Gợi ý: Số cách xếp thỏa mãn = Tổng số cách xếp bất kì – Số vi phạm.
Bước 1: Tính tổng số cách xếp bất kỳ
Tổng cộng có 8 người ( học sinh và thầy giáo).
Số cách xếp người vào một hàng ngang là
Bước 2: Tính số cách xếp vi phạm tức “hai thầy giáo luôn đứng cạnh nhau”
Buộc 2 thầy giáo lại thành một nhóm Số cách hoán vị trong nội bộ nhóm là cách.
Lúc này, bài toán trở thành xếp hàng ngang 7 phần tử gồm: học sinh và
Số cách xếp phần tử này là
Vậy số cách xếp để hai thầy giáo luôn đứng cạnh nhau là cách.
Suy ra số cách xếp để hai thầy giáo không đứng cạnh nhau là
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Điền đáp án: 792.
Sử dụng công thức hoán vị lặp ta có số chuỗi kết quả cần tìm là

Vì các học sinh cùng lớp phải đứng cạnh nhau, nên ta coi các học sinh cùng một lớp là một nhóm.
Coi
3 học sinh từ lớp 12A là nhóm số cách xếp 3 bạn trong nhóm là cách.
3 học sinh lớp 12 B là nhóm số cách xếp 3 bạn trong nhóm là cách.
2 học sinh lớp 12 C là nhóm số cách xếp 2 bạn trong nhóm là cách.
Lúc này, hàng cần xếp gồm 3 phần tử nên có cách xếp thành 1 hàng ngang.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là
Điền đáp án: 432.

Bước 1: Chọn và xếp cho 3 vị trí 3, 4, 5
Vì chiều cao của 5 người là khác nhau, nên khi chọn ra 3 người A, B, C bất kì từ 5 người thì ta luôn có 1 người thấp hơn 2 người còn lại. Giả sử
Số cách chọn ra 3 người A, B, C bất kì là
Để thỏa mãn điều kiện “Người thứ 4 thấp hơn cả hai người ở vị trí 3, 5”, ta có 2 cách xếp (là BAC hoặc CAB).
Suy ra số cách chọn và xếp ở 3 vị trí 3, 4, 5 là
Bước 2: Xếp 2 người còn lại
Khi xếp xong 3 người ở 3 vị trí 3, 4, 5 thì ta cần phải xếp 2 người vào 2 vị trí còn lại: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Điền đáp án: 40.

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu Số cách xếp 9 học sinh (3 lớp 10, 3 lớp 11, 3 lớp 12) vào 9 ghế là
Bước 2: Tính số trường hợp 3 học sinh lớp 10 ngồi cạnh nhau
Buộc 3 học sinh lớp 10 thành 1 khối Trong nội bộ khối 3 học sinh lớp 10 có thể đổi chỗ cho nhau, nên có cách xếp.
Khi đó, bài toán trở thành xếp 7 phần tử gồm khối và 6 học sinh còn lại (3 em lớp 11 và 3 em lớp 12). Nên có số cách xếp là
Suy ra số cách xếp sao cho 3 học sinh lớp 10 ngồi cạnh nhau là
Suy ra số cách xếp sao cho 3 học sinh lớp 10 không ngồi cạnh nhau bằng
Vậy xác xuất để học sinh lớp không ngồi ghế liền nhau bằng
Điền đáp án: 0,92.

Để thỏa mãn điều kiện cả 3 chữ số đều phải có mặt ít nhất một lần và mỗi chữ số xuất hiện một số lẻ lần thì ta có 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: 1 số xuất hiện 5 lần và 2 số còn lại mỗi số xuất hiện 1 lần.
Trường hợp 2: 2 số xuất hiện 3 lần và số còn lại xuất hiện 1 lần.
Sau đây, ta đi tính chi tiết từng trường hợp trên.
TH1: 1 số xuất hiện 5 lần và 2 số còn lại mỗi số xuất hiện 1 lần
Chọn 1 số xuất hiện 5 lần: Có cách.
Xếp 7 chữ số này (sử dụng hoán vị lặp): có cách.
Số số tự nhiên thỏa mãn ở TH1 là số.
TH2: 2 số xuất hiện 3 lần và số còn lại xuất hiện 1 lần
Chọn số xuất hiện 1 lần: Có cách. Hai số còn lại mặc nhiên sẽ xuất hiện 3 lần.
Xếp 7 chữ số này (hoán vị lặp): có cách.
Số số tự nhiên thỏa mãn ở TH2 là số.
Vậy tổng số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là
Điền đáp án: 546.

Để các tiết mục hát và múa xen kẽ nhau thì ta có 2 kịch bản sau:
Kịch bản 1: Hát trước (H - M - H - M - H - M - H - M)
Chọn và xếp 4 tiết mục hát vào 4 vị trí lẻ: có cách.
Chọn và xếp 4 tiết mục múa vào 4 vị trí chẵn: có cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn ở Kịch bản 1 là cách.
Kịch bản 2: Múa trước (M - H - M - H - M - H - M - H)
Tương tự kịch bản 1, ta cũng tính được số cách là cách.
Suy ra tổng số cách xếp thỏa mãn là
Vậy
Điền đáp án: 8640.

Bước 1: Tính tổng số cách xếp (không điều kiện)
Mỗi vị trí trong 4 vị trí của hàng ngang đều có 3 lựa chọn (hoặc a hoặc b hoặc c). Nên tổng số cách sắp xếp là cách.
Bước 2: Tính số trường hợp chữ cái xuất hiện ít hơn 2 lần
Để xuất hiện "Ít hơn 2 lần" ta có 2 trường hợp sau.
TH1: Chữ cái không xuất hiện
Khi đó cả 4 vị trí chỉ được chọn từ hoặc tức mỗi vị trí trong 4 vị trí có 2 lựa chọn. Suy ra số cách xếp là cách.
TH2: Chữ cái xuất hiện đúng 1 lần
Chọn 1 vị trí cho có cách.
3 vị trí còn lại chọn từ hoặc có cách.
Suy ra số cách xếp là trường hợp.
Suy ra số trường hợp chữ cái xuất hiện ít hơn 2 lần là
Vậy số trường hợp mà chữ cái xuất hiện ít nhất hai lần bằng
Điền đáp án: 33.

Số cách chọn ngẫu nhiên gian hàng trong gian hàng đã cho là:

Gọi là biến cố: “Trong gian hàng chọn được của doanh nghiệp có đúng gian hàng kề nhau”.
TH1: Ba gian hàng kề nhau ở đầu dãy hoặc cuối dãy
Chọn 3 gian hàng kề nhau có 2 cách chọn.
Chọn 1 gian hàng còn lại có 11 cách chọn (vì để có đúng 3 gian hàng kề nhau thì gian hàng thứ 4 này không được đứng ở vị trí của 3 gian hàng và 1 vị trí kề với 3 gian hàng nên còn lại vị trí). Ví dụ:

Suy ra có cách chọn.
TH2: Ba gian hàng kề nhau, không có gian hàng nào nằm ở đầu dãy hoặc cuối dãy
Khi đó, có 11 cách chọn 3 gian hàng kề nhau.
Gian hàng thứ tư được chọn phải khác 5 gian hàng (gồm 3 gian hàng kề nhau đã chọn và 2 gian hàng kề ba gian hàng đó), nên có còn lại cách chọn gian hàng thứ tư. Suy ra có cách chọn. Ví dụ:

Vậy .
Suy ra

Vì mỗi số chẵn xuất hiện tối đa 1 lần và mỗi số lẻ xuất hiện tối đa 2 lần nên để lập thành số có 5 chữ số, ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Có 1 số chẵn và 2 số lẻ (mỗi số lẻ lặp lại 2 lần)
Chọn 1 số chẵn từ các số có cách.
Chọn 2 số lẻ từ các số có cách.
Khi đó số cách xếp 5 số (có 2 số được lặp lại 2 lần) là
Suy ra số các số được tạo thành là số.
Trường hợp 2: Có 3 số chẵn và 1 số lẻ (số lẻ lặp lại 2 lần)
Chọn 3 số chẵn từ các số có cách (chọn cả 2, 4, 6).
Chọn 1 số lẻ từ các số có cách.
Khi đó số cách xếp 5 số (có 1 số được lặp lại 2 lần) là
Suy ra số các số được tạo thành là số.
Vậy tổng số các số tự nhiên thỏa mãn là
Điền đáp án: 450.

Trường hợp 1: Có đĩa cùng chữ cái
Quy tắc: Đĩa đen phải nằm dưới đĩa trắng cùng chữ cái đó.
TH1.1: Có 2 cặp chữ cái (ví dụ: 2 đĩa A, 2 đĩa B)
Chọn 2 chữ cái làm cặp từ 4 chữ: có cách.
Xếp 4 đĩa này vào cột có cách (chia cho vì thứ tự Trắng - Đen của mỗi cặp đã bị cố định).
Suy ra số cách xếp ở TH1.1 là cách.
TH1.2: Có đúng 1 cặp chữ cái (ví dụ: 2 đĩa A, 1 đĩa B, 1 đĩa C)
Chọn 1 chữ cái làm cặp: có cách.
Chọn 2 chữ cái đơn lẻ còn lại: cách.
Mỗi chữ cái đơn lẻ có 2 màu để chọn: cách.
Xếp 4 đĩa có cách.
Suy ra số cách xếp ở TH1.2 là cách.
Trường hợp 2: Không có đĩa nào cùng chữ cái (tức chọn A, B, C, D)
Quy tắc: Đĩa D phải nằm dưới cùng.
Mỗi chữ cái A, B, C, D có 2 lựa chọn màu sắc nên có cách chọn bộ đĩa.
Xếp đĩa: Đĩa D cố định ở đáy (1 cách), 3 đĩa còn lại hoán vị ở trên có cách.
Suy ra số cách xếp ở TH2 là cách.
Vậy tổng cộng số cách xếp thỏa mãn là cách.
Điền đáp án: 708.

Bước 1: Tìm các bộ số thỏa mãn
TH1:
TH2: (không có cặp số nguyên thỏa mãn).
Vậy chỉ có 2 bộ số thỏa mãn là và
Bước 2: Tính số cách sắp xếp cho từng bộ (sử dụng hoán vị lặp)
Với bộ (1 chữ A, 2 chữ B, 5 chữ C)
Số cách xếp là cách.
Với bộ (1 chữ A, 3 chữ B, 4 chữ C)
Số cách xếp là cách.
Vậy tổng số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Điền đáp án: 448.

Gọi là tập hợp các cách xếp mà hai số 1 đứng cạnh nhau.
Gọi là tập hợp các cách xếp mà hai số 2 đứng cạnh nhau.
Khi đó số cách xếp sao cho hai số 1 đứng cạnh nhau hoặc hai số 2 đứng cạnh nhau là
Bước 1: Tính
Buộc hai số 1 thành khối Hoán vị các phần tử trong có 1 cách.
Lúc này, ta có 6 phần tử gồm Xếp 6 phần tử này (với phần tử 2 lặp lại 2 lần) có
Suy ra
Bước 2: Tính
Tương tự như Bước 1, vai trò của số 1 và số 2 là như nhau nên ta tính được
Bước 3: Tính
Buộc 2 phần tử 1, 1 thành khối và hai phần tử thành khối
Ta có 5 phần tử để xếp là Số cách xếp là cách.
Vậy
Điền đáp án: 600.

Gợi ý: Số cách xếp thỏa mãn = Tổng số cách xếp – Số vi phạm (có ít nhất một màu đứng cạnh nhau)
Bước 1: Tính tổng số cách xếp (không điều kiện)
Số cách xếp 3 quả bóng đen giống hệt nhau, 4 quả bóng đỏ giống hệt nhau và 5 quả bóng trắng giống hệt nhau là
Bước 2: Tính số cách xếp vi phạm
Gọi là tập hợp các cách xếp sao cho 3 bóng màu đen đứng cạnh nhau.
Gọi là tập hợp các cách xếp sao cho 4 bóng màu đỏ đứng cạnh nhau.
Gọi là tập hợp các cách xếp sao cho 5 bóng màu trắng đứng cạnh nhau.
Khi đó số cách xếp vi phạm là
+) (3 bóng đen cạnh nhau): Coi 3 bóng Đen là 1 khối. Lúc này, ta có 10 đơn vị (1 khối Đen, 4 Đỏ, 5 Trắng) nên số cách xếp là
+) (4 bóng đỏ cạnh nhau): Coi 4 bóng Đỏ là 1 khối. Lúc này, ta có 9 đơn vị (3 Đen, 1 khối Đỏ, 5 Trắng) nên số cách xếp là
+) (5 bóng trắng cạnh nhau): Coi 5 bóng Trắng là 1 khối. Lúc này, ta có 8 đơn vị (3 Đen, 4 Đỏ, 1 khối Trắng) nên số cách xếp là
+) (Đen và Đỏ cạnh nhau): Có 7 đơn vị (1 khối Đen, 1 khối Đỏ, 5 Trắng) nên số cách xếp là
+) (Đen và Trắng cạnh nhau): Có 6 đơn vị (1 khối Đen, 4 Đỏ, 1 khối Trắng) nên số cách xếp là
(Đỏ và Trắng cạnh nhau): Có 5 đơn vị (3 Đen, 1 khối Đỏ, 1 khối Trắng) nên số cách xếp là
(Cả 3 màu cạnh nhau): Có 3 đơn vị (3 khối màu) nên số cách xếp là
Suy ra số cách xếp vi phạm là
Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là
Vậy 4 chữ số tận cùng của là 5762.
Điền đáp án: 5762.

là tập hợp tất cả các trường hợp Nam lấy tất 14 lần.
Khi đó số cách lấy tất bằng số cách xếp 28 chiếc tất thành 1 hàng ngang.
Số cách chọn 14 vị trí cho 14 chiếc tất xanh trong 28 vị trí là cách.
Chọn vị trí cho 14 chiếc tất đỏ: có cách.
Suy ra
Gọi là biến cố “Nam được tối đa 2 điểm”.
Vì số tất mỗi màu là số chẵn (14 chiếc), nên nếu có cặp Xanh-Xanh thì cũng phải có cặp Đỏ-Đỏ để số tất còn lại của hai màu là bằng nhau (để ghép thành các cặp khác màu: Xanh-Đỏ). Do đó, tổng số điểm Nam đạt được luôn là một số chẵn.
Do đó, Nam được tối đa 2 điểm thì ta Nam có thể được 0 điểm hoặc 2 điểm.
Trường hợp 1: Nam được 0 điểm
Điều này xảy ra khi tất cả 14 cặp đều là khác màu.
Ví dụ: XĐ XĐ XĐ …. ĐX (có 14 cặp).
Mỗi cặp có cách chọn vị trí cho tất xanh và có 1 cách chọn vị trí cho tất đỏ nên số cách xếp vị trí cho mỗi cặp là
Suy ra số cách xếp vị trí cho 14 cặp là cách.
Trường hợp 2: Nam được 2 điểm
Trường hợp này xảy ra khi và chỉ khi Nam có 1 cặp XX, 1 cặp ĐĐ và 12 cặp XĐ.
Bước 1: Chọn 1 cặp (trong 14 cặp) để đặt cặp XX: có cách.
Bước 2: Chọn 1 cặp (trong 13 cặp còn lại) để đặt cặp ĐĐ: có cách.
Bước 3: 12 cặp còn lại mỗi cặp phải có 1 xanh và 1 đỏ: có cách xếp.
Kết hợp TH1, TH2, suy ra số cách xếp vị trí thỏa mãn TH2 là
Suy ra
Vậy xác suất Nam được tối đa 2 điểm là
Suy ra
Điền đáp án: 1703269.