Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng:

a) Sai.
Số cách chọn 5 bạn đầu tiên không có bạn nào là bạn nữ là
Số cách chọn 5 bạn đầu tiên có ít nhất 1 bạn nữ là
b) Đúng.
Gọi là biến cố: “5 bạn đầu tiên được chọn đều là nam ”
là biến cố: “Bạn được chọn thêm là nữ”

c) Đúng.
Xác suất thầy giáo chọn được sau 2 lần đều là 6 bạn nam là
d) Đúng.
Gọi là biến cố: “Lần thứ 2 thầy giáo chọn được bạn nữ ”
là biến cố: “Lần đầu thầy chọn 5 bạn nam ”
Lần thứ 2 thầy giáo chọn được bạn nữ nên có 2 trường hợp là lần 1 không có nữ hoặc lần 1 có 1 nữ

Số phần tử không gian mẫu là
Do mỗi bạn đều có hai loại quà nên mỗi phần quà cho mỗi bạn được chia phải có cả hai loại I và II, mà ta có 4 quà loại I
Có ít nhất 1 bạn nhận được 2 mòn quà loại 1
Ta có:
cách chia.
Xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 600.
Xếp 3 cuốn Nâng cao Toán học vào các vị trí từ 4 đến 8 có cách
Xếp 2 cuốn Nền tảng Toán học vào 5 vị trí còn lại có cách
Xếp 3 cuốn sách giáo khoa có cách
Số cách xếp cần tìm là

Phân tích:
Có tổng cộng 8 mục tiêu cần bắn.
Các mục tiêu trong cùng một cột có thứ tự bắt buộc (phải bắn từ dưới lên trên). Do đó làm "mất đi" tính phân biệt về thứ tự sắp xếp mục tiêu trong cùng 1 cột và ta có thể coi các mục tiêu cùng 1 cột như các vật giống hệt nhau.
Khi đó bài toán trở thành: Xếp thứ tự cho 8 lượt bắn, trong đó có 3 lượt cho cột trái (giả sử là chữ A), 2 lượt cho cột giữa (B), và 3 lượt cho cột phải (C).
Số cách sắp xếp (hoán vị lặp) là
Điền đáp án: 560.

Điền đáp án: 0,32.
Ta đặt hệ trục tọa độ tại điểm .
.
Ta có bài toán tổng quát sau:
Nếu di chuyển sang phải hoặc đi lên từ điểm đến điểm thì số cách di chuyển sẽ là cách .
Số cách con kiến đi từ điểm đến là
Số cách con kiến đi từ điểm đến là
Số cách con kiến đi từ điểm đến là
Số cách con kiến đi từ điểm đến là
Số cách con kiến đi từ điểm đến là
Ta có:

Ta có Vì nên các số này chỉ có thể là các ước của trong khoảng từ đến 10 bao gồm
Các bộ thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Bộ có cách xếp.
Bộ có cách xếp.
Bộ có cách xếp.
Bộ có cách xếp.
Vậy số bộ thỏa mãn điều kiện là
Điền đáp án: 40.

Ta có
Giả sử các số có dạng:
•
•
•
Khi đó


Bước 1: Tính số bộ thỏa mãn
• Với
(5 cặp thỏa mãn:
(3 cặp thỏa mãn:
(1 cặp thỏa mãn:
Tổng: cách.
• Với
(3 cặp thỏa mãn:
(1 cặp thỏa mãn:
Tổng: cách.
• Với
(2 cặp thỏa mãn:
Tổng: 2 cách.
Vậy tổng số bộ thỏa mãn là bộ.
Bước 2: Tính số bộ thỏa mãn điều kiện còn lại
Số bộ thỏa mãn Số bộ mà và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Để và là hai số nguyên tố cùng nhau thì tại mỗi phương trình mũ, mũ của và không được cùng lớn hơn hoặc bằng 1.
Xét lần lượt như bước 1, ta được:
• Với
có 2 cặp thỏa mãn:
có 2 cặp thỏa mãn:
có 1 cặp thỏa mãn:
• Với
có 2 cặp thỏa mãn:
có 1 cặp thỏa mãn:
• Với
có 2 cặp thỏa mãn:
Suy ra tổng số bộ vi phạm là
Vậy số bộ thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 42.

Điền đáp án: 0,64.
Gọi là biến cố : “Đồng xu được chọn bị lệch”
là biến cố : “Đồng xu được chọn cân đối”
là biến cố : “Xuất hiện 2 mặt ngửa và 1 lần mặt sấp”
Theo đề bài ta có:





Xác suất cần tìm là

Bước 1: Tính tổng số ước của
Phân tích ra thừa số nguyên tố, ta được
Một ước số dương của sẽ có dạng: với
• Số cách chọn : có cách.
• Số cách chọn : có cách.
Tổng số ước của là
Bước 2: Tính số lượng các ước là bội của
Để ước số là bội của thì
• Số cách chọn : có cách.
• Số cách chọn : có cách.
Số lượng ước thỏa mãn là
Vậy xác suất để chọn được một ước là bội của là

Điền đáp án: 634.

Điền đáp án: 0,99.
Gọi là biến cố di chuyển qua
là biến cố di chuyển qua được
Tính xác suất để không qua ()
TH1:
không qua , không qua

TH2:
không qua , qua :
không qua : 0,1
:

TH3:
, không qua :
không qua : 0,2
:

TH4:
, :
không qua , không qua :



Ta có:
Không qua và vẫn đến

- Con đường thông:
- Con đường hỏng:

Các trường hợp thỏa mãn số tự nhiên có 6 chữ số có "mỗi chữ số xuất hiện ít nhất 2 lần" bao gồm:
Dạng 1: Một chữ số xuất hiện 6 lần (aaaaaa)
Dạng 2: Hai chữ số, mỗi số xuất hiện 3 lần (aaabbb)
Dạng 3: Hai chữ số, một số 4 lần, một số 2 lần (aaaabb)
Dạng 4: Ba chữ số, mỗi số xuất hiện 2 lần (aabbcc)
Dạng 1: aaaaaa
Chữ số có 9 cách chọn, cụ thể Do đó dạng 1 có 9 số thỏa mãn.
Dạng 2: aaabbb
Chọn 2 chữ số từ tập có cách.
Số cách sắp xếp 2 chữ số được chọn vào 6 vị trí là cách.
Tổng số chữ số tạo thành là
Tuy nhiên trong 900 số trên, có các số có số 0 đứng đầu (khi đó số ấy không là số tự nhiên có 6 chữ số nữa nên ta phải loại trừ).
Trường hợp số đứng đầu ( Có 9 cách chọn (từ tập và số cách xếp 3 chữ vào 5 vị trí còn lại (trừ vị trí hàng trăm nghìn) là Vậy có số vi phạm.
Số lượng số thỏa mãn là
Dạng 3: aaaabb
Chọn bộ 2 chữ số từ tập có bộ. Với mỗi bộ, có 2 trường hợp: (4a, 2b) hoặc (2a, 4b) nên tổng số dãy (có chứa trường hợp 0 đứng đầu) là
Loại trừ trường hợp số 0 đứng đầu:
Dạng : số.
Dạng : số.
Số lượng số thỏa mãn là
Dạng 4: aabbcc
Chọn bộ 3 chữ số từ tập có bộ.
Số cách xếp mỗi bộ là cách.
Tổng số dãy (có chứa trường hợp 0 đứng đầu) là
Loại trừ trường hợp số 0 đứng đầu (Dạng
Chọn 2 số còn lại từ 9 số có cách.
Xếp 2 số 0 (1 số đứng đầu, 1 số tùy ý): có cách.
Xếp các số còn lại là
Vậy có số vi phạm.
Số lượng số thỏa mãn là
Vậy số các số thỏa mãn là
Điền đáp án: 1754.

Bước 1: Tính tổng số cách chia kẹo sao cho mỗi người có ít nhất 1 viên
Số cách chia 14 viên kẹo giống nhau cho 4 người sao cho ai cũng có kẹo chính là bài toán chia kẹo Euler 1.
Áp dụng công thức, ta có số cách chia là cách.
Trong 286 cách trên có chứa các các vi phạm 2 điều kiện còn lại nên ta cần loại bỏ hai nhóm vi phạm: nhóm có người giữ viên và nhóm mà tất cả mọi người đều giữ số kẹo lẻ.
Bước 2: Tính nhóm vi phạm 1: Có người giữ viên kẹo
Số bộ thỏa mãn một người có viên và ai cũng phải có ít nhất 1 viên và tổng là 14 là
• : Có cách hoán vị.
• : Có cách hoán vị.
Tổng số cách vi phạm điều kiện này là
Bước 3: Tính nhóm vi phạm 2: Tất cả 4 người đều có số kẹo lẻ
Đặt số kẹo của 4 người là với
Ta có:
Số nghiệm nguyên dương của phương trình này (Bài toán chia kẹo Euler mở rộng) là cách.
Trong 56 cách này, có bộ (tương ứng đã được tính ở Nhóm vi phạm 1 và số hoán vị của bộ này là 4 bộ đã bị tính trùng.
Nên số cách chỉ vi phạm "toàn lẻ" (không bị trùng) là cách.
Vậy số cách chia kẹo thỏa mãn cả 3 điều kiện là
Điền đáp án: 218.

Điền đáp án: 4207
TH1: Hoàng thắng ở ván 5
Để đạt được 4 điểm thì Hoàng cần thắng 4 trận liên tiếp nên xác suất là
TH2: Hoàng thắng ở ván 6
+) Hoàng thắng 4 , hòa 1
- Trận hòa phải nằm ở 1 trong các trận 2,3, 4, 5, trận cuối phải thắng nên xác suất là
+) Hoàng thắng 4, thua 1
- Trận thua phải nằm ở 1 trong các trận 2,3, 4, 5, trận cuối phải thắng nên xác suất là
+) Hoàng thắng 3, hòa 2
Xác suất là
Vậy xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 728
Số phần tử của không gian mẫu là
Đặt mỗi màu đỏ là số 1 và mỗi màu xanh là số 0 .
Ta sẽ xếp lần lượt từng hàng:
Hàng : Chọn vị trí cho 2 số 1 có và 2 số 0 vào hai vị trí còn lại có 1 cách, nên hàng 6 cách xếp.
Hàng II và III ta sẽ xét ba trường hợp:
+) Trường hợp 1:

Hàng thứ giống hàng sẽ có 1 cách xếp.
Hàng thứ III do đã có 2 cột đủ số 1 nên hàng thứ III chỉ có 1 cách xếp vào 2 cột còn lại.
+) Trường hợp 2:

Hàng thứ có vị trí 1 số 1 giống với vị trí của 1 số 1 trên hàng và số 1 còn khác vị trí số còn lại của hàng , lúc này hàng sẽ có cách xếp.
Hàng thứ III phải có 1 số 1 vào cột chưa có số 1 nên có 1 cách.
Số 1 còn lại vào 2 cột chỉ có số 1 sẽ có 2 , lúc này hàng III sẽ có cách xếp.
+) Trường hợp 3:

Hàng thứ không có vị trí số 1 trùng vị trí số 1 ở hàng nên có 1 cách xếp.
Do mỗi cột chỉ mới có 1 số 1 nên hàng thứ III xếp bất kì nên hàng III có 6 cách xếp.
Hàng :
Hàng thứ sẽ điều chỉnh để thỏa theo hàng và nên chỉ có 1 cách xếp.
Xác suất cần tìm là

Lưu ý: Vì 3 hộp đã cho mất nhãn và giống hệt nhau nên ta không cần quan tâm đến thứ tự số lượng bóng ở các hộp. Ví dụ hay là như nhau vì cũng đều có 2 hộp 6 viên và 1 hộp 5 viên.
Bước 1: Cố định hộp có đúng 6 quả và được sắp xếp tăng dần
Số cách chọn 6 quả từ 15 quả: cách.
Số cách xếp: Chỉ có 1 cách duy nhất (tăng dần).
Bước 2: Phân bổ 9 quả bóng còn lại vào hai hộp còn lại (mỗi hộp tối đa 6 ngăn)
Trường hợp 1: Một hộp có 6 quả và một hộp có 3 quả
Chọn bóng: Chọn 6 quả từ 9 quả còn lại cho hộp có 6 quả: cách.
Xếp bóng:
+) Hộp có 6 quả: Xếp tùy ý vào 6 ngăn nhưng không được tăng dần. Số cách là (với 1 là cách xếp 6 quả bóng theo thứ tự tăng dần).
+) Hộp có 3 quả: Chọn 3 ngăn từ 6 ngăn và xếp 3 quả vào: cách.
Số cách ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: Một hộp có 5 quả và một hộp có 4 quả
Chọn bóng: Chọn 5 quả từ 9 quả còn lại cho hộp có 5 quả: cách. Lúc này còn lại 4 quả nên số cách chọn 4 quả cho hộp 4 quả: 1 cách.
Xếp bóng:
+) Hộp có 5 quả: Chọn 5 ngăn từ 6 ngăn và xếp 5 quả vào: cách.
+) Hộp có 4 quả: Chọn 4 ngăn từ 6 ngăn và xếp 4 quả vào: cách.
Số cách ở TH2 là cách.
Suy ra
Vậy
Điền đáp án: 9900.