Phương pháp
Gọi số cách đi đến điểm là , ta xét bước đi cuối cùng của con châu chấu để đến được tọa độ N:
Trường hợp 1: Bước cuối cùng con châu chấu nhảy 1 đơn vị.
• Để thực hiện bước này, trước đó nó phải đang ở vị trí
• Số cách để đi đến là
Trường hợp 2: Bước cuối cùng con châu chấu nhảy 2 đơn vị.
• Để thực hiện bước này, trước đó nó phải đang ở vị trí
• Số cách để đi đến là
Như vậy tổng số cách chính là

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Cách 1:
Tổ hợpGọi số lần nhảy 1 bước, 2 bước của con ếch lần lượt là với
Với mỗi cặp ta có số cách di chuyển của con ếch là ( cách ).
Theo giả thiết ta có : suy ra lẻ nên
Với : Số cách di chuyển của con ếch là ( cách ).
Với : Số cách di chuyển của con ếch là ( cách ).
Với : Số cách di chuyển của con ếch là ( cách ).
Với : Số cách di chuyển của con ếch là ( cách ).
Với : Số cách di chuyển của con ếch là ( cách ).
Số sách di chuyển của con ếch là cách.
Cách 2: Dãy số fibonacci
Gọi là số cách nhảy để nhảy đến lá thứ
Con ếch bắt đầu xuất phát từ lá 1.
Ta có :
Vì để nhảy đến lá thứ 4 thì sẽ phải nhảy qua lá thứ 2 hoặc lá thứ 3 nên ta có số cách nhảy đến lá thứ 4 là
Tương tự ta có :







Vậy con ếch có tất cả 55 cách nhảy.
Điền đáp án:

Cách 1: Sử dụng dãy số truy hồi (Dãy Fibonacci)
Gọi là số cách để con châu chấu nhảy đến điểm Ta xét bước đi cuối cùng của con châu chấu để đến được tọa độ
Trường hợp 1: Bước cuối cùng con châu chấu nhảy 1 đơn vị.
• Để thực hiện bước này, trước đó nó phải đang ở vị trí
• Số cách để đi đến là
Trường hợp 2: Bước cuối cùng con châu chấu nhảy 2 đơn vị.
• Để thực hiện bước này, trước đó nó phải đang ở vị trí
• Số cách để đi đến là
Như vậy tổng số cách chính là
Ta có (chỉ có 1 cách: (có 2 cách: hoặc Khi đó:
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
Cách 2: Sử dụng tổ hợp
Gọi là số lần con châu chấu nhảy bước đơn vị (Điều kiện:
Khi đó, số bước nhảy đơn vị sẽ là
Tổng số bước nhảy là
Với mỗi giá trị của thì sẽ có số cách nhảy tương ứng là
Do đó tổng số cách con châu chấu nhảy thỏa mãn là
Điền đáp án: 233.

Phương pháp:
a) Giả sử các đỉnh của đa giác được đánh số thứ tự là theo chiều kim đồng hồ.
Tìm hệ thức truy hồi cho
Xét việc tô màu đỉnh dựa trên mối quan hệ với đỉnh và
Trường hợp 1: Đỉnh có màu khác đỉnh
• Nếu ta coi là một đa giác cạnh đã được tô màu hợp lệ, thì số cách tô là
• Khi đó, đỉnh phải có màu khác màu của và khác màu của Vì và đã có màu khác nhau, đỉnh có lựa chọn.
• Số cách:
Trường hợp 2: Đỉnh có màu giống đỉnh
• Để giống màu thì phải có màu khác (tức là khác Khi đó, chuỗi tạo thành một cách tô màu hợp lệ cho đa giác cạnh. Số cách tô là
• Vì bị buộc phải lấy cùng màu với (có 1 cách chọn), đỉnh bây giờ chỉ cần khác màu này là được. Do đó có lựa chọn.
• Số cách:
Hệ thức truy hồi:
b) Học sinh tự chứng minh hoặc tra ID để xem cách chứng minh trên Web.

Cách 1: Áp dụng công thức tổng quát
Số cách tô màu thỏa mãn (với là
Cách 2: Áp dụng hệ thức truy hồi
Với số cách tô màu thỏa mãn hệ thức
Với và số cách tô màu thỏa mãn là
Với (đoạn thẳng 2 đỉnh): Đỉnh 1 có 7 cách chọn, đỉnh 2 có 6 cách chọn. Vậy
Với (tam giác): Đỉnh 1 có 7 cách, đỉnh 2 có 6 cách, đỉnh 3 có 5 cách. Vậy


Điền đáp án: 7770.

Nếu coi 5 loại đề khác nhau là 5 màu sắc khác nhau và 6 thí sinh là 6 đỉnh của 1 đa giác lồi thì bài toán trở thành dùng 5 màu để tô màu cho đa giác lồi 6 đỉnh sao cho không có hai đỉnh nào kề nhau cùng màu.
Cách 1: Áp dụng công thức tổng quát
Số cách tô màu thỏa mãn (với là
Cách 2: Áp dụng hệ thức truy hồi
Với số cách tô màu thỏa mãn hệ thức
Với và số cách tô màu thỏa mãn là
Với (đoạn thẳng 2 đỉnh): Đỉnh 1 có 5 cách chọn, đỉnh 2 có 4 cách chọn. Vậy
Với (tam giác): Đỉnh 1 có 5 cách, đỉnh 2 có 4 cách, đỉnh 3 có 3 cách. Vậy



Điền đáp án: 4100.

Phương pháp: Gọi là số hoán vị lệch của tập hợp phần tử Xét phần tử thứ nó phải được đặt vào một vị trí Có cách chọn
Ta xét hai trường hợp cho phần tử :
Trường hợp 1:
• Phần tử được đặt vào vị trí Cặp đã đổi chỗ cho nhau. Ta cần xếp lệch phần tử còn lại.
• Số cách là
Trường hợp 2:
• Phần tử được đặt vào một vị trí khác . Lúc này, ta có thể coi như đang xếp lệch phần tử (vì phần tử không được ở vị trí , tương tự như bài toán kích thước ).
• Số cách là
Như vậy tổng số cách chính là:
Công thức tổng quát:
Dãy số được chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

+ Số cách để sắp xếp 4 lá thư vào 4 chiếc phong bì là
+ Gọi P là biến cố “4 chiếc phong bì có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ”.
+ Khi đó là biến cố “ 4 chiếc phong bì không chiếc nào được đặt đúng địa chỉ”.
+ Sắp xếp 4 lá thư vào 4 chiếc phong bì sao cho không chiếc nào được đặt đúng địa chỉ chính là hoán vị lệch
+ Khi đó
Vậy số cách sắp xếp để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ là

Điền đáp án: 265
Áp dụng công thức hoán vị lệch ta có số cách bốc thăm là

Số cách 6 người bốc 1 lá thư ngẫu nhiên là
Tiếp đến, ta tính số cách bốc sao cho có đúng 1 người nhận được lá thư của chính mình.
Chọn 1 người bốc đúng: có 6 cách.
Khi đó 5 người còn lại không có ai được bốc đúng là thư của chính mình, và số cách bốc này chính là hoán vị lệnh của 5 phần tử và bằng
Số cách bốc thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,37.