Điền đáp án: 144.
Gọi là số chuỗi nhị phân độ dài thỏa mãn điều kiện không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau.TH1: Chuỗi kết thúc bằng số 1.
- Trước số 1 này, ta có thể đặt bất kỳ chuỗi độ dài nào thỏa mãn điểu kiện đề bài.
Số cách ở trường hợp này là .
TH2: Chuỡi kết thúc bằng số 0.
- Vì không có hai số 0 đứng cạnh nhau, nên chữ số đứng ngay trước số 0 này bắt buộc phải là số 1, chuỗi có dạng: (. . . 1)0.
- Phần phía trước cụm "10" là một chuỗi độ dài thỏa mãn điểu kiện để bài.
Số cách ờ trường hợp này là .
Ta có công thức truy hồi:
+) : Các chuỗi thỏa mãn là
+) : Các chuỗi thỏa mãn là

Bước 1: Tô màu mặt đáy
Có 5 cách chọn màu cho mặt đáy.
Vì các mặt bên đều chung cạnh với mặt đáy nên các mặt bên chỉ được phép dùng 4 màu còn lại (để không trùng màu với đáy).
Bước 2: Tô màu 6 mặt bên
Việc tô 6 mặt bên bằng 4 màu thực chất là bài toán tô màu các đỉnh của một lục giác sao cho 2 đỉnh kề nhau khác màu. Áp dụng công thức tính nhanh số cách tô màu đa giác cạnh bằng màu sao cho không có hai đỉnh nào kề nhau cùng màu là
Ta có số cách tô màu 6 mặt thỏa mãn là
Vậy tổng số cách tô màu hình chóp là
Điền đáp án: 3660.

Bước 1: Tô cột 1 (Điều kiện: 2 ô cột 1 khác màu nhau)
Có cách tô.
Bước 2: Tô cột 2
TH1: cùng màu với
Tô màu 1 cách (cùng màu với
Tô màu 3 cách.
TH2: khác màu
Tô màu 2 cách (khác màu và
Tô màu 2 cách (khác màu và
Tổng số cách tô màu cột 2 là
Thực hiện tương tự, ta thấy các cột 3, 4, 5,.., 10 còn lại đều có 7 cách tô. Do đó số cách tô màu bảng là

Điền đáp án: 4116.

Nền đường có chiều cao cố định là Để lấp đầy chiều cao này, chúng ta có các lựa chọn sau:
• Lựa chọn 1: Đặt 1 viên gạch đơn đứng (kích thước ). Khối này chiếm 1 đơn vị chiều dài.
• Lựa chọn 2: Đặt 2 viên gạch đơn nằm ngang chồng lên nhau (mỗi viên nhưng xoay ngang thành ). Khối này chiếm 2 đơn vị chiều dài.
• Lựa chọn 3: Đặt 1 viên gạch đôi (kích thước ). Khối này cũng chiếm 2 đơn vị chiều dài.
Gọi là số cách lát kín con đường có kích thước
TH1: Bắt đầu bằng Lựa chọn 1
Phần còn lại cần lát là con đường nên có cách lát kín.
TH2: Bắt đầu bằng Lựa chọn 2 hoặc Lựa chọn 3
Chọn 1 lựa chọn bắt đầu: có 2 cách.
Phần còn lại cần lát là con đường có cách lát kín.
Vậy tổng số cách lát ở TH2 là
Suy ra công thức tổng quát tính số cách lát kín con đường là
Vì nên số cách lát cần tìm là
Ta có: (số cách lát kín con đường kích thước từ 2 loại gạch đơn và đôi).



Điền đáp án: 683.

Số cách xếp ngẫu nhiên 7 lá thư vào 7 phong bì là
Gọi là biến cố "Có ít nhất 2 lá thư bỏ đúng địa chỉ".
là biến cố “Có nhiều nhất 2 lá thư bỏ đúng địa chỉ".
Vì việc tính trực tiếp các trường hợp có ít nhất 2 lá thư khá phức tạp và dễ nhầm lẫn nên ta sẽ giải bài toán thông qua biến cố đối.
• Trường hợp 1: Không có lá thư nào bỏ đúng địa chỉ
Số cách của TH1 là hoán vị lệch của 7 phần tử và bằng
• Trường hợp 2: Có đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ (6 lá còn lại nhầm địa chỉ)
Chọn 1 lá để bỏ đúng: cách.
6 lá còn lại phải bỏ nhầm hoàn toàn là hoán vị lệch của 6 phần tử và bằng cách.
Số cách của TH2 là


Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,26.
Note: Công thức tính hoán vị lệch của tập hợp phần tử là

Điền đáp án: 1276.
Gọi là số miền (vùng) tối đa được tạo bởi đường thẳng trên mặt phẳng, trong đó không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy.
+) : Mặt phẳng chưa bị chia cắt nên .
+) : Một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 miền nên .
+) : Hai đường thẳng cắt nhau chia mặt phẳng thành 4 miển, nên .
+) : Đường thẳng thứ 3 cắt 2 đường thẳng trước đó tại 2 điểm mới.
Nó bị chia thành 3 đoạn (2 tia và 1 đoạn thẳng), mỗi đoạn này sẽ chia một miền cũ thành hai miền mới.
Vậy số miền tăng thêm là 3 .
+) Thiết lập công thức tổng quát:
Khi ta thêm đường thẳng thứ , vì nó không song song với bất kỳ đường thẳng nào trong số đường đã có và không đi qua các giao điểm cũ, nên nó sẽ cắt tất cả đường thẳng đó tại điểm phân biệt, điểm này chia đường thẳng thứ thành phần.
Mỗi phần này sẽ chia một miền cũ thành hai miền mới.
Vì vậy, số miền tăng thêm đúng bằng .
Ta có hệ thức:

Điền đáp án: 843.
Gọi là số cách để xếp người với cái ghế trong 1 vòng tròn
TH1: Người thứ ngồi im
Sắp xếp cho người 1 đến có cách
TH2: Người thứ đổi chỗ cho
Sắp xếp cho người 1 đến có cách

Ta có:

Điền đáp án: 204.
Gọi là số cách di chuyển từ và kết thúc tại sau bước.
Gọi là số cách di chuyển từ và kết thúc tại một đỉnh khác sau bước.
Tại mỗi bước có 4 lựa chọn nên tổng số cách di chuyển sau bước là


Để bước thứ kết thức tại thì bước thứ phải kết thúc tại một đỉnh khác .
Từ mỗi đỉnh khác , chỉ có duy nhất 1 cách để quay về .

Từ (1) và (2) ta có:
Ta bắt đầu từ với điểm xuất phát là :
- :
- :
- :
- :
- :

Phương pháp: Lập dãy số truy hồi cho xác suất.
Gọi là xác suất để con bọ quay trở lại đỉnh xuất phát sau bước di chuyển thứ
• Tại bước con bọ đang ở đỉnh xuất phát, nên
• Tại bước :
+) Nếu ở bước thứ , con bọ đang ở đỉnh xuất phát (xác suất ), thì ở bước tiếp theo nó chắc chắn sẽ sang một trong hai đỉnh còn lại. Vậy xác suất quay lại đỉnh cũ là
+) Nếu ở bước thứ , con bọ đang ở một trong hai đỉnh còn lại (xác suất ), thì nó có xác suất để chọn quay về đỉnh xuất phát ban đầu.
Khi đó, ta có công thức truy hồi
Để giải phương trình , ta tìm điểm cố định
Đặt , ta có
Đây là cấp số nhân với công bội và
Công thức tổng quát của là
Suy ra
Vậy xác suất để con bọ quay trở lại đúng đỉnh xuất phát ở lần di chuyển thứ 10 là

Điền đáp án: 683.

Phương pháp: Lập dãy số truy hồi cho xác suất.
Bước 1: Thiết lập công thức truy hồi
Gọi là xác suất để con bọ ở tại đỉnh sau bước di chuyển thứ
Yêu cầu bài toán: Tính
Ta có:
• Trạng thái đầu: Lúc , con bọ ở đỉnh nên
• Bước thứ :
+) Nếu ở bước con bọ đang ở (xác suất ): Nó buộc phải di chuyển sang một trong 3 đỉnh còn lại () nên xác suất quay lại là
+) Nếu ở bước con bọ đang ở một đỉnh khác (với xác suất ):
Tại mỗi đỉnh ( hoặc có 3 cạnh hội tụ và chỉ có 1 cạnh dẫn về nên xác suất quay về là
Ta có công thức
Bước 2: Tìm điểm cố định và Công thức tổng quát
Tìm điểm cố định
Đặt ta có
Nhận thấy dãy là một cấp số nhân có công bội và nên có số hạng tổng quát là

Vậy xác suất để con bọ ở tại đỉnh sau khi đã bò được đúng 4 mét (tức sau 4 bước di chuyển) là
Điền đáp án: 0,26.