Câu 1 [697014]: Một nghiên cứu cho thấy có 5% các tin nhắn trên một mạng viễn thông X là tin nhắn quảng cáo. Trong các tin nhắn quảng cáo, 80% tin nhắn có chứa chữ “sale”. Trong các tin nhắn không quảng cáo, 2% tin nhắn có chữ “sale”. Chọn ngẫu nhiên 1 tin nhắn trên mạng viễn thông X.
Gọi
là biến cố: “tin nhắn là tin nhắn quảng cáo”.
Gọi
là biến cố: “tin nhắn chứa chữ “sale”.
Gọi
là biến cố: “tin nhắn là tin nhắn quảng cáo”. Gọi
là biến cố: “tin nhắn chứa chữ “sale”.
Gọi 
là biến cố “ Tin nhắn là tin nhắn quảng cáo”
là biến cố “ Tin nhắn chứa chữ sale”
a) Đúng.
Theo đề bài ta có:
b) Sai.
Vì trong các tin nhắn quảng cáo, 80% tin nhắn có chứa chữ “sale”
.
c) Sai.
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
d) Đúng.
Theo công thức Bayes ta có:
là biến cố “ Tin nhắn là tin nhắn quảng cáo” là biến cố “ Tin nhắn chứa chữ sale”a) Đúng.
Theo đề bài ta có:
b) Sai.
Vì trong các tin nhắn quảng cáo, 80% tin nhắn có chứa chữ “sale”
.c) Sai.
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
d) Đúng.
Theo công thức Bayes ta có:
Câu 2 [144885]: Trong một trạm cấp cứu bỏng : 80% bệnh nhân bỏng do nóng, 20% bỏng do hóa chất. Loại bỏng do nóng có 30% bi biến chứng, loại bỏng do hóa chất có 50% bị biến chứng. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Đúng.
b) Sai.
Chọn ngẫu nhiên một bệnh án. Xác suất để gặp bệnh án của bệnh nhân bị bỏnổng nóng và không bị biến chứng là
Gọi A là biến cố: “ Bệnh nhân có bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng”
là biến cố “Bệnh nhân bị bỏng nóng”.
là biến cố “Bệnh nhân bị bỏng hoá chất”.
Ta có:
và 
c) Đúng:
d) Sai.
b) Sai.
Chọn ngẫu nhiên một bệnh án. Xác suất để gặp bệnh án của bệnh nhân bị bỏnổng nóng và không bị biến chứng là
Gọi A là biến cố: “ Bệnh nhân có bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng”
là biến cố “Bệnh nhân bị bỏng nóng”.
là biến cố “Bệnh nhân bị bỏng hoá chất”.
Ta có:
và
c) Đúng:
d) Sai.
Câu 3 [1006973]: Hưng có một đồng xu không cân đối, mà khả năng xuất hiện mặt sấp là 60% và một con xúc xắc không cân đối, mà khả năng xuất hiện mặt 1 chấm nhiều gấp đôi so với các mặt còn lại. Hưng gieo đồng xu và quan sát mặt xuất hiện. Nếu mặt xuất hiện là mặt sấp thì Hưng gieo con xúc xắc 2 lần liên tiếp. Nếu mặt xuất hiện là mặt ngửa thì Hưng gieo con xúc xắc 1 lần.
a) Đúng
Gọi xác suất đổ trúng mặt 1 chấm là 2p, suy ra xác suất đổ được các mặt còn lại là p
Ta có:
Xác suất ra mặt 1 chấm là
b) Đúng
Gọi
là biến cố “Đồng xu ra sấp”
là biến cố “Gieo xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm”
c) Sai.
Ta có:
và 
d) Sai.
Theo công thức Bayes ta có:
Gọi xác suất đổ trúng mặt 1 chấm là 2p, suy ra xác suất đổ được các mặt còn lại là p
Ta có:
Xác suất ra mặt 1 chấm là
b) Đúng
Gọi
là biến cố “Đồng xu ra sấp” là biến cố “Gieo xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm”c) Sai.
Ta có:
và d) Sai.
Theo công thức Bayes ta có:
Câu 4 [693110]: Một xạ thủ bắn hai viên đạn vào một bia. Xác suất bắn trúng viên thứ nhất là 0,7. Nếu bắn trúng viên thứ nhất thì khả năng bắn trúng viên thứ hai là 0,8, nhưng nếu bắn trượt viên thứ nhất thì sẽ bị tâm lí dẫn đến khả năng bắn trúng viên thứ hai chỉ còn 0,3. Biết rằng viên thứ hai xạ thủ bắn trúng, xác suất xạ thủ bắn trúng viên thứ nhất là bao nhiêu % (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Điền đáp án: 
Gọi
là biến cố bắn viên thứ nhất trúng
Ta có:
Gọi
là biến cố bắn viên thứ hai trúng: 
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Xác suất viên thứ nhất trúng khi viên thứ hai bắn trúng là
Gọi
là biến cố bắn viên thứ nhất trúng Ta có:
Gọi
là biến cố bắn viên thứ hai trúng: Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Xác suất viên thứ nhất trúng khi viên thứ hai bắn trúng là
Câu 5 [694292]: Mỗi hộp đựng 12 bóng đèn, các bóng đèn trong cùng hộp thì cùng màu. Số hộp đựng bóng đèn màu xanh nhiều gấp 9 lần số hộp đựng bóng đèn màu vàng. Trong mỗi hộp đựng bóng đèn màu xanh có 3 bóng bị hỏng, mỗi hộp đựng bóng đèn màu vàng có 2 bóng bị hỏng Tính xác xuất để lấy ra hai bóng đèn màu xanh ở cùng một hộp, biết cả hai bóng đều bị hỏng. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Xác suất có điều kiện
+ Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi
là biến cố lấy được một hộp đựng bóng đèn màu vàng.
Suy ra
Gọi
là biến cố lấy được một hộp đựng bóng đèn màu xanh.
Suy ra
Gọi
là biến cố lấy được hai bóng đèn hỏng ở cùng 1 hộp.
Ta có xác suất lấy được 2 bóng đèn hỏng từ một hộp đựng bóng đèn vàng là
(vì trong mỗi hộp đựng bóng đèn vàng có 2 bóng bị hỏng).
Tương tự, vì trong mỗi hộp đựng bóng đèn màu xanh có 3 bóng bị hỏng nên xác suất lấy được 2 bóng đèn hỏng từ một hộp đựng bóng đèn xanh là
Ta có sơ đồ cây sau:
Ta có
Suy ra
Điền đáp án: 0,96.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi
là biến cố lấy được một hộp đựng bóng đèn màu vàng. Suy ra
Gọi
là biến cố lấy được một hộp đựng bóng đèn màu xanh. Suy ra
Gọi
là biến cố lấy được hai bóng đèn hỏng ở cùng 1 hộp.Ta có xác suất lấy được 2 bóng đèn hỏng từ một hộp đựng bóng đèn vàng là
(vì trong mỗi hộp đựng bóng đèn vàng có 2 bóng bị hỏng).Tương tự, vì trong mỗi hộp đựng bóng đèn màu xanh có 3 bóng bị hỏng nên xác suất lấy được 2 bóng đèn hỏng từ một hộp đựng bóng đèn xanh là
Ta có sơ đồ cây sau:
Ta có
Suy ra
Điền đáp án: 0,96.
Câu 6 [694452]: Có một kho chứa bia kém chất lượng chứa các thùng giống nhau (24 lon/thùng) gồm 2 loại: loại I để lẫn mỗi thùng 5 lon quá hạn sử dụng, loại II để lẫn mỗi thùng 3 lon quá hạn. Biết số lượng thùng loại I gấp 2 lần số lượng thùng loại II. Chọn ngẫu nhiên 1 thùng từ trong kho, từ thùng đó chọn ngẫu nhiên 10 lon thì thấy trong 10 lon đó có hai lon quá hạn sử dụng. Tính xác suất 10 lon được lấy là bia loại I (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi 
là biến cố chọn được thùng loại 
là biến cố chọn được 10 sản phẩm trong đó có 2 lon quá hạn từ thùng được chọn ra.
Từ đó, ta có
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có:
Ta có sơ đồ cây sau:
Xác suất để chọn được 2 lon quá hạn là:
Suy ra xác suất bia được lấy thuộc loại I là:
Điền đáp án: 0,71.
là biến cố chọn được thùng loại là biến cố chọn được 10 sản phẩm trong đó có 2 lon quá hạn từ thùng được chọn ra.Từ đó, ta có
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có:
Ta có sơ đồ cây sau:
Xác suất để chọn được 2 lon quá hạn là:
Suy ra xác suất bia được lấy thuộc loại I là:
Điền đáp án: 0,71.
Câu 7 [694767]: Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng. Hộp thứ hai có 8 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng. Lần thứ nhất: Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, lần thứ hai: lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn ở hộp thứ hai. Biết rằng lấy được quả bóng bàn màu vàng ở lần thứ hai, tính xác suất ở lần thứ nhất lấy được số quả bóng bàn màu trắng và màu vàng bằng nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,63.
Trong lần lấy thứ nhất, vì hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng nên khi lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất thì chỉ có 2 khả năng có thể xảy ra là :
+) Lấy được 1 quả bóng bàn màu vàng và 3 quả bóng bàn màu trắng;
+) Lấy được 2 quả bóng bàn màu vàng và 2 quả bóng bàn màu trắng.
Xét các biến cố:
“Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai”;
“Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng”;
“Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng”.
Ta có
Và
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có
Áp dụng công thức Bayes, ta có
Trong lần lấy thứ nhất, vì hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng nên khi lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất thì chỉ có 2 khả năng có thể xảy ra là :
+) Lấy được 1 quả bóng bàn màu vàng và 3 quả bóng bàn màu trắng;
+) Lấy được 2 quả bóng bàn màu vàng và 2 quả bóng bàn màu trắng.
Xét các biến cố:
“Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai”; “Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng”; “Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng”.Ta có
Và
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có
Áp dụng công thức Bayes, ta có
Câu 8 [698960]: Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà chỉ có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Vợ ông ta nhận thấy rằng: Bình quân cứ 100 lần về nhà thì 71 lần ông ta về nhà trước 6 giờ tối. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,83.
Gọi xác suất người đó đi theo đường ngầm là
Từ dữ kiện bài cho, ta có sơ đồ cây sau:
Gọi
là biến cố “Ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối”
Suy ra
là biến cố “Ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối”
lần lượt là biến cố : “Ông ta đi đường ngầm” và “Ông ta đi lối cầu”.
Ta có dữ kiện: Bình quân cứ 100 lần về nhà thì 71 lần ông ta về nhà trước 6 giờ tối nên suy ra xác suất ông ta về nhà trước 6 giờ tối là
Suy ra 
Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối là
Gọi xác suất người đó đi theo đường ngầm là
Từ dữ kiện bài cho, ta có sơ đồ cây sau:
Gọi
là biến cố “Ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối”Suy ra
là biến cố “Ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối” lần lượt là biến cố : “Ông ta đi đường ngầm” và “Ông ta đi lối cầu”.Ta có dữ kiện: Bình quân cứ 100 lần về nhà thì 71 lần ông ta về nhà trước 6 giờ tối nên suy ra xác suất ông ta về nhà trước 6 giờ tối là
Suy ra Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối là
Câu 9 [1001311]: Trong một kho hàng có 3 kiện hàng loại A và 2 kiện hàng loại B (mỗi kiện hàng đều có 20 sản phẩm), số sản phẩm tốt tương ứng của kiện hàng loại A và loại B lần lượt là 18 và 16. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kiện hàng này thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng loại A (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,65.
Gọi
là biến cố “ Lấy được kiện hàng loại A”.
là biến cố “ Lấy được kiện hàng loại B”.
là biến cố “ Sản phẩm lấy được từ lần lấy đầu tiên là sản phẩm tốt”
là biến cố “Sản phẩm lấy được lần thứ hai (sau khi trả lại sản phẩm ở kiện hàng vừa lấy) là sản phẩm tốt”
Theo đề bài ta có:
+)
.
+)
.
+) Vì sản phẩm đầu tiên được trả lại kiện hàng, nên xác suất lấy được sản phẩm tốt lần 2 từ cùng kiện hàng sẽ giống với lần đầu:
.
+) Vì
và 
độc lập với nhau nên ta có:
+) Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
+) Theo công thức Bayes ta có:
Gọi
là biến cố “ Lấy được kiện hàng loại A”. là biến cố “ Lấy được kiện hàng loại B”. là biến cố “ Sản phẩm lấy được từ lần lấy đầu tiên là sản phẩm tốt” là biến cố “Sản phẩm lấy được lần thứ hai (sau khi trả lại sản phẩm ở kiện hàng vừa lấy) là sản phẩm tốt”Theo đề bài ta có:
+)
.+)
.+) Vì sản phẩm đầu tiên được trả lại kiện hàng, nên xác suất lấy được sản phẩm tốt lần 2 từ cùng kiện hàng sẽ giống với lần đầu:
.+) Vì
và độc lập với nhau nên ta có: +) Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
+) Theo công thức Bayes ta có:
Câu 10 [1006981]: Trong một vụ án ở thành phố, nếu có một manh mối nào đó, thanh tra X có thể dự đoán tội phạm với tỉ lệ chính xác 
nếu đã biết một manh mối về thủ phạm, và chỉ dự đoán đúng 
nếu không có manh mối. Giả sử trong một vụ cướp, có một bằng chứng cho thấy tội phạm có một đặc điểm là hói đầu và có 
dân số của thành phố sở hữu đặc điểm này. Một người được thanh tra dự đoán là tội phạm và điều đó hoàn toàn đúng, xác suất người này không hói đầu là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
nếu đã biết một manh mối về thủ phạm, và chỉ dự đoán đúng nếu không có manh mối. Giả sử trong một vụ cướp, có một bằng chứng cho thấy tội phạm có một đặc điểm là hói đầu và có dân số của thành phố sở hữu đặc điểm này. Một người được thanh tra dự đoán là tội phạm và điều đó hoàn toàn đúng, xác suất người này không hói đầu là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 69,2.
Gọi A là biến cố “Người này bị hói đầu” và B là biến cố “Thanh tra dự đoán chính xác”
Ta có:
và 
(vì có đặc điểm nên tỉ lệ dự đoán chính xác của thanh tra là 60%)
Khi không có manh mối thì thanh tra dự đoán đúng 15%, ta có:
Từ thông tin trên, ta có sơ đồ cây sau:
Suy ra
và 
Ta có:
Gọi A là biến cố “Người này bị hói đầu” và B là biến cố “Thanh tra dự đoán chính xác”
Ta có:
và (vì có đặc điểm nên tỉ lệ dự đoán chính xác của thanh tra là 60%)Khi không có manh mối thì thanh tra dự đoán đúng 15%, ta có:
Từ thông tin trên, ta có sơ đồ cây sau:
Suy ra
và Ta có:
Câu 11 [1040915]: Có 24 con voi trong một khu bảo tồn động vật hoang dã. Người quản lý gắn thẻ sáu con voi bằng máy phát vô tuyến nhỏ và trả chúng về khu bảo tồn. Tháng tiếp theo, một người quản lý khác chọn ngẫu nhiên một con voi từ khu bảo tồn để gắn thẻ và lại trả về, nhưng anh ta không rõ là con voi này được gắn thẻ trước đó chưa. Giả sử không có con voi nào rời khỏi hoặc vào khu bảo tồn, hoặc chết hoặc sinh con, giữa thời điểm gắn thẻ và lựa chọn. Chọn ngẫu nhiên hai con voi trong khu bảo tồn, biết rằng hai con voi lấy ra có ít nhất một con voi được gắn thẻ, tính xác suất để trong khu bảo tồn có đúng sáu con voi được gắn thẻ (làm tròn kết quả đến hàng phầntrăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi
là biến cố: “Có đúng 6 con voi được gắn thẻ”
là biến cố: “Có 7 con voi được gắn thẻ ”
là biến cố: “Hai con voi lấy ra có ít nhất 1 con voi được gắn thẻ”
Ban đầu gắn thẻ cho 6 con trong 24 con voi nên
Sau 1 tháng chọn ngẫu nhiên 1 con voi từ khu bảo tồn để gắn thẻ nên
Ta có:
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,23.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi
là biến cố: “Có đúng 6 con voi được gắn thẻ” là biến cố: “Có 7 con voi được gắn thẻ ” là biến cố: “Hai con voi lấy ra có ít nhất 1 con voi được gắn thẻ”Ban đầu gắn thẻ cho 6 con trong 24 con voi nên
Sau 1 tháng chọn ngẫu nhiên 1 con voi từ khu bảo tồn để gắn thẻ nên
Ta có:
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,23.
Câu 12 [143816]: Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng hay do hai trứng khác nhau sinh ra. Các cặp sinh đôi cùng trứng luôn có cùng giới tính. Cặp sinh đôi khác trứng thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30% cặp sinh đôi đều là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tỷ lệ cặp sinh đôi cùng trứng là bao nhiêu phần trăm?
Gọi A là biến cố: Cặp sinh đôi cùng trứng
B là biến cố: Cặp sinh đôi khác trứng
Gọi
là tỷ lệ sinh đôi cùng trứng thì 
là tỷ lệ sinh đôi khác trứng.
Ta có sơ đồ hình cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
B là biến cố: Cặp sinh đôi khác trứng
Gọi
là tỷ lệ sinh đôi cùng trứng thì là tỷ lệ sinh đôi khác trứng.Ta có sơ đồ hình cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Câu 13 [1134264]: Túi A chứa 2 quả bóng trắng và 4 quả bóng đen. Túi B chứa 3 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen. Sử dụng hai túi A, B và một con xúc xắc để thực hiện thí nghiệm sau, tung xúc xắc một lần.
• Nếu số chấm xuất hiện từ 5 trở lên, lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ túi A.
• Nếu số chấm xuất hiện từ 4 trở xuống, lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ túi B.
Hỏi sau khi thực hiện thí nghiệm một lần, biết rằng 2 quả bóng lấy ra đều là màu trắng, xác suất để số chấm xuất hiện trên xúc xắc là từ 5 trở lên là
Tính 
• Nếu số chấm xuất hiện từ 5 trở lên, lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ túi A.
• Nếu số chấm xuất hiện từ 4 trở xuống, lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ túi B.
Hỏi sau khi thực hiện thí nghiệm một lần, biết rằng 2 quả bóng lấy ra đều là màu trắng, xác suất để số chấm xuất hiện trên xúc xắc là từ 5 trở lên là
Tính
Gọi 
là biến cố: “Tung được 5, 6”.
là biến cố: “Lấy ra được 2 bóng trắng”
Yêu cầu bài toán: Tính
Theo công thức Bayes ta có 
Xác suất để tung được số chấm 5, 6 là
Khi đó xác suất lấy được 2 bóng trắng từ túi A (2 bóng trắng và 4 bóng đen) là 
Xác suất để tung được số chấm 1, 2, 3, 4 là
Khi đó xác suất lấy được 2 bóng trắng từ túi B (3 bóng trắng và 3 bóng đen) là 
Ta được sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, suy ra xác suất lấy được ra 2 bóng trắng là
Áp dụng công thức Bayes, xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 8638.
là biến cố: “Tung được 5, 6”.
là biến cố: “Lấy ra được 2 bóng trắng”
Yêu cầu bài toán: Tính
Theo công thức Bayes ta có
Xác suất để tung được số chấm 5, 6 là
Khi đó xác suất lấy được 2 bóng trắng từ túi A (2 bóng trắng và 4 bóng đen) là
Xác suất để tung được số chấm 1, 2, 3, 4 là
Khi đó xác suất lấy được 2 bóng trắng từ túi B (3 bóng trắng và 3 bóng đen) là
Ta được sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, suy ra xác suất lấy được ra 2 bóng trắng là
Áp dụng công thức Bayes, xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 8638.
Câu 14 [143815]: Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vị trí A với xác suất 
và ở vị trí B với xác suất 
Người ta đặt 3 khẩu súng ở vị trí A và 1 khẩu súng ở vị trí B. Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với nhau, tính xác suất máy bay rơi, biết rằng máy bay sẽ rơi nếu bị bắn trúng. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
và ở vị trí B với xác suất Người ta đặt 3 khẩu súng ở vị trí A và 1 khẩu súng ở vị trí B. Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với nhau, tính xác suất máy bay rơi, biết rằng máy bay sẽ rơi nếu bị bắn trúng. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng. Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay là: 
Xác suất để ở vị trí A không có khẩu pháo nào bắn trúng là
Theo công thức xác suất toàn phần. Xác suất để máy bay rơi là:
Xác suất để ở vị trí A không có khẩu pháo nào bắn trúng là
Theo công thức xác suất toàn phần. Xác suất để máy bay rơi là:
Câu 15 [1006984]: Một bệnh nhân uống nhầm một trong hai loại thuốc A hoặc B. Các lọ thuốc bề ngoài trông thật giống nhau, lại để chung trong một ngăn kéo. Cả hai loại đều có hại đối với bệnh nhân này. Có 6 lọ loại A và 9 lọ loại B để trong một ngăn kéo. Bệnh nhân vô tình lấy một lọ ra dùng. Dùng phải A hay B đều có khả năng bị hạ huyết áp. Khả năng đó là 75% nếu dùng A, 20% nếu dùng B. Quả thật người này bị hạ huyết áp sau khi dùng thuốc. Tùy theo bệnh nhân uống nhầm A hay B mà bác sĩ sẽ xử trí khác nhau. Nếu không xử trí thích hợp thì khả năng bị di chứng là 10% nếu dùng A, 20% nếu dùng B. Ở bệnh nhân trên, tỉ lệ di chứng khi uống nhầm thuốc 
gấp bao nhiều lần khi uống nhầm thuốc 
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
gấp bao nhiều lần khi uống nhầm thuốc (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 1,25.
Gọi
là biến cố: “Lấy lọ loại A”
là biến cố: “Lấy lọ loại B”
là biến cố: “Người đó bị hạ huyết áp”
là biến cố: “Người đó có không bị hạ huyết áp”
Theo đề bài ta có :
+)
+)
+)
Tỷ lệ di chứng của thuốc
gấp 
lần di chứng của thuốc 
Gọi
là biến cố: “Lấy lọ loại A” là biến cố: “Lấy lọ loại B” là biến cố: “Người đó bị hạ huyết áp” là biến cố: “Người đó có không bị hạ huyết áp”Theo đề bài ta có :
+)
+)
+)
Tỷ lệ di chứng của thuốc
gấp lần di chứng của thuốc
Câu 16 [1168801]: Một bức thư được biết là gửi đến từ TATANAGAR hoặc CALCUTTA. Trên phong bì chỉ nhìn thấy hai chữ cái liên tiếp là TA. Hỏi xác suất để bức thư đó được gửi từ TATANAGAR là bao nhiêu 
(trong đó 
là phân số tối giản, 
). Tính 
(trong đó là phân số tối giản, ). Tính
Trả lời: 18
Gọi
"Bức thư gửi từ CALCUTTA",
"Bức thư gửi từ TATANAGAR",
"Trên phong bì nhìn thấy hai chữ cái liên tiếp TA".
Khi đó
Trong chữ CALCUTTA có 7 cặp chữ cái liên tiếp: CA, AL, LC, CU, UT, TT, TA nên
Trong chữ TATANAGAR có 8 cặp chữ cái liên tiếp: TA, AT, TA, AN, NA, AG, GA, AR nên
Theo công thức Bayes,
Vậy xác suất để bức thư được gửi từ TATANAGAR là
Gọi
"Bức thư gửi từ CALCUTTA",
"Bức thư gửi từ TATANAGAR",
"Trên phong bì nhìn thấy hai chữ cái liên tiếp TA".
Khi đó
Trong chữ CALCUTTA có 7 cặp chữ cái liên tiếp: CA, AL, LC, CU, UT, TT, TA nên
Trong chữ TATANAGAR có 8 cặp chữ cái liên tiếp: TA, AT, TA, AN, NA, AG, GA, AR nên
Theo công thức Bayes,
Vậy xác suất để bức thư được gửi từ TATANAGAR là
Câu 17 [1168808]: Trong túi A có 6 tấm thẻ ghi các số 
Trong túi B có 6 tấm thẻ ghi các số 
Dùng hai túi 
và 3 đồng xu giống nhau để làm thí nghiệm sau:
Nếu tung đồng thời 3 đồng xu mà số mặt ngửa xuất hiện là 3 thì rút ngẫu nhiên đồng thời 2 tấm thẻ từ túi A. Nếu tung đồng thời 3 đồng xu mà số mặt ngửa xuất hiện không quá 2 thì rút ngẫu nhiên đồng thời 2 tấm thẻ từ túi B. Thực hiện thí nghiệm một lần. Xác suất để tổng hai số ghi trên 2 tấm thẻ rút ra là một số nguyên tố bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trong túi B có 6 tấm thẻ ghi các số Dùng hai túi và 3 đồng xu giống nhau để làm thí nghiệm sau:
Nếu tung đồng thời 3 đồng xu mà số mặt ngửa xuất hiện là 3 thì rút ngẫu nhiên đồng thời 2 tấm thẻ từ túi A. Nếu tung đồng thời 3 đồng xu mà số mặt ngửa xuất hiện không quá 2 thì rút ngẫu nhiên đồng thời 2 tấm thẻ từ túi B. Thực hiện thí nghiệm một lần. Xác suất để tổng hai số ghi trên 2 tấm thẻ rút ra là một số nguyên tố bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi 
là biến cố "khi tung đồng thời 3 đồng xu thì số mặt ngửa là 3". Khi đó 
Gọi Y là biến cố "tổng hai số ghi trên 2 tấm thẻ rút ra là số nguyên tố".
Xét trường hợp rút 2 thẻ từ túi A:
(i) Xác suất rút 2 thẻ đều ghi số 1 là
(ii) Xác suất rút lần lượt 1 thẻ ghi số 1 và 1 thẻ ghi số 2 là
(iii) Xác suất rút lằn lượt 1 thẻ ghi số 2 và 1 thẻ ghi số 3 là
Do đó
Và
Xét trường hợp rút 2 thẻ từ túi B:
Tổng là số nguyên tố chỉ xảy ra khi rứt được một thẻ ghi 3 và một thẻ ghi 4, nên
Suy ra
Vậy
là biến cố "khi tung đồng thời 3 đồng xu thì số mặt ngửa là 3". Khi đó
Gọi Y là biến cố "tổng hai số ghi trên 2 tấm thẻ rút ra là số nguyên tố".
Xét trường hợp rút 2 thẻ từ túi A:
(i) Xác suất rút 2 thẻ đều ghi số 1 là
(ii) Xác suất rút lần lượt 1 thẻ ghi số 1 và 1 thẻ ghi số 2 là
(iii) Xác suất rút lằn lượt 1 thẻ ghi số 2 và 1 thẻ ghi số 3 là
Do đó
Và
Xét trường hợp rút 2 thẻ từ túi B:
Tổng là số nguyên tố chỉ xảy ra khi rứt được một thẻ ghi 3 và một thẻ ghi 4, nên
Suy ra
Vậy
Câu 18 [1167184]: Trong giải đấu của trường, lớp 12A có lịch thi đấu hai trận vào thứ năm và chủ nhật. Xác suất lớp 12A thắng trận thứ năm là 
, xác suất thắng trận chủ nhật là 
. Khả năng thắng của đội phụ thuộc vào kết quả trận trước: nếu trận thứ năm thắng, xác suất thắng vào chủ nhật sẽ cao gấp ba lần so với trường hợp trận thứ năm thua. Xác suất để đội bóng lớp 12A thắng đúng một trận trong hai ngày đó là 
, với 
là các số nguyên dương và 
tối giản. Giá trị 
bằng bao nhiêu?
, xác suất thắng trận chủ nhật là . Khả năng thắng của đội phụ thuộc vào kết quả trận trước: nếu trận thứ năm thắng, xác suất thắng vào chủ nhật sẽ cao gấp ba lần so với trường hợp trận thứ năm thua. Xác suất để đội bóng lớp 12A thắng đúng một trận trong hai ngày đó là , với là các số nguyên dương và tối giản. Giá trị bằng bao nhiêu?
Đáp án: 44.
Gọi các biến cố:
: "Lớp 12A thắng trận thứ năm". Theo đề bài, ta có 
, suy ra xác suất thua là 
B: "Lớp 12A thắng trận chủ nhật". Theo đề bài, ta có
Theo giả thiết
Gọi
, ta có 
Có
Từ đó ta có
Xác suất đội bóng thắng đúng một trận trong hai ngày bằng tổng xác suất thắng thứ năm - thua chủ nhật và xác suất thua thứ năm - thắng chủ nhật
Trường hợp thắng T5, thua CN:
Trường hợp thua T5, thắng CN:
Xác suất để đội bóng lớp 12A thắng đúng một trận trong hai ngày đó là
Ta có
và 
Suy ra 
Gọi các biến cố:
: "Lớp 12A thắng trận thứ năm". Theo đề bài, ta có , suy ra xác suất thua là
B: "Lớp 12A thắng trận chủ nhật". Theo đề bài, ta có
Theo giả thiết
Gọi
, ta có
Có
Từ đó ta có
Xác suất đội bóng thắng đúng một trận trong hai ngày bằng tổng xác suất thắng thứ năm - thua chủ nhật và xác suất thua thứ năm - thắng chủ nhật
Trường hợp thắng T5, thua CN:
Trường hợp thua T5, thắng CN:
Xác suất để đội bóng lớp 12A thắng đúng một trận trong hai ngày đó là
Ta có
và Suy ra