Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1035728]: • Bước 1: Khi bài toán yêu cầu các phần tử A, B, C... phải đứng cạnh nhau, ta coi nhóm này là một phần tử duy nhất (hoặc một khối).
• Bước 2: Tính số cách sắp xếp các phần tử trong nội bộ nhóm X.
• Bước 3: Thay thế các phần tử đó bằng nhóm X trong tập hợp ban đầu. Sau đó tính số cách sắp xếp nhóm X với các phần tử còn lại.
• Bước 4: Áp dụng quy tắc nhân để tìm kết quả cuối cùng.
2. Các bước giải chi tiết
Giả sử ta có phần tử, trong đó có phần tử phải đứng cạnh nhau.
Các em cùng xem video lý thuyết trước khi bước vào thực hành nhé! Chúc các em học tập tốt!
Câu 2 [805304]: Tính số cách sắp xếp nam sinh và nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có chỗ ngồi sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.
A, .
B,
C,
D,
Bước 1: Buộc nhóm (Coi là một phần tử duy nhất)
Vì bài toán yêu cầu 4 nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau, ta coi nhóm 4 nữ sinh này là một nhóm
Bước 2: Hoán vị nội bộ nhóm
Trong nhóm có 4 nữ sinh, số cách sắp xếp thứ tự giữa 4 bạn này là cách.
Bước 3: Sắp xếp nhóm với các phần tử còn lại
Lúc này, tập hợp bài toán trở thành: nhóm và 6 nam sinh còn lại. Tổng cộng ta có phần tử.
Số cách sắp xếp 7 phần tử này vào hàng ngang là cách.
Bước 4: Tổng hợp (Áp dụng quy tắc nhân)
Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 3 [220943]: Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
A,
B,
C,
D,
Bước 1: Buộc nhóm.
Coi 3 bi đen là nhóm , 4 bi đỏ là nhóm , 5 bi xanh là nhóm .
Bước 2: Hoán vị nội bộ từng nhóm.
Nhóm có cách xếp.
Nhóm có cách xếp.
Nhóm có cách xếp.
Bước 3: Hoán vị các nhóm với nhau.
Lúc này ta chỉ còn 3 phần tử là 3 nhóm Nên số cách xếp 3 nhóm này là cách.
Bước 4: Kết quả.
Áp dụng quy tắc nhân, số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [1127397]: Có 6 tấm thẻ ghi các chữ cái A, B, C, D, E, F và 5 tấm thẻ ghi các con số 1, 2, 3, 4, 5. Khi xếp ngẫu nhiên tất cả 11 tấm thẻ này thành một hàng ngang, xác suất để hai thẻ bên cạnh thẻ ghi chữ A (bên trái và bên phải) đều là các thẻ ghi số là bao nhiêu? (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Có tất cả 11 tấm thẻ (6 chữ cái và 5 con số). Số cách xếp ngẫu nhiên 11 tấm thẻ này thành một hàng ngang là
Gọi là biến cố "Hai thẻ bên cạnh thẻ chữ A đều là thẻ ghi số".
Bước 1: Chọn và xếp 2 thẻ số vào 2 bên thẻ A
Có 5 thẻ số nên số cách chọn và xếp 2 thẻ và xếp vào 2 vị trí (trái, phải) của thẻ A là (cách).
Bước 2: Buộc nhóm
Coi cụm 3 thẻ vừa tạo (Số - A - Số) là một nhóm duy nhất
Note: Ở bài này, ta không hoán vị nội bộ cả 3 phần tử trong nhóm như thường. Vì thẻ A đã được cố định ở giữa và ta chỉ hoán vị 2 thẻ số ở hai bên (đã tính qua
Bước 3: Hoán vị tổng thể
Lúc này, tập hợp bài toán có tổng cộng có 9 phần tử gồm thẻ lẻ và nhóm
Số cách xếp 9 phần tử này là (cách).
Vậy số kết quả thuận lợi là

Điền đáp án: 0,18.
Câu 5 [1127398]: Có 9 thẻ bài được đánh số từ 1 đến 9. Khi xếp ngẫu nhiên 9 thẻ bài này thành một hàng ngang, tính xác suất để thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
• Hai thẻ bên cạnh số 5 (bên trái và phải) đều ghi số lớn hơn 5.
• Hai thẻ bên cạnh số 6 (bên trái và phải) đều ghi số nhỏ hơn 6.
Biết xác suất tính được là Tính
Số cách xếp 9 thẻ thành một hàng ngang là
Gọi là biến cố “9 thẻ bài này thành một hàng ngang thỏa mãn các điều kiện của bài toán”.
Trong bộ 9 thẻ bài có:
Số lớn hơn 5
Số nhỏ hơn 6
Để tính số trường hợp thuận lợi cho biến cố ta chia ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Số 5 và 6 đứng cạnh nhau
Ta có 2 cấu trúc cụm:
• Cụm
Chọn từ tập có 3 cách và từ tập có 4 cách. Suy ra số cách tạo cụm là cách.
• Cụm
Tương tự, chọn có 4 cách và có 3 cách chọn. Suy ra số cách tạo cụm là cách.
Khi đó, bộ bài có tổng cộng 6 phần tử là Cụm (gồm 4 thẻ là 1 phần tử) + 5 thẻ còn lại nên có cách xếp thành 1 hàng.
Suy ra số cách xếp ở TH1 là
Trường hợp 2: Số 5 và 6 KHÔNG đứng cạnh nhau
Ta buộc hai nhóm riêng biệt: cụm và cụm
• Cụm : Vì 5 không cạnh 6, ta chọn 2 số từ tập và sắp xếp có cách.
• Cụm : Vì 6 không cạnh 5, ta chọn 2 số từ tập và sắp xếp có cách.
Cụm (1) + Cụm (1) + 3 thẻ lẻ = 5 phần tử.
Có cách xếp thành 1 hàng ngang.
Suy ra số cách xếp ở TH2 là
Kết hợp 2 TH trên, ta có tổng số cách thuận lợi là

Vậy
Điền đáp án: 1372.
Câu 6 [1076038]: Bổ Đề 1: Hoán Vị Lặp
Hoán vị lặp (permutation with repetition) là một khái niệm trong tổ hợp, dùng để chỉ số lượng cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp mà trong đó có các phần tử giống nhau.
Hoán vị lặp trả lời cho câu hỏi: Có bao nhiêu cách khác nhau để sắp xếp vật thể, trong đó có vật thể loại 1 giống nhau, vật thể loại 2 giống nhau, ..., vật thể loại giống nhau, và ?
Công thức hoán vị lặp:
Gỉả sử tất cả vật thể đều khác nhau.
Khi đó, ta có cách sắp xếp.
Thực tế, vật thể loại 1 giống hệt nhau.
Trong cách xếp trên, nếu ta tráo đổi vị trí của vật này cho nhau thì cách sắp xếp vẫn không thay đổi.
Số cách tráo đổi này là .
Do đó, ta phải chia cho
Tương tự cho các nhóm còn lại, ta phải chia cho .
Vậy công thức là .
Câu 7 [1076039]: Một người có 10 lá cờ để treo trên một cột dọc. Trong số đó, có 3 lá cờ Đỏ giống hệt nhau, 2 lá cờ Xanh giống hệt nhau, và 5 lá cờ Vàng giống hệt nhau. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để sắp xếp 10 lá cờ này?
Tổng số vật thể (): Có 10 lá cờ.
Các nhóm vật thể lặp lại và số lần lặp ():
Số lá cờ đỏ: , số lá cờ xanh: , số lá cờ vàng:
Sử dụng công thức Hoán vị Lặp:
Thay số liệu vào ta có
Vậy có 2520 cách sắp xếp 10 lá cờ này vào một hàng dọc.
Câu 8 [1127399]: Gọi là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số mà trong số đó, số 2 xuất hiện đúng ba lần, số 3 xuất hiện đúng hai lần và số 1 xuất hiện đúng một lần. Chọn 1 số từ tập hợp xác suất số chọn được có số đầu và số cuối đều là số 2 là tính
Số các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ ba chữ số 2, hai chữ số 3 và một chữ số 1 là hoán vị lặp của 6 phần tử số.
Gọi là biến cố “Chọn được có số đầu và số cuối đều là số 2”
Số cần tìm có dạng Khi đó ta còn lại 4 vị trí để sắp xếp các chữ số còn lại bao gồm: một chữ số 2, hai chữ số 3 và một chữ số 1.
Số cách sắp xếp là hoán vị lặp của 4 phần tử số.

Vậy
Điền đáp án: 399.
Câu 9 [1127400]: Khi sắp xếp 7 chữ cái của từ "CLASSIC" thành một hàng ngang, có bao nhiêu cách sắp xếp để chữ cái A và L nằm cạnh nhau?
Gợi ý: Sử dụng phương pháp buộc phần tử và hoán vị lặp.
Bước 1: Buộc nhóm
Vì bài toán yêu cầu chữ cái A và L nằm cạnh nhau, ta coi cặp A, L là một nhóm
Bước 2: Hoán vị nội bộ nhóm
Trong nhóm có 2 phần tử khác nhau là A và L, số cách sắp xếp thứ tự giữa chúng là (cách).
Bước 3: Hoán vị tổng thể (Hoán vị lặp)
Sau khi buộc A và L thành nhóm thì từ "CLASSIC" có tổng cộng 6 phần tử, gồm các phần tử: Trong đó
• Chữ cái C xuất hiện 2 lần.
• Chữ cái S xuất hiện 2 lần.
• Nhóm và chữ cái I mỗi loại xuất hiện 1 lần.
Số cách sắp xếp 6 phần tử này (là hoán vị lặp) là
Bước 4: Tổng hợp
Theo quy tắc nhân, tổng số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 360.
Câu 10 [1127401]: Tại một sảnh tiệc, có 5 vị trí khác nhau được sắp xếp theo hàng ngang để treo biểu ngữ. Ban tổ chức có sẵn các biểu ngữ thuộc 3 loại A, B và C. Biết rằng các biểu ngữ cùng loại thì giống hệt nhau. Trong kho đang có 2 biểu ngữ loại A, 6 biểu ngữ loại B và 4 biểu ngữ loại C. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 biểu ngữ từ kho và sắp xếp chúng vào 5 vị trí đã định, sao cho:
• Có ít nhất 1 biểu ngữ loại A được sử dụng.
• Có ít nhất 2 biểu ngữ loại B được sử dụng.
Gợi ý: Sử dụng hoán vị lặp.
TH1: Nhóm có 1 biểu ngữ loại A
Khi chọn đúng 1 biểu ngữ A, ta cần chọn thêm 4 biểu ngữ từ loại B và C sao cho có ít nhất 2 biểu ngữ B.
• Trường hợp 1.1: (1A, 2B, 2C)
Số cách sắp xếp: cách.
• Trường hợp 1.2: (1A, 3B, 1C)
Số cách sắp xếp: cách.
• Trường hợp 1.3: (1A, 4B, 0C)
Số cách sắp xếp: cách.
TH2: Nhóm có 2 biểu ngữ loại A
Khi chọn 2 biểu ngữ A, ta cần chọn thêm 3 biểu ngữ từ loại B và C sao cho có ít nhất 2 biểu ngữ B.
• Trường hợp 2.1: (2A, 2B, 1C)
Số cách sắp xếp: cách.
• Trường hợp 2.2: (2A, 3B, 0C)
Số cách sắp xếp: cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 95.
Câu 11 [1134477]: Bài toán sắp xếp liên quan đến thứ tự không đổi
1. Định nghĩa bài toán
Cho một tập hợp gồm phần tử phân biệt. Yêu cầu sắp xếp phần tử này thành một hàng ngang sao cho một nhóm gồm phần tử cho trước () phải xuất hiện theo một thứ tự xác định nào đó (ví dụ: phần tử A luôn đứng bên trái B, B luôn đứng bên trái C).
2. Phương pháp giải
• Bước 1: Chọn vị trí trong vị trí trống để đặt nhóm phần tử. Số cách chọn là Tại vị trí này, ta có cách đặt các phần tử theo thứ tự đề bài.
• Bước 2: Sắp xếp phần tử còn lại vào vị trí còn trống.
Số cách xếp là
• Bước 3: Tổng số cách xếp là:
Câu 12 [1127402]: Có 5 học sinh A, B, C, D, E xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho học sinh A luôn đứng bên trái học sinh B?
Cách 1:
Bước 1: Chọn 2 vị trí cho A, B
Chọn 2 vị trí bất kỳ trong 5 vị trí trống để đặt học sinh A và B. Số cách chọn là
Tại 2 vị trí này, ta chỉ có 1 cách duy nhất để đặt A bên trái B.
Bước 2: Sắp xếp các học sinh còn lại
Sắp xếp 3 học sinh còn lại (C, D, E) vào 3 vị trí trống còn lại. Số cách xếp là (cách).
Bước 3: Tổng hợp kết quả
Tổng số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu là
Cách 2:
Vì học sinh A và B chỉ có hai khả năng: hoặc A đứng bên trái B, hoặc A đứng bên phải B. Do đó, số cách xếp thỏa mãn yêu cầu sẽ bằng đúng một nửa tổng số cách xếp 5 học sinh và bằng cách.
Điền đáp án: 60.
Câu 13 [1040784]: Quang, Hải và Đức nằm trong số 8 người tham gia một cuộc đua xe đạp. Biết rằng mỗi người tham gia đều hoàn thành cuộc đua và không có hai người tham gia nào hoàn thành cùng một lúc. Xác suất để Đức về đích trước Hải và Hải về đích trước Quang? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Có 8 người tham gia cuộc đua, mỗi người hoàn thành ở một vị trí khác nhau từ 1 đến 8 nên số cách xếp thứ tự về đích của 8 người là
Gọi là biến cố "Đức về đích trước Hải và Hải về đích trước Quang".
Bước 1: Chọn vị trí cho nhóm có thứ tự xác định
Chọn 3 vị trí bất kỳ trong 8 vị trí về đích để đặt Đức, Hải và Quang. Số cách chọn là (cách).
Tại 3 vị trí đã chọn này, chỉ có 1 cách duy nhất để xếp theo thứ tự: Đức (vị trí đầu), Hải (vị trí giữa), Quang (vị trí cuối).
Bước 2: Sắp xếp những người còn lại
Sắp xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí trống còn lại có số cách xếp là (cách).
Bước 3: Tổng hợp kết quả
Số kết quả thuận lợi là (cách).
Suy ra xác suất cần tính là
Điền đáp án: 0,17.
Câu 14 [1127403]: Trong một khu vực có trụ sở chính của một cửa hàng gà rán và 6 chi nhánh. Khoảng cách từ trụ sở chính đến mỗi chi nhánh đều khác nhau. Khi cử 6 nhân viên thuộc trụ sở chính đi công tác tại mỗi chi nhánh, hỏi có bao nhiêu cách phân công sao cho nhân viên được gửi đến chi nhánh gần trụ sở chính hơn so với nhân viên và ?
Bước 1: Chọn vị trí (chi nhánh) cho nhóm
Vì khoảng cách từ trụ sở đến mỗi chi nhánh là khác nhau nên ta coi các chi nhanh được sắp xếp theo thứ tự từ gần đến xa.
Chọn 3 chi nhánh bất kỳ trong 6 chi nhánh để phân công cho có (cách).
Tại 3 vị trí đã chọn này:
Theo yêu cầu, phải ở chi nhánh gần nhất trong 3 cái đã chọn nên có 1 cách chọn vị trí (vị trí gần nhất).
Hai nhân viên còn lại và có thể đổi chỗ cho nhau ở 2 chi nhánh xa hơn còn lại nên số cách xếp và là (cách).
Số cách xếp nhóm vào 3 vị trí đã chọn là (cách).
Bước 2: Sắp xếp 3 nhân viên còn lại
Sắp xếp 3 nhân viên còn lại vào 3 chi nhánh còn trống có (cách).
Bước 3: Tổng hợp kết quả
Tổng số cách phân công thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 240.
Câu 15 [1127404]: Có cách sắp xếp 11 chữ cái: thành một hàng ngang sao cho sao cho mỗi chữ nằm giữa vị trí của chữ đầu tiên và chữ cuối cùng trong hàng (không nhất thiết phải đứng cạnh nhau). Tính
Note: Nhóm phần tử có điều kiện là 5 chữ cái bao gồm và
Điều kiện: "Mỗi chữ phải nằm giữa vị trí của chữ đầu tiên và chữ cuối" cùng có nghĩa là trong 5 vị trí dành riêng cho nhóm này, vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng bắt buộc phải là chữ
Bước 1: Chọn vị trí và sắp xếp nhóm có điều kiện
Chọn 5 vị trí trong 11 vị trí trống để đặt nhóm có cách.
Trong 5 vị trí đã chọn này, chữ đầu tiên và chữ cuối cùng đã bị cố định.
Ta còn lại vị trí ở giữa để sắp xếp chữ cái còn lại gồm: chữ và chữ
Số cách sắp xếp chữ và chữ vào vị trí này (sử dụng hoán vị lặp) là cách.
Bước 2: Sắp xếp 6 chữ cái còn lại
Sắp xếp 6 chữ cái còn lại vào 6 vị trí trống còn lại: có cách.
Bước 3: Tổng hợp kết quả
Suy ra số cách sắp xếp thỏa mãn là
Vậy
Điền đáp án: 2772.