Câu 1 [1124067]: Có 
học sinh lớp 
và 
học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để khi xếp ngẫu nhiên 
học sinh đó sao cho không có hai học sinh lớp 12 nào đứng cạnh nhau bằng 
(trong đó 
là phân số tối giản). Khi đó 
bằng bao nhiêu?
học sinh lớp và học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để khi xếp ngẫu nhiên học sinh đó sao cho không có hai học sinh lớp 12 nào đứng cạnh nhau bằng (trong đó là phân số tối giản). Khi đó bằng bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu là 
Ta xếp
học sinh lớp 11 thành hàng ngang thì có số cách xếp là 
, khi đó tạo thành 7 khe trống để xếp 3 học sinh lớp 12 thoả mãn thì có số cách là 
Vậy xác suất để xếp ngẫu nhiên
học sinh đó sao cho không có hai học sinh lớp 12 nào đứng cạnh nhau bằng 
Ta xếp
học sinh lớp 11 thành hàng ngang thì có số cách xếp là , khi đó tạo thành 7 khe trống để xếp 3 học sinh lớp 12 thoả mãn thì có số cách là Vậy xác suất để xếp ngẫu nhiên
học sinh đó sao cho không có hai học sinh lớp 12 nào đứng cạnh nhau bằng
Câu 2 [1153767]: [Đề thi THPT Liên Trường-Hà Tĩnh]: Một nhóm có 10 học sinh gồm 6 học sinh nam trong đó có Cường và 4 học sinh nữ trong đó có Na được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang để dự lễ tổng kết năm học. Gọi 
là số cách xếp thỏa mãn giữa 2 bạn nữ gần nhau có hai bạn nam, đồng thời Cường không ngồi cạnh Na. Giá trị 
bằng bao nhiêu?
là số cách xếp thỏa mãn giữa 2 bạn nữ gần nhau có hai bạn nam, đồng thời Cường không ngồi cạnh Na. Giá trị bằng bao nhiêu?
Đánh số 10 cái ghế từ 1 đến 10 từ trái sang phải. Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam khi và chỉ khi 4 bạn nữ ngồi ở ghế số 1, 4, 7, 10. Khi đó ta xét các trường hợp:
TH1: Na ngồi ghế số 1
Khi đó 3 bạn nữ còn lại có 3! cách xếp vào ghế số 4, 7, 10.
Xếp Cường ngồi vào hàng, vì Cường không ngồi gần Na nên có
cách chọn chỗ cho Cường. Khi đó 5 bạn còn lại được xếp vào 5 ghế trống, có 5! cách.
Theo quy tắc nhân ta có
cách.
TH2: Na ngồi ghế số 4
Khi đó 3 bạn nữ còn lại có 3! cách xếp vào ghế số 1, 7, 10.
Có 4 cách xếp Cường vào hàng, còn 5 bạn nam có 5! cách xếp.
Suy ra có
cách.
TH3: Na ngồi ghế số 7
Tương tự TH2 có 2880 cách.
TH4: Na ngồi ghế số 10
Tương tự TH1 có 3600 cách.
Vậy có
TH1: Na ngồi ghế số 1
Khi đó 3 bạn nữ còn lại có 3! cách xếp vào ghế số 4, 7, 10.
Xếp Cường ngồi vào hàng, vì Cường không ngồi gần Na nên có
cách chọn chỗ cho Cường. Khi đó 5 bạn còn lại được xếp vào 5 ghế trống, có 5! cách.
Theo quy tắc nhân ta có
cách.
TH2: Na ngồi ghế số 4
Khi đó 3 bạn nữ còn lại có 3! cách xếp vào ghế số 1, 7, 10.
Có 4 cách xếp Cường vào hàng, còn 5 bạn nam có 5! cách xếp.
Suy ra có
cách.
TH3: Na ngồi ghế số 7
Tương tự TH2 có 2880 cách.
TH4: Na ngồi ghế số 10
Tương tự TH1 có 3600 cách.
Vậy có
Câu 3 [1137039]: Một đa giác đều có 
đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơnn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi 
là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiêu từ 
một tam giác. Xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu là 
(
, 
; 
là phân số tối giản). Khi đó 
bằng
đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơnn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiêu từ một tam giác. Xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu là (, ; là phân số tối giản). Khi đó bằng 
Dễ thấy không thể có tam giác nào có
cạnh đều là cạnh của đa giác đều ban đầu.
Gọi
là biến cố “tam giác được chọn có 
cạnh màu xanh”.
TH1: tam giác có
cạnh màu xanh.
Để được tam giác như thế thì
cạnh màu xanh là 
cạnh của đa giác, khi đó ta cần chọn 
đỉnh liên tiếp của đa giác. Do đó 
TH2: tam giác có
cạnh màu xanh.
Để được tam giác như thế thì ta cần chọn
đỉnh liên tiếp của đa giác, đỉnh còn lại của tam giác không kề với 
đỉnh kia.
Chọn
đỉnh liên tiếp, có 
cách chọn.
Chọn đỉnh còn lại, bỏ
đỉnh đã chọn và 
đỉnh kề với 
đỉnh đó, có 
cách chọn.
Do đó
Suy ra
Xác suất cần tìm là
hay 
, 
Vậy
Câu 4 [1153768]: [Đề thi thử Sở Sơn La]: Trong một cuộc thi đấu Robotics, sân đấu được thiết kế dạng lưới ô vuông như hình vẽ. Các robot xuất phát từ vị trí điểm A, di chuyển ngẫu nhiên theo cạnh của các ô vuông theo hướng xuống dưới hoặc sang phải đến vị trí điểm B. Tính xác suất robot đi từ A đến B mà không đi qua cả M và N (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu 
Để đi từ
đến 
, robot cần thực hiện tổng cộng:
4 bước xuống dưới (
)
6 bước sang phải (
)
Tổng số bước đi là:
bước.
Số cách chọn 4 bước xuống dưới trong tổng số 10 bước đi là
Bước 2: Tính số cách đi qua các điểm vi phạm (M và N)
Gọi các biến cố:
: "Robot đi qua điểm 
".
: "Robot đi qua điểm 
".
: "Robot đi qua cả hai điểm 
và 
".
+) Số cách đi qua
Từ
đến 
: Cần 2 xuống, 2 phải 
cách.
Từ
đến 
: Cần 2 xuống, 4 phải 
cách.
+) Số cách đi qua
Từ
đến 
: Cần 3 xuống, 3 phải 
cách.
Từ
đến 
: Cần 1 xuống, 3 phải 
cách.
+) Số cách đi qua cả
và 
Từ
: 
cách.
Từ
: Cần 1 xuống, 1 phải 
cách.
Từ
: 
cách.
Bước 3: Tính xác suất biến cố cần tìm
Gọi
là biến cố "Robot đi qua 
hoặc 
". Số cách đi qua ít nhất một trong hai điểm là
Xác suất đi qua
hoặc 
là 
Suy ra biến cố đối
là "Robot không đi qua cả 
và 
" là
Điền đáp án: 0,42.
Để đi từ
đến , robot cần thực hiện tổng cộng:
4 bước xuống dưới (
)
6 bước sang phải (
)
Tổng số bước đi là:
bước.
Số cách chọn 4 bước xuống dưới trong tổng số 10 bước đi là
Bước 2: Tính số cách đi qua các điểm vi phạm (M và N)
Gọi các biến cố:
: "Robot đi qua điểm ".
: "Robot đi qua điểm ".
: "Robot đi qua cả hai điểm và ".
+) Số cách đi qua
Từ
đến : Cần 2 xuống, 2 phải cách.
Từ
đến : Cần 2 xuống, 4 phải cách.
+) Số cách đi qua
Từ
đến : Cần 3 xuống, 3 phải cách.
Từ
đến : Cần 1 xuống, 3 phải cách.
+) Số cách đi qua cả
và
Từ
: cách.
Từ
: Cần 1 xuống, 1 phải cách.
Từ
: cách.
Bước 3: Tính xác suất biến cố cần tìm
Gọi
là biến cố "Robot đi qua hoặc ". Số cách đi qua ít nhất một trong hai điểm là
Xác suất đi qua
hoặc là
Suy ra biến cố đối
là "Robot không đi qua cả và " là
Điền đáp án: 0,42.
Câu 5 [1153769]: [Đề thi Sở Phú Thọ-Lần 1]: Cho đa giác đều 36 đỉnh 
nội tiếp đường tròn tâm 
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số các đỉnh 
của đa giác đã cho, biết xác suất để chọn được ba đỉnh tạo thành một tam giác có một góc bằng 
là 
Giá trị biểu thức 
bằng bao nhiêu?
nội tiếp đường tròn tâm Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số các đỉnh của đa giác đã cho, biết xác suất để chọn được ba đỉnh tạo thành một tam giác có một góc bằng là Giá trị biểu thức bằng bao nhiêu? 
Đa giác đều 36 đỉnh
nội tiếp đường tròn tâm 
+) Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số các đỉnh
của đa giác đã cho thì số các chọn là
+) Vì đa giác đều 36 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm
nên mỗi cạnh là 1 dây của cung có số đo 
góc nội tiếp chắn cung này có số đo 
nên góc của tam giác có số đo 
là góc nội tiếp thì sẽ chắn 
cung nhỏ liên tiếp này.Để chọn được ba đỉnh tạo thành một tam giác có một góc bằng
ta thực hiện 2 bước:Bước 1: chọn 1 đỉnh ở góc
giả sử 
có 36 cách chọn.Bước 2: Chọn 2 đỉnh
và 
làm 2 đỉnh còn lại của tam giác, thì 
với 
có 11 cách chọn.Theo quy tắc nhân, tổng số cách chọn 3 đỉnh để được tam giác có một góc
là 
Điền đáp án: 33.
Câu 6 [1136609]: Cho một đa giác đều 
có 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của 
Tính số tứ giác được lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của 
có 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của Tính số tứ giác được lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của
Chọn một đỉnh đầu tiên làm đỉnh của tứ giác có 15 cách.
Vì bốn đỉnh của tứ giác không có cạnh nào là cạnh thuộc đa giác
nên giữa các đỉnh của tứ giác sẽ có 
đỉnh là đỉnh của đa giác 
Vì đa giác có 15 đỉnh, đã chọn 4 đỉnh làm đỉnh của tứ giác, vì vậy tổng số đỉnh của của đa giác
không được chọn và nằm giữa 4 đỉnh đã chọn là 
của đa giác 
Số nghiệm nguyên dương của phương trình là:
(Bài toán chia kẹo Euler)
Vì đỉnh đầu tiên có 15 cách chọn, tuy nhiên vai trò của 4 đỉnh trong tứ giác là như nhau
Số tứ giác tạo thành
Vì bốn đỉnh của tứ giác không có cạnh nào là cạnh thuộc đa giác
nên giữa các đỉnh của tứ giác sẽ có đỉnh là đỉnh của đa giác
Vì đa giác có 15 đỉnh, đã chọn 4 đỉnh làm đỉnh của tứ giác, vì vậy tổng số đỉnh của của đa giác
không được chọn và nằm giữa 4 đỉnh đã chọn là
của đa giác
Số nghiệm nguyên dương của phương trình là:
(Bài toán chia kẹo Euler)
Vì đỉnh đầu tiên có 15 cách chọn, tuy nhiên vai trò của 4 đỉnh trong tứ giác là như nhau
Số tứ giác tạo thành
Câu 7 [1153770]: [Đề thi HSG Đăk Lăk]: Cho đa giác đều 
nội tiếp đường tròn 
. Chọn ba điểm bất kì từ 36 đỉnh của đa giác đều trên. Xác suất để ba điểm đó là ba đỉnh của một tam giác vuông có diện tích bằng một số nguyên là 
(với 
là phân số tối giản). Khi đó 
bằng bao nhiêu?
nội tiếp đường tròn . Chọn ba điểm bất kì từ 36 đỉnh của đa giác đều trên. Xác suất để ba điểm đó là ba đỉnh của một tam giác vuông có diện tích bằng một số nguyên là (với là phân số tối giản). Khi đó bằng bao nhiêu?
Chọn 3 đỉnh bất kỳ từ 36 đỉnh là 
Để 3 đỉnh tạo thành một tam giác vuông nội tiếp đường tròn thì tam giác đó phải nhận 1 trong 18 đường kính của đa giác làm cạnh huyền.
Giả sử cạnh huyền là
Chọn 1 điểm
khác B, C trong 34 điểm còn lại.
Diện tích tam giác vuông là
với 
là khoảng cách từ 
đến 
Mỗi cung nhỏ chắn giữa 2 đỉnh kề nhau có số đo
Khoảng cách
với 
Khi đó
Để
là số nguyên, mà 
nên 
Trường hợp 1:
Ứng với mỗi đường kính, có 4 điểm
thỏa mãn (mỗi giá trị 
cho 2 điểm đối xứng qua đường kính).
Trường hợp 2:
Ứng với mỗi đường kính, có 2 điểm
thỏa mãn (đỉnh cao nhất và thấp nhất so với đường kính).
Số tam giác vuông có diện tích nguyên là: 
tam giác.
Xác suất cần tìm là:
Điền đáp án: 604.
Để 3 đỉnh tạo thành một tam giác vuông nội tiếp đường tròn thì tam giác đó phải nhận 1 trong 18 đường kính của đa giác làm cạnh huyền.
Giả sử cạnh huyền là
Chọn 1 điểm
khác B, C trong 34 điểm còn lại.
Diện tích tam giác vuông là
với là khoảng cách từ đến
Mỗi cung nhỏ chắn giữa 2 đỉnh kề nhau có số đo
Khoảng cách
với
Khi đó
Để
là số nguyên, mà nên
Trường hợp 1:
Ứng với mỗi đường kính, có 4 điểm
thỏa mãn (mỗi giá trị cho 2 điểm đối xứng qua đường kính).
Trường hợp 2:
Ứng với mỗi đường kính, có 2 điểm
thỏa mãn (đỉnh cao nhất và thấp nhất so với đường kính).
Số tam giác vuông có diện tích nguyên là: tam giác.
Xác suất cần tìm là:
Điền đáp án: 604.
Câu 8 [1153771]: [Đề thi THPT Chuyên KHTN lần 1]: Xét một bảng ô vuông kích thước 
Mỗi ô được điền ngẫu nhiên và độc lập một giá trị từ tập 
. Biết rằng tổng các số trên mỗi hàng đều bằng 
gọi 
là xác suất để tổng các số trên mỗi cột cũng đều bằng 
Tính giá trị của 
Mỗi ô được điền ngẫu nhiên và độc lập một giá trị từ tập . Biết rằng tổng các số trên mỗi hàng đều bằng gọi là xác suất để tổng các số trên mỗi cột cũng đều bằng Tính giá trị của
Mỗi dòng có tổng bằng 
có 2 dạng là 
và 
Suy ra không gian mẫu có
TH1: Có hàng là
Nếu hàng 1 là
thì để các cột có tổng bằng 0, hai hàng còn lại phải là đối ngẫu của nhau (ví dụ hàng 2 là 
thì hàng 3 phải là 
).
Mỗi hàng 2 có 6 cách chọn, hàng 3 sẽ cố định theo hàng 2. Suy ra có
cách.
Nếu hàng 1 và 2 là
thì hàng 3 cố định là 
(bảng toàn 0).
Do đó có
cách.
TH2: Không có hàng nào là
Hàng 1 có 6 cách xếp là hoán vị của
Ở hàng 2 không được có cột trùng với hàng 1 nên mỗi hoán vị của hàng 1 có 2 cách để xếp tương ứng ở dòng 2. Ví dụ hàng 1 là
thì hàng 2 là 
hoặc 
Khi đó hàng 3 sẽ xác định duy nhất do tổng cột bằng 0.
Do đó có
cách.
Vậy xác suất để mỗi cột bằng 0 là
Giá trị của
Điền đáp án: 310.
có 2 dạng là và
Suy ra không gian mẫu có
TH1: Có hàng là
Nếu hàng 1 là
thì để các cột có tổng bằng 0, hai hàng còn lại phải là đối ngẫu của nhau (ví dụ hàng 2 là thì hàng 3 phải là ).
Mỗi hàng 2 có 6 cách chọn, hàng 3 sẽ cố định theo hàng 2. Suy ra có
cách.
Nếu hàng 1 và 2 là
thì hàng 3 cố định là (bảng toàn 0).
Do đó có
cách.
TH2: Không có hàng nào là
Hàng 1 có 6 cách xếp là hoán vị của
Ở hàng 2 không được có cột trùng với hàng 1 nên mỗi hoán vị của hàng 1 có 2 cách để xếp tương ứng ở dòng 2. Ví dụ hàng 1 là
thì hàng 2 là hoặc
Khi đó hàng 3 sẽ xác định duy nhất do tổng cột bằng 0.
Do đó có
cách.
Vậy xác suất để mỗi cột bằng 0 là
Giá trị của
Điền đáp án: 310.
Câu 9 [1153772]: [Đề thi thử Sở Sơn La]: Cho hình vẽ bên gồm 4 tam giác. Người ta chọn 3 số phân biệt từ tập hợp 
để xếp vào 3 tam giác ở 3 góc. Sau đó, tính tổng bình phương của 3 số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho 5?
để xếp vào 3 tam giác ở 3 góc. Sau đó, tính tổng bình phương của 3 số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho 5?
Bước 1: Phân loại các số trong tập 
theo số dư của bình phương khi chia cho 5
Xét một số
ta có các trường hợp số dư của 
khi chia cho 5:
• Nếu
• Nếu 
• Nếu
Từ đó, ta chia tập
thành 3 tập hợp con dựa trên số dư của 
cho 5:
Tập
(bình phương chia hết cho 5): Gồm các số chia hết cho 5.
số.
Tập
(bình phương chia cho 5 dư 1): Gồm các số chia cho 5 dư 1 hoặc 4.
Số chia 5 dư 1:
(6 số).
Số chia 5 dư 4:
(5 số).
số.
Tập
(bình phương chia cho 5 dư 4): Gồm các số chia cho 5 dư 2 hoặc 3.
Số chia 5 dư 2:
(5 số).
Số chia 5 dư 3:
(5 số).
số.
Bước 2: Tìm các bộ 3 số
sao cho tổng bình phương chia hết cho 5
Để
(với các số dư tương ứng là 0, 1, 4), ta có 2 trường hợp thỏa mãn:
Trường hợp 1: Cả 3 số đều thuộc tập
(số dư là 
).
Số cách chọn 3 số từ tập
: 
Trường hợp 2: Mỗi số thuộc một tập khác nhau A, B, C (số dư là 0+1+4 = 5).
Số cách chọn:
Bước 3: Tính tổng số cách xếp
Với mỗi bộ 3 số được chọn, ta có 3! cách xếp vào 3 vị trí ở góc tam giác.
Tổng số cách xếp là:
Vậy có 3360 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
theo số dư của bình phương khi chia cho 5
Xét một số
ta có các trường hợp số dư của khi chia cho 5:
• Nếu
• Nếu
• Nếu
Từ đó, ta chia tập
thành 3 tập hợp con dựa trên số dư của cho 5:
Tập
(bình phương chia hết cho 5): Gồm các số chia hết cho 5.
số.
Tập
(bình phương chia cho 5 dư 1): Gồm các số chia cho 5 dư 1 hoặc 4.
Số chia 5 dư 1:
(6 số).
Số chia 5 dư 4:
(5 số).
số.
Tập
(bình phương chia cho 5 dư 4): Gồm các số chia cho 5 dư 2 hoặc 3.
Số chia 5 dư 2:
(5 số).
Số chia 5 dư 3:
(5 số).
số.
Bước 2: Tìm các bộ 3 số
sao cho tổng bình phương chia hết cho 5
Để
(với các số dư tương ứng là 0, 1, 4), ta có 2 trường hợp thỏa mãn:
Trường hợp 1: Cả 3 số đều thuộc tập
(số dư là ).
Số cách chọn 3 số từ tập
:
Trường hợp 2: Mỗi số thuộc một tập khác nhau A, B, C (số dư là 0+1+4 = 5).
Số cách chọn:
Bước 3: Tính tổng số cách xếp
Với mỗi bộ 3 số được chọn, ta có 3! cách xếp vào 3 vị trí ở góc tam giác.
Tổng số cách xếp là:
Vậy có 3360 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 10 [1153773]: [Đề thi cụm trường Sở Bắc Ninh]: Trong giờ thực hành, một học sinh được giao một thanh gỗ thẳng dài 15 cm (có 14 vạch chia đều trên thanh gỗ). Học sinh đó thực hiện ngẫu nhiên hai nhát cắt tại các vạch chia cm để chia thanh gỗ thành 3 đoạn. Tính xác suất để 3 đoạn gỗ thu được có thể ghép thành 3 cạnh của một tam giác (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Tổng số cách thực hiện ngẫu nhiên 2 nhát cắt là 
Gọi
là biến cố “2 nhát cắt chia thanh gỗ thành 3 đoạn gỗ có thể ghép thành 3 cạnh của một tam giác”.
Gọi
là độ dài của 3 thanh gỗ.
Vì
là độ dài ba cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có
Ta có
Vì 
là số nguyên dương nên 
Đặt
Khi đó phương trình 
trở thành
Nhận xét: Số cách cắt thỏa mãn là số nguyên nguyên dương của phương trình
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler, ta có
Điền đáp án: 0,31.
Gọi
là biến cố “2 nhát cắt chia thanh gỗ thành 3 đoạn gỗ có thể ghép thành 3 cạnh của một tam giác”.
Gọi
là độ dài của 3 thanh gỗ.
Vì
là độ dài ba cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có
Ta có
Vì là số nguyên dương nên
Đặt
Khi đó phương trình trở thành
Nhận xét: Số cách cắt thỏa mãn là số nguyên nguyên dương của phương trình
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler, ta có
Điền đáp án: 0,31.
Câu 11 [1122825]: Một giờ hoạt động ngoài trời của lớp 1/1 trường tiểu học X, cô giáo cho 
học sinh lớp mình nắm tay nhau xếp thành một vòng tròn để chơi trò chơi “Mèo bắt Chuột”. Sau khi ổn định, cô gọi tên ngẫu nhiên 
học sinh trong lớp ra giữa vòng (
em làm “Mèo”, 
em làm “Chuột”). Xác suất 
em được gọi tên không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn bằng 
Tính 
học sinh lớp mình nắm tay nhau xếp thành một vòng tròn để chơi trò chơi “Mèo bắt Chuột”. Sau khi ổn định, cô gọi tên ngẫu nhiên học sinh trong lớp ra giữa vòng ( em làm “Mèo”, em làm “Chuột”). Xác suất em được gọi tên không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn bằng Tính
Số cách chọn ngẫu nhiên 
học sinh từ 
học sinh: 
Gọi
là biến cố: “
học sinh được chọn không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn”.
Giả sử xếp
học sinh thành một hàng ngang, chọn 
em sao cho không có hai em nào đứng cạnh nhau cũng như chọn ra 
trong các “khoảng trống” tạo ra bởi 
em còn lại.
Mà
học sinh tạo ra 
“khoảng trống” nên có 
cách chọn.
Mặt khác, nếu có hai em trong
em được chọn đứng đầu hàng và cuối hàng thì khi xếp thành vòng tròn hai em này sẽ đứng cạnh nhau.
Khi đó, ta chọn ra
trong các “khoảng trống” giữa 
em còn lại có 
cách chọn.
Vậy số phần tử thuận lợi cho biến cố
: 
Xác suất cần tìm:
học sinh từ học sinh:
Gọi
là biến cố: “ học sinh được chọn không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn”.
Giả sử xếp
học sinh thành một hàng ngang, chọn em sao cho không có hai em nào đứng cạnh nhau cũng như chọn ra trong các “khoảng trống” tạo ra bởi em còn lại.
Mà
học sinh tạo ra “khoảng trống” nên có cách chọn.
Mặt khác, nếu có hai em trong
em được chọn đứng đầu hàng và cuối hàng thì khi xếp thành vòng tròn hai em này sẽ đứng cạnh nhau.
Khi đó, ta chọn ra
trong các “khoảng trống” giữa em còn lại có cách chọn.
Vậy số phần tử thuận lợi cho biến cố
:
Xác suất cần tìm:
Câu 12 [1153774]: [Đề thi Sở Bắc Ninh]: Cho đa giác đều 36 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong các đình của đa giác đã cho. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có 2 góc ở 2 đỉnh liền kề, chung một cạnh của tứ giác là 2 góc tù (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi 
là biến cố “4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có 2 góc ở 2 đỉnh liền kề, chung một cạnh của tứ giác là 2 góc tù”.
là biến cố “4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có góc vuông”.
Đa giác đều 36 cạnh, nên tứ giác có 4 đỉnh trong các đỉnh của đa giác là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác nội tiếp có góc vuông là tứ giác có đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
Đa giác đều 36 cạnh có 18 đường chéo.
Vậy
Điền đáp án: 0,91.
là biến cố “4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có 2 góc ở 2 đỉnh liền kề, chung một cạnh của tứ giác là 2 góc tù”.
là biến cố “4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có góc vuông”.
Đa giác đều 36 cạnh, nên tứ giác có 4 đỉnh trong các đỉnh của đa giác là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác nội tiếp có góc vuông là tứ giác có đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
Đa giác đều 36 cạnh có 18 đường chéo.
Vậy
Điền đáp án: 0,91.
Câu 13 [1124046]: Một hộp có 15 chiếc thẻ được đánh số lần lượt từ 1 đến 15. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ từ hộp đó. Tính xác suất để tổng 3 số ghi trên 3 thẻ đó là một số chia hết cho 3.( Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Số cách lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 thẻ từ hộp gồm 15 chiếc thẻ phân biệt là:: 
cách
Gọi
: “ Tập hợp các thẻ trong hộp được đánh số chia hết chia cho 3”, nên 
: “ Tập hợp các thẻ trong hộp được đánh số chia chia cho 3 dư 1” nên 
: “ Tập hợp các thẻ trong hộp được đánh số chia chia cho 3 dư 2” nên 
Để lấy được 3 thẻ mà tổng 3 số ghi trên thẻ chia hết cho 3 thì:
+ TH1: Lấy được 3 thẻ từ tập
: 
cách
+ TH2: Lấy được 3 thẻ từ tập
: 
cách
+ TH3: Lấy được 3 thẻ từ tập
: 
cách
+ TH4: Lấy được 1 thẻ từ hộp
, 1 thẻ từ hộp 
và 1 thẻ từ hộp 
:
cách
Xác suất để tổng 3 số ghi trên 3 thẻ đó là một số chia hết cho 3 là:
cách
Gọi
: “ Tập hợp các thẻ trong hộp được đánh số chia hết chia cho 3”, nên
: “ Tập hợp các thẻ trong hộp được đánh số chia chia cho 3 dư 1” nên
: “ Tập hợp các thẻ trong hộp được đánh số chia chia cho 3 dư 2” nên
Để lấy được 3 thẻ mà tổng 3 số ghi trên thẻ chia hết cho 3 thì:
+ TH1: Lấy được 3 thẻ từ tập
: cách
+ TH2: Lấy được 3 thẻ từ tập
: cách
+ TH3: Lấy được 3 thẻ từ tập
: cách
+ TH4: Lấy được 1 thẻ từ hộp
, 1 thẻ từ hộp và 1 thẻ từ hộp : cách
Xác suất để tổng 3 số ghi trên 3 thẻ đó là một số chia hết cho 3 là:
Câu 14 [1153775]: [Đề thi THPT Cử Lò Lần 1]: Quanh một đa giác đều 
cạnh 
vẽ vòng tròn ngoại tiếp. Ba đỉnh bất kì của đa giác được gọi là cùng phía nếu tồn tại một nửa đường tròn chứa 3 đỉnh đó (các đầu mút của nửa đường tròn là các đỉnh của đa giác). Biết xác suất của biến cố "3 đỉnh chọn bất kì cùng phía" bằng 
Tìm 
?
cạnh vẽ vòng tròn ngoại tiếp. Ba đỉnh bất kì của đa giác được gọi là cùng phía nếu tồn tại một nửa đường tròn chứa 3 đỉnh đó (các đầu mút của nửa đường tròn là các đỉnh của đa giác). Biết xác suất của biến cố "3 đỉnh chọn bất kì cùng phía" bằng Tìm ?
Đa giác 
cạnh có 
đỉnh.
Số cách chọn 3 đỉnh từ
đỉnh: 
Số cách chọn 3 đỉnh cùng phía:
- Chọn 1 đỉnh làm mốc:
(cách).
- Chọn 2 đỉnh còn lại trong số
đỉnh nằm trên nửa đường tròn theo chiều kim đồng hồ: 
(cách).
Vậy số cách chọn 3 đỉnh bất kì cùng phía là
Ta có
Điền đáp án: 22.
cạnh có đỉnh.
Số cách chọn 3 đỉnh từ
đỉnh:
Số cách chọn 3 đỉnh cùng phía:
- Chọn 1 đỉnh làm mốc:
(cách).
- Chọn 2 đỉnh còn lại trong số
đỉnh nằm trên nửa đường tròn theo chiều kim đồng hồ: (cách).
Vậy số cách chọn 3 đỉnh bất kì cùng phía là
Ta có
Điền đáp án: 22.
Câu 15 [1153776]: [Đề thi Sở Hà Nội]: Người ta trang trí một bảng ô vuông 
(như hình 1) bởi các ngôi sao và các bông hoa giống nhau. Mỗi ô vuông nhỏ được dán một ngôi sao hoặc một bông hoa, sao cho trong mỗi hàng và mỗi cột của bảng ô vuông đều có 2 ngôi sao và 2 bông hoa (tham khảo một cách dán trong hình 2). Có tất cả bao nhiêu cách trang trí bảng ô vuông thỏa mãn yêu cầu trên?
(như hình 1) bởi các ngôi sao và các bông hoa giống nhau. Mỗi ô vuông nhỏ được dán một ngôi sao hoặc một bông hoa, sao cho trong mỗi hàng và mỗi cột của bảng ô vuông đều có 2 ngôi sao và 2 bông hoa (tham khảo một cách dán trong hình 2). Có tất cả bao nhiêu cách trang trí bảng ô vuông thỏa mãn yêu cầu trên?
Kí hiệu: ngôi sao là 1 và bông hoa là 0.
Mỗi hàng có số cách dán 2 ngôi sao và 2 bông hoa là
cách.
Tương ứng với 6 cách này, có 6 mẫu hàng. Chia 6 mẫu hàng này thành 3 cặp đối lập như sau:
Cặp 1:
và 
Cặp 2:
và 
Cặp 3:
và 
Để tổng mỗi cột của bảng bằng 2, bốn hàng của bảng phải được tạo thành từ việc chọn ra hai cặp đối lập. Có 2 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Bốn hàng được chọn từ cùng một cặp đối lập
Trong trường hợp này, mỗi mẫu hàng trong cặp đã chọn sẽ xuất hiện đúng 2 lần.
Số cách chọn một cặp từ 3 cặp: 3 cách.
Với mỗi cách chọn, số hoán vị của 4 hàng (trong đó có 2 cặp hàng giống nhau) là
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH1 là 
cách.
Trường hợp 2: Bốn hàng được chọn từ hai cặp đối lập khác nhau
Trong trường hợp này, mỗi mẫu hàng trong hai cặp được chọn xuất hiện đúng 1 lần.
Số cách chọn ra 2 cặp:
cách.
Với mỗi cách chọn, ta có 4 hàng đôi một khác nhau nên số hoán vị là
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH2 là 
cách.
Vậy tổng số cách trang trí bảng thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 90.
Mỗi hàng có số cách dán 2 ngôi sao và 2 bông hoa là
cách.
Tương ứng với 6 cách này, có 6 mẫu hàng. Chia 6 mẫu hàng này thành 3 cặp đối lập như sau:
Cặp 1:
và
Cặp 2:
và
Cặp 3:
và
Để tổng mỗi cột của bảng bằng 2, bốn hàng của bảng phải được tạo thành từ việc chọn ra hai cặp đối lập. Có 2 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Bốn hàng được chọn từ cùng một cặp đối lập
Trong trường hợp này, mỗi mẫu hàng trong cặp đã chọn sẽ xuất hiện đúng 2 lần.
Số cách chọn một cặp từ 3 cặp: 3 cách.
Với mỗi cách chọn, số hoán vị của 4 hàng (trong đó có 2 cặp hàng giống nhau) là
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: Bốn hàng được chọn từ hai cặp đối lập khác nhau
Trong trường hợp này, mỗi mẫu hàng trong hai cặp được chọn xuất hiện đúng 1 lần.
Số cách chọn ra 2 cặp:
cách.
Với mỗi cách chọn, ta có 4 hàng đôi một khác nhau nên số hoán vị là
cách.
Số cách thỏa mãn ở TH2 là cách.
Vậy tổng số cách trang trí bảng thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 90.
Câu 16 [1123541]: Công ty VinaElectro sản xuất một loại thiết bị điển tử tiêu dùng và đánh số seri cho từng sản phầm bằng một mã 6 chữ số được tạo ngẫu nhiên từ các số 
và chữ số đầu tiên không được là 
Trong một chương trình khuyến mãi nhân dịp ra mắt sản phẩm mới, công ty muốn tặng quà cho khách hàng nếu sản phẩm của họ mua có mã seri “đặc biệt” – là mã số có tích các chữ số bằng 
Biết xác suất để khách hàng được tặng quà (tức có mã “đặc biệt”) là 
với 
là phân số tối giản và 
Tính 
và chữ số đầu tiên không được là Trong một chương trình khuyến mãi nhân dịp ra mắt sản phẩm mới, công ty muốn tặng quà cho khách hàng nếu sản phẩm của họ mua có mã seri “đặc biệt” – là mã số có tích các chữ số bằng Biết xác suất để khách hàng được tặng quà (tức có mã “đặc biệt”) là với là phân số tối giản và Tính
Số phần tử của không gian mẫu là: 
Gọi
là biến cố: “Khách hàng được tặng quà”
Vì mã seri “đặc biệt” là mã số có tích các chữ số bằng
, mà dãy số có 6 chữ số nên ta ta chỉ có 3 cách phân tích như sau:
Do đó, số phần tử của biến cố
chính là tổng số hoán vị của 3 bộ 
, 
, 
Suy ra số phần tử của biến cố 
là:
Xác suất khách hàng được tặng quà là: 
Gọi
là biến cố: “Khách hàng được tặng quà”
Vì mã seri “đặc biệt” là mã số có tích các chữ số bằng
, mà dãy số có 6 chữ số nên ta ta chỉ có 3 cách phân tích như sau:
Do đó, số phần tử của biến cố
chính là tổng số hoán vị của 3 bộ , , Suy ra số phần tử của biến cố là:
Xác suất khách hàng được tặng quà là:
Câu 17 [1122845]: Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 
, 3 bạn từ lớp 
, 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau. Xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau bằng 
( với 
là phân số tối giản). Tính 
, 3 bạn từ lớp , 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau. Xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau bằng ( với là phân số tối giản). Tính
Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là 
Xét các biến cố:
: "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau".
:" Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau".
: "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau".
: "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".
Sắp xếp 2 học sinh lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 học sinh , sau đó sắp xếp 8 học sinh còn lại là:
Từ 3 học sinh lớp 12B, chọn ra 2 học sinh sắp xếp 2 học sinh này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 học sinh còn lại là:
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau):
Chọn cặp ghế cho 12A: 5 cách.
Chọn cặp ghế khác cho 12B: còn 4 cách.
Chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện:
Sắp xếp trong mỗi cặp cho 12A và cho 12B là
Các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại là
Do đó
suy ra 
Vậy :
Xét các biến cố:
: "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau".
:" Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau".
: "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau".
: "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".
Sắp xếp 2 học sinh lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 học sinh , sau đó sắp xếp 8 học sinh còn lại là:
Từ 3 học sinh lớp 12B, chọn ra 2 học sinh sắp xếp 2 học sinh này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 học sinh còn lại là:
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau):
Chọn cặp ghế cho 12A: 5 cách.
Chọn cặp ghế khác cho 12B: còn 4 cách.
Chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện:
Sắp xếp trong mỗi cặp cho 12A và cho 12B là
Các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại là
Do đó
suy ra
Vậy :
Câu 18 [1128882]: Đài truyền hình FTV phát sóng hai chương trình truyền hình A và B với xác suất lần lượt là 0,55 và 0,45. Do thời tiết xấu gây nhiễu trên đường truyền nên 
các tín hiệu chương trình A bị lệch và phát sóng chương trình B sau khi thu được, còn lại bình thưởng. Còn đối với chương trình B thì 
các tín hiệu bị lệch và phát chương trình A sau khi thu được, 
các tín hiệu chương trình 
bị mất hẳn không thu được, còn lại bình thường. Ông F đang xem một chương trình truyền hình trên TV, tính xác suất ông F xem được chương trình thu được từ đúng với các tín hiệu lúc phát đi (làm tròn đến hàng phần trăm).
các tín hiệu chương trình A bị lệch và phát sóng chương trình B sau khi thu được, còn lại bình thưởng. Còn đối với chương trình B thì các tín hiệu bị lệch và phát chương trình A sau khi thu được, các tín hiệu chương trình bị mất hẳn không thu được, còn lại bình thường. Ông F đang xem một chương trình truyền hình trên TV, tính xác suất ông F xem được chương trình thu được từ đúng với các tín hiệu lúc phát đi (làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi 
là biến cố: “ông F xem được chương trình thu được từ đúng với các tín hiệu lúc phát đi”
Ta có sơ đồ cây như sau:
Vậy
Gọi
là biến cố : “Ông 
đang xem chương trình truyền hình. ”
Khi đó :
Suy ra :
là biến cố: “ông F xem được chương trình thu được từ đúng với các tín hiệu lúc phát đi”
Ta có sơ đồ cây như sau:
Vậy
Gọi
là biến cố : “Ông đang xem chương trình truyền hình. ”
Khi đó :
Suy ra :
Câu 19 [1124274]: Anh Nam mới vừa mua xe ô tô nhưng chưa ra biển số, anh rất mong muốn 5 chữ số trên biển số xe của mình là “không lùi” hoặc “không quá bé”. Theo cách nghĩ của anh Nam, đó là một số tự nhiên có 5 chữ số dạng 
sao cho 
Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên phù hợp với mong muốn của anh Nam?
sao cho Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên phù hợp với mong muốn của anh Nam?
Ta có 
được chọn từ tập 
Đây là bài toán chọn 5 phần từ từ tập hợp
với phép chọn có thể có các phần tử trùng nhau.
Suy ra tổ hợp chập
của 
phần tử với phép lặp có công thức là 
cách.
Ta có
(số lượng phần tử trong tập 
) và 
(số lượng chữ số cần chọn).
Suy ra số các số tự nhiên phù hợp là
Cách khác:
Do
nên 
="" 
="" Đặt 
; 
; 
; 
;
Do đó mỗi các chọn một bộ
tương ứng với một cách chọn năm số phân biệt từ tập 
Vậy ra số các số tự nhiên phù hợp là
được chọn từ tập
Đây là bài toán chọn 5 phần từ từ tập hợp
với phép chọn có thể có các phần tử trùng nhau.
Suy ra tổ hợp chập
của phần tử với phép lặp có công thức là cách.
Ta có
(số lượng phần tử trong tập ) và (số lượng chữ số cần chọn).
Suy ra số các số tự nhiên phù hợp là
Cách khác:
Do
nên ="" ="" ; ; ; ;
Do đó mỗi các chọn một bộ
tương ứng với một cách chọn năm số phân biệt từ tập
Vậy ra số các số tự nhiên phù hợp là
Câu 20 [1138820]: Lớp mẫu giáo có 10 em bé, các bé đứng thành vòng tròn và cách đều nhau, đứng ở tâm vòng trònlà cô giáo. Mỗi bé cầm hai cờ, một xanh một đỏ trên mỗi tay. Cô giáo bảo "giơ lên cao một cờ", các bé giơ ngẫu nhiên một cờ. Gọi a là xác suất để không có 4 cờ nào cùng màu được giơ lên ở 4 vị trí mà 4 vị trí ấy là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Giá trị của 
bằng bao nhiêu?
bằng bao nhiêu?
Mỗi em bé có 2 lựa chọn (giơ cờ Xanh hoặc cờ Đỏ). Vì có 10 em bé nên tổng số cách giơ cờ (số phần tử của không gian mẫu) là:
10 em bé đứng cách đều nhau trên một vòng tròn tạo thành một thập giác đều nội tiếp.
Một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bắt buộc phải có hai đường chéo là hai đường kính của đường tròn đó. Thập giác đều có 10 đỉnh, suy ra có
đường kính đi qua tâm.
Gọi tập hợp 5 đường kính này là
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành bằng cách chọn bất kỳ 2 trong 5 đường kính này.
Để một hình chữ nhật có 4 đỉnh cùng màu, thì 2 đường kính tạo nên nó phải có cùng trạng thái màu ở các đầu mút.Xét một đường kính bất kỳ nối 2 em bé đối diện nhau. Có
khả năng xảy ra về màu cờ của 2 em bé này:
• Trạng thái 1 (XX): Cả 2 bé đều giơ Xanh (1 trường hợp: Xanh - Xanh).
• Trạng thái 2 (ĐĐ): Cả 2 bé đều giơ Đỏ (1 trường hợp: Đỏ - Đỏ).
• Trạng thái 3 (Khác): 1 bé Xanh, 1 bé Đỏ (2 trường hợp: Xanh - Đỏ hoặc Đỏ - Xanh).
Điều kiện đề bài: "Không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật" tương đương với:
• Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái XX (để tránh hình chữ nhật toàn màu Xanh).
Số đường kính trạng thái XX chỉ được là 0 hoặc 1.
• Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái ĐĐ (để tránh hình chữ nhật toàn màu Đỏ).
Số đường kính trạng thái ĐĐ chỉ được là 0 hoặc 1.
Gọi
là số đường kính có trạng thái XX.
Gọi
là số đường kính có trạng thái ĐĐ.
Số đường kính còn lại là
sẽ có trạng thái "Khác" (mỗi đường có 2 cách chọn màu).
Theo lập luận trên, ta cần tìm số cách sao cho
và 
• Trường hợp 1:
(0 đường XX, 0 đường ĐĐ, 5 đường Khác)
Số cách chọn:
cách.
• Trường hợp 2:
(1 đường XX, 0 đường ĐĐ, 4 đường Khác)
Số cách chọn:
cách.
• Trường hợp 3:
(0 đường XX, 1 đường ĐĐ, 4 đường Khác)
Số cách chọn:
cách.
• Trường hợp 4:
(1 đường XX, 1 đường ĐĐ, 3 đường Khác)
Số cách chọn:
cách.
Tổng số kết quả thuận lợi là:
Xác suất của biến cố A là:
Giá trị cần tìm là
10 em bé đứng cách đều nhau trên một vòng tròn tạo thành một thập giác đều nội tiếp.
Một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bắt buộc phải có hai đường chéo là hai đường kính của đường tròn đó. Thập giác đều có 10 đỉnh, suy ra có
đường kính đi qua tâm.Gọi tập hợp 5 đường kính này là
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành bằng cách chọn bất kỳ 2 trong 5 đường kính này.
Để một hình chữ nhật có 4 đỉnh cùng màu, thì 2 đường kính tạo nên nó phải có cùng trạng thái màu ở các đầu mút.Xét một đường kính bất kỳ nối 2 em bé đối diện nhau. Có
khả năng xảy ra về màu cờ của 2 em bé này:
• Trạng thái 1 (XX): Cả 2 bé đều giơ Xanh (1 trường hợp: Xanh - Xanh).
• Trạng thái 2 (ĐĐ): Cả 2 bé đều giơ Đỏ (1 trường hợp: Đỏ - Đỏ).
• Trạng thái 3 (Khác): 1 bé Xanh, 1 bé Đỏ (2 trường hợp: Xanh - Đỏ hoặc Đỏ - Xanh).
Điều kiện đề bài: "Không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật" tương đương với:
• Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái XX (để tránh hình chữ nhật toàn màu Xanh).
Số đường kính trạng thái XX chỉ được là 0 hoặc 1.
• Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái ĐĐ (để tránh hình chữ nhật toàn màu Đỏ).
Số đường kính trạng thái ĐĐ chỉ được là 0 hoặc 1.
Gọi
là số đường kính có trạng thái XX.
Gọi
là số đường kính có trạng thái ĐĐ.
Số đường kính còn lại là
sẽ có trạng thái "Khác" (mỗi đường có 2 cách chọn màu).
Theo lập luận trên, ta cần tìm số cách sao cho
và
• Trường hợp 1:
(0 đường XX, 0 đường ĐĐ, 5 đường Khác)
Số cách chọn:
cách.
• Trường hợp 2:
(1 đường XX, 0 đường ĐĐ, 4 đường Khác)
Số cách chọn:
cách.
• Trường hợp 3:
(0 đường XX, 1 đường ĐĐ, 4 đường Khác)
Số cách chọn:
cách.
• Trường hợp 4:
(1 đường XX, 1 đường ĐĐ, 3 đường Khác)
Số cách chọn:
cách.
Tổng số kết quả thuận lợi là:
Xác suất của biến cố A là:
Giá trị cần tìm là
Câu 21 [1153777]: [Đề thi Sở Thái Nguyên]: Tung đồng thời hai con xúc xắc khác nhau đều cân đối và đồng nhất ba lần. Bằng cách cộng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc trong mỗi lần tung ta được một số ngẫu nhiên từ 2 đến 12. Gọi ba số này lần lượt là a, b và t. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có hai cạnh có độ dài là a, b và góc xen giữa chúng bằng 
độ. Xác suất để tam giác này là tam giác vuông bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
độ. Xác suất để tam giác này là tam giác vuông bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi 
là tổng số chấm trong mỗi lần tung, 
Xác suất 
được tính như sau:
•
•
•
•
•
•
Gọi
là tam giác tạo thành với 
đối diện cạnh 
đối diện cạnh 
và 
đối diện cạnh 
và 
Để tam giác tạo thành là tam giác vuông, ta có 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Tam giác vuông tại
Khi đó
Xác suất để
là 
Trong trường hợp này, với bất kỳ độ dài
ta cũng luôn có một tam giác vuông.
Do đó xác suất ở TH1 là
Trường hợp 2: Tam giác vuông tại
hoặc 
TH2.1: Tam giác vuông tại đỉnh
Khi đó
Vì 
là các số nguyên dương nên 
phải là một số hữu tỉ dương. Thử các giá trị của góc 
: 
chỉ có 
tương ứng với 
thỏa mãn 
là số hữu tỉ.
Xác suất xảy ra
là 
Nếu vuông tại
: Ta cần 
Các cặp 
thỏa mãn và xác suất tương ứng là
: Xác suất 
: Xác suất 
: Xác suất 
: Xác suất 
: Xác suất 
Tổng xác suất để
là 
TH2.2: Tam giác vuông tại
Vì vai trò của
là như nhau nên xác suất 
cũng là 
Tổng xác suất TH2 là 
Vậy xác suất để tam giác tạo thành là tam giác vuông là
Điền đáp án: 0,17.
là tổng số chấm trong mỗi lần tung, Xác suất được tính như sau:•
•
•
•
•
•
Gọi
là tam giác tạo thành với đối diện cạnh đối diện cạnh và đối diện cạnh và
Để tam giác tạo thành là tam giác vuông, ta có 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Tam giác vuông tại
Khi đó
Xác suất để
là
Trong trường hợp này, với bất kỳ độ dài
ta cũng luôn có một tam giác vuông.
Do đó xác suất ở TH1 là
Trường hợp 2: Tam giác vuông tại
hoặc
TH2.1: Tam giác vuông tại đỉnh
Khi đó
Vì là các số nguyên dương nên phải là một số hữu tỉ dương. Thử các giá trị của góc : chỉ có tương ứng với thỏa mãn là số hữu tỉ.
Xác suất xảy ra
là
Nếu vuông tại
: Ta cần Các cặp thỏa mãn và xác suất tương ứng là
: Xác suất
: Xác suất
: Xác suất
: Xác suất
: Xác suất
Tổng xác suất để
là
TH2.2: Tam giác vuông tại
Vì vai trò của
là như nhau nên xác suất cũng là
Tổng xác suất TH2 là
Vậy xác suất để tam giác tạo thành là tam giác vuông là
Điền đáp án: 0,17.
Câu 22 [1153778]: [Đề thi Cụm 13 trường Hải Phòng]: Cho 5 thẻ màu xanh, 5 thẻ màu đỏ và 5 thẻ màu vàng, mỗi loại được đánh số thứ tự từ 1 đến 5; tất cả thẻ đều có dạng hình vuông 
Chọn ngẫu nhiên 5 thẻ để ghép vào hình bên, mỗi thẻ tương ứng với một trong các ô vuông A, B, C, D, O. Tính xác suất để hai hình vuông có đúng 1 cạnh chung thì khác màu, hai hình vuông có đúng 1 đỉnh chung thì khác số (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Chọn ngẫu nhiên 5 thẻ để ghép vào hình bên, mỗi thẻ tương ứng với một trong các ô vuông A, B, C, D, O. Tính xác suất để hai hình vuông có đúng 1 cạnh chung thì khác màu, hai hình vuông có đúng 1 đỉnh chung thì khác số (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Chọn ngẫu nhiên 5 thẻ từ 15 thẻ và xếp vào 5 vị trí 
(có phân biệt thứ tự): 
Bước 1: Chọn 1 thẻ bất kỳ đặt vào ô
Có 15 cách chọn thẻ cho ô
Giả sử thẻ ở 
có màu xanh.
Bước 2: Chọn thẻ cho 4 ô còn lại (A, B, C, D)
Để thỏa mãn điều kiện về, thì 4 ô này phải:
• Các thẻ được chọn từ 10 thẻ gồm 5 thẻ đỏ và 5 thẻ vàng.
• Các cặp hình có chung 1 đỉnh là: A-B, D-C, B-C, A-B phải khác số. Các cặp đối diện A-C và B-D không chung đỉnh nên có thể trùng số.
Ta có 3 trường hợp sau:
TH1: Dùng 4 số khác nhau
Số cách chọn và xếp số vào 4 ô là
cách.
Mỗi số lại có 2 cách chọn màu nên số cách chọn màu cho 4 số là
cách.
Kết quả TH1: 
cách.
TH2: Dùng 3 số khác nhau
Khi đó, có 1 cặp đối diện trùng số
hoặc 
Chọn 1 trong 2 cặp đối diện để trùng số: 
cách.
Chọn và xếp 1 số cho cặp trùng, 2 số cho 2 ô còn lại:
cách.
Mỗi số có 2 cách chọn màu nên 3 số có
cách.
Kết quả TH2: 
cách.
TH3: Dùng 2 số khác nhau
Khi đó
và 
(với 
Chọn và xếp 2 số từ 4 số:
cách.
Mỗi số có 2 cách chọn màu nên 2 số có
cách chọn màu.
Kết quả TH3: 
cách.
Vậy tổng số cách thuận lợi là
Suy ra xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,12.
(có phân biệt thứ tự):
Bước 1: Chọn 1 thẻ bất kỳ đặt vào ô
Có 15 cách chọn thẻ cho ô
Giả sử thẻ ở có màu xanh.
Bước 2: Chọn thẻ cho 4 ô còn lại (A, B, C, D)
Để thỏa mãn điều kiện về, thì 4 ô này phải:
• Các thẻ được chọn từ 10 thẻ gồm 5 thẻ đỏ và 5 thẻ vàng.
• Các cặp hình có chung 1 đỉnh là: A-B, D-C, B-C, A-B phải khác số. Các cặp đối diện A-C và B-D không chung đỉnh nên có thể trùng số.
Ta có 3 trường hợp sau:
TH1: Dùng 4 số khác nhau
Số cách chọn và xếp số vào 4 ô là
cách.
Mỗi số lại có 2 cách chọn màu nên số cách chọn màu cho 4 số là
cách.
Kết quả TH1: cách.
TH2: Dùng 3 số khác nhau
Khi đó, có 1 cặp đối diện trùng số
hoặc Chọn 1 trong 2 cặp đối diện để trùng số: cách.
Chọn và xếp 1 số cho cặp trùng, 2 số cho 2 ô còn lại:
cách.
Mỗi số có 2 cách chọn màu nên 3 số có
cách.
Kết quả TH2: cách.
TH3: Dùng 2 số khác nhau
Khi đó
và (với
Chọn và xếp 2 số từ 4 số:
cách.
Mỗi số có 2 cách chọn màu nên 2 số có
cách chọn màu.
Kết quả TH3: cách.
Vậy tổng số cách thuận lợi là
Suy ra xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,12.
Câu 23 [1153779]: [Đề Liên Trường Hà Nội]: Cho một bảng ô vuông 
như hình vẽ bên. Điền ngẫu nhiên 9 số thuộc tập hợp 
vào 9 ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số khác nhau). Gọi 
là biến cố "mỗi hàng, mỗi cột bất kì trong bảng đều có ít nhất một số lẻ". Biết xác suất 
(với 
và 
là phân số tối giản). Khi đó 
bằng bao nhiêu?
như hình vẽ bên. Điền ngẫu nhiên 9 số thuộc tập hợp vào 9 ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số khác nhau). Gọi là biến cố "mỗi hàng, mỗi cột bất kì trong bảng đều có ít nhất một số lẻ". Biết xác suất (với và là phân số tối giản). Khi đó bằng bao nhiêu?
Số cách điền ngẫu nhiên 9 số vào 9 ô là 
Ta có
là biến cố “Số cách xếp mà tồn tại ít nhất một hàng hoặc một cột toàn số chẵn”.
Ta sẽ tính
thông qua biến cố đối.
Trường hợp 1: 4 chẵn + 5 lẻ
Bỏ 1 số chẵn để được bộ 4 chẵn + 5 lẻ:
cách.
Chọn 1 hàng hoặc 1 cột để điền toàn chẵn:
cách.
Xếp 3 số chẵn vào hàng/cột đó:
cách.
Xếp 6 số còn lại:
cách.
Số cách xếp ở TH1 là 
Trường hợp 2: 5 chẵn + 4 lẻ
Bỏ 1 số lẻ để được bộ 5 chẵn + 4 lẻ:
cách.
Chọn 1 hàng hoặc 1 cột để điền số chẵn:
cách.
Xếp 3 số chẵn vào hàng/cột đó:
cách.
Xếp 6 số còn lại vào 6 ô trống:
cách.
Số cách xếp là 
Nhận thấy: Vì có 5 số chẵn nên sẽ có các trường hợp có 1 cột và 1 hàng toàn chẵn. Tuy nhiên khi đếm theo cách có 1 hàng hoặc 1 cột toàn chẵn như trên thì các trường hợp này bị đếm lặp thành 2 cách. Do đó ta cần trừ đi các trường hợp trùng này.
Ví dụ: Hình dưới chỉ là một cách xếp. Nhưng theo cách đếm: 1 hàng toàn chẵn hoặc 1 cột toàn chẵn thì cách xếp này lại được tính là 2 cách.
Tính số cách trùng:
Bỏ 1 số lẻ để được bộ 5 chẵn + 4 lẻ:
cách.
Chọn ra 1 cột + 1 hàng toàn chẵn:
cách.
Xếp 5 số chẵn vào các cột + hàng vừa chọn:
cách.
Xếp 4 số lẻ còn lại vào các ô:
cách.
Số cách trùng là 
Số cách xếp ở TH2 là 
Suy ra
Suy ra xác suất cần tìm là
Vậy
Điền đáp án: 43.
Ta có
là biến cố “Số cách xếp mà tồn tại ít nhất một hàng hoặc một cột toàn số chẵn”.
Ta sẽ tính
thông qua biến cố đối.
Trường hợp 1: 4 chẵn + 5 lẻ
Bỏ 1 số chẵn để được bộ 4 chẵn + 5 lẻ:
cách.Chọn 1 hàng hoặc 1 cột để điền toàn chẵn:
cách.Xếp 3 số chẵn vào hàng/cột đó:
cách.Xếp 6 số còn lại:
cách.Số cách xếp ở TH1 là Trường hợp 2: 5 chẵn + 4 lẻ
Bỏ 1 số lẻ để được bộ 5 chẵn + 4 lẻ:
cách.
Chọn 1 hàng hoặc 1 cột để điền số chẵn:
cách.
Xếp 3 số chẵn vào hàng/cột đó:
cách.
Xếp 6 số còn lại vào 6 ô trống:
cách.
Số cách xếp là
Nhận thấy: Vì có 5 số chẵn nên sẽ có các trường hợp có 1 cột và 1 hàng toàn chẵn. Tuy nhiên khi đếm theo cách có 1 hàng hoặc 1 cột toàn chẵn như trên thì các trường hợp này bị đếm lặp thành 2 cách. Do đó ta cần trừ đi các trường hợp trùng này.
Ví dụ: Hình dưới chỉ là một cách xếp. Nhưng theo cách đếm: 1 hàng toàn chẵn hoặc 1 cột toàn chẵn thì cách xếp này lại được tính là 2 cách.
Tính số cách trùng:
Bỏ 1 số lẻ để được bộ 5 chẵn + 4 lẻ:
cách.
Chọn ra 1 cột + 1 hàng toàn chẵn:
cách.
Xếp 5 số chẵn vào các cột + hàng vừa chọn:
cách.
Xếp 4 số lẻ còn lại vào các ô:
cách.
Số cách trùng là
Số cách xếp ở TH2 là Suy ra
Suy ra xác suất cần tìm là
Vậy
Điền đáp án: 43.
Câu 24 [1153780]: [Đề thi THPT Nguyễn Gia Thiều-Hà Nội]: Một nghệ nhân có 
chiếc đèn lồng với độ dài dây treo 
lần lượt là 
Khung đèn là một tam giác đều 
gọi 
lần lượt là trung điểm của 
Nghệ nhân chọn ngẫu nhiên 
chiếc đèn và gán ngẫu nhiên vào 
vị trí 
(mọi cách gán là đồng khả năng). Để khung đèn đạt độ cân bằng hoàn hảo, trên mỗi cạnh tam giác, chiều dài dây treo của đèn ở giữa phải bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó. Gọi xác suất để thỏa mãn điều kiện ngay lần chọn và gán đầu tiên là 
Giá trị của 
bằng bao nhiêu?
chiếc đèn lồng với độ dài dây treo lần lượt là Khung đèn là một tam giác đều gọi lần lượt là trung điểm của Nghệ nhân chọn ngẫu nhiên chiếc đèn và gán ngẫu nhiên vào vị trí (mọi cách gán là đồng khả năng). Để khung đèn đạt độ cân bằng hoàn hảo, trên mỗi cạnh tam giác, chiều dài dây treo của đèn ở giữa phải bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó. Gọi xác suất để thỏa mãn điều kiện ngay lần chọn và gán đầu tiên là Giá trị của bằng bao nhiêu?
Tập hợp độ dài dây treo là 
(chục 
).
Số phần tử không gian mẫu
Để chiều dài dây treo của đèn ở giữa bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó thì chiều dài dây treo đèn ở các đỉnh
phải cùng tính chẵn lẻ (để chiều dài dây treo tại các vị trí 
là một số thuộc tập 
).
Hơn nữa, chiều dài các dây treo tại các vị trí
phải không tạo thành cấp số cộng (vì nếu 
thì 
).
TH1:
cùng chẵn, tức thuộc tập hợp 
Bỏ các bộ
lập thành cấp số cộng, ta có 
bộ 
thỏa mãn là 
Với mỗi bộ, có
cách sắp xếp.
Khi đó trường hợp này có
cách sắp xếp.
TH2:
cùng lẻ, tức là thuộc tập hợp 
Bỏ các bộ
lập thành cấp số cộng, ta có 
bộ 
thỏa mãn là 
Với mỗi bộ, có
cách sắp xếp.
Khi đó trường hợp này có
cách sắp xếp.
Do đó
Vậy
Điền đáp án: 7560.
(chục ).
Số phần tử không gian mẫu
Để chiều dài dây treo của đèn ở giữa bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó thì chiều dài dây treo đèn ở các đỉnh
phải cùng tính chẵn lẻ (để chiều dài dây treo tại các vị trí là một số thuộc tập ).
Hơn nữa, chiều dài các dây treo tại các vị trí
phải không tạo thành cấp số cộng (vì nếu thì ).
TH1:
cùng chẵn, tức thuộc tập hợp
Bỏ các bộ
lập thành cấp số cộng, ta có bộ thỏa mãn là
Với mỗi bộ, có
cách sắp xếp.
Khi đó trường hợp này có
cách sắp xếp.
TH2:
cùng lẻ, tức là thuộc tập hợp
Bỏ các bộ
lập thành cấp số cộng, ta có bộ thỏa mãn là
Với mỗi bộ, có
cách sắp xếp.
Khi đó trường hợp này có
cách sắp xếp.
Do đó
Vậy
Điền đáp án: 7560.
Câu 25 [1131406]: Một con mã đang được đặt ở vị trí chính giữa tâm ô vuông 
trong bàn cờ vua. thầy Nghĩa di chuyển con mã 
bước để sau 
bước đó quân mã quay trở lại vị trí ban đầu với điều kiện 
bước đi không trùng nhau. Mỗi bước di chuyển thầy Nghĩa đều đặt con mã ở các điểm chính giữa tâm ô vuông đó (
điểm đặt con mã sau 
bước được xem là 
điểm ở tâm ô vuông con mã đi đến). Xác suất đường đi của con mã có 
điểm đặt đó là 
đỉnh của hình vuông có dạng 
(là phân số tối giản, 
). Tính 
Cách di chuyển quân mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật
ô vuông (hoặc 
ô vuông).
trong bàn cờ vua. thầy Nghĩa di chuyển con mã bước để sau bước đó quân mã quay trở lại vị trí ban đầu với điều kiện bước đi không trùng nhau. Mỗi bước di chuyển thầy Nghĩa đều đặt con mã ở các điểm chính giữa tâm ô vuông đó ( điểm đặt con mã sau bước được xem là điểm ở tâm ô vuông con mã đi đến). Xác suất đường đi của con mã có điểm đặt đó là đỉnh của hình vuông có dạng (là phân số tối giản, ). Tính Cách di chuyển quân mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật
ô vuông (hoặc ô vuông).
Gọi 
là biến cố: “đường đi của con mã có 
điểm đặt đó là 
đỉnh của hình vuông”
Đặt hệ trục tọa độ
với gốc tọa độ là nơi con mã đang đứng.
Mỗi lần di chuyển con mã chọn một trong 8 vectơ để đi: tọa độ các vectơ nó là:
Gọi 4 bước di chuyển tương ứng với 4 vectơ
Con mã di chuyển về vị trí ban đầu ứng với
Chọn
: 8 cách.
Chọn
(không cùng phương 
): 6 cách.
Chọn
: 1 cách.
Chọn
: 1 cách.
Vậy có
cách đi.
Tuy nhiên có 4 trường hợp con mã đi ra khỏi bàn cờ (vị trí vòng tròn đỏ) nên chỉ còn lại 44 cách di chuyển sau 4 nước về lại vị trí ban đầu.
Suy ra
•Để đường đi của con mã có
điểm đặt đó là 
đỉnh của hình vuông thì 
Do đó:
Chọn
: 8 cách.
Chọn
vuông góc với 
: 2 cách.
Chọn
: 1 cách.
Chọn
: 1 cách.
Suy ra số cách của con mã có
điểm đặt đó là 
đỉnh của hình vuông là 16 cách.
Do đó:
Vậy
là biến cố: “đường đi của con mã có điểm đặt đó là đỉnh của hình vuông”
Đặt hệ trục tọa độ
với gốc tọa độ là nơi con mã đang đứng.
Mỗi lần di chuyển con mã chọn một trong 8 vectơ để đi: tọa độ các vectơ nó là:
Gọi 4 bước di chuyển tương ứng với 4 vectơ
Con mã di chuyển về vị trí ban đầu ứng với
Chọn
: 8 cách.
Chọn
(không cùng phương ): 6 cách.
Chọn
: 1 cách.
Chọn
: 1 cách.
Vậy có
cách đi.
Tuy nhiên có 4 trường hợp con mã đi ra khỏi bàn cờ (vị trí vòng tròn đỏ) nên chỉ còn lại 44 cách di chuyển sau 4 nước về lại vị trí ban đầu.
Suy ra
•Để đường đi của con mã có
điểm đặt đó là đỉnh của hình vuông thì Do đó:
Chọn
: 8 cách.
Chọn
vuông góc với : 2 cách.
Chọn
: 1 cách.
Chọn
: 1 cách.
Suy ra số cách của con mã có
điểm đặt đó là đỉnh của hình vuông là 16 cách.
Do đó:
Vậy
Câu 26 [1136868]: Trong một hộp kín đựng 102 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 102. Lấy ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ hộp. Có bao nhiêu cách lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập thành một cấp số cộng.
Giả sử ba tấm thẻ lấy ra có số ghi là 
theo thứ tự tăng dần (
).
Để ba số này lập thành một cấp số cộng, ta phải có tính chất:
Điều này có nghĩa là tổng của số đầu
và số cuối 
phải là một số chẵn (vì 
luôn chẵn).
Để tổng
là số chẵn, thì 
và 
phải cùng tính chẵn lẻ (tức là cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ).
Nhận xét quan trọng: Khi bạn chọn được 2 số đầu và cuối (
và 
) có cùng tính chẵn lẻ, thì số ở giữa (
) sẽ là duy nhất và chắc chắn là số nguyên nằm giữa 
và 
Bài toán quy về việc: Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ tập hợp sao cho 2 tấm đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Tập hợp
có 102 phần tử.
Số lượng số lẻ là:
Số lượng = 
số.
Số lượng số chẵn là:
Số lượng = 
số.
Để có 3 số lập thành cấp số cộng, ta cần chọn 2 số đầu cuối
từ cùng một nhóm (chẵn hoặc lẻ):
+ Trường hợp 1: Chọn 2 số đều là số lẻ.
Số cách chọn 2 số từ 51 số lẻ là tổ hợp chập 2 của 51:
(Ví dụ: Chọn 1 và 5 thì số ở giữa chắc chắn là 3. Bộ là 1, 3, 5)
+ Trường hợp 2: Chọn 2 số đều là số chẵn.
Số cách chọn 2 số từ 51 số chẵn là tổ hợp chập 2 của 51:
(Ví dụ: Chọn 2 và 10 thì số ở giữa chắc chắn là 6. Bộ là 2, 6, 10)
Bước 3: Tổng hợp kết quả.
Tổng số cách lấy được ba tấm thẻ lập thành cấp số cộng là:
theo thứ tự tăng dần ().
Để ba số này lập thành một cấp số cộng, ta phải có tính chất:
Điều này có nghĩa là tổng của số đầu
và số cuối phải là một số chẵn (vì luôn chẵn).
Để tổng
là số chẵn, thì và phải cùng tính chẵn lẻ (tức là cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ).
Nhận xét quan trọng: Khi bạn chọn được 2 số đầu và cuối (
và ) có cùng tính chẵn lẻ, thì số ở giữa () sẽ là duy nhất và chắc chắn là số nguyên nằm giữa và
Bài toán quy về việc: Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ tập hợp sao cho 2 tấm đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Tập hợp
có 102 phần tử.
Số lượng số lẻ là:
Số lượng = số.
Số lượng số chẵn là:
Số lượng = số.
Để có 3 số lập thành cấp số cộng, ta cần chọn 2 số đầu cuối
từ cùng một nhóm (chẵn hoặc lẻ):
+ Trường hợp 1: Chọn 2 số đều là số lẻ.
Số cách chọn 2 số từ 51 số lẻ là tổ hợp chập 2 của 51:
(Ví dụ: Chọn 1 và 5 thì số ở giữa chắc chắn là 3. Bộ là 1, 3, 5)
+ Trường hợp 2: Chọn 2 số đều là số chẵn.
Số cách chọn 2 số từ 51 số chẵn là tổ hợp chập 2 của 51:
(Ví dụ: Chọn 2 và 10 thì số ở giữa chắc chắn là 6. Bộ là 2, 6, 10)
Bước 3: Tổng hợp kết quả.
Tổng số cách lấy được ba tấm thẻ lập thành cấp số cộng là:
Câu 27 [1153781]: [Đề thi Liên Trường-Nghệ An]: Một hộp đựng 25 lá thăm khác nhau được đánh số từ 1 đến 25. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 lá thăm ở hộp. Tính xác suất để trong 4 lá thăm được chọn có ít nhất 2 lá thăm là số nguyên tố và tổng của 4 số trên 4 là thăm đó là một số chẵn (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi 
là biến cố “trong 4 lá thăm được chọn có ít nhất 2 lá thăm là số nguyên tố và tổng của 4 số đó là một số chẵn”.
Trong 25 lá thăm có 1 số chẵn là số nguyên tố, 8 số lẻ là số nguyên tố, 11 số chẵn không phải số nguyên tố và 5 số lẻ không phải nguyên tố.
Để trong 4 lá thăm được chọn có ít nhất 2 lá thăm là số nguyên tố và tổng của 4 số đó là một số chẵn ta có các trường hợp sau:
TH1: 2 số lẻ là số nguyên tố, 2 số lẻ không là số nguyên tố, có
cách chọn.
TH2: 2 số lẻ là số nguyên tố, 2 số chẵn không là số nguyên tố, có
cách chọn.
TH3: 1 số lẻ là số nguyên tố, 1 số chẵn là số nguyên tố, 1 số chẵn không là số nguyên tố và 1 số lẻ không là số nguyên tố có
cách chọn.
TH4: 3 số lẻ là số nguyên tố, 1 số lẻ không là số nguyên tố, có
cách chọn.
TH5: 2 số lẻ là số nguyên tố, 1 số chẵn là số nguyên tố , 1 số chẵn không là số nguyên tố, có
cách chọn.
TH6: 4 số lẻ là số nguyên tố có
cách chọn.
Vậy
Vậy
Điền đáp án: 0,23.
là biến cố “trong 4 lá thăm được chọn có ít nhất 2 lá thăm là số nguyên tố và tổng của 4 số đó là một số chẵn”.
Trong 25 lá thăm có 1 số chẵn là số nguyên tố, 8 số lẻ là số nguyên tố, 11 số chẵn không phải số nguyên tố và 5 số lẻ không phải nguyên tố.
Để trong 4 lá thăm được chọn có ít nhất 2 lá thăm là số nguyên tố và tổng của 4 số đó là một số chẵn ta có các trường hợp sau:
TH1: 2 số lẻ là số nguyên tố, 2 số lẻ không là số nguyên tố, có
cách chọn.
TH2: 2 số lẻ là số nguyên tố, 2 số chẵn không là số nguyên tố, có
cách chọn.
TH3: 1 số lẻ là số nguyên tố, 1 số chẵn là số nguyên tố, 1 số chẵn không là số nguyên tố và 1 số lẻ không là số nguyên tố có
cách chọn.
TH4: 3 số lẻ là số nguyên tố, 1 số lẻ không là số nguyên tố, có
cách chọn.
TH5: 2 số lẻ là số nguyên tố, 1 số chẵn là số nguyên tố , 1 số chẵn không là số nguyên tố, có
cách chọn.
TH6: 4 số lẻ là số nguyên tố có
cách chọn.
Vậy
Vậy
Điền đáp án: 0,23.
Câu 28 [1136611]: Hai bạn Hải và Sơn cùng chơi một trò chơi như sau: Hải có một hộp gồm 9 quả bóng được đánh số từ 1 đến 9, Sơn có một hộp gồm 8 quả bóng được đánh số từ 1 đến 8. Mỗi bạn bốc ngẫu nhiên 3 quả bóng từ hộp của mình rồi xếp các số ghi trên 3 quả bóng bốc được theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số có 3 chữ số. Bạn nào có số lớn hơn là người chiến thắng. Tính xác suất để Sơn thua (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Số cách chọn của Hải là: 
Số cách chọn của Sơn là:
Do đó:
Ta thấy nếu số của Hải lớn hơn số của Sơn thì xảy ra trong hai trường hợp sau:
*Trường hợp 1: Hải chọn được quả bóng số 9
Nếu Hải chọn được bóng số 9, số của Hải chắc chắn bắt đầu bằng chữ số 9 (dạng 9bc)
Do đó, hễ Hải có số 9 là Hải chắc chắn thắng.
Số cách Hải chọn có số 9 là:
cách.
Với mỗi cách này, Sơn có thể chọn bất kỳ trong 56 cách.
Số kết quả thuận lợi ở TH1:
*Trường hợp 2: Hải không chọn được quả bóng số 9
Lúc này, cả Hải và Sơn đều chọn 3 bóng từ cùng một tập số
Số cặp kết quả trong trường hợp này là:
Vì tập số của hai bạn là như nhau, nên theo tính đối xứng, số trường hợp Hải thắng (
) sẽ bằng số trường hợp Sơn thắng (
).
Số trường hợp hòa (
) xảy ra khi hai bạn chọn trùng bộ 3 quả bóng: có 56 trường hợp.
Số kết quả Hải thắng (Sơn thua) ở TH2 là:
Tổng số trường hợp thuận lợi để Sơn thua là:
Xác suất để Sơn thua là:
Số cách chọn của Sơn là:
Do đó:
Ta thấy nếu số của Hải lớn hơn số của Sơn thì xảy ra trong hai trường hợp sau:
*Trường hợp 1: Hải chọn được quả bóng số 9
Nếu Hải chọn được bóng số 9, số của Hải chắc chắn bắt đầu bằng chữ số 9 (dạng 9bc)
Do đó, hễ Hải có số 9 là Hải chắc chắn thắng.
Số cách Hải chọn có số 9 là:
cách.
Với mỗi cách này, Sơn có thể chọn bất kỳ trong 56 cách.
Số kết quả thuận lợi ở TH1:
*Trường hợp 2: Hải không chọn được quả bóng số 9
Lúc này, cả Hải và Sơn đều chọn 3 bóng từ cùng một tập số
Số cặp kết quả trong trường hợp này là:
Vì tập số của hai bạn là như nhau, nên theo tính đối xứng, số trường hợp Hải thắng (
) sẽ bằng số trường hợp Sơn thắng ().
Số trường hợp hòa (
) xảy ra khi hai bạn chọn trùng bộ 3 quả bóng: có 56 trường hợp.
Số kết quả Hải thắng (Sơn thua) ở TH2 là:
Tổng số trường hợp thuận lợi để Sơn thua là:
Xác suất để Sơn thua là:
Câu 29 [1124004]: Dịp cuối tuần một nhóm n bạn gồm Khoa, Khôi, Thảo và (n -3) bạn khác cùng nhau đến rạp chiếu phim xem bộ phim “Mưa đỏ”. Khi xếp tùy ý nhóm bạn này vào dãy ghế được đánh số từ 1 đến n , mỗi bạn ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của Khoa, Thảo, Khôi theo thứ tự lập thành cấp số cộng là 
Tìm n ?
Tìm n ?
Có 
Gọi
lần lượt là số ghế của Khoa, Thảo, Khôi. Do 
là cấp số cộng nên 
Chứng tỏ
cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Gọi
là tập hợp các ghế số chẵn, 
là tập hợp các ghế số lẻ.
Với hai phần tử
thuộc 
hoặc 
thì hiển nhiên tồn tại cấp số cộng 
Trường hợp
chẵn:
Khi đó,
có 
phần tử và 
có 
phần tử.
Có
, nên số cấp số cộng là 
và số kết quả thuận lợi là 
(do mỗi bộ 
có 
cấp số cộng và ba bạn
Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).
Theo đề, có phương trình:
(loại).
Trường hợp
lẻ:
Khi đó,
có 
phần tử và 
có 
phần tử.
Có
và 
,nên số cấp số cộng là 
và số kết quả có thể là 
(do mỗi bộ 
có 
cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).
Theo đề, có phương trình:
Gọi
lần lượt là số ghế của Khoa, Thảo, Khôi. Do là cấp số cộng nên Chứng tỏ
cùng chẵn hoặc cùng lẻ.Gọi
là tập hợp các ghế số chẵn, là tập hợp các ghế số lẻ.Với hai phần tử
thuộc hoặc thì hiển nhiên tồn tại cấp số cộng Trường hợp
chẵn:Khi đó,
có phần tử và có phần tử.Có
, nên số cấp số cộng là và số kết quả thuận lợi là (do mỗi bộ có cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).
Theo đề, có phương trình:
(loại).Trường hợp
lẻ:Khi đó,
có phần tử và có phần tử.Có
và ,nên số cấp số cộng là và số kết quả có thể là (do mỗi bộ có cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).Theo đề, có phương trình:
Câu 30 [1153782]: [Đề thi THPT Nguyễn Thị Minh Khai-Hà Nội]: Cho tập 
Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt từ tập 
rồi đặt 1 số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, đặt 3 số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Gọi 
là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng tròn nhỏ bất kì luôn nhỏ hơn số ở vòng tròn lớn chính giữa đồng thời tổng cả ba số trên ba vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng tròn lớn. Tính giá trị của 
Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt từ tập rồi đặt 1 số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, đặt 3 số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Gọi là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng tròn nhỏ bất kì luôn nhỏ hơn số ở vòng tròn lớn chính giữa đồng thời tổng cả ba số trên ba vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng tròn lớn. Tính giá trị của
Không gian mẫu của biến cố là: 
Giả sử 4 số lấy ra bao gồm
trong đó 
là số chính giữa và 
(giả sử 
là 3 số ở ba vòng tròn xung quanh, vì 
không phân biệt thứ tự nên theo yêu cầu bài toán ta có: 
Ta xét các TH có thể xảy ra của số
TH1:
thì không tồn tại các số 
thoả mãn
TH2:
Ta có các bộ 
thoả mãn là: 
Có 1 bộ
TH3:
Ta có các bộ 
thoả mãn là: 
Có 1 bộ
TH4:
Ta có các bộ 
thoả mãn là: 
Có 3 bộ
TH5:
Ta có các bộ 
thoả mãn là: 
Có 4 bộ
TH6:
Ta có các bộ 
thoả mãn là: 
Có 7 bộ
Vậy xác suất của biến cố trên là:
Vậy 
Điền đáp án: 16.
Giả sử 4 số lấy ra bao gồm
trong đó là số chính giữa và (giả sử là 3 số ở ba vòng tròn xung quanh, vì không phân biệt thứ tự nên theo yêu cầu bài toán ta có:
Ta xét các TH có thể xảy ra của số
TH1:
thì không tồn tại các số thoả mãn
TH2:
Ta có các bộ thoả mãn là: Có 1 bộ
TH3:
Ta có các bộ thoả mãn là: Có 1 bộ
TH4:
Ta có các bộ thoả mãn là: Có 3 bộ
TH5:
Ta có các bộ thoả mãn là: Có 4 bộ
TH6:
Ta có các bộ thoả mãn là: Có 7 bộ
Vậy xác suất của biến cố trên là:
Vậy
Điền đáp án: 16.
Câu 31 [1134179]: [Đề HSG Tỉnh Ninh Bình]: Chọn ngẫu nhiên 5 số phân biệt từ tập hợp 
để xếp vào 5 ô A, B, C, D, O như hình vẽ (mỗi ô xếp một số). Gọi 
là biến cố: "Số 13 xếp ở ô 
và tổng các số xếp ở các ô A, O, C bằng tổng các số xếp ở các ô B, O, D". Biết 
(với 
là phân số tối giản). Khi đó 
bằng bao nhiêu?
để xếp vào 5 ô A, B, C, D, O như hình vẽ (mỗi ô xếp một số). Gọi là biến cố: "Số 13 xếp ở ô và tổng các số xếp ở các ô A, O, C bằng tổng các số xếp ở các ô B, O, D". Biết (với là phân số tối giản). Khi đó bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Sử dụng kĩ thuật soi gương (dựa trên tính đối xứng của tổng): “Trong một tập hợp gồm 
số cách đều nhau, các cặp số có cùng tổng 
sẽ nằm đối xứng nhau qua "tâm" của tập hợp”.
Tập hợp
có tất cả 11 số. Khi đó số cách chọn 5 số từ 11 số và xếp vào 5 vị trí 
là 
Vì số 13 nằm ở ô
nên còn lại 10 số là 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 để đặt vào các ô 
Điều kiện:
Gọi
Khi đó, các cặp số có tổng bằng nhau sẽ nằm đối xứng qua 
+)
có 5 cặp có tổng bằng nhau và nằm đối xứng qua 11 là 
Suy ra có 
cách chọn ra 2 cặp có tổng bằng 22.
+)
và 
Mỗi giá trị của 
có 4 cặp có tổng bằng nhau. Suy ra có 
cách chọn ra 2 cặp thỏa mãn.
+)
và 
Có 4 cặp 
cách.
+)
và 
Có 3 cặp 
cách.
+)
và 
Có 3 cặp 
cách.
+)
và 
Có 2 cặp 
cách.
+)
và 
Có 2 cặp 
cách.
Suy ra có tất cả
bộ số thỏa mãn.
Hoán vị A-C: có 2 cách.
Hoán vị B-D: có 2 cách.
Hoán vị 2 bộ (A,C) với (B,D): có 2 cách.
Vậy
Điền đáp án: 698.
số cách đều nhau, các cặp số có cùng tổng sẽ nằm đối xứng nhau qua "tâm" của tập hợp”.Tập hợp
có tất cả 11 số. Khi đó số cách chọn 5 số từ 11 số và xếp vào 5 vị trí là Vì số 13 nằm ở ô
nên còn lại 10 số là 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 để đặt vào các ô Điều kiện:
Gọi
Khi đó, các cặp số có tổng bằng nhau sẽ nằm đối xứng qua +)
có 5 cặp có tổng bằng nhau và nằm đối xứng qua 11 là Suy ra có cách chọn ra 2 cặp có tổng bằng 22.+)
và Mỗi giá trị của có 4 cặp có tổng bằng nhau. Suy ra có cách chọn ra 2 cặp thỏa mãn.+)
và Có 4 cặp cách.+)
và Có 3 cặp cách.+)
và Có 3 cặp cách.+)
và Có 2 cặp cách.+)
và Có 2 cặp cách.Suy ra có tất cả
bộ số thỏa mãn.Hoán vị A-C: có 2 cách.
Hoán vị B-D: có 2 cách.
Hoán vị 2 bộ (A,C) với (B,D): có 2 cách.
Vậy
Điền đáp án: 698.
Câu 32 [1153783]: [Đề thi chuyên Đại Học Vinh]: Có hai chuồng 
và 
Chuồng 
ban đầu có 9 con dê trắng và 8 con dê đen. Chuồng B ban đầu có 5 con dê trắng và 6 con dê đen. Các con dê được xem như nhau về kích thước và khả năng bị chọn. Người ta bắt ngẫu nhiên đồng thời 3 con dê từ chuồng 
chuyển sang chuồng 
Sau đó, từ chuồng 
bắt ngẫu nhiên 2 con dê ra kiểm tra. Biết rằng cả 2 con dê bắt ra đều là dê trắng. Hỏi xác suất để cả 2 con dê trắng đó đều là dê chuyển từ chuồng 
sang là bao nhiêu phần trăm? (kết quả làm tròn đến 2 chữ số ở phần thập phân).
và Chuồng ban đầu có 9 con dê trắng và 8 con dê đen. Chuồng B ban đầu có 5 con dê trắng và 6 con dê đen. Các con dê được xem như nhau về kích thước và khả năng bị chọn. Người ta bắt ngẫu nhiên đồng thời 3 con dê từ chuồng chuyển sang chuồng Sau đó, từ chuồng bắt ngẫu nhiên 2 con dê ra kiểm tra. Biết rằng cả 2 con dê bắt ra đều là dê trắng. Hỏi xác suất để cả 2 con dê trắng đó đều là dê chuyển từ chuồng sang là bao nhiêu phần trăm? (kết quả làm tròn đến 2 chữ số ở phần thập phân).
Minh họa quá trình như sơ đồ sau, với T là dê trắng và Đ là dê đen.
Gọi
là biến cố “2 con dê trắng bắt ra từ chuồng B là của chuồng A”.
là biến cố “2 con dê bắt từ chuồng B đều là màu trắng”.
Xác suất cần tìm là
(Vì 
và 
có chung không gian mẫu là 
(Với
là số cách để 2 con dê màu trắng chọn từ chuồng B là của chuồng A; 
là số cách để 2 con dê bắt từ chuồng B đều là màu trắng).
Gọi
là biến cố “2 con dê trắng bắt ra từ chuồng B là của chuồng A”.
là biến cố “2 con dê bắt từ chuồng B đều là màu trắng”.
Xác suất cần tìm là
(Vì và có chung không gian mẫu là
(Với
là số cách để 2 con dê màu trắng chọn từ chuồng B là của chuồng A; là số cách để 2 con dê bắt từ chuồng B đều là màu trắng).
Câu 33 [1153784]: Có 15 quả bóng được đánh số từ 1 tới 15 được bỏ vào 3 chiếc hộp mất nhãn (giống nhau), mỗi hộp có 6 ngăn được đánh số từ 1 tới 6 như hình vẽ, mỗi ngăn chứa tối đa 1 quả bóng. Biết rằng sau khi các quả bóng này được bỏ ngẫu nhiên vào các ngăn của mỗi hộp thì còn 3 ngăn trống (ngăn nào cũng có thể trống); gọi 
là số cách thực hiện sao cho có đúng một hộp mà các quả bóng được bỏ vào có số tăng dần theo thứ tự từ trên xuống, đồng thời hộp đó chứa đủ 6 quả bóng. Tính giá trị 
là số cách thực hiện sao cho có đúng một hộp mà các quả bóng được bỏ vào có số tăng dần theo thứ tự từ trên xuống, đồng thời hộp đó chứa đủ 6 quả bóng. Tính giá trị
Lưu ý: Vì 3 hộp đã cho mất nhãn và giống hệt nhau nên ta không cần quan tâm đến thứ tự số lượng bóng ở các hộp. Ví dụ 
hay 
là như nhau vì cũng đều có 2 hộp 6 viên và 1 hộp 5 viên.
Bước 1: Cố định hộp có đúng 6 quả và được sắp xếp tăng dần
Số cách chọn 6 quả từ 15 quả:
cách.
Số cách xếp: Chỉ có 1 cách duy nhất (tăng dần).
Bước 2: Phân bổ 9 quả bóng còn lại vào hai hộp còn lại (mỗi hộp tối đa 6 ngăn)
Trường hợp 1: Một hộp có 6 quả và một hộp có 3 quả
Chọn bóng: Chọn 6 quả từ 9 quả còn lại cho hộp có 6 quả:
cách.
Xếp bóng:
+) Hộp có 6 quả: Xếp tùy ý vào 6 ngăn nhưng không được tăng dần. Số cách là
(với 1 là cách xếp 6 quả bóng theo thứ tự tăng dần).
+) Hộp có 3 quả: Chọn 3 ngăn từ 6 ngăn và xếp 3 quả vào:
cách.
Số cách ở TH1 là
cách.
Trường hợp 2: Một hộp có 5 quả và một hộp có 4 quả
Chọn bóng: Chọn 5 quả từ 9 quả còn lại cho hộp có 5 quả:
cách. Lúc này còn lại 4 quả nên số cách chọn 4 quả cho hộp 4 quả: 1 cách.
Xếp bóng:
+) Hộp có 5 quả: Chọn 5 ngăn từ 6 ngăn và xếp 5 quả vào:
cách.
+) Hộp có 4 quả: Chọn 4 ngăn từ 6 ngăn và xếp 4 quả vào:
cách.
Số cách ở TH2 là
cách.
Suy ra
Vậy
Điền đáp án: 9900.
hay là như nhau vì cũng đều có 2 hộp 6 viên và 1 hộp 5 viên.
Bước 1: Cố định hộp có đúng 6 quả và được sắp xếp tăng dần
Số cách chọn 6 quả từ 15 quả:
cách.
Số cách xếp: Chỉ có 1 cách duy nhất (tăng dần).
Bước 2: Phân bổ 9 quả bóng còn lại vào hai hộp còn lại (mỗi hộp tối đa 6 ngăn)
Trường hợp 1: Một hộp có 6 quả và một hộp có 3 quả
Chọn bóng: Chọn 6 quả từ 9 quả còn lại cho hộp có 6 quả:
cách.
Xếp bóng:
+) Hộp có 6 quả: Xếp tùy ý vào 6 ngăn nhưng không được tăng dần. Số cách là
(với 1 là cách xếp 6 quả bóng theo thứ tự tăng dần).
+) Hộp có 3 quả: Chọn 3 ngăn từ 6 ngăn và xếp 3 quả vào:
cách.
Số cách ở TH1 là
cách.
Trường hợp 2: Một hộp có 5 quả và một hộp có 4 quả
Chọn bóng: Chọn 5 quả từ 9 quả còn lại cho hộp có 5 quả:
cách. Lúc này còn lại 4 quả nên số cách chọn 4 quả cho hộp 4 quả: 1 cách.
Xếp bóng:
+) Hộp có 5 quả: Chọn 5 ngăn từ 6 ngăn và xếp 5 quả vào:
cách.
+) Hộp có 4 quả: Chọn 4 ngăn từ 6 ngăn và xếp 4 quả vào:
cách.
Số cách ở TH2 là
cách.
Suy ra
Vậy
Điền đáp án: 9900.
Câu 34 [1153785]: [Đề thi THPT Lê Thánh Tông]: Bác Nghĩa đang giúp con trai sắp xếp 16 cuốn sách ôn thi vào một chiếc kệ 5 ngăn phân biệt, 16 cuốn sách này thuộc 8 môn học khác nhau: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa, Văn, Anh. Mỗi môn học gồm đúng 2 cuốn: một cuốn sách giáo khoa và một cuốn sách bài tập.
Để việc ôn tập đạt hiệu quả cao nhất theo từng khối thi, bác Nghĩa đặt ra các quy tắc khắt khe sau:
• Do ngăn kệ nhỏ, mỗi ngăn chỉ được chứa tối đa 5 cuốn sách và không được để ngăn nào trống.
• Hai cuốn sách của cùng một môn học phải luôn nằm chung một ngăn với nhau.
• Các môn học trong cùng một tổ hợp môn thi phải nằm ở 3 ngăn liên tiếp để thuận tiện cho việc tra cứu. Các tổ hợp bao gồm: (Văn, Sử, Địa), (Toán, Lý, Hóa), (Toán, Hóa, Sinh) và (Toán, Lý, Anh).
• Các cuốn sách trong mỗi ngăn được xếp theo hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn, thứ tự từ trái sang phải.
Tổng số cách sắp xếp 16 cuốn sách này vào 5 ngăn kệ thỏa mãn điều kiện trên là
Tính giá trị của 
Để việc ôn tập đạt hiệu quả cao nhất theo từng khối thi, bác Nghĩa đặt ra các quy tắc khắt khe sau:
• Do ngăn kệ nhỏ, mỗi ngăn chỉ được chứa tối đa 5 cuốn sách và không được để ngăn nào trống.
• Hai cuốn sách của cùng một môn học phải luôn nằm chung một ngăn với nhau.
• Các môn học trong cùng một tổ hợp môn thi phải nằm ở 3 ngăn liên tiếp để thuận tiện cho việc tra cứu. Các tổ hợp bao gồm: (Văn, Sử, Địa), (Toán, Lý, Hóa), (Toán, Hóa, Sinh) và (Toán, Lý, Anh).
• Các cuốn sách trong mỗi ngăn được xếp theo hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn, thứ tự từ trái sang phải.
Tổng số cách sắp xếp 16 cuốn sách này vào 5 ngăn kệ thỏa mãn điều kiện trên là
Tính giá trị của
Đáp số: 
Để xếp 16 cuốn sách vào 5 ngăn sao cho không có ngăn nào được để trống và các sách cùng môn sẽ được xếp chung ngăn thì sẽ xếp được 3 ngăn chứa 4 cuốn (2 môn) và 2 ngăn chứa 2 cuốn (1 môn).
Số cách hoán vị sách trong các ngăn này ( các sách cùng môn ở chung ngăn nhưng không nhất thiết phải ở cạnh nhau) là:
Theo đề yêu cầu, ta đánh giá được như sau:
Ta thấy Toán tham gia vào 3 tổ hợp liên tiếp nên cố định Toán ở ngăn 3 để thỏa tính liền kề của ba tổ hợp môn.
Nhóm xã hội ( Văn, Sử, Địa) phải nằm ở ba ngăn liên tiếp nên hoán vị nội bộ của 3 môn này là:
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các môn tự nhiên xếp đều trên 5 ngăn ( mỗi ngăn một môn tự nhiên). Khi đó có hai khả năng xảy ra là:
Sinh – Hóa – Toán – Lý – Anh
Anh – Lý – Toán – Hóa – Sinh
Lúc này mỗi ngăn chỉ chứa 2 cuốn của tự nhiên nên có thể đặt thêm ba môn Xã Hội vào bất kỳ 3 ngăn liên tiếp trong 5 ngăn đó là (1,2,3); (2,3,4) và (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 2: Có 2 môn tự nhiên nằm ở ngăn 2. Khi đó có 4 khả năng xảy ra là:
Anh ( ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Hóa (ngăn 4)
Hóa ( ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Anh (ngăn 4)
Sinh ( ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Lý ( ngăn 4)
Lý (ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Sinh (ngăn 4)
Khi đó tổ hợp Xã Hội chỉ được xếp vào 3 ngăn liên tiếp là (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 3: Có một cặp tự nhiên nằm ở ngăn 4. Trường hợp này là cách làm đối xứng của trường hợp 2 nên có 24 (cách).
Trường hợp 4: Có hai cặp môn tự nhiên cùng nằm ở ngăn 1 và ngăn 2. Khi đó có 2 khả năng xảy ra là:
Lý, Sinh ( ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán ( ngăn 3)
Hóa, Anh (ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán ( ngăn 3)
Khi đó tổ hợp Xã Hội chỉ được xếp vào 3 ngăn liên tiếp là (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 5: Có hai cặp môn tự nhiên cùng nằm ở ngăn 4 và ngăn 5. Đây là cách làm đối xứng với trường hợp 4 nên có 12 (cách).
Suy ra tổng số xếp sách ở các trường hợp là:
( cách).
Vậy để xếp 18 cuốn sách theo yêu cầu sẽ có:
(cách).
Khi đó:
Để xếp 16 cuốn sách vào 5 ngăn sao cho không có ngăn nào được để trống và các sách cùng môn sẽ được xếp chung ngăn thì sẽ xếp được 3 ngăn chứa 4 cuốn (2 môn) và 2 ngăn chứa 2 cuốn (1 môn).
Số cách hoán vị sách trong các ngăn này ( các sách cùng môn ở chung ngăn nhưng không nhất thiết phải ở cạnh nhau) là:
Theo đề yêu cầu, ta đánh giá được như sau:
Ta thấy Toán tham gia vào 3 tổ hợp liên tiếp nên cố định Toán ở ngăn 3 để thỏa tính liền kề của ba tổ hợp môn.
Nhóm xã hội ( Văn, Sử, Địa) phải nằm ở ba ngăn liên tiếp nên hoán vị nội bộ của 3 môn này là:
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các môn tự nhiên xếp đều trên 5 ngăn ( mỗi ngăn một môn tự nhiên). Khi đó có hai khả năng xảy ra là:
Sinh – Hóa – Toán – Lý – Anh
Anh – Lý – Toán – Hóa – Sinh
Lúc này mỗi ngăn chỉ chứa 2 cuốn của tự nhiên nên có thể đặt thêm ba môn Xã Hội vào bất kỳ 3 ngăn liên tiếp trong 5 ngăn đó là (1,2,3); (2,3,4) và (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 2: Có 2 môn tự nhiên nằm ở ngăn 2. Khi đó có 4 khả năng xảy ra là:
Anh ( ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Hóa (ngăn 4)
Hóa ( ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Anh (ngăn 4)
Sinh ( ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Lý ( ngăn 4)
Lý (ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán (ngăn 3) – Sinh (ngăn 4)
Khi đó tổ hợp Xã Hội chỉ được xếp vào 3 ngăn liên tiếp là (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 3: Có một cặp tự nhiên nằm ở ngăn 4. Trường hợp này là cách làm đối xứng của trường hợp 2 nên có 24 (cách).
Trường hợp 4: Có hai cặp môn tự nhiên cùng nằm ở ngăn 1 và ngăn 2. Khi đó có 2 khả năng xảy ra là:
Lý, Sinh ( ngăn 1) – Hóa, Anh (ngăn 2) – Toán ( ngăn 3)
Hóa, Anh (ngăn 1) – Lý, Sinh ( ngăn 2) – Toán ( ngăn 3)
Khi đó tổ hợp Xã Hội chỉ được xếp vào 3 ngăn liên tiếp là (3,4,5).
Vậy trường hợp này có:
(cách).
Trường hợp 5: Có hai cặp môn tự nhiên cùng nằm ở ngăn 4 và ngăn 5. Đây là cách làm đối xứng với trường hợp 4 nên có 12 (cách).
Suy ra tổng số xếp sách ở các trường hợp là:
( cách).
Vậy để xếp 18 cuốn sách theo yêu cầu sẽ có:
(cách).
Khi đó: