là

Điền đáp án: 1441.
Câu 10 [1134261]: Cho một lưới ô vuông có kích thước gồm 16 ô vuông đơn vị, trong đó có 2 vùng được tô đậm các cạnh như hình vẽ. Tô ngẫu nhiên một trong hai màu đen hoặc trắng vào 16 ô vuông đơn vị sao cho trên mỗi hàng và mỗi cột số ô vuông được tô đen và trắng bằng nhau. Biết rằng xác suất để trong mỗi vùng có các cạnh được tô đậm “số ô vuông được tô màu đen nhiều hơn màu trắng”, được viết dưới dạng phân số tối giản Giá trị của bằng bao nhiêu?
Quy ước: tô đen: điền số 1; tô trắng: điền số 0.
Để mỗi hàng và mỗi cột phải có số ô đen và trắng bằng nhau thì mỗi hàng và mỗi cột phải có đúng 2 ô đen (tức 2 số 1) và 2 ô trắng (tức 2 số 0).
Bước 1: Điền 2 số 1 và 2 số 0 vào hàng H1 có cách. Giả sử điền: 1100.
Bước 2: Điền 3 số vào cột C1: có cách. Giả sử điền 001.
Tham khảo hình vẽ.

Bước 3: Điền vào lưới còn lại
TH1:
Nếu hàng H4 điền: 100 thì các ô còn lại có 1 cách điền.
Nếu hàng H4 điền: 010 thì các ô còn lại có 2 cách điền.
TH1 có cách.
TH2:
Điền 3 ô còn lại ở hàng H4: có 2 cách (001 hoặc 101).
Các ô còn lại lúc này chỉ có 1 cách điền.
TH2 có 2 cách.
Số cách điền vào lưới còn lại là
Suy ra số cách tô sao cho mỗi hàng và mỗi cột có đúng 2 ô đen và 2 ô trắng là
Gọi là biến cố “Trong mỗi vùng có các cạnh được tô đậm thì số ô vuông được tô màu đen nhiều hơn màu trắng.
Gọi là vùng góc trên bên trái, là vùng góc dưới bên phải. Đề bài yêu cầu trong mỗi vùng được tô đậm (mỗi vùng là một khối ), số ô đen (số 1) nhiều hơn số ô trắng (số 0). Nên 2 vùng và phải có 3 ô đen hoặc 4 ô đen.
Trường hợp 1: Cả hai vùng cùng có 4 ô đen
Chỉ có duy nhất 1 cách tô duy nhất cho trường hợp này.
Trường hợp 2: Cả hai vùng và đều có 3 ô đen
Vùng có cách tô.
Vùng có cách tô.
Các vị trí còn lại có 1 cách tô.
TH2 có cách tô.
Note: Trường hợp một vùng có 3 ô đen, vùng còn lại có 4 ô đen không có trường hợp thỏa mãn.
Số cách tô thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 8117.