Câu 1 [713098]: Cho một lưới ô vuông gồm 16 ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ có kích thước 
mét như hình vẽ bên. Con kiến thứ nhất ở vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B , con kiến thứ hai ở vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A . Biết rằng con kiến thứ nhất chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dưới (theo cạnh của các hình vuông). Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và có
cùng vận tốc di chuyển. Gọi a là xác suất để hai con kiến gặp nhau trên đường đi? Tính
mét như hình vẽ bên. Con kiến thứ nhất ở vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B , con kiến thứ hai ở vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A . Biết rằng con kiến thứ nhất chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dưới (theo cạnh của các hình vuông). Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và có cùng vận tốc di chuyển. Gọi a là xác suất để hai con kiến gặp nhau trên đường đi? Tính
Điền đáp án: 680
Giả sử
Ta thấy rằng sau mỗi bước đồng thời tổng tọa độ
của kiến thứ nhất tăng 
(bắt đầu từ 0) còn của kiến thứ hai giảm 
(bắt đầu từ 8).
Do đó chúng chỉ có thể gặp nhau khi
tức là chỉ có thể gặp nhau trên đường chéo các điểm 
với 
và thời điểm duy nhất có thể gặp là sau 4 bước.
Bây giờ đếm xác suất tới từng điểm
sau 4 bước:
- Với con kiến thứ nhất: trong 4 bước đầu mỗi bước đều có 2 lựa chọn (phải hoặc lên), nên xác suất có đúng
bước sang phải trong 4 bước là 
Khi đó con kiến thứ nhất ở điểm
- Tương tự kiến thứ hai (bắt đầu từ
) có xác suất 
và cũng đến 
Vậy xác suất cả hai gặp nhau (tức cùng đến cùng một điểm trên đường chéo) là
Giả sử
Ta thấy rằng sau mỗi bước đồng thời tổng tọa độ
của kiến thứ nhất tăng (bắt đầu từ 0) còn của kiến thứ hai giảm (bắt đầu từ 8). Do đó chúng chỉ có thể gặp nhau khi
tức là chỉ có thể gặp nhau trên đường chéo các điểm với và thời điểm duy nhất có thể gặp là sau 4 bước.Bây giờ đếm xác suất tới từng điểm
sau 4 bước:- Với con kiến thứ nhất: trong 4 bước đầu mỗi bước đều có 2 lựa chọn (phải hoặc lên), nên xác suất có đúng
bước sang phải trong 4 bước là Khi đó con kiến thứ nhất ở điểm
- Tương tự kiến thứ hai (bắt đầu từ
) có xác suất và cũng đến Vậy xác suất cả hai gặp nhau (tức cùng đến cùng một điểm trên đường chéo) là
Câu 2 [693128]: Trên đường Mạnh đi từ nhà (M) đến công ty (C) có điểm A người ta đang thi công sửa chữa đường nên không thể đi qua A. Biết rằng toàn bộ cung đường theo bản đồ từ dưới lên trên và từ trái qua phải là đường một chiều vì vậy Mạnh chỉ được phép đi lên hoặc đi sang phải. Vậy Mạnh có bao nhiêu cách đến công ty?
Điền đáp án: 
Số cách Mạnh đến công ty là: 15 cách.
Minh họa:
Số cách Mạnh đến công ty là: 15 cách.
Minh họa:
Câu 3 [1035725]: Cho một lưới ô vuông kích thước 
với các kí hiệu như hình vẽ. Với 
là 2 điểm nằm ở các nút giao (như hình vẽ).
Để đi từ điểm
đến 
một con kiến di chuyển ngẫu nhiên sang phải hoặc đi lên theo các đoạn thẳng là cạnh của hình vuông đơn vị. Có bao nhiêu cách để con kiến đi từ 
mà không đi qua 
là bao nhiêu?
với các kí hiệu như hình vẽ. Với là 2 điểm nằm ở các nút giao (như hình vẽ). Để đi từ điểm
đến một con kiến di chuyển ngẫu nhiên sang phải hoặc đi lên theo các đoạn thẳng là cạnh của hình vuông đơn vị. Có bao nhiêu cách để con kiến đi từ mà không đi qua là bao nhiêu?
Để đi từ 
thì con kiến cần sang phải 2 lần và lên trên 3 lần (tổng số là 5 lần)
Như vậy số cách con kiến đi từ điểm
đến 
là 
Tương tự số cách con kiến đi từ điểm
đến 
là 
Số cách con kiến đi từ điểm
đến 
là 
Số cách con kiến đi từ điểm
đến 
là 
Số cách con kiến đi từ
là: 
Số cách con kiến đi từ
là: 
Suy ra có
thì con kiến cần sang phải 2 lần và lên trên 3 lần (tổng số là 5 lần)Như vậy số cách con kiến đi từ điểm
đến là Tương tự số cách con kiến đi từ điểm
đến là Số cách con kiến đi từ điểm
đến là Số cách con kiến đi từ điểm
đến là Số cách con kiến đi từ
là: Số cách con kiến đi từ
là: Suy ra có
Câu 4 [1040795]: Xét một đồ thị đầy đủ 
có 4 đỉnh, các đỉnh đó được kết nối với nhau thông qua các cạnh và 2 đường chéo (tham khảo hình vẽ). Với 6 cạnh của đồ thị, tung một đồng xu cân đối ngẫu nhiên: nếu mặt ngửa xuất hiện, ta giữ nguyên cạnh đó; nếu mặt sấp xuất hiện, ta loại bỏ cạnh đó. Tính xác suất đồ thị vẫn được kết nối Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có 4 đỉnh, các đỉnh đó được kết nối với nhau thông qua các cạnh và 2 đường chéo (tham khảo hình vẽ). Với 6 cạnh của đồ thị, tung một đồng xu cân đối ngẫu nhiên: nếu mặt ngửa xuất hiện, ta giữ nguyên cạnh đó; nếu mặt sấp xuất hiện, ta loại bỏ cạnh đó. Tính xác suất đồ thị vẫn được kết nối Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,59.
Mỗi cạnh có 2 khả năng (giữ lại hoặc loại bỏ) và có tổng cộng 6 cạnh.
Tổng số trường hợp có thể xảy ra là 
.
Loại 1: Có ít nhất 1 đỉnh bị cô lập.
Ta sử dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ.
TH1: Có 1 đỉnh bị cô lập.
Có 4 cách chọn đỉnh bị cô lập .
Giả sử
bị cô lập.
Cạnh
bị loại bỏ.
Các cạnh còn lại có thể tồn tại hoặc không nên có
cách
Tổng có tất cả 
cách.
TH2: Có 2 đỉnh bị cô lập.
Chọn 2 đỉnh trong 4 đỉnh bất kỳ có
cách.
Giả sử
và 
bị cô lập.
Các cạnh
bị loại bỏ.
Các cạnh đã bị loại bỏ:
Cạnh
có thể tồn tại hoặc không nên có 2 cách.
Tổng có tất cả 
cách.
TH3: Có 3 đỉnh bị cô lập.
Chọn 3 đỉnh trong 4 đỉnh bất kỳ có
cách.
Giả sử
bị cô lập.Các cạnh 
phải bị loại bỏ để 
bị cô lập và không nối với 
.
Điều này có nghĩa là tất cả các cạnh phải bị loại bỏ.
Tổng có tất cả 
cách.
TH4: Cả 4 đỉnh bị cô lập.
Tất cả các cạnh đều bị loại bỏ
Có duy nhất 1 cách.
Số trường hợp có ít nhất một đỉnh bị cô lập là
.
Loại 2: Đồ thị bị chia thành 2 thành phần con, nhưng không có đỉnh nào bị cô lập.
Điều này có nghĩa là đồ thị bị chia thành hai tập hợp con có 2 đỉnh.
Giả sử là
và 
Để điều này xảy ra, tất cả các cạnh nối giữa
và 
phải bị loại bỏ.
Các cạnh đó là:
Cạnh
và 
phải tồn tại để đảm bảo không có đỉnh nào bị cô lập.
Cạnh
loại bỏ (xúc sắc xuất hiện mặt sấp).
Cạnh
: giữ lại (xúc sắc xuất hiện mặt ngửa).
Số cách cho trường hợp
và 
là 
Có 3 cách để chia 4 đỉnh thành 2 tập hợp con 2 đỉnh ( không phân biệt thứ tự nhóm):
-
và 
-
và 
-
và 
Vậy có tất cả
trường hợp.
Xác suất đồ thị vẫn được kết nối là
Mỗi cạnh có 2 khả năng (giữ lại hoặc loại bỏ) và có tổng cộng 6 cạnh.
Tổng số trường hợp có thể xảy ra là .Loại 1: Có ít nhất 1 đỉnh bị cô lập.
Ta sử dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ.
TH1: Có 1 đỉnh bị cô lập.
Có 4 cách chọn đỉnh bị cô lập .
Giả sử
bị cô lập. Cạnh
bị loại bỏ. Các cạnh còn lại có thể tồn tại hoặc không nên có
cáchTổng có tất cả cách.TH2: Có 2 đỉnh bị cô lập.
Chọn 2 đỉnh trong 4 đỉnh bất kỳ có
cách.Giả sử
và bị cô lập. Các cạnh
bị loại bỏ. Các cạnh đã bị loại bỏ:
Cạnh
có thể tồn tại hoặc không nên có 2 cách.Tổng có tất cả cách.TH3: Có 3 đỉnh bị cô lập.
Chọn 3 đỉnh trong 4 đỉnh bất kỳ có
cách.Giả sử
bị cô lập.Các cạnh phải bị loại bỏ để bị cô lập và không nối với . Điều này có nghĩa là tất cả các cạnh phải bị loại bỏ.
Tổng có tất cả cách.TH4: Cả 4 đỉnh bị cô lập.
Tất cả các cạnh đều bị loại bỏ
Có duy nhất 1 cách.Số trường hợp có ít nhất một đỉnh bị cô lập là
.Loại 2: Đồ thị bị chia thành 2 thành phần con, nhưng không có đỉnh nào bị cô lập.
Điều này có nghĩa là đồ thị bị chia thành hai tập hợp con có 2 đỉnh.
Giả sử là
và Để điều này xảy ra, tất cả các cạnh nối giữa
và phải bị loại bỏ. Các cạnh đó là:
Cạnh
và phải tồn tại để đảm bảo không có đỉnh nào bị cô lập.Cạnh
loại bỏ (xúc sắc xuất hiện mặt sấp).Cạnh
: giữ lại (xúc sắc xuất hiện mặt ngửa). Số cách cho trường hợp
và là Có 3 cách để chia 4 đỉnh thành 2 tập hợp con 2 đỉnh ( không phân biệt thứ tự nhóm):
-
và -
và -
và Vậy có tất cả
trường hợp.Xác suất đồ thị vẫn được kết nối là
Câu 5 [1040950]: Một hệ thống chiếu sáng có 5 bóng đèn được đặt ở các đỉnh của một đồ thị được kết nối như hình vẽ. Các bóng đèn được nối với nhau bằng dây điện dọc theo 8 cạnh của đồ thị. Mỗi dây điện có xác suất hoạt động bình thường và bị lỗi là bằng nhau. Để toàn bộ hệ thống sáng, tất cả các bóng đèn phải nhận được điện từ một nguồn duy nhất (tức là đồ thị các dây điện hoạt động phải liên thông giữa 5 đỉnh). Tính xác suất toàn bộ hệ thống chiếu sáng vẫn hoạt động được (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Điền đáp án: 0,52.
Gọi
là đồ thị dây điện không liên thông
TH1: Có 0,1,2,3 dây điện hoạt động, còn lại bị hỏng
Số đồ thị không liên thông là 
TH2: Có 4 dây hoạt động
+) 4 dây cùng 1 bên so với trục
hoặc 
Mỗi bên trục có 5 cạnh
Có 
cách
+) 4 dây hoạt động là cạnh của hình vuông: 1 cách
+) 1 tam giác và cạnh đối diện: 4 cách
Có 25 cách
TH3: Có 5 dây hoạt động
- 5 dây này phải nằm về 1 phía so với 1 trục:
cách
Xác suất cần tìm là
Mức độ: Vận dụng (8+).
Điền đáp án: 0,52.
Gọi
là đồ thị dây điện không liên thôngTH1: Có 0,1,2,3 dây điện hoạt động, còn lại bị hỏng
Số đồ thị không liên thông là TH2: Có 4 dây hoạt động
+) 4 dây cùng 1 bên so với trục
hoặc Mỗi bên trục có 5 cạnh
Có cách+) 4 dây hoạt động là cạnh của hình vuông: 1 cách
+) 1 tam giác và cạnh đối diện: 4 cách
Có 25 cáchTH3: Có 5 dây hoạt động
- 5 dây này phải nằm về 1 phía so với 1 trục:
cáchXác suất cần tìm là
Câu 6 [1137080]: Có một mạng lưới đường bộ như hình vẽ. Có bao nhiêu con đường ngắn nhất để đi từ điểm 
đến điểm 
đến điểm
Để dễ quan sát, ta quay hình và kí hiệu như hình.
Khi đó: để con đường ngắn nhất thì ta chỉ được phép đi xuống hoặc sang phải.
Để đi từ
đến 
ta chia thành 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1
Xuống 2 lần, sang phải 2 lần: có 
cách.
Giai đoạn 2
Xuống 2 lần, sang phải 2 lần: có 
cách.
Vậy số con đường ngắn nhất thỏa mãn là
Điền đáp án: 36.
Khi đó: để con đường ngắn nhất thì ta chỉ được phép đi xuống hoặc sang phải.
Để đi từ
đến ta chia thành 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1
Xuống 2 lần, sang phải 2 lần: có cách.
Giai đoạn 2
Xuống 2 lần, sang phải 2 lần: có cách.
Vậy số con đường ngắn nhất thỏa mãn là
Điền đáp án: 36.
Câu 7 [1137081]: Có một mạng lưới đường đi được kết nối theo hình vuông như hình vẽ. Số cách đi từ điểm 
đến điểm 
theo quãng đường ngắn nhất là bao nhiêu?
đến điểm theo quãng đường ngắn nhất là bao nhiêu?
Tham khảo hình vẽ.
Khi đó tổng số con đường ngắn nhất đi từ
đến 
là tổng của các lộ trình sau:
Nhận xét: Để con đường ngắn nhất thì ta chỉ được di chuyển sang trái hoặc xuống dưới.
Lộ trình 1:
có 1 cách (đi thẳng từ 
Lộ trình 2:
Sang phải 5 lần + Đi xuống 1 lần (tổng 6 lần di chuyển): có 
cách.
tương tự 
có 6 cách.
Lộ trình 3:
Cụ thể:
Sang phải 4 lần + xuống 1 lần (tổng 5 lần di chuyển): có 
cách.
1 cách.
tương tự 
nên có 5 cách.
Vậy tổng số cách đi ngắn nhất từ
đến 
là 
cách.
Điền đáp án: 62.
Khi đó tổng số con đường ngắn nhất đi từ
đến là tổng của các lộ trình sau:
Nhận xét: Để con đường ngắn nhất thì ta chỉ được di chuyển sang trái hoặc xuống dưới.
Lộ trình 1:
có 1 cách (đi thẳng từ
Lộ trình 2:
Sang phải 5 lần + Đi xuống 1 lần (tổng 6 lần di chuyển): có cách.
tương tự có 6 cách.
Lộ trình 3:
Cụ thể:
Sang phải 4 lần + xuống 1 lần (tổng 5 lần di chuyển): có cách.
1 cách.
tương tự nên có 5 cách.
Vậy tổng số cách đi ngắn nhất từ
đến là cách.
Điền đáp án: 62.
Câu 8 [1137082]: Có một mạng lưới đường đi hình lưới ô vuông 
như hình vẽ.
• An đi từ A đến C theo con đường được kẻ đậm.
• Bình đi từ C đến A theo con đường được kẻ đậm.
• Nam đi từ B đến D bằng con đường ngắn nhất.
Tìm số cách để Nam đi từ B đến D sao cho cả ba người gặp nhau cùng một lúc. (Giả thiết rằng: Cả ba người cùng xuất phát một lúc và đi với cùng một tốc độ).
như hình vẽ.• An đi từ A đến C theo con đường được kẻ đậm.
• Bình đi từ C đến A theo con đường được kẻ đậm.
• Nam đi từ B đến D bằng con đường ngắn nhất.
Tìm số cách để Nam đi từ B đến D sao cho cả ba người gặp nhau cùng một lúc. (Giả thiết rằng: Cả ba người cùng xuất phát một lúc và đi với cùng một tốc độ).
Nhận xét: Ở lần đi thứ 5, An và Bình gặp nhau tại đúng trung điểm của đoạn (tô đỏ) như hình vẽ. Do đó, để 3 bạn gặp nhau cùng lúc thì: bước 4: Nam phải ở vị trí
và bước 5 của Nam chỉ có thể đi 
Do đó cách đi của Nam từ
đến 
được chia làm 2 giai đoạn (để con đường ngắn nhất thì các bước chỉ được di chuyển sang trái hoặc đi lên).Giai đoạn 1:
2 lên trên + 2 lần đi sang trái: có 
cách.
1 cách.Giai đoạn 2:
2 lên trên + 2 lần đi sang trái: có 
cách.Vậy số cách Nam đi thỏa mãn là
Điền đáp án: 36.
Câu 9 [1137083]: Có một mạng lưới đường đi như hình vẽ. Tìm số con đường ngắn nhất từ điểm A đến điểm B với hai điều kiện:
• Phải đi qua điểm P.
• Không được đi qua điểm Q.
• Phải đi qua điểm P.
• Không được đi qua điểm Q.
Tham khảo hình vẽ.
Ta chia lộ trình thành 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1:
(điều kiện: Phải đi qua 
Bước 1:
(tức sang phải 2 lần + lên trên 1 lần): có 
cách.
Bước 2:
tương tự: có 3 cách.
Giai đoạn 1 có 
cách di chuyển thỏa mãn.
Giai đoạn 2:
(điều kiện: Không đi qua 
Số cách đi thỏa mãn = Tổng số cách đi – Số vi phạm (đi qua
Tổng số cách đi
(sang phải 3 lần + lên trên 3 lần) là 
Số cách vi phạm là số cách đi
Sang phải 1 lần + 2 lần lên trên nên có 
cách.
tương tự cũng có 3 cách.
Số cách vi phạm là 
Giai đoạn 2 có 
cách di chuyển thỏa mãn.
Vậy số con đường đi thỏa mãn là
Điền đáp án: 99.
Câu 10 [1137084]: Có một mạng lưới đường như hình vẽ, vùng bị khuyết là vùng không thể đi qua. Tính số cách đi từ điểm A đến điểm B, đi qua điểm M, theo quãng đường ngắn nhất mà không đi qua cùng một con đường quá một lần.
Phương pháp: Bài toán "đi theo quãng đường ngắn nhất từ 
đến 
"
Nếu cần
bước theo phương ngang (sang phải) và 
bước theo phương dọc (đi lên), thì số đường đi ngắn nhất từ điểm xuất phát 
đến điểm 
là: 
Nếu như trong hình ta lấy ba điểm
thì để đi từ 
đến 
phải đi qua một trong hai điểm 
hoặc 
; còn để đi từ 
đến 
thì phải đi qua một trong hai điểm 
hoặc 
Do đó, khi xuất phát từ
, đi qua 
rồi đến 
, mỗi đoạn đường chỉ đi một lần và quãng đường là ngắn nhất, số cách đi trong từng trường hợp sau đây là:
(i) Trường hợp đi theo thứ tự
(ii) Trường hợp đi theo thứ tự
(iii) Trường hợp đi theo thứ tự
Theo (i), (ii), (iii), số cách cần tìm là
đến "Nếu cần
bước theo phương ngang (sang phải) và bước theo phương dọc (đi lên), thì số đường đi ngắn nhất từ điểm xuất phát đến điểm là: Nếu như trong hình ta lấy ba điểm
thì để đi từ đến phải đi qua một trong hai điểm hoặc ; còn để đi từ đến thì phải đi qua một trong hai điểm hoặc Do đó, khi xuất phát từ
, đi qua rồi đến , mỗi đoạn đường chỉ đi một lần và quãng đường là ngắn nhất, số cách đi trong từng trường hợp sau đây là:(i) Trường hợp đi theo thứ tự
(ii) Trường hợp đi theo thứ tự
(iii) Trường hợp đi theo thứ tự
Theo (i), (ii), (iii), số cách cần tìm là
Câu 11 [1137085]: Trên mặt phẳng toạ độ 
bắt đầu tại 
một vật thể di chuyển trên mặt phẳng tọa độ qua một chuỗi các bước có độ dài bằng 1. Mỗi bước có thể là sang trái, sang phải, lên trên, hoặc xuống dưới với xác suất như nhau. Xác suất để vật thể đó “đến được điểm 
trong tối đa 6 bước” bằng 
(với 
và phân số 
tối giản). Tính 
bắt đầu tại một vật thể di chuyển trên mặt phẳng tọa độ qua một chuỗi các bước có độ dài bằng 1. Mỗi bước có thể là sang trái, sang phải, lên trên, hoặc xuống dưới với xác suất như nhau. Xác suất để vật thể đó “đến được điểm trong tối đa 6 bước” bằng (với và phân số tối giản). Tính
Gọi
lần lượt là số bước sang phải, sang trái, lên trên và xuống dưới của vật thể.
Từ giả thiết, ta có
Suy ra
TH1: Đến A sau đúng 4 bước
Trong 4 bước, mỗi bước có 4 cách di chuyển nên tổng số cách di chuyển sau 4 bước là
Để đến
sau 4 bước, vật thể phải đi 2 bước lên trên (L) và 2 bước sang Phải (P) nên số cách di chuyển là 
Xác suất TH1 là
TH2: Đến A “lần đầu” sau đúng 6 bước
Trong 6 bước, mỗi bước có 4 cách di chuyển nên tổng số cách di chuyển sau 6 bước là
Để sau 6 bước dừng tại A, ta có 2 trường hợp:
• 3P, 1T, 2L
Số cách di chuyển là 
• 2P, 3L, 1X
Số cách di chuyển là 
Tổng cộng có 
cách để vị trí cuối cùng là 
sau 6 bước.
Tuy nhiên trong 120 cách trên, có chứa các trường hợp đến A từ bước 4 (tức vi phạm điều kiện đến A “lần đầu” sau đúng 6 bước) nên ta phải trừ đi các trường hợp này.
Đến
sau 4 bước: có 6 cách.
Lúc này, 2 bước cuối phải triệt tiêu nhau để quay lại
Có 4 cặp triệt tiêu: (P,T), (T,P), (L,X), (X,L).
Số cách vi phạm là 
cách.
Số cách đến A lần đầu sau 6 bước là
Xác suất TH2 là
Vậy xác suất để vật thể đến được
trong tối đa 6 bước là
Điền đáp án: 67.
lần lượt là số bước sang phải, sang trái, lên trên và xuống dưới của vật thể.
Từ giả thiết, ta có
Suy ra
TH1: Đến A sau đúng 4 bước
Trong 4 bước, mỗi bước có 4 cách di chuyển nên tổng số cách di chuyển sau 4 bước là
Để đến
sau 4 bước, vật thể phải đi 2 bước lên trên (L) và 2 bước sang Phải (P) nên số cách di chuyển là
Xác suất TH1 là
TH2: Đến A “lần đầu” sau đúng 6 bước
Trong 6 bước, mỗi bước có 4 cách di chuyển nên tổng số cách di chuyển sau 6 bước là
Để sau 6 bước dừng tại A, ta có 2 trường hợp:
• 3P, 1T, 2L
Số cách di chuyển là • 2P, 3L, 1X
Số cách di chuyển là
Tổng cộng có cách để vị trí cuối cùng là sau 6 bước.
Tuy nhiên trong 120 cách trên, có chứa các trường hợp đến A từ bước 4 (tức vi phạm điều kiện đến A “lần đầu” sau đúng 6 bước) nên ta phải trừ đi các trường hợp này.
Đến
sau 4 bước: có 6 cách.
Lúc này, 2 bước cuối phải triệt tiêu nhau để quay lại
Có 4 cặp triệt tiêu: (P,T), (T,P), (L,X), (X,L).
Số cách vi phạm là cách.
Số cách đến A lần đầu sau 6 bước là
Xác suất TH2 là
Vậy xác suất để vật thể đến được
trong tối đa 6 bước là
Điền đáp án: 67.
Câu 12 [1137086]: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tập hợp các điểm 
Một "bước nhảy" di chuyển từ một điểm thuộc 
đến một điểm khác thuộc 
phải tuân theo quy tắc sau: Khi di chuyển từ điểm 
đến điểm 
trong một "bước nhảy", độ dài đoạn thẳng 
bằng 
hoặc 
Hãy tìm số cách để di chuyển từ điểm 
đến điểm 
sau đúng 6 lần nhảy (Lưu ý: Hai cách di chuyển được coi là khác nhau nếu các điểm trung gian đi qua khác nhau).
Một "bước nhảy" di chuyển từ một điểm thuộc đến một điểm khác thuộc phải tuân theo quy tắc sau: Khi di chuyển từ điểm đến điểm trong một "bước nhảy", độ dài đoạn thẳng bằng hoặc Hãy tìm số cách để di chuyển từ điểm đến điểm sau đúng 6 lần nhảy (Lưu ý: Hai cách di chuyển được coi là khác nhau nếu các điểm trung gian đi qua khác nhau). 
Để đi được 6 đơn vị trong 6 bước, thì bắt buộc mỗi bước đều phải tiến về phía bên phải (không được đi lùi, không được đứng yên, không được chỉ nhảy lên/xuống). Do đó mỗi bước đi có thể là:
• Đi ngang:
— Ký hiệu là N• Chéo lên:
— Ký hiệu là L• Chéo xuống:
— Ký hiệu là X
Vì điểm xuất phát từ độ cao
và phải kết thúc ở độ cao 
nên
Số lần nhảy lên (L) phải bằng số lần nhảy xuống (X). Ta được các trường hợp sau:
TH1: 0 lần L và 0 lần X
Tức sẽ gồm 6 bước đi ngang: có 1 cách.
TH2: 1 lần L và 1 lần X (tức 6 bước gồm 4 bước đi ngang (N), 1 bước chéo lên (L) và 1 bước chéo xuống (X))
Số cách di chuyển bằng số cách xếp 4N, 1L và 1X và bằng
cách.
TH3: 2 lần L và 2 lần X
Số cách di chuyển bằng số cách xếp 2N, 2L và 2X và bằng
cách.
TH4: 3 lần L và 3 lần X
Số cách di chuyển bằng số cách xếp 3L và 3X và bằng
cách.
Vậy tổng số cách di chuyển là
Điền đáp án: 141.
Câu 13 [1137087]: Trên một mặt bàn phẳng, người ta vẽ một lưới ô vuông kích thước 
Một chú kiến nhỏ đang ở tại góc dưới bên trái của lưới và muốn bò đến góc đối diện (góc trên bên phải) để tìm thức ăn.
Trong mỗi bước đi, chú kiến chỉ có thể chọn một trong ba cách di chuyển sau:
• Bò sang phải
đơn vị dọc theo cạnh ô vuông.
• Bò thẳng lên trên
đơn vị dọc theo cạnh ô vuông.
• Bò cắt ngang theo đường chéo của một ô vuông đơn vị
Chú kiến có bao nhiêu con đường khác nhau để thực hiện hành trình tìm thức ăn của mình?
Một chú kiến nhỏ đang ở tại góc dưới bên trái của lưới và muốn bò đến góc đối diện (góc trên bên phải) để tìm thức ăn.Trong mỗi bước đi, chú kiến chỉ có thể chọn một trong ba cách di chuyển sau:
• Bò sang phải
đơn vị dọc theo cạnh ô vuông.• Bò thẳng lên trên
đơn vị dọc theo cạnh ô vuông.• Bò cắt ngang theo đường chéo của một ô vuông đơn vị
Chú kiến có bao nhiêu con đường khác nhau để thực hiện hành trình tìm thức ăn của mình?
Tóm tắt dữ kiện:
• Điểm bắt đầu: Góc dưới bên trái
• Điểm cuối: Góc trên bên phải
• Các loại bước đi:
Sang phải: Mỗi bước tăng 1 đơn vị hoành độ
Lên trên: Mỗi bước tăng 1 đơn vị tung độ
Đi chéo: Mỗi bước tăng cả hoành độ và tung độ
Gọi
lần lượt là số bước sang phải, lên trên và đi chéo.
Để đi từ
đến 
, tổng số đơn vị dịch chuyển theo mỗi trục phải bằng 4. Khi đó: 
Với mỗi giá trị của
, tổng số bước chú kiến phải đi là 
(bước). Trong 
bước này có 
bước sang phải, 
bước lên trên và 
bước đi chéo nên số cách sắp xếp các bước đi (hoán vị lặp) là
Vậy tổng số con đường là
Điền đáp án: 321.
• Điểm bắt đầu: Góc dưới bên trái
• Điểm cuối: Góc trên bên phải
• Các loại bước đi:
Sang phải: Mỗi bước tăng 1 đơn vị hoành độ
Lên trên: Mỗi bước tăng 1 đơn vị tung độ
Đi chéo: Mỗi bước tăng cả hoành độ và tung độ
Gọi
lần lượt là số bước sang phải, lên trên và đi chéo.
Để đi từ
đến , tổng số đơn vị dịch chuyển theo mỗi trục phải bằng 4. Khi đó:
Với mỗi giá trị của
, tổng số bước chú kiến phải đi là (bước). Trong bước này có bước sang phải, bước lên trên và bước đi chéo nên số cách sắp xếp các bước đi (hoán vị lặp) là
Vậy tổng số con đường là
Điền đáp án: 321.
Câu 14 [1137088]: Cho một khối lập phương 
Một con kiến xuất phát từ đỉnh 
và di chuyển ngẫu nhiên dọc theo các cạnh của khối lập phương. Tại mỗi đỉnh, con kiến có xác suất chọn mỗi cạnh nối với đỉnh đó là như nhau để di chuyển sang đỉnh kế tiếp. Tính xác suất để con kiến có mặt tại đỉnh 
sau đúng 5 bước di chuyển. Biết xác suất này bằng 
(với 
và phân số 
tối giản). Tính 
Một con kiến xuất phát từ đỉnh và di chuyển ngẫu nhiên dọc theo các cạnh của khối lập phương. Tại mỗi đỉnh, con kiến có xác suất chọn mỗi cạnh nối với đỉnh đó là như nhau để di chuyển sang đỉnh kế tiếp. Tính xác suất để con kiến có mặt tại đỉnh sau đúng 5 bước di chuyển. Biết xác suất này bằng (với và phân số tối giản). Tính
Mỗi đỉnh được nối với 3 cạnh nên từ mỗi đỉnh có 3 cách đi, do đó 5 bước đi có tổng số cách di chuyển là 
Gắn hệ trục tọa độ
với 
(tham khảo hình vẽ).
Giả sử độ dài cạnh khối lập phương là 1 đơn vị. Khi đó
và 
Gọi
lần lượt là số bước di chuyển theo phương 
Ta có
Để đến được điểm 
+) Tung độ và cao độ bằng 0 thì
phải là các số chẵn (vì các bước tăng thêm 1 và giảm đi 1 phải bằng nhau để bằng 0).
+)
phải là số lẻ.
Suy ra số cách đi ở mỗi bộ
(sử dụng hoán vị lặp) là 
TH1:
Xét lần lượt các bộ
:
•
có 
cách.
•
tương tự, có 
•
có 
cách.
Tổng số cách đi ở TH1 là
cách.
TH2:
•
có 
cách.
•
có 
cách.
Tổng TH2:
cách.
TH3:
Bộ
có 
cách.
Vậy tổng cộng có
cách.
Xác suất cần tìm là 
Điền đáp án: 304.
Gắn hệ trục tọa độ
với (tham khảo hình vẽ).
Giả sử độ dài cạnh khối lập phương là 1 đơn vị. Khi đó
và
Gọi
lần lượt là số bước di chuyển theo phương
Ta có
Để đến được điểm
+) Tung độ và cao độ bằng 0 thì
phải là các số chẵn (vì các bước tăng thêm 1 và giảm đi 1 phải bằng nhau để bằng 0).
+)
phải là số lẻ.
Suy ra số cách đi ở mỗi bộ
(sử dụng hoán vị lặp) là
TH1:
Xét lần lượt các bộ
:•
có cách.•
tương tự, có •
có cách.Tổng số cách đi ở TH1 là
cách.
TH2:
•
có cách.•
có cách.
Tổng TH2:
cách.
TH3:
Bộ
có cách.
Vậy tổng cộng có
cách.
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 304.
Câu 15 [1137094]: Cho một hệ thống lưới ô vuông có hình dạng như hình vẽ. Tính số cách di chuyển từ điểm bắt đầu 
đến điểm kết thúc 
biết rằng tại mỗi bước chỉ được phép di chuyển sang phải hoặc đi lên trên. Quá trình di chuyển phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
• Không được đi đoạn thẳng nối giữa hai điểm
và 
(cạnh 
bị chặn).
• Không được đi qua điểm
(nút 
bị chặn).
đến điểm kết thúc biết rằng tại mỗi bước chỉ được phép di chuyển sang phải hoặc đi lên trên. Quá trình di chuyển phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:• Không được đi đoạn thẳng nối giữa hai điểm
và (cạnh bị chặn).• Không được đi qua điểm
(nút bị chặn).
Gợi ý: Sử dụng phần bù.
Bước 1: Tính tổng số đi từ
đến 
Đi từ
đến 
cần sang phải 7 lần và đi lên trên 7 lần nên số cách đi là 
Bước 2: Tính số cách vi phạm
Gọi
là tập hợp số cách đi từ 
đến 
có đi qua cạnh 
Gọi
là tập hợp số cách đi từ 
đến 
có đi qua 
Khi đó số cách vi phạm (đi qua cạnh
hoặc đi qua 
là 
Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có
+)
Lộ trình:
có 
cách.
có 1 cách.
có 
cách.
+)
Lộ trình:
: có 
cách.
: có 
cách.
+)
Lộ trình:
có 6 cách.
có 
cách.
: có 
cách.
Vậy số đường đi thỏa mãn là
Điền đáp án: 1776.
Bước 1: Tính tổng số đi từ
đến
Đi từ
đến cần sang phải 7 lần và đi lên trên 7 lần nên số cách đi là
Bước 2: Tính số cách vi phạm
Gọi
là tập hợp số cách đi từ đến có đi qua cạnh
Gọi
là tập hợp số cách đi từ đến có đi qua
Khi đó số cách vi phạm (đi qua cạnh
hoặc đi qua là
Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có
+)
Lộ trình:
có cách.
có 1 cách.
có cách.
+)
Lộ trình:
: có cách.
: có cách.
+)
Lộ trình:
có 6 cách.
có cách.
: có cách.
Vậy số đường đi thỏa mãn là
Điền đáp án: 1776.
Câu 16 [1137179]: Bình sống ở vùng đất Cầu Trượt và Thang Leo, được mô phỏng trong mặt phẳng tọa độ 
Mỗi bước đi, Bình có thể sang phải một đơn vị hoặc lên trên một đơn vị. Tuy nhiên, có các lối đi tắt "cầu trượt và thang leo" nối các cặp điểm sau: giữa 
và 
giữa 
và 
Bất cứ khi nào Bình đến một điểm đầu của "cầu trượt và thang leo", Bình ngay lập tức xuất hiện ở điểm đầu kia của lối đi đó. Hỏi có bao nhiêu cách để Bình đi từ điểm 
đến điểm 
Mỗi bước đi, Bình có thể sang phải một đơn vị hoặc lên trên một đơn vị. Tuy nhiên, có các lối đi tắt "cầu trượt và thang leo" nối các cặp điểm sau: giữa và giữa và Bất cứ khi nào Bình đến một điểm đầu của "cầu trượt và thang leo", Bình ngay lập tức xuất hiện ở điểm đầu kia của lối đi đó. Hỏi có bao nhiêu cách để Bình đi từ điểm đến điểm 
Tham khảo hình vẽ, với
là vị trí Bình xuất phát, 
là đích đến của Bình; 
và 
là các lối đi tắt (Tức khi đi đến 1 trong các điểm M, N, P, Q thì ngay lập tức Bình xuất hiện ở đầu còn lại của lối tắt).
TH1:
(Không đi qua 
Lộ trình 1:
1 cách.
Lộ trình 2:
có 2 cách.
có 1 cách.
(sang phải 2 lần + lên trên 3): 
cách.
Lộ trình 2 có 
cách.
Vậy TH1 có
cách di chuyển.
TH2:
(vì khi đến 
thì Bình sẽ đến luôn được điểm 
1 cách.
1 cách.
TH2.1:
1 cách.
TH2.2:
cách.
Vậy TH2 có
cách di chuyển.
TH3:
(vì khi đến 
thì Bình sẽ đến luôn được điểm 
TH3.1:
có 
cách.
TH3.1:
(không đi qua 
Số cách đi của TH3.2 bằng Số cách đi
(có đi qua 
trừ đi số cách đi 
(có đi qua 
có 
cách.
có 
cách.
Suy ra số cách đi của TH3.2 bằng
Vậy TH3 có
cách di chuyển.
TH4:
(không đi qua 
có 
cách.
Vậy tổng cộng có
cách đi thỏa mãn.
Điền đáp án: 83.
Câu 17 [1137180]: Một con bọ xuất phát từ một đỉnh của một hình lập phương và di chuyển dọc theo các cạnh của nó. Tại mỗi đỉnh, con bọ chọn ngẫu nhiên một trong ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó để đi tiếp với xác suất như nhau và các lựa chọn là độc lập. Tính xác suất để sau đúng bảy lần di chuyển, con bọ đã đi qua mọi đỉnh của hình lập phương, mỗi đỉnh đúng một lần (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Vì mỗi đỉnh được nối với 3 cạnh nên mỗi lượt đi sẽ có 3 cách chọn. Suy ra số cách đi sau 7 lần di chuyển là
Bước 1: Chọn 1 điểm bắt đầu: có 1 cách.
Giả sử chọn điểm
Bước 2: Di chuyển lần 1: có 3 cách.
Giả sử
Bước 3: Di chuyển lần 2: có 2 cách (
hoặc 
Giả sử
Bước 4: Tìm các con đường còn lại (còn lại 4 bước đi).
Các cách đi thỏa mãn là
Các bước còn lại có 3 con đường.
Vậy tổng số cách đi thỏa mãn là
Xác suất cần tìm là 
Điền đáp án: 0,01.
Câu 18 [1137181]: Linh đang quan sát một con nhện ở giữa một mạng nhện hình lục giác đều có cạnh dài 4. Mạng nhện cũng bao gồm các sợi tạo thành các tam giác đều có cạnh dài 1 bao phủ hoàn toàn hình lục giác. Mỗi phút, con nhện di chuyển một đơn vị khoảng cách dọc theo một sợi với các hướng đi ngẫu nhiên. Biết rằng xác suất để sau bốn phút con nhện ở trên các cạnh hoặc ở tâm của hình lục giác được viết dưới dạng phân số tối giản 
hãy tìm giá trị của 
hãy tìm giá trị của 
Tham khảo hình vẽ với
là vị trí con nhện.
TH1: Sau 4 bước con nhện ở trên các cạnh của hình lục giác
Nhận xét: Để sau 4 bước con nhện đến được cạnh của hình lục giác thì sau 3 bước, con nhện phải ở trên các điểm thuộc hình lục giác màu xanh dương.
Ở mỗi bước đi trong hình lục giác màu xanh dương, con nhện có 6 cách chọn bước đi. Do đó mỗi bước đi trong vùng này có xác suất là
TH1.1: Sau 3 bước con nhện ở các vị trí X
Chọn đến 1 vị trí X: có 6 cách.
Xác suất để sau 3 bước con nhện đến X (chỉ có 1 cách đi là đi 1 đường thẳng) là
Khi đó xác suất để con nhện từ X đến được cạnh của hình lục giác là
cách.
Xác suất ở TH1.1 là 
TH1.2: Sau 3 bước con nhện không ở vị trí X
Chọn đến 1 điểm khác X: có 12 cách (là các điểm tô màu vàng).
Xác suất để con nhện đi từ tâm đến điểm tô màu vàng là
(với 
là số cách đi từ 
đến 1 điểm màu vàng bất kì).
Khi đó xác suất để con nhện từ vị trí tô màu vàng đến được cạnh của hình lục giác: có
cách.
Xác suất ở TH1.2 là 
Vậy xác suất của TH1 xảy ra là
TH2: Sau 4 bước con nhện về tâm
Xảy ra trường hợp là
hoặc 
Minh họa xác suất qua sơ đồ cây như sau:
Vậy xác suất xảy ra TH2 là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 61.
Câu 19 [1153768]: [Đề thi thử Sở Sơn La]: Trong một cuộc thi đấu Robotics, sân đấu được thiết kế dạng lưới ô vuông như hình vẽ. Các robot xuất phát từ vị trí điểm A, di chuyển ngẫu nhiên theo cạnh của các ô vuông theo hướng xuống dưới hoặc sang phải đến vị trí điểm B. Tính xác suất robot đi từ A đến B mà không đi qua cả M và N (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu 
Để đi từ
đến 
, robot cần thực hiện tổng cộng:
4 bước xuống dưới (
)
6 bước sang phải (
)
Tổng số bước đi là:
bước.
Số cách chọn 4 bước xuống dưới trong tổng số 10 bước đi là
Bước 2: Tính số cách đi qua các điểm vi phạm (M và N)
Gọi các biến cố:
: "Robot đi qua điểm 
".
: "Robot đi qua điểm 
".
: "Robot đi qua cả hai điểm 
và 
".
+) Số cách đi qua
Từ
đến 
: Cần 2 xuống, 2 phải 
cách.
Từ
đến 
: Cần 2 xuống, 4 phải 
cách.
+) Số cách đi qua
Từ
đến 
: Cần 3 xuống, 3 phải 
cách.
Từ
đến 
: Cần 1 xuống, 3 phải 
cách.
+) Số cách đi qua cả
và 
Từ
: 
cách.
Từ
: Cần 1 xuống, 1 phải 
cách.
Từ
: 
cách.
Bước 3: Tính xác suất biến cố cần tìm
Gọi
là biến cố "Robot đi qua 
hoặc 
". Số cách đi qua ít nhất một trong hai điểm là
Xác suất đi qua
hoặc 
là 
Suy ra biến cố đối
là "Robot không đi qua cả 
và 
" là
Điền đáp án: 0,42.
Để đi từ
đến , robot cần thực hiện tổng cộng:
4 bước xuống dưới (
)
6 bước sang phải (
)
Tổng số bước đi là:
bước.
Số cách chọn 4 bước xuống dưới trong tổng số 10 bước đi là
Bước 2: Tính số cách đi qua các điểm vi phạm (M và N)
Gọi các biến cố:
: "Robot đi qua điểm ".
: "Robot đi qua điểm ".
: "Robot đi qua cả hai điểm và ".
+) Số cách đi qua
Từ
đến : Cần 2 xuống, 2 phải cách.
Từ
đến : Cần 2 xuống, 4 phải cách.
+) Số cách đi qua
Từ
đến : Cần 3 xuống, 3 phải cách.
Từ
đến : Cần 1 xuống, 3 phải cách.
+) Số cách đi qua cả
và
Từ
: cách.
Từ
: Cần 1 xuống, 1 phải cách.
Từ
: cách.
Bước 3: Tính xác suất biến cố cần tìm
Gọi
là biến cố "Robot đi qua hoặc ". Số cách đi qua ít nhất một trong hai điểm là
Xác suất đi qua
hoặc là
Suy ra biến cố đối
là "Robot không đi qua cả và " là
Điền đáp án: 0,42.
Câu 20 [1168806]: Có một hình hộp chữ nhật được ghép từ 12 hình lập phương cạnh 1 như hình vẽ bên. Một con kiến luôn chọn đi từ đỉnh 
đến đỉnh 
theo đường ngắn nhất, chỉ đi dọc theo các cạnh của các hình lập phương (kể cả các cạnh khuất), giả sử mọi đường đi ngắn nhất từ 
đến 
đều có khả năng được chọn như nhau. Gọi xác suất để con kiến chỉ bò trên các cạnh nằm trên bề mặt ngoài của khối hộp chữ nhật là 
(với 
là phân số tối giản). Tính 
đến đỉnh theo đường ngắn nhất, chỉ đi dọc theo các cạnh của các hình lập phương (kể cả các cạnh khuất), giả sử mọi đường đi ngắn nhất từ đến đều có khả năng được chọn như nhau. Gọi xác suất để con kiến chỉ bò trên các cạnh nằm trên bề mặt ngoài của khối hộp chữ nhật là (với là phân số tối giản). Tính
Trả lời: 1514
Lấy tổng số cách đi trừ đi số cách đi qua phần bên trong của hình hộp chữ nhật.
Gọi một bước đi dọc theo một cạnh của hình lập phương sang phải là
, một bước đi lên trên là 
, một bước đi vào trong là 
Khi đó, một đường đi từ đỉnh 
đến đỉnh 
tương ứng với một cách sắp xếp 3 chữ 
chữ 
chữ 
(kể cả các chữ giống nhau).
Vì vậy, tất cả cách đi là
(cách) (*)
Từ số đường đi từ đỉnh
đến đỉnh 
đã tìm ở (*), ta trừ đi số đường đi đi qua đỉnh 
hoặc đỉnh 
nằm bên trong hình hộp chữ nhật ở hình bên phải.
(i) Tìm số đường đi từ đỉnh
đến đỉnh 
và đi qua đỉnh 
Số cách đi từ
đến 
là: 
Số cách đi từ
đến 
là: 
(cách)
Do đó, số đường đi qua điểm
là 
(ii) Tìm số đường đi từ đỉnh
đến đỉnh 
và đi qua đỉnh 
Tương tự như ý (i), ta có:
(iii) Tìm số đường đi từ đỉnh
đến đỉnh 
và đi qua cả hai điểm 
và 
Số đường đi như vậy là
Vậy, số cách đi cần tìm là
Vậy xác suất cần tìm là
Lấy tổng số cách đi trừ đi số cách đi qua phần bên trong của hình hộp chữ nhật.
Gọi một bước đi dọc theo một cạnh của hình lập phương sang phải là
, một bước đi lên trên là , một bước đi vào trong là Khi đó, một đường đi từ đỉnh đến đỉnh tương ứng với một cách sắp xếp 3 chữ chữ chữ (kể cả các chữ giống nhau).
Vì vậy, tất cả cách đi là
(cách) (*)
Từ số đường đi từ đỉnh
đến đỉnh đã tìm ở (*), ta trừ đi số đường đi đi qua đỉnh hoặc đỉnh nằm bên trong hình hộp chữ nhật ở hình bên phải.
(i) Tìm số đường đi từ đỉnh
đến đỉnh và đi qua đỉnh
Số cách đi từ
đến là:
Số cách đi từ
đến là: (cách)
Do đó, số đường đi qua điểm
là
(ii) Tìm số đường đi từ đỉnh
đến đỉnh và đi qua đỉnh
Tương tự như ý (i), ta có:
(iii) Tìm số đường đi từ đỉnh
đến đỉnh và đi qua cả hai điểm và
Số đường đi như vậy là
Vậy, số cách đi cần tìm là
Vậy xác suất cần tìm là
Câu 21 [1137182]: Sáu con kiến đồng thời đứng trên sáu đỉnh của một hình bát diện đều, mỗi con đứng ở một đỉnh khác nhau. Mỗi con kiến di chuyển độc lập từ đỉnh của nó đến một trong bốn đỉnh kề bên với xác suất như nhau. Gọi 
là xác suất để không có hai con kiến nào đến cùng một đỉnh sau một lần di chuyển. Giá trị của 
là xác suất để không có hai con kiến nào đến cùng một đỉnh sau một lần di chuyển. Giá trị của
Điền đáp án: 1536.
Mỗi con kiến có 4 cách di chuyển nên số phần tử của không gian mẫu là
B1: Chọn hướng di chuyển con kiến từ đỉnh A có 4 cách ( Giả sử là điểm B)
B2: Chọn hướng đi cho con kiến ở F
TH1:
- Có 2 cách để con kiến đi về đỉnh C ( giả sử là B)
- Có 2 cách để con kiến còn lại (đỉnh D) di chuyển
Có 
cách
TH2:
hoặc 
Giả sử
- Có 2 cách để 1 con kiến về C
- Có 2 cách để 1 con kiến từ C di chuyển
- Có 2 cách để 1 con kiến từ D di chuyển
Có 
cách
Tổng số cách ở 2 trường hợp là
Số cách di chuyển thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Xác suất cần tìm là
Mỗi con kiến có 4 cách di chuyển nên số phần tử của không gian mẫu là
B1: Chọn hướng di chuyển con kiến từ đỉnh A có 4 cách ( Giả sử là điểm B)
B2: Chọn hướng đi cho con kiến ở F
TH1:
- Có 2 cách để con kiến đi về đỉnh C ( giả sử là B)
- Có 2 cách để con kiến còn lại (đỉnh D) di chuyển
Có cách
TH2:
hoặc Giả sử
- Có 2 cách để 1 con kiến về C
- Có 2 cách để 1 con kiến từ C di chuyển
- Có 2 cách để 1 con kiến từ D di chuyển
Có cách
Tổng số cách ở 2 trường hợp là
Số cách di chuyển thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Xác suất cần tìm là
Câu 22 [1095092]: Trên hệ trục toạ độ 
một con châu chấu đang đứng tại điểm 
nó bắt đầu nhảy, tại mỗi bước nhảy, nó nhảy một cách ngẫu nhiên theo chỉ một trong hai cách sau với xác suất như nhau:
Bước lên: Sang phải 1 đơn vị theo trục
và lên trên 1 đơn vị theo trục 
Bước xuống: Sang phải 1 đơn vị theo trục
và xuống dưới 1 đơn vị theo trục 
Xác suất để con châu chấu đến được điểm
sau 10 lần nhảy mà không nhảy xuống điểm có tung độ âm là bao nhiêu phần trăm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
một con châu chấu đang đứng tại điểm nó bắt đầu nhảy, tại mỗi bước nhảy, nó nhảy một cách ngẫu nhiên theo chỉ một trong hai cách sau với xác suất như nhau: Bước lên: Sang phải 1 đơn vị theo trục
và lên trên 1 đơn vị theo trục Bước xuống: Sang phải 1 đơn vị theo trục
và xuống dưới 1 đơn vị theo trục Xác suất để con châu chấu đến được điểm
sau 10 lần nhảy mà không nhảy xuống điểm có tung độ âm là bao nhiêu phần trăm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức:
Toán lớp 10 (Xác suất)
Mức độ: Vận dụng (9+)
Lời giải chi tiết:
Vì mỗi bước nhảy của con châu chấu đều có 2 cách nên 10 bước nhảy sẽ có số cách là
Gọi
là biến cố “Con châu chấu đến được điểm 
sau 10 lần nhảy mà không nhảy xuống điểm có tung độ âm”.
Vì mỗi bước nhảy, con châu chấu nhảy sang phải 1 đơn vị, nên sau 10 bước nhảy con châu chấu sẽ ở điểm có hoành độ bằng 10.
Trong 10 bước nhảy của con châu chấu, gọi
là số bước nhảy lên; 
là số bước nhảy xuống. thì 
Để sau 10 bước nhảy con châu chấu ở điểm
thì tung độ của con châu chấu phải bằng 2 tức số bước nhảy lên phải nhiều hơn số bước nhảy xuống là 2 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy để sau 10 bước nhảy con châu chấu ở điểm
thì con châu chấu phải nhảy lên 6 lần và nhảy xuống 4 lần. Số cách để con châu chấu nhảy lên 6 lần và nhảy xuống 4 lần trong 10 lần bằng với số cách sắp xếp 6 chữ L (nhảy lên) và 4 chữ X (nhảy xuống) vào 10 ô trống:
Chẳng hạn, đây là 1 cách:
Số cách là
Bây giờ chúng ta tìm số trường hợp con châu chấu nhảy đến được điểm
nhưng vi phạm điều kiện (tức nó nhảy xuống điểm có tung độ âm).
Giả sử điểm đầu tiên nó nhảy xuống điểm có tung độ âm là điểm
Lấy đối xứng đường đi từ
qua đường thẳng 
Khi đó, ta có thể coi đường này là đường đi từ 
đến 
Số đường đi từ
bao gồm 
lần nhảy lên và 
lần nhảy xuống, ta được hệ phương trình 
Vậy số trường hợp vi phạm là
Suy ra
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 8,8.
Mức độ: Vận dụng (9+)
Lời giải chi tiết:
Vì mỗi bước nhảy của con châu chấu đều có 2 cách nên 10 bước nhảy sẽ có số cách là
Gọi
là biến cố “Con châu chấu đến được điểm sau 10 lần nhảy mà không nhảy xuống điểm có tung độ âm”.
Vì mỗi bước nhảy, con châu chấu nhảy sang phải 1 đơn vị, nên sau 10 bước nhảy con châu chấu sẽ ở điểm có hoành độ bằng 10.
Trong 10 bước nhảy của con châu chấu, gọi
là số bước nhảy lên; là số bước nhảy xuống. thì
Để sau 10 bước nhảy con châu chấu ở điểm
thì tung độ của con châu chấu phải bằng 2 tức số bước nhảy lên phải nhiều hơn số bước nhảy xuống là 2
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy để sau 10 bước nhảy con châu chấu ở điểm
thì con châu chấu phải nhảy lên 6 lần và nhảy xuống 4 lần. Số cách để con châu chấu nhảy lên 6 lần và nhảy xuống 4 lần trong 10 lần bằng với số cách sắp xếp 6 chữ L (nhảy lên) và 4 chữ X (nhảy xuống) vào 10 ô trống:Chẳng hạn, đây là 1 cách:
Số cách là
Bây giờ chúng ta tìm số trường hợp con châu chấu nhảy đến được điểm
nhưng vi phạm điều kiện (tức nó nhảy xuống điểm có tung độ âm).
Giả sử điểm đầu tiên nó nhảy xuống điểm có tung độ âm là điểm
Lấy đối xứng đường đi từ
qua đường thẳng Khi đó, ta có thể coi đường này là đường đi từ đến
Số đường đi từ
bao gồm lần nhảy lên và lần nhảy xuống, ta được hệ phương trình
Vậy số trường hợp vi phạm là
Suy ra
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 8,8.