Câu 1 [135782]: Bảng sau đây cho thấy sự phân bố theo giới tính của sinh viên tại một trường cao đẳng sử dụng phương tiện xe máy hay ô tô đến trường. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên.
Xác suất sinh viên được chọn là nam biết bạn đó đi xe máy đến trường bằng
A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi 
là biến cố sinh viên được chọn là nam
Gọi
là biến cố bạn đó đi xe máy đến trường.
Xác suất sinh viên được chọn là nam biết bạn đó đi xe máy đến trường bằng
Chọn C. Đáp án: C
là biến cố sinh viên được chọn là namGọi
là biến cố bạn đó đi xe máy đến trường.Xác suất sinh viên được chọn là nam biết bạn đó đi xe máy đến trường bằng
Chọn C. Đáp án: C
Câu 2 [146101]: Trong 1 lô hàng 10 sản phẩm có 2 sản phẩm xấu, chọn không hoàn lại để phát hiện ra 2 sản phẩm xấu, khi nào chọn được sản phẩm xấu thứ 2 thì dừng lại.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng quy tắc nhân xác suất cho các phép thử liên tiếp không hoàn lại.
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện
.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Xác suất dừng lại ở lần chọn thứ hai là
.
Mệnh đề đã cho không đúng
Sai.
b) Xác suất dừng lại ở lần chọn thứ ba là
.
.
Mệnh đề đã cho không đúng
Sai.
c) Biết đã chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ nhất, xác suất dừng lại ở lần chọn thứ tư là
.
.
Mệnh đề đã cho đúng
Đúng.
d) Gọi
là biến cố dừng lại ở lần chọn thứ ba, 
là biến cố lần đầu chọn được sản phẩm xấu.
Ta có
.
.
Mệnh đề đã cho đúng
Đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
💡 Phương pháp:
Sử dụng quy tắc nhân xác suất cho các phép thử liên tiếp không hoàn lại.
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện
.✒️ Lời giải chi tiết:
a) Xác suất dừng lại ở lần chọn thứ hai là
.Mệnh đề đã cho không đúng
Sai.b) Xác suất dừng lại ở lần chọn thứ ba là
..Mệnh đề đã cho không đúng
Sai.c) Biết đã chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ nhất, xác suất dừng lại ở lần chọn thứ tư là
..Mệnh đề đã cho đúng
Đúng.d) Gọi
là biến cố dừng lại ở lần chọn thứ ba, là biến cố lần đầu chọn được sản phẩm xấu.Ta có
..Mệnh đề đã cho đúng
Đúng.🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Câu 3 [1012527]: Một mạch điện cho phép dòng điện chạy từ A sang B thông qua 3 cách: hoặc là đi qua nhánh chứa điện trở 
và 
hoặc là đi qua nhánh chứa điện trở 
hoặc là đi qua cả hai nhánh. Dòng điện đi qua được trên nhánh đó nếu các điện trở hoạt động bình thường.
Biết rằng xác suất để điện trở
hoạt động bình thường lần lượt là 
và các điện trở hoạt động độc lập.
và hoặc là đi qua nhánh chứa điện trở hoặc là đi qua cả hai nhánh. Dòng điện đi qua được trên nhánh đó nếu các điện trở hoạt động bình thường. Biết rằng xác suất để điện trở
hoạt động bình thường lần lượt là và các điện trở hoạt động độc lập.
a) Sai
Xác suất dòng điện chạy qua được nhánh chứa điện trở
bằng 
b) Đúng
Xác suất dòng điện đi qua được nhánh chứa
mà không đi qua được nhánh chứa 
bằng 
c) Đúng
Gọi B là “Biến cố mạch đi qua được”.
Xác suất
hỏng là 
Xác suất không đi qua nhánh
là 
d) Đúng
Gọi A là “biến cố
hoạt động bình thường”.
Cần tính:
TH1:
hoạt động bình thường , 
hoạt động bình thường
TH2:
hoạt động bình thường , 
không hoạt động bình thường
TH3:
hỏng, 
hoạt động bình thường (vì khi 
hỏng thì dòng điện chỉ có thể đi qua mạch 
do đó 
phải hoạt động bình thường)
Xác suất dòng điện chạy qua được nhánh chứa điện trở
bằng b) Đúng
Xác suất dòng điện đi qua được nhánh chứa
mà không đi qua được nhánh chứa bằng c) Đúng
Gọi B là “Biến cố mạch đi qua được”.
Xác suất
hỏng là Xác suất không đi qua nhánh
là d) Đúng
Gọi A là “biến cố
hoạt động bình thường”.Cần tính:
TH1:
hoạt động bình thường , hoạt động bình thường
TH2:
hoạt động bình thường , không hoạt động bình thường
TH3:
hỏng, hoạt động bình thường (vì khi hỏng thì dòng điện chỉ có thể đi qua mạch do đó phải hoạt động bình thường)
Câu 4 [135860]: Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày các ô tô bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,2; 0,15. Tìm xác suất để trong một ngày có đúng một ô tô bị hỏng. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Xác suất để trong một ngày có đúng một ô tô bị hỏng là: (nghĩa là chỉ có 1 xe bị hỏng, còn 2 xe còn lại không bị hỏng)
Câu 5 [778953]: Một thủ quỹ có một chùm chìa khóa gồm 12 chiếc bề ngoài giống hệt nhau, trong đó có 4 chìa mở được cửa chính của thư viện. Cô ta thử từng chìa một một cách ngẫu nhiên, chìa nào không trúng thì bỏ ra. Xác suất để cô ta mở được cửa chính của thư viện ở lần mở thứ 5 là bao nhiêu % (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Điền đáp án: 7,1.
Không gian mẫu là số cách lấy chìa trong 5 lần và bằng
Số cách lấy để cô ấy mở được cửa chính ở lần mở thứ 5 là
Xác suất cần tính bằng
Không gian mẫu là số cách lấy chìa trong 5 lần và bằng
Số cách lấy để cô ấy mở được cửa chính ở lần mở thứ 5 là
Xác suất cần tính bằng
Câu 6 [931847]: Bạn Minh làm hai bài tập liên tiếp. Xác suất Minh làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu Minh làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8 nhưng nếu Minh làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,2. Xác suất để Minh làm đúng bài thứ nhất biết rằng Minh làm đúng bài thứ hai là 
. Biết 
là phân số tối giản, tính 
.
. Biết là phân số tối giản, tính .
Đáp án: 87
Gọi:
là biến cố: "Minh làm đúng bài thứ nhất".
là biến cố: "Minh làm sai bài thứ nhất".
là biến cố: "Minh làm đúng bài thứ hai".
Theo đề bài, ta có các xác suất:
Xác suất Minh làm đúng cả hai bài là:
Xác suất Minh làm sai bài thứ nhất và đúng bài thứ hai là:
Ta có
Xác suất Minh làm đúng bài thứ nhất biết rằng Minh đã làm đúng bài thứ hai là:
Khi đó
Vậy, giá trị T là 87.
Gọi:
là biến cố: "Minh làm đúng bài thứ nhất".
là biến cố: "Minh làm sai bài thứ nhất".
là biến cố: "Minh làm đúng bài thứ hai".
Theo đề bài, ta có các xác suất:
Xác suất Minh làm đúng cả hai bài là:
Xác suất Minh làm sai bài thứ nhất và đúng bài thứ hai là:
Ta có
Xác suất Minh làm đúng bài thứ nhất biết rằng Minh đã làm đúng bài thứ hai là:
Khi đó
Vậy, giá trị T là 87.
Câu 7 [146672]: Một lô hàng có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từng sản phẩm cho đến khi lấy được 2 sản phẩm tốt thì ngừng, Biết đã ngừng lại ở lần lấy sản phẩm thứ 4. Tính xác suất để lần lấy thứ nhất lấy được sản phẩm tốt. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,33.
Gọi A là biến cố: lần thứ nhất lấy được sản phẩm tốt
B là biến cố: Ngưng lại ở lần thứ 4
Ta có:
Mặt khác
Do đó
Gọi A là biến cố: lần thứ nhất lấy được sản phẩm tốt
B là biến cố: Ngưng lại ở lần thứ 4
Ta có:
Mặt khác
Do đó
Câu 8 [1134263]: Một quân cờ được đặt tại gốc toạ độ 
trong mặt phẳng toạ độ 
Thực hiện phép thử sau bằng cách sử dụng một đồng xu và tung một lần:
• Nếu mặt ngửa xuất hiện: Di chuyển quân cờ theo hướng dương của trục
thêm 1 đơn vị.
• Nếu mặt sấp xuất hiện: Di chuyển quân cờ theo hướng dương trục
thêm 1 đơn vị.
Lặp lại phép thử trên cho đến khi tọa độ
hoặc tọa độ 
của quân cờ lần đầu tiên bằng 3 thì dừng lại. Khi tọa độ 
của điểm 
lần đầu tiên bằng 3, xác suất để tọa độ 
của điểm 
lúc đó bằng 1 là 
Tính 
trong mặt phẳng toạ độ Thực hiện phép thử sau bằng cách sử dụng một đồng xu và tung một lần:• Nếu mặt ngửa xuất hiện: Di chuyển quân cờ theo hướng dương của trục
thêm 1 đơn vị.• Nếu mặt sấp xuất hiện: Di chuyển quân cờ theo hướng dương trục
thêm 1 đơn vị.Lặp lại phép thử trên cho đến khi tọa độ
hoặc tọa độ của quân cờ lần đầu tiên bằng 3 thì dừng lại. Khi tọa độ của điểm lần đầu tiên bằng 3, xác suất để tọa độ của điểm lúc đó bằng 1 là Tính
Gọi 
là biến cố: "Tọa độ 
của quân cờ lần đầu tiên bằng 3".
Gọi
là biến cố: "Tọa độ 
của quân cờ bằng 1".
Yêu cầu bài toán: Tính
Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có 
Xác suất xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa của đồng xu đều bằng
Biến cố
xảy ra khi quân cờ dừng lại tại một trong các điểm 
hoặc 
Áp dụng công thức Bernoulli:
• Xác suất dừng tại
(Tức 3 lần đều là sấp): có xác suất là
• Xác suất dừng tại
(tức ngửa 1 lần + sấp 3 lần, với lần cuối cùng phải là sấp): có xác suất là
• Xác suất dừng tại
(tức ngửa 2 lần + sấp 3 lần, với lần cuối cùng phải là sấp): có xác suất là 
Suy ra
Vậy
Điền đáp án: 219.
là biến cố: "Tọa độ của quân cờ lần đầu tiên bằng 3".
Gọi
là biến cố: "Tọa độ của quân cờ bằng 1".
Yêu cầu bài toán: Tính
Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có
Xác suất xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa của đồng xu đều bằng
Biến cố
xảy ra khi quân cờ dừng lại tại một trong các điểm hoặc Áp dụng công thức Bernoulli:• Xác suất dừng tại
(Tức 3 lần đều là sấp): có xác suất là
• Xác suất dừng tại
(tức ngửa 1 lần + sấp 3 lần, với lần cuối cùng phải là sấp): có xác suất là
• Xác suất dừng tại
(tức ngửa 2 lần + sấp 3 lần, với lần cuối cùng phải là sấp): có xác suất là
Suy ra
Vậy
Điền đáp án: 219.
Câu 9 [1006989]: Trong một cái hộp có năm quả bóng được đánh số lần lượt là 2, 4, 6, 8 và 10, Tuấn lấy ngẫu nhiên một quả, sau đó lại trả về và việc này lặp lại 3 lần. Xác suất quả bóng đánh số 2 được lấy ra đúng hai lần là bao nhiêu, biết rằng tổng các số trong ba lần lấy là 12?
Điền đáp án: 0,3.
Gọi A là biến cố “tổng ba lần rút bằng 12”, B là “rút đúng hai lần bóng số 2”
Xét không gian mẫu là
tổng ba lần rút bằng 12, ta có các trường hợp sau:
TH1: 3 lần lấy ra bóng số 4 (1 cách)
TH2: 2 lần lấy ra bóng số 2 và 1 lần lấy ra bóng số 8 (3 cách) (*)
TH3: lấy ra 3 bóng khác nhau là 2, 4, 6 (
cách)
Tổng 10 cách
Từ (*) ta có:
Áp dụng công thức:
Gọi A là biến cố “tổng ba lần rút bằng 12”, B là “rút đúng hai lần bóng số 2”
Xét không gian mẫu là
tổng ba lần rút bằng 12, ta có các trường hợp sau:
TH1: 3 lần lấy ra bóng số 4 (1 cách)
TH2: 2 lần lấy ra bóng số 2 và 1 lần lấy ra bóng số 8 (3 cách) (*)
TH3: lấy ra 3 bóng khác nhau là 2, 4, 6 (
cách)
Tổng 10 cách
Từ (*) ta có:
Áp dụng công thức:
Câu 10 [1006982]: Gọi 
là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 20. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong tập hợp 
Gọi A là biến cố “ba số được chọn tạo thành một cấp số cộng” và B là biến cố “ba số được chọn có tổng bình phương là một số chia hết cho 3”. Tính 
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 20. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong tập hợp Gọi A là biến cố “ba số được chọn tạo thành một cấp số cộng” và B là biến cố “ba số được chọn có tổng bình phương là một số chia hết cho 3”. Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,07.
Xét
Gọi 3 số được chọn là
+) Xét biến cố
: 
Có 3 trường hợp có thể xảy ra với
là 
Ta có:
Xét
chỉ có 2 trường hợp là chia hết cho 3 và chia 3 dư 1
Hai tập hợp:
và 
(còn lại 13 số)
Ta cũng xét tương tự với
và 
cũng chỉ có 2 trường hợp là chia hết cho 3 và chia 3 dư 1
Tổng
hoàn toàn thỏa mãn việc chia hết cho 3
TH1:
(cách chọn)
TH2:
(cách chọn)
+) Xét biến cố
Vì
lần lượt tạo thành một cấp số cộng
cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Nhóm các số chia hết cho 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18
Nhóm các số chia hết cho 3 dư 1: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19
Nhóm các số chia hết cho 3 dư 2: 2, 5, 8, 11, 14, 17
TH1:
thuộc nhóm các số chia hết cho 3
Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 9 cách chọn
TH2:
thuộc nhóm các số chia 3 dư 1
Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 9 cách chọn
TH3:
thuộc nhóm các số chia 3 dư 2
Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 6 cách chọn
Ta có:
Xét
Gọi 3 số được chọn là
+) Xét biến cố
: Có 3 trường hợp có thể xảy ra với
là Ta có:
Xét
chỉ có 2 trường hợp là chia hết cho 3 và chia 3 dư 1Hai tập hợp:
và (còn lại 13 số)Ta cũng xét tương tự với
và cũng chỉ có 2 trường hợp là chia hết cho 3 và chia 3 dư 1Tổng
hoàn toàn thỏa mãn việc chia hết cho 3TH1:
(cách chọn)TH2:
(cách chọn)+) Xét biến cố
Vì
lần lượt tạo thành một cấp số cộng cùng chẵn hoặc cùng lẻ Nhóm các số chia hết cho 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18
Nhóm các số chia hết cho 3 dư 1: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19
Nhóm các số chia hết cho 3 dư 2: 2, 5, 8, 11, 14, 17
TH1:
thuộc nhóm các số chia hết cho 3Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 9 cách chọn
TH2:
thuộc nhóm các số chia 3 dư 1Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 9 cách chọn
TH3:
thuộc nhóm các số chia 3 dư 2Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 6 cách chọn
Ta có: