Điền đáp án: 0,5.

Giả sử các con kiến thứ nhất, hai, ba, tư lần lượt ở các ví trí .
Chọn cạnh để 2 con kiến gặp nhau có cách
Giả sử 2 con kiến thứ nhất và thứ hai gặp nhau trên cạnh trên hình vẽ.
Khi đó 2 con kiến ở vị trí và phải cùng đi theo chiều kim đồng hồ hoặc đi ngược chiều kim đồng hồ thì sẽ ko gặp nhau nên có 2 hướng đi.
Có tất cả trường hợp
Mỗi con kiến ở mỗi đỉnh đều có 2 cách di chuyển nên
Xác suất cần tìm là

Bước 1: Tính không gian mẫu
Chọn 1 người vào nhóm với A: có 5 cách (giả sử chọn B).
Chọn 1 người trong 3 người còn lại vào nhóm với C: có 3 cách.
2 người còn lại là 1 nhóm.
Suy ra số cách xếp nhóm là
Bước 2: Tính số trường hợp A và B cùng nhóm, C và D khác nhóm
Vì A và B cùng 1 nhóm (1 cách) nên ta chỉ cần chia C, D, E, F sao cho C và D khác nhóm.
Chọn 1 người vào nhóm với C: có 2 cách (E hoặc F).
Khi đó 2 người còn lại là 1 nhóm.
Số cách chia thỏa mãn là
Vậy xác suất cần tìm là

Điền đáp án: 750.

a) Đúng.
Vì có 2 đồng xu loại A và 1 đồng xu loại nên xác suất tung được đồng xu loại là
b) Sai.

Gọi là biến cố: “Đồng xu được chọn là loại ”
là biến cố: “Đồng xu được chọn là loại ”
là biến cố: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”
Theo đề bài ta có :



c) Đúng.

d) Đúng.
Có 2 đồng xu loại A và 1 đồng xu loại B
Có tất cả 3 trường hợp :
TH1 : Cả 2 lần đều lấy được đồng xu loại A
TH2 : Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại B, lần thứ hai lấy được đồng xu loại A
TH3 : Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại A, lần thứ hai lấy được đồng xu loại B
Gọi là biến cố: “ Cả 2 lần đều lấy được đồng xu loại A ”
là biến cố: “ Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại B, lần thứ hai lấy được đồng xu loại A”
là biến cố: “ Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại A, lần thứ hai lấy được đồng xu loại B”
là biến cố: “Đồng xu cả 2 lần đều xuất hiện mặt ngửa”
Theo đề bài ta có :

Cách 1: Tính thông qua phần bù
Bước 1: Tính tổng số các số có thể lập được
Tổng số cách sắp xếp 7 chữ số này (hoán vị lặp) là
Bước 2: Tính số trường hợp vi phạm (Giữa 1 và 2 có ít hơn 2 chữ số)
Giữa 1 và 2 có ít hơn 2 chữ số nghĩa là giữa chúng có 0 chữ số (đứng cạnh nhau) hoặc 1 chữ số.
Trường hợp 1: Số 1 và 2 đứng cạnh nhau (giữa có 0 chữ số)
Coi cặp là một khối . Khối có cách sắp xếp (12 hoặc 21).
Lúc này ta cần sắp xếp khối và các chữ số còn lại: (tổng cộng 6 vị trí). Số cách sắp xếp: cách.
Trường hợp 2: Giữa 1 và 2 có đúng 1 chữ số
Coi bộ là một khối . Khối có cách sắp xếp số 1 và 2 ở hai đầu.
• Khả năng 1:
Còn lại các số: . Tổng cộng có 5 vị trí: .
Số cách xếp là (cách).
• Khả năng 2:
Còn lại các số: . Tổng cộng có 5 vị trí: .
Số cách xếp là (cách).
Tổng số cách của trường hợp 2 là (cách).
Vậy số lượng các số thỏa mãn yêu cầu (giữa 1 và 2 có ít nhất hai chữ số) là
Cách 2: Tính trực tiếp
Bước 1: Xếp bộ các chữ số vào hàng ngang
Số cách sắp xếp (hoán vị lặp) là cách.
Bước 2: Xếp số 1 và số 2 vào thỏa mãn điều kiện
Khi xếp xong bước 1, 5 số này tạo ra 6 khe trống. Ta đánh số khoảng trống như hình vẽ, với X là vị trí đã được xếp các số 3, 4 vào.

Gọi lần lượt là vị trí của số 1 và 2,
Để giữa hai số 1 và 2 có ít nhất 2 chữ số thì Ta xét các trường hợp của
+) Với (tổng 4 cách)
+) Với (tổng 3 cách)
+) Với (tổng 3 cách)
+) Với (tổng 3 cách).
+) Với (tổng 3 cách).
+) Với (tổng 4 cách).
Số cách xếp 1 và 2 thỏa mãn là
Vậy số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 200.

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Xác định số phần tử của không gian mẫu và số trường hợp thỏa mãn điều kiện các cặp chữ số có tổng bằng nhau, từ đó tính xác suất và suy ra đáp án.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét phép thử : “Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ tập ”.
Không gian mẫu gồm các số có dạng với các chữ số khác nhau.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Xét biến cố : .
Ta có
Xét các trường hợp thỏa mãn.
Trường hợp 1: Các cặp là .
Số cách là .
Trường hợp 2: Các cặp là .
Loại trường hợp chữ số đứng đầu nên số cách là .
Trường hợp 3: Các cặp là .
Tương tự, số cách là .
Suy ra .
Xác suất .
🔑 Điền đáp án: 135

Điền đáp án: 0,78.
Tập có tất cả số
Gọi số có 3 chữ số có dạng
+) Tính
- Chọn 3 cách chọn cho chữ số
- Có cách chọn chữ số còn lại.

+) Tính
- Có
Có duy nhất 1 bộ số thỏa mãn là

Ta có:

Điền đáp án: 2250.
Gọi là số cách sơn móng tay không dùng màu xanh.
là số cách sơn móng tay không dùng màu hồng.
là số cách sơn móng tay không dùng màu tím.
Số cách sơn trên 1 bàn tay là
Số cách sơn sao cho ít nhất 1 màu bị thiếu là


Số cách sơn sao cho mỗi màu sơn xuất hiện ít nhất 1 lần là
Số cách sơn cả 2 bàn tay là

Bước 1: Chọn 5 chiếc nhẫn trong 8 chiếc: có cách.
Bước 2: Xếp và chia nhẫn thành 4 phần
Để chia 5 chiếc nhẫn thành 4 phần, ta cần 3 vách ngăn. Vì không bắt buộc ngón tay nào cũng phải đeo nhẫn nên các vách ngăn có thể đứng cạnh nhau và có thể đứng ở các vị trí đầu hoặc cuối hàng.
Xếp 5 chiếc nhẫn (khác nhau) được chọn cùng với 3 vách ngăn (giống hệt nhau) vào 8 vị trí hàng ngang (hoán vị lặp): có cách.
Vậy tổng số cách sắp xếp là

Điền đáp án: 6720.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Vì mỗi lượt chơi đều có 3 trường hợp (thắng, hòa, thua) có thể xảy ra nên tổng số kết quả có thể xảy ra sau 5 lượt chơi là
Bước 2: Xác định số trường hợp để sau 5 lượt chơi, vị trí của A tăng 5 bậc so với vị trí ban đầu
Gọi là biến cố “Sau 5 lượt chơi, vị trí của A tăng 5 bậc so với vị trí ban đầu”.
Gọi lần lượt là số lượt thắng, thua, hòa của A trong 5 lượt chơi.
Vì có 5 lượt chơi nên
Vì sau 5 lượt chơi, vị trí của A tăng 5 bậc so với vị trí ban đầu nên (vì thắng tăng 2 bậc, hòa tăng 1 bậc và thua không tăng thêm bậc nào)

TH1: (Tức trong 5 lượt, A có 0 trận thắng, 0 trận thua và 5 trận hòa)
Số cách xảy ra trường hợp này là 1 cách.
TH2: (Tức trong 5 lượt, A có 1 trận thắng, 1 trận thua và 3 trận hòa)
Số cách để A thắng 1 trận: cách (chọn 1 trong 5 vị trí);
Số cách để A thua 1 trận: cách (chọn 1 trong 4 vị trí còn lại);
Số cách để A hòa 3 trận: 1 cách (tức xếp vào vị trí còn lại);
Suy ra số cách để TH2 xảy ra là
TH3: (Tức trong 5 lượt, A có 2 trận thắng, 2 trận thua và 1 trận hòa)
Tương tự TH2, ta có số cách để TH3 xảy ra là
TH4: (Loại)
Kết hợp các trường hợp trên, ta có
Vậy xác suất để vị trí của A tăng 5 bậc so với vị trí ban đầu là
Suy ra
Điền đáp án: 1134.

Minh họa quá trình như sơ đồ sau, với T là dê trắng và Đ là dê đen.

Gọi là biến cố “2 con dê trắng bắt ra từ chuồng B là của chuồng A”.
là biến cố “2 con dê bắt từ chuồng B đều là màu trắng”.
Xác suất cần tìm là (Vì và có chung không gian mẫu là

(Với là số cách để 2 con dê màu trắng chọn từ chuồng B là của chuồng A; là số cách để 2 con dê bắt từ chuồng B đều là màu trắng).

Điền đáp án: 0,27.
Số cách bốc 2 số có tích chẵn là (vì có 2 TH xảy ra: chọn được 2 quả bóng có số chẵn hoặc bốc được 1 quả mang số chẵn và 1 quả mang số lẻ)
Số cách bốc 2 số có tổng là số lẻ (tích chẵn) là (xảy ra khi bốc được 1 quả bóng mang số lẻ và 1 quả bóng mang số chẵn)
Số cách bốc 2 số có tích chẵn và tổng chẵn là (xảy ra khi bốc được 2 quả bóng mang số chẵn)
Do Nhâm đã thắng nên Nhâm đã bốc được 2 quả có tích chẵn, nên
Gọi là biến cố Nhâm bốc tổng chẵn
Gọi là biến cố “Hưng thắng”
YCBT Tính
Xác suất Hưng thắng khi Nhâm bốc được tổng lẻ (tức Nhâm bốc được 1 chẵn và 1 lẻ nên còn lại 4 bi chẵn, 4 bi lẻ) là
Tương tự, xác suất Hưng thắng khi Nhâm bốc được tổng chẵn (còn lại 3 chẵn, 5 lẻ) là
Ta có sơ đồ cây sau:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

Suy ra

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Công thức xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Tổng trọng lượng các quả bóng là: (g)
Gọi A là biến cố “lần đầu Hà lấy bóng trắng” và B là biến cố “lần thứ 2 bạn Hà lấy được một quả bóng đỏ”
Với và
Ta có:


Điền đáp án: 0,55.

Điền đáp án: 60.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là
Tổng nhỏ nhất của 4 chữ số khác nhau là: .
Tổng lớn nhất của 4 chữ số khác nhau là: .
Trong khoảng từ 10 đến 22 , chỉ có một số chính phương duy nhất là 16.
Vậy 16.
Các bộ 4 số từ tập có tổng bằng 16 là:
Với mỗi bộ 4 chữ số , ta cần sắp xếp chúng vào các vị trí sao cho .
Chọn vị trí cho và :
- Trong 4 chữ số của một bộ, nếu ta chọn ra 2 số bất kỳ để đặt vào vị trí và , thì chỉ có duy nhất 1 cách xếp để thỏa mãn
- Số cách chọn 2 số từ 4 số là cách.
Chọn vị trí cho và :
- Sau khi đã cố định và , ta còn lại 2 chữ số.
- Số cách xếp 2 chữ số này vào 2 vị trí còn lại là: cách.
Vậy có tất cả mật mã.

Giả sử 6 thẻ rút ra là
Để viên gạch (kích thước bỏ vừa vào hộp (kích thước thì suy ra và
Với mỗi bộ 6 thẻ bất kỳ, số cách chia 6 số thành 2 nhóm (hai nhóm có phân biệt thứ tự và mỗi nhóm 3 số) là cách. Trong 20 cách này, ta đi tìm các cách chia thỏa mãn điều kiện
Ta liệt kê các bộ cho Viên gạch sao cho luôn có bộ tương ứng lớn hơn nó (giả sử chọn được 6 bộ là
1. vs (ví dụ: )
2. vs (Ví dụ: )
3. vs (Ví dụ: )
4. vs (Ví dụ: )
5. vs (Ví dụ: )
Như vậy, với bất kỳ bộ 6 số nào được rút ra, luôn có đúng 5 cách chia thỏa mãn yêu cầu.
Vậy xác suất để chia thành 2 bộ thỏa mãn là
Điền đáp án: 0,25.

Đặt
Phương trình ban đầu trở thành
Điều kiện: và
Bước 1: Tính tổng số nghiệm nguyên không âm (không xét điều kiện )
Sử dụng công thức chia kẹo Euler mở rộng, ta có số nghiệm là
Bước 2: Tính số nghiệm vi phạm điều kiện (khi )
Đặt Phương trình trở thành
Suy ra số nghiệm vi phạm là
Vậy số nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 980.

Điền đáp án: 0,58
Gọi là biến cố “Khu chuyển đi 2 nam” , là biến cố “ Khu có số nam nhiều hơn số nữ”
Khu vực có người trong đó 13 nam và 13 nữ.
Khu vực có người trong đó có 6 nam và 6 nữ.
Vì ta chuyển đi khu vực ít nhất 1 nam nên có 2 trường hợp:
+) Chuyển đi khu vực đi 2 nam : cách .
+) Chuyển đi khu vực đi 1 nam, 1 nữ: cách.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Theo đề bài ta có:


Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Theo công thức Bayes ta có: