Chọn đáp án A.
Vì các sách Văn phải xếp kề nhau nên ta xem cuốn sách Văn là một phần tử.
Xếp cuốn sách toán lên kệ có cách.
Giữa cuốn sách Toán có 8 khoảng trống, ta xếp phần tử chứa cuốn sách Văn vào vị trí đó có cách.
cuốn sách Văn có thể hoán đổi vị trí cho nhau ta được cách.
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: Đáp án: A

Để xếp 4 nam và 5 nữ xen kẽ nhau thì ta chỉ có 1 cách xếp thỏa mãn là: Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ
Xếp học sinh nam thành hàng dọc: có cách.
Xếp học sinh nữ thành hàng dọc: có cách.
Theo quy tắc nhân có cách xếp thoả mãn bài ra.
Chọn đáp án B. Đáp án: B

Điền đáp án: 72.
Cách 1:
Xếp 3 chữ cái có cách.
Vì 3 chữ cái tạo nên 4 khoảng trống nên ta xếp 2 chữ số vào trong 4 khoảng trống đó nên có cách.
Vậy có tất cả mã số.
Cách 2:
Số mã có chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau = Tổng mã số có thể lập được (không điều kiện) – Số mã số vi phạm điều kiện.
Bước 1: Tính tổng mã số có thể lập được (không điều kiện)
Tổng mã số có thể lập được là mã.
Bước 2: Tính tổng mã số vi phạm
Buộc 1, 2 thành một nhóm Hoán vị nội bộ trong nhóm có
Khi đó ta có tổng 4 kí tự gồm với 3 chữ cái A, B, C nên số cách xếp là
Vậy số mã có chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau là mã.
Suy ra số mã có chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau là mã.

Điền đáp án: 240.
Ta xem ba bạn , , là một vị trí, bốn bạn , , , là bốn vị trí còn lại.
Hành động 1: Hoán vị năm vị trí có cách.
Hành động 2: Hoán vị và có cách.
Vậy có cách xếp.

Cách 1:
Ta cần xếp 4 chữ S, 4 chữ I, 2 chữ P, 1 chữ M vào 11 chỗ trống
- Có cách xếp 4 chữ S vào 11 chỗ.
- Có cách xếp 4 chữ I vào 7 chỗ còn lại.
- Có cách xếp 2 chữ P vào 3 chỗ còn lại.
- Chỉ có 1 cách để xếp chữ M vào ô trống cuối.
Có tất cả cách hoán vị

Cách 2: Sử dụng hoán vị lặp
Số cách xếp 4 chữ S, 4 chữ I, 2 chữ P, 1 chữ M vào 11 chỗ trống là

Điền đáp án: 6930.

Note: Bài toán là tính số cách xếp 6 vị trí cho 6 bài tập, với thứ tự của từng cặp (Văn A - Văn B), (Toán A - Toán B), (Anh A - Anh B) đã bị cố định một chiều.
Cách 1: Sử dụng hoán vị lặp
Coi 6 bài tập là 6 vị trí trống. Nếu ta xếp 6 bài này một cách tùy ý, sẽ có cách.
Tuy nhiên, với mỗi môn (ví dụ môn Toán), trong cách đó sẽ có những cách Toán A đứng trước Toán B và Toán B đứng trước Toán A (số lượng ngang nhau).
Vì ta chỉ chấp nhận 1 thứ tự duy nhất cho mỗi cặp môn học nên ta chia cho cho mỗi môn và số cách thỏa mãn là
Cách 2: Sử dụng tổ hợp
Chọn 2 vị trí trong 6 vị trí để xếp môn Ngữ văn (Văn A mặc định vào vị trí trước, Văn B vào vị trí sau): có cách.
Chọn 2 vị trí trong 4 vị trí còn lại để xếp môn Toán (Toán A trước, Toán B sau): có cách.
Chọn 2 vị trí cuối cùng cho môn Tiếng Anh: có 1 cách.
Nên tổng số cách thỏa mãn là cách.
Điền đáp án: 90.

Bước 1: Chọn 3 vị trí bất kỳ trong 7 vị trí để đặt 3 lá cờ Đỏ, Vàng, Lam: Có cách.
Tại 3 vị trí này, chỉ có duy nhất 1 cách đặt thỏa mãn điều kiện (Đỏ ở vị trí đầu tiên đã chọn, Vàng ở vị trí thứ hai, Lam ở vị trí thứ ba).
Bước 2: Sắp xếp 4 lá cờ còn lại vào 4 vị trí trống còn lại: Có cách.
Bước 3: Tổng hợp
Số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 840.

Số cách xếp 8 người vào 8 ghế trống là
Để Lan và Huệ có thể ngồi cùng bàn tại một trong ba bàn, ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Ngồi cùng ở bàn Đỏ (2 ghế)
Chọn 2 ghế tại bàn Đỏ và xếp chỗ cho Lan và Huệ: có cách.
Xếp 6 nhân viên còn lại vào 6 ghế trống còn lại: có cách.
Suy ra số cách xếp là cách.
Trường hợp 2: Ngồi cùng ở bàn Xanh (2 ghế)
Tương tự bàn Đỏ, chọn 2 ghế tại bàn Xanh và xếp chỗ cho Lan và Huệ: có cách.
Xếp 6 nhân viên còn lại vào 6 ghế trống còn lại: có cách.
Suy ra số cách xếp là cách.
Trường hợp 3: Ngồi cùng ở bàn Trắng (4 ghế)
Chọn 2 ghế trong số 4 ghế của bàn Trắng cho Lan và Huệ: có cách.
Xếp 6 nhân viên còn lại vào 6 ghế trống còn lại: có cách.
Suy ra số cách xếp là cách.
Suy ra tổng số cách xếp thỏa mãn điều kiện là
Suy ra
Vậy
Điền đáp án: 5250.

Tổng cộng có 9 học sinh: 2 HS lớp A, 3 HS lớp B, 4 HS lớp C. Ta có các trường hợp thỏa mãn điều kiện sau:
Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau
Coi AA là một nhóm Có cách xếp các phần tử trong
Lúc này, hàng cần xếp có tổng cộng 8 phần tử, gồm: 3 HS lớp B và 4 HS lớp C. Nên có số cách xếp là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH1 là cách.
Trường hợp 2: Có đúng 1 bạn lớp C giữa hai bạn A
Số cách chọn và xếp nhóm ACA:
+) Chọn 1 bạn lớp từ 4 bạn: có cách.
+) Xếp 2 bạn A ở hai đầu: có cách.
Coi bộ ACA là 1 phần tử. Lúc này, hàng cần xếp có tổng cộng 7 phần tử, gồm: 3 HS lớp B và 3 HS lớp C. Nên có số cách xếp là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH2 là cách.
Trường hợp 3: Có đúng 2 bạn lớp C giữa hai bạn A
Chọn và xếp nhóm ACCA:
+) Chọn 2 bạn lớp C và xếp thứ tự: có cách.
+) Xếp 2 bạn lớp A ở hai đầu: có cách.
Coi bộ ACCA là 1 phần tử. Lúc này, hàng cần xếp có tổng cộng 6 phần tử, gồm: 3 HS lớp B và 2 HS lớp C. Nên có số cách xếp là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH3 là cách.
Trường hợp 4: Có đúng 3 bạn lớp C giữa hai bạn A
Chọn và xếp nhóm ACCCA:
+) Chọn 3 bạn lớp C và xếp thứ tự: có cách.
+) Xếp 2 bạn lớp A ở hai đầu: có cách.
Coi bộ ACCCA là 1 phần tử. Lúc này, hàng cần xếp có tổng cộng 5 phần tử, gồm: 3 HS lớp B và 1 HS lớp C. Nên có số cách xếp là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH4 là cách.
Trường hợp 5: Cả 4 bạn lớp C đều nằm giữa hai bạn A
Chọn và xếp nhóm ACCCCA:
+) Chọn 4 bạn lớp C và xếp thứ tự: có cách.
+) Xếp 2 bạn lớp A ở hai đầu: có cách.
Coi bộ ACCCCA là 1 phần tử. Lúc này, hàng cần xếp có tổng cộng 4 phần tử, gồm: và 3 HS lớp B khác. Nên có số cách xếp là
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở TH4 là cách.
Kết hợp 5 TH trên, suy ra các cách xếp thỏa mãn điều kiện là
Vậy
Điền đáp án: 9072.

Gọi là số viên gạch loại 1 và là số viên gạch loại 2 dùng để lát
Vì ta phải lát kín một hàng có tổng chiều dài là 7 đơn vị nên ta có phương trình
Ta có các trường hợp thỏa mãn sau:
Trường hợp 1:
Khi đó dùng tất cả 6 viên gạch để lát với 5 viên loại 1 và 1 viên loại 2. Số cách xếp là cách.
Trường hợp 2:
Khi đó dùng tất cả 5 viên gạch để lát với 3 viên loại 1 và 2 viên loại 2.Số cách xếp là cách.
Trường hợp 3:
Khi đó dùng tất cả 4 viên gạch để lát với 1 viên loại 1 và 3 viên loại 2. Số cách xếp là cách.
Kết hợp 3 trường hợp trên, suy ra số cách lát gạch thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Điền đáp án: 20.

Bước 1: Chọn vị trí cho 3 thẻ A
Để tổng của 3 số chứa thẻ A là số lẻ thì có 2 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Cả 3 số đều lẻ.
Trong các số từ 1 đến 7, có 4 số lẻ là
Số cách chọn 3 vị trí chứa thẻ A là cách.
Trường hợp 2: Có 1 số lẻ và 2 số chẵn.
Trong các số từ 1 đến 7, có 4 số lẻ và 3 số chẵn
Số cách chọn 1 số lẻ là cách.
Số cách chọn 2 số chẵn là cách.
Suy ra số cách chọn 3 vị trí chứa thẻ A ở trường hợp này là cách.
Suy ra tổng số cách chọn và xếp vị trí cho 3 thẻ A là cách.
Bước 2: Xếp các thẻ còn lại vào 4 hộp còn lại
Sau khi đã xếp 3 thẻ A, ta còn lại 4 thẻ: B, B, C, D để xếp vào 4 vị trí trống còn lại.
Vì các thẻ ghi cùng một chữ cái thì không phân biệt với nhau nên số cách xếp 4 thẻ (gồm 2 thẻ B, 1 thẻ C và 1 thẻ D) là cách.
Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Điền đáp án: 192.

Bước 1: Xếp 4 thẻ lẻ (1, 3, 5, 7)
Chọn 4 vị trí trong 7 vị trí có cách.
Vì thứ tự tăng dần đã cố định nên mỗi cách chọn vị trí chỉ có 1 cách xếp duy nhất.
Suy ra số cách xếp là cách.
Bước 2: Xếp 2 thẻ 2, 4
Sau khi chọn xong bước 1, ta còn lại 3 vị trí. Chọn 2 trong 3 vị trí cho thẻ 2 và 4 có cách.
Và vì 2 phải nằm bên trái thẻ số 4 nên với mỗi cách chọn vị trí chỉ có 1 cách xếp duy nhất.
Suy ra số cách xếp là cách.
Bước 3: Xếp thẻ cuối cùng (6)
Còn 1 vị trí cuối nên có 1 cách xếp.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 105.

Điền đáp án: 6144.
Hoán vị giữa bố và mẹ có 2 cách
Hoán vị giữa 2 người con có 2 cách
Số cách xếp trong một gia đình là
Vì các thành viên trong gia đình ngồi cạnh nhau nên ta coi mỗi gia đình là 1 khối duy nhất nên có cách xếp thứ tự.
Số cách xếp cần tìm là

Bước 1: Chọn ra 4 nhiệm vụ cần hoàn thành
Vì trong 4 nhiệm vụ phải hoàn thành bắt buộc có hai nhiệm vụ là A và B nên ta cần chọn thêm 2 nhiệm vụ nữa từ 4 nhiệm vụ còn lại (C, D, E, F).
Số cách chọn là cách.
Bước 2: Sắp xếp thứ tự thực hiện các nhiệm vụ
Tổng số cách xếp 4 nhiệm vụ (không có điều kiện) là cách.
Vì trong 24 cách sắp xếp trên, vai trò của A và B là bình đẳng nên số trường hợp "A đứng trước B" sẽ bằng số trường hợp "B đứng trước A".
Do đó, số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện (A trước B) là cách.
Vậy tổng số kế hoạch thỏa mãn là (kế hoạch).
Điền đáp án: 72.

Gợi ý: Số cách thỏa mãn = Tổng số cách xếp – Số cách vi phạm
Bước 1: Tính tổng số cách xếp
Số cách xếp 7 huy chương (không có điều kiện) là cách.
Bước 2: Tính số cách vi phạm (tức vị trí 1 là Vàng hoặc vị trí 7 là Đồng)
Gọi là tập hợp các cách “vị trí 1 là huy chương vàng”; là tập hợp các cách “vị trí 7 là huy chương đồng”. là tập hợp các cách “vị trí 1 là vàng và vị trí 7 là đồng.
Khi đó tổng số cách vi phạm là
Số cách có vị trí 1 là Vàng là cách.
Số cách có vị trí 7 là Đồng là cách.
Số cách có vị trí 1 là Vàng và vị trí 7 là Đồng là cách.
Suy ra tổng số cách vi phạm là
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 3720.

Để thỏa mãn điều kiện: Chọn ra 5 lá cờ trong đó có 1 lá cờ Đỏ và ít nhất 2 lá cờ Xanh, ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 1 lá cờ Đỏ + 2 lá cờ Xanh
Để tổng là 5, ta cần chọn thêm 2 lá cờ Vàng.
Số cách sắp xếp 5 lá cờ (gồm gồm 1 cờ Đỏ, 2 cờ Xanh và 2 cờ Vàng) vào 5 cột cờ là
Trường hợp 2: 1 lá cờ Đỏ + 3 lá cờ Xanh
Để tổng là 5, ta cần chọn thêm 1 lá cờ Vàng.
Số cách sắp xếp 5 lá cờ (gồm gồm 1 cờ Đỏ, 3 cờ Xanh và 1 cờ Vàng) vào 5 cột cờ là
Trường hợp 3: 1 lá cờ Đỏ + 4 lá cờ Xanh
Để tổng là 5, ta cần chọn thêm 0 lá cờ Vàng.
vSố cách sắp xếp 5 lá cờ (gồm gồm 1 cờ Đỏ, 4 cờ Xanh và 0 cờ Vàng) vào 5 cột cờ là
Từ 3 trường hợp trên, suy ra tổng số cách treo cờ thỏa mãn các điều kiện là
Điền đáp án: 55.