Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [151426]: Trong không gian với hệ tọa độ cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình Gọi là diện tích thiết diện của bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là Giả sử hàm số liên tục trên đoạn Khi đó thể tích của vật thể được cho bởi công thức
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 2 [680669]: Cho hàm số liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục có thể tích là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục được tính theo công thức:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [151629]: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Gọi là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay xung quanh trục . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A, .
B, .
C, .
D, .
Đáp án A
Thể tích của vật thể được tạo nên là Đáp án: A
Câu 4 [151428]: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là hình vuông có cạnh bằng .
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích vật thể dựa trên diện tích thiết diện vuông góc với trục tọa độ bằng tích phân xác định.
✒️ Lời giải chi tiết:
Vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng và nên cận tích phân là từ đến .
Thiết diện vuông góc với trục tại vị trí là hình vuông có cạnh bằng .
.
Thể tích của vật thể được tính bởi công thức .
.
Nguyên hàm của là .
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: C. Đáp án: C
Câu 5 [116482]: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường và Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục được tính theo công thức:
A,
B,
C,
D,
HD: Ta có Chọn B. Đáp án: B
Câu 6 [16452]: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích là
A,
B,
C,
D,
Đáp án C
Ta có thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng là: Đáp án: C
Câu 7 [693778]: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng (hình vẽ)
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay).
Mức độ: Thông hiểu.
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng là

Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 8 [378616]: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng Thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh là
A,
B,
C,
D,
Thể tích của khối tròn xoay đó là
Chọn đáp án D.
Đáp án: D
Câu 9 [151655]: Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, trục tung và đường thẳng bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn B.
Ta có Đáp án: B
Câu 10 [140089]: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong trục hoành và các đường thẳng Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?
A,
B,
C,
D,
Chọn A.
Thể tích cần tính bằng Đáp án: A
Câu 11 [151642]: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng , . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành.
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn D.
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành là Đáp án: D
Câu 12 [151656]: Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục .
A,
B,
C,
D,
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm là
Suy ra thể tích cần tính là Đáp án: A
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [865165]: Cho đồ thị hàm số và hình phẳng được tô đậm như hình vẽ.
a) Hình phẳng đó giới hạn bởi bốn đường , trục hoành và hai đường thẳng ,
Chọn ĐÚNG.
b) Diện tích hình phẳng là

Chọn SAI.
c) Diện tích hình phẳng là

Chọn ĐÚNG.
d) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục là

Chọn ĐÚNG.
Câu 14 [779600]: Cho hàm số có đạo hàm trên và thoả mãn Gọi là hình phẳng xác định bởi các đường và trục
a) Đúng.

b) Sai.
Ta có
Mà
Suy ra
c) Đúng.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt trên tập
d) Sai.
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay, ta có thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng xung quanh trục bằng
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 15 [865168]: Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình và Cắt phần vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng Tính thể tích của phần vật thể (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Chú ý: Diện tích tam giác đều cạnh là
Diện tích thiết diện: .

Câu 16 [784248]: Một khối bê tông có chiều cao 2 mét được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt phẳng nằm ngang và cách mặt đất mét thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có chiều dài 3 m và chiều rộng bằng mét (tham khảo hình vẽ ). Tính thể tích (đơn vị ) của khối bê tông đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 4,84.
Ta có diện tích của mặt cắt là
Coi trục là trục thẳng đứng vuông góc với mặt đất. Khi đó, ta thấy khối bê tông bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm Và là hàm số liên tục trên đoạn
Vậy
Câu 17 [372587]: Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy thì mặt cắt là hình tròn có bán kính Tính dung tích của chậu (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của cm3).
CTST12.38.png
Diện tích mặt cắt là
Suy ra dung tích của chậu là
Câu 18 [865169]: Một cái trống trường có bán kính các đáy là cm. Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn có bán kính chiều dài của trống là Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có chọn hệ trục như hình vẽ.

.Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn.có bán kính
Ta có: Parabol có đỉnh và qua .
Nên có phương trình .
Thể tích của trống là:
Câu 19 [779611]: Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là (tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính với là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ( tính theo đơn vị ). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Trả lời:
Diện tích của mặt cắt vuông góc với trục tại vị trí cách mặt đáy của bình hoa một khoảng là:
Lượng nước đổ đầy bình hoa là:
Lượng nước đổ vào bình cao bằng chiều cao của bình là:
Vậy tỉ lệ phần trăm lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng chiều cao của bình so với thể tích của bình hoa là .
Câu 20 [1199838]: Một cơ sở sản xuất làm những chiếc bể cá bằng thủy tinh có dạng một phần hình cầu (như hình vẽ). Biết mặt trong của bể là một phần mặt cầu có bán kính khoảng cách từ tâm mặt cầu mặt trong đến mặt phẳng miệng bể là Giả sử phần thành thủy tinh của bể có độ dày không đổi là và mặt cắt ở miệng bể được mài bằng phẳng. Tính thể tích thủy tinh cần sử dụng để làm một chiếc bể cá như vậy (đơn vị: ; không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).
Gợi ý: Thể tích thủy tinh = Thể tích phần chỏm cầu ngoài – Thể tích phần chỏm cầu trong.
Đổi đơn vị:
Gắn hệ trục tọa độ đơn vị mỗi trục tương ứng với 1 cm, là tâm của mặt cầu trong, trục vuông góc với miệng bể. Khi đó miệng bể nằm trên mặt phẳng (Tham khảo hình vẽ).

+) Thể tích phần chỏm cầu trong:
Phương trình đường sinh của mặt cầu trong có tâm và bán kính là
Nhận thấy, mặt cắt vuông góc với trục tại vị trí hoành độ có thiết diện là một hình tròn có bán kính (vì bán kính là một số dương nên mình lấy phần dương).
Diện tích thiết diện là
Vậy thể tích phần chỏm cầu trong là
+) Thể tích phần chỏm cầu ngoài:
Vì “thành thủy tinh của bể có độ dày không đổi là ” nên phần cầu bên ngoài có tâm trùng với tâm của mặt cầu trong và có bán kính bằng
Và vì “mặt cắt ở miệng bể được mài bằng phẳng” nên phần chỏm cầu ngoài cũng bị cắt bởi mặt phẳng Do đó
Tương tự như trên, ta tính được phương trình đường sinh của mặt cầu ngoài là
Suy ra diện tích thiết diện là
Vậy thể tích phần chỏm cầu ngoài là
Suy ra thể tích thủy tinh cần sử dụng để làm một chiếc bể cá trên là
Điền đáp án: 1145.
PHẦN IV. Câu tự luận.
Câu 21 [879713]: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
a) Tính diện tích hình phẳng
b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục
a) Diện tích hình phẳng
b) Mở rộng: Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục Ox (với thì sẽ có thể tích được tính bởi công thức
Phương trình hoành độ giao điểm (ĐK:

(vì hai vế đều dương nên ta bình phương cả hai vế)


Khi đó, khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường (với quanh trục Ox.
Áp dụng công thức mở rộng ở trên, thể tích khối tròn xoay đã cho là (thực hiện thao tác trên máy tính Casio)
Vậy thể tích của khối tròn xoay đã cho là
Câu 22 [879718]: Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ mặt cắt là tam giác vuông có một góc và độ dài một cạnh góc vuông là Tính thể tích của vật thể theo đơn vị
Thiết diện mặt cắt theo mặt phẳng vuông góc với trục là một hình tam giác vuông cân có cạnh góc vuông là Suy ra diện tích thiết diện là
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi biết diện tích mặt cắt, ta có thể tích của vật thể đã cho là (thực hiện thao tác trên máy tính Casio).