Câu 1 [135712]: Một lớp có 60 em học sinh, 40 em có y phục màu xanh, 10 em có y phục có cả màu xanh và màu trắng. Chọn ngẫu nhiên một em. Tính xác suất để em đó y phục có màu trắng với điều kiện y phục của em đó có màu xanh.
A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi A là biến cố chọn được em y phục có màu trắng.
Gọi B là biến cố chọn được em y phục có màu xanh.
Ta phải tính
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Gọi B là biến cố chọn được em y phục có màu xanh.
Ta phải tính
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [378751]: Trong một nhóm 
người, có 
người thích uống trà, 
người thích uống cà phê, 
người thích uống cả cà phê và trà. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm. Biết rằng, người đó thích uống cà phê. Xác suất để người đó thích uống trà là
người, có người thích uống trà, người thích uống cà phê, người thích uống cả cà phê và trà. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm. Biết rằng, người đó thích uống cà phê. Xác suất để người đó thích uống trà là A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi A là biến cố: Người đó thích uống trà
B là biến cố: Người đó thích uống cà phê
Ta có:
Chọn A. Đáp án: A
B là biến cố: Người đó thích uống cà phê
Ta có:
Chọn A. Đáp án: A
Câu 3 [135807]: Theo kết quả từ trạm nghiên cứu khí hậu tại địa phương T, xác suất để một ngày có gió là 0,6; nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là 0,4; nếu ngày không có gió thì xác suất
có mưa là 0,2. Gọi G là biến cố "Ngày có gió" và M là biến cố "Ngày có mưa". Các mệnh đề sau đúng hay sai.
có mưa là 0,2. Gọi G là biến cố "Ngày có gió" và M là biến cố "Ngày có mưa". Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Đúng. Xác suất bằng 
b) Đúng. Xác suất bằng
c) Sai. Xác suất bằng
d) Sai. Xác suất bằng
b) Đúng. Xác suất bằng
c) Sai. Xác suất bằng
d) Sai. Xác suất bằng
Câu 4 [135802]: Bạn An có một túi kẹo, trong đó có 8 viên bi đen và 6 viên bi trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong túi để cho Việt, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 viên bi nữa trong túi và cũng đưa cho Việt. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đúng. Xác suất để Việt nhận được 2 viên bi trắng là 
b) Sai. Xác suất để Việt nhận được 2 viên bi đen là
c) Đúng. Xác suất để Việt nhận được viên bi đen ở lần thứ nhất và viên bi trắng ở lần thứ hai là
d) Sai. Xác suất để Việt nhận được viên bi trắng ở lần thứ nhất và viên bi đen ở lần thứ hai là
b) Sai. Xác suất để Việt nhận được 2 viên bi đen là
c) Đúng. Xác suất để Việt nhận được viên bi đen ở lần thứ nhất và viên bi trắng ở lần thứ hai là
d) Sai. Xác suất để Việt nhận được viên bi trắng ở lần thứ nhất và viên bi đen ở lần thứ hai là
Câu 5 [143804]: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên, có 6 người nộp đơn trong đó có 2 nam và 4 nữ. Biết rằng khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức xác suất cổ điển dựa trên số cách chọn tổ hợp, kết hợp biến cố đối và công thức xác suất có điều kiện để xét từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xác suất chọn cả hai người đều là nữ là
.
mệnh đề a) sai.
Xác suất chọn cả hai người đều là nam là
.
xác suất để ít nhất một nữ được chọn là 
.
mệnh đề b) đúng.
Gọi
là biến cố “cả hai nữ được chọn”, 
là biến cố “ít nhất một nữ được chọn”.
Ta có
.
mệnh đề c) sai.
Gọi
là biến cố “Hoa được chọn”.
Ta có
.
Suy ra
.
mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức xác suất cổ điển dựa trên số cách chọn tổ hợp, kết hợp biến cố đối và công thức xác suất có điều kiện để xét từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xác suất chọn cả hai người đều là nữ là
. mệnh đề a) sai.Xác suất chọn cả hai người đều là nam là
. xác suất để ít nhất một nữ được chọn là . mệnh đề b) đúng.Gọi
là biến cố “cả hai nữ được chọn”, là biến cố “ít nhất một nữ được chọn”.Ta có
. mệnh đề c) sai.Gọi
là biến cố “Hoa được chọn”.Ta có
.Suy ra
. mệnh đề d) đúng.🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Câu 6 [1103812]: Tổng số học sinh của một trường THPT là 320. Điều tra về việc tham gia câu lạc bộ (CLB) Toán, kết quả cho thấy 60% học sinh nam của trường và 50% học sinh nữ của trường đã tham gia CLB Toán.
• Khi chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong số các học sinh tham gia CLB Toán, xác suất học sinh đó là nam là
• Khi chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong số các học sinh tham gia CLB Toán, xác suất học sinh đó là nữ là
Biết rằng
hỏi số lượng học sinh nam của trường là bao nhiêu học sinh?
• Khi chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong số các học sinh tham gia CLB Toán, xác suất học sinh đó là nam là
• Khi chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong số các học sinh tham gia CLB Toán, xác suất học sinh đó là nữ là
Biết rằng
hỏi số lượng học sinh nam của trường là bao nhiêu học sinh?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Gọi số học sinh nam của trường là
Suy ra số học sinh nữ của trường là
Từ dữ kiện: “60% học sinh nam của trường và 50% học sinh nữ của trường đã tham gia CLB Toán” ta có:
Số học sinh nam tham gia CLB Toán là
học sinh.
Số học sinh nữ tham gia CLB Toán là
học sinh.
Suy ra số học sinh tham gia CLB Toán là
(học sinh).
Khi đó
(vì khi chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong số các học sinh tham gia CLB Toán, xác suất học sinh đó là nam = Số cách chọn 1 học sinh nam tham gia CLB toán/Số cách chọn ra 1 học sinh tham gia CLB toán (tính cả HS nam và HS nữ)); 
Mà
nên 
Vậy trường có 200 học sinh nam.
Điền đáp án: 200.
Mức độ: Vận dụng (7+).
Gọi số học sinh nam của trường là
Suy ra số học sinh nữ của trường là
Từ dữ kiện: “60% học sinh nam của trường và 50% học sinh nữ của trường đã tham gia CLB Toán” ta có:
Số học sinh nam tham gia CLB Toán là
học sinh.
Số học sinh nữ tham gia CLB Toán là
học sinh.
Suy ra số học sinh tham gia CLB Toán là
(học sinh).
Khi đó
(vì khi chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong số các học sinh tham gia CLB Toán, xác suất học sinh đó là nam = Số cách chọn 1 học sinh nam tham gia CLB toán/Số cách chọn ra 1 học sinh tham gia CLB toán (tính cả HS nam và HS nữ)); Mà
nên Vậy trường có 200 học sinh nam.
Điền đáp án: 200.
Câu 7 [699144]: Ba khẩu súng độc lập bắn vào một mục tiêu. Xác suất để khẩu thứ nhất bắn trúng bằng 
để khẩu thứ hai bắn trúng bằng 
để khẩu thứ ba bắn trúng bằng 
Mỗi khẩu bắn 1 viên. Tính xác suất để khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng chỉ có 2 viên trúng mục tiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
để khẩu thứ hai bắn trúng bằng để khẩu thứ ba bắn trúng bằng Mỗi khẩu bắn 1 viên. Tính xác suất để khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng chỉ có 2 viên trúng mục tiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,74.
Gọi
là biến cố “Khẩu thứ 
bắn trúng mục tiêu, với 
”
Khi đó
là biến cố “Khẩu thứ 
bắn trượtmục tiêu, với 
”
là biến cố “Chỉ có 2 viên trúng mục tiêu”
YCBT
Tính 
Theo công thức xác suất điều kiện, ta có
Gọi
là biến cố “Khẩu thứ bắn trúng mục tiêu, với ”Khi đó
là biến cố “Khẩu thứ bắn trượtmục tiêu, với ” là biến cố “Chỉ có 2 viên trúng mục tiêu”YCBT
Tính Theo công thức xác suất điều kiện, ta có
Câu 8 [778972]: Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi tối đa 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Biết rằng thí sinh thi đậu, xác suất thí sinh này thi đậu ở lần thứ hai là bao nhiêu phần trăm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 7,15.
Gọi
là biến cố “Thí sinh thi đậu ở lần thứ hai” và 
là biến cố “Thí sinh thi đậu”.
Yêu cầu bài toán: Tính
Từ dữ kiện đề bài, ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
Vậy xác suất cần tính là
Gọi
là biến cố “Thí sinh thi đậu ở lần thứ hai” và là biến cố “Thí sinh thi đậu”.
Yêu cầu bài toán: Tính
Từ dữ kiện đề bài, ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
Vậy xác suất cần tính là
Câu 9 [1104133]: Túi A chứa 6 lá bài ghi các số tự nhiên từ 1 đến 6. Túi B và C mỗi túi chứa 3 lá bài ghi các số tự nhiên từ 1 đến 3.
• M (người thứ nhất) rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ túi A.
• N (người thứ hai) rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ túi B.
• P (người thứ ba) rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ túi C.
Biết rằng số trên lá bài của M lớn hơn số trên lá bài của N, khi đó xác suất để số trên lá bài của M lớn hơn tổng số trên lá bài của N và P là
(trong đó
và phân số 
tối giản). Tính 
• M (người thứ nhất) rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ túi A.
• N (người thứ hai) rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ túi B.
• P (người thứ ba) rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ túi C.
Biết rằng số trên lá bài của M lớn hơn số trên lá bài của N, khi đó xác suất để số trên lá bài của M lớn hơn tổng số trên lá bài của N và P là
(trong đó và phân số tối giản). Tính
Gọi 
lần lượt là số trên lá bài của M, N và P.
Khi đó
Gọi
là biến cố: “Số trên lá bài của M lớn hơn số trên lá bài của N” (tức là 
Gọi
là biến cố: “Số trên lá bài của M lớn hơn tổng số trên lá bài của N và P” (tức là 
Suy ra yêu cầu bài toán:
(công thức xác suất có điều kiện).
Bước 1: Tính
ta liệt kê các trường hợp 
Các cặp
thỏa mãn 
là• Nếu 
(5 trường hợp)• Nếu 
(4 trường hợp)• Nếu 
(3 trường hợp)
Tổng số cặp
thỏa mãn là 
Vì
có thể là bất kỳ số nào trong 
nên số cách trọn 
thoả mãn 
là
Bước 2: Tính
tìm số cách chọn sao cho 
và 
Lưu ý rằng nếu
thì chắc chắn 
(vì 
nên ta chỉ cần tìm các bộ 
thỏa mãn 
Vậy
suy ra xác suất cần tìm là 
Điền đáp án: 163.
lần lượt là số trên lá bài của M, N và P.Khi đó
Gọi
là biến cố: “Số trên lá bài của M lớn hơn số trên lá bài của N” (tức là Gọi
là biến cố: “Số trên lá bài của M lớn hơn tổng số trên lá bài của N và P” (tức là Suy ra yêu cầu bài toán:
(công thức xác suất có điều kiện).Bước 1: Tính
ta liệt kê các trường hợp Các cặp
thỏa mãn là• Nếu (5 trường hợp)• Nếu (4 trường hợp)• Nếu (3 trường hợp)Tổng số cặp
thỏa mãn là Vì
có thể là bất kỳ số nào trong nên số cách trọn thoả mãn làBước 2: Tính
tìm số cách chọn sao cho và Lưu ý rằng nếu
thì chắc chắn (vì nên ta chỉ cần tìm các bộ thỏa mãn Vậy
suy ra xác suất cần tìm là Điền đáp án: 163.
Câu 10 [1095225]: Có sáu tấm thẻ, mỗi tấm có một số tự nhiên từ 1 đến 6 được viết trên mặt trước và số 
được viết trên mặt sau. Sáu tấm thẻ này được sắp xếp sao cho với mỗi số tự nhiên 
vị trí thứ 
hiển thị số tự nhiên 
(tham khảo hình vẽ).
Sử dụng sáu tầm thẻ này và một con xúc xắc, thực hiện các bước sau: Gieo xúc xắc một lần, nếu số chấm xuất hiện ở mặt trên xúc xắc là
thì ta lật tấm thẻ ở vị trí thứ 
một lần và đặt lại vào vị trí ban đầu. Sau khi lặp lại thí nghiệm trên 3 lần, nếu biết tổng các số xuất hiện trên cả 6 thẻ là số chẵn, xác suất để số 1 xuất hiện đúng một lần khi gieo xúc xắc là 
(với 
và 
là các số nguyên dương và phân số 
tối giản). Tính giá trị của 
được viết trên mặt sau. Sáu tấm thẻ này được sắp xếp sao cho với mỗi số tự nhiên vị trí thứ hiển thị số tự nhiên (tham khảo hình vẽ).Sử dụng sáu tầm thẻ này và một con xúc xắc, thực hiện các bước sau: Gieo xúc xắc một lần, nếu số chấm xuất hiện ở mặt trên xúc xắc là
thì ta lật tấm thẻ ở vị trí thứ một lần và đặt lại vào vị trí ban đầu. Sau khi lặp lại thí nghiệm trên 3 lần, nếu biết tổng các số xuất hiện trên cả 6 thẻ là số chẵn, xác suất để số 1 xuất hiện đúng một lần khi gieo xúc xắc là (với và là các số nguyên dương và phân số tối giản). Tính giá trị của
Minh họa thí nghiệm: Ví dụ khi thực hiện thí nghiệm 1 lần: Con xúc xắc gieo được số 4 ta thực hiện lật lá bài ở vị trí số 4 và đặt lại vị trí cũ lúc này số xuất hiện trên 6 lá bài như hình vẽ sau:
Tổng trên 6 tấm thẻ lúc này là
là một số lẻ.
Và sau khi ta thực hiện thí nghiệm này liên tiếp 3 lần thì được kết quả tổng trên 6 tấm thẻ là số chẵn.
Gọi
là biến cố “Tổng các số xuất hiện trên cả 6 thẻ là số chẵn”.
là biến cố “Số 1 xuất hiện đúng 1 lần”.
Yêu cầu bài toán: Tính xác suất để số 1 xuất hiện đúng một lần khi gieo xúc xắc, biết tổng các số xuất hiện trên cả 6 thẻ là số chẵn
(theo công thức xác suất điều kiện).
Nhận thấy khi số mặt xuất hiện trên xúc xắc là số chẵn thì tổng trên 6 tấm thẻ không thay đổi tính chẵn lẻ (vì khi lật một số chẵn thì ta vẫn được một số chẵn, do đó không làm thay đổi tính chẵn lẻ của tổng 6 tấm thẻ);
Khi số mặt xuất hiện trên xúc xắc là số lẻ thì tổng trên 6 tấm thẻ sẽ thay đổi tính chẵn lẻ (vì khi lật một số lẻ (vị trí lẻ) thì ta được một số chẵn và ngược lại, do đó làm thay đổi tính chẵn lẻ của tổng 6 tấm thẻ).
Vậy để sau khi thực hiện lật thẻ 3 lần và được tổng trên 6 tấm thẻ là số chẵn thì có 2 trường hợp xảy ra:
TH1: Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 3 lần (tức 3 lần thí nghiệm gieo xúc xắc xuất hiện 3 mặt lẻ)
TH2: Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 1 lần (tức 3 lần thí nghiệm gieo xúc xắc có 2 lần xuất hiện mặt chẵn và 1 lần xuất hiện mặt lẻ): LCC; CLC; CCL.
Ta đi tiến hành giải từng trường hợp.
TH1: Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 3 lần
Ta có xác suất để gieo được số lẻ là
Suy ra xác suất cả 3 lần đều lẻ là
Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là
(vì số 1 có thể xuất hiện ở lần thí nghiệm thứ 1, 2, 3)
TH2:Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 1 lần
Xác suất để 3 lần gieo được LCC là
Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là 
Xác suất để 3 lần gieo được CLC là
Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là 
Xác suất để 3 lần gieo được CCL là
Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là 
Khi đó xác suất cần tính là
Điền đáp án: 49.
Tổng trên 6 tấm thẻ lúc này là
là một số lẻ.Và sau khi ta thực hiện thí nghiệm này liên tiếp 3 lần thì được kết quả tổng trên 6 tấm thẻ là số chẵn.
Gọi
là biến cố “Tổng các số xuất hiện trên cả 6 thẻ là số chẵn”. là biến cố “Số 1 xuất hiện đúng 1 lần”.Yêu cầu bài toán: Tính xác suất để số 1 xuất hiện đúng một lần khi gieo xúc xắc, biết tổng các số xuất hiện trên cả 6 thẻ là số chẵn
(theo công thức xác suất điều kiện).Nhận thấy khi số mặt xuất hiện trên xúc xắc là số chẵn thì tổng trên 6 tấm thẻ không thay đổi tính chẵn lẻ (vì khi lật một số chẵn thì ta vẫn được một số chẵn, do đó không làm thay đổi tính chẵn lẻ của tổng 6 tấm thẻ);
Khi số mặt xuất hiện trên xúc xắc là số lẻ thì tổng trên 6 tấm thẻ sẽ thay đổi tính chẵn lẻ (vì khi lật một số lẻ (vị trí lẻ) thì ta được một số chẵn và ngược lại, do đó làm thay đổi tính chẵn lẻ của tổng 6 tấm thẻ).
Vậy để sau khi thực hiện lật thẻ 3 lần và được tổng trên 6 tấm thẻ là số chẵn thì có 2 trường hợp xảy ra:
TH1: Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 3 lần (tức 3 lần thí nghiệm gieo xúc xắc xuất hiện 3 mặt lẻ)
TH2: Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 1 lần (tức 3 lần thí nghiệm gieo xúc xắc có 2 lần xuất hiện mặt chẵn và 1 lần xuất hiện mặt lẻ): LCC; CLC; CCL.
Ta đi tiến hành giải từng trường hợp.
TH1: Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 3 lần
Ta có xác suất để gieo được số lẻ là
Suy ra xác suất cả 3 lần đều lẻ là
Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là
(vì số 1 có thể xuất hiện ở lần thí nghiệm thứ 1, 2, 3)TH2:Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 1 lần
Xác suất để 3 lần gieo được LCC là
Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là Xác suất để 3 lần gieo được CLC là
Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là Xác suất để 3 lần gieo được CCL là
Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là Khi đó xác suất cần tính là
Điền đáp án: 49.