PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [539062]: Cho 
là các hàm số xác định và liên tục trên 
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
là các hàm số xác định và liên tục trên Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A, 
B, 
C, 
D, 
Phương pháp:
Tính chất cơ bản của nguyên hàm.
Cách giải:
A, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
B là mệnh đề sai vì nguyên hàm của tích không bằng tích các nguyên hàm.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Tính chất cơ bản của nguyên hàm.
Cách giải:
A, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
B là mệnh đề sai vì nguyên hàm của tích không bằng tích các nguyên hàm.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [539104]: 
bằng
bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [543204]: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Ta có 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 4 [147860]: Hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [147852]: Tìm nguyên hàm 
của hàm số 
của hàm số A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 6 [395550]: Cho hàm số 
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Khẳng định nào dưới đây đúng? A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn B
Ta có
Đáp án: B
Ta có
Đáp án: B
Câu 7 [147861]: Cho hàm số 
liên tục trên 
và thỏa mãn điều kiện 
Hàm số 
là
liên tục trên và thỏa mãn điều kiện Hàm số là A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có 
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 8 [135928]: [Đề THPT QG 2018]: Nguyên hàm của hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [386269]: Họ nguyên hàm của hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
HD: 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 10 [755495]: Khẳng định nào sau đây đúng?
A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: 
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 11 [147875]: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
A, 
B, 
C, 
D, 
HD: 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 12 [147879]: Tính 
A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Chọn đáp án C. Đáp án: C
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [864909]: Cho hàm số 
Hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số 
Hàm số là một nguyên hàm của hàm số
a) Đúng.
Theo quy tắc nguyên hàm của hiệu hai hàm số, ta có:
b) Sai.
Vậy mệnh đề b sai.
c) Đúng.
Ta tính nguyên hàm của
Vậy mệnh đề c đúng.
d) Sai.
Ta có
Sử dụng điều kiện
:
Tính
Vậy mệnh đề d sai.
Theo quy tắc nguyên hàm của hiệu hai hàm số, ta có:
b) Sai.
Vậy mệnh đề b sai.
c) Đúng.
Ta tính nguyên hàm của
Vậy mệnh đề c đúng.
d) Sai.
Ta có
Sử dụng điều kiện
:
Tính
Vậy mệnh đề d sai.
Câu 14 [864910]: Biết 
là một nguyên hàm của hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số
Ta có:
Xét các mệnh đề:
a) Đúng.
b) Sai.
Theo định nghĩa,
Vì
, nên 
.
Vậy mệnh đề b sai.
c) Sai.
Nguyên hàm của một tích KHÔNG bằng tích các nguyên hàm:
Vậy mệnh đề c sai.
d) Đúng.
Ta tính nguyên hàm của :
Vậy mệnh đề d đúng.
Xét các mệnh đề:
a) Đúng.
b) Sai.
Theo định nghĩa,
Vì
, nên .
Vậy mệnh đề b sai.
c) Sai.
Nguyên hàm của một tích KHÔNG bằng tích các nguyên hàm:
Vậy mệnh đề c sai.
d) Đúng.
Ta tính nguyên hàm của :
Vậy mệnh đề d đúng.
Câu 15 [775908]: Một chiếc xe đang chuyển động thẳng đều trên đường thẳng với tốc độ 54 km/giờ thì người lái phải phanh gấp để tránh chướng ngại vật ở phía trước. Lực hãm tạo giúp xe chuyển động chậm dần đều với tốc độ 
trong đó 
là thời gian tính bằng giây kể từ khi phanh. Gọi 
(đơn vị mét) là quãng đường mà xe đi được và vận tốc của xe sau 
giây kể từ khi bắt đầu phanh.
trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ khi phanh. Gọi (đơn vị mét) là quãng đường mà xe đi được và vận tốc của xe sau giây kể từ khi bắt đầu phanh.
a) Sai.
Đúng phải là
b) Đúng.
Đổi 54 km/giờ
Vì trước khi phanh gấp thì người lái đi với vận tốc 15 m/s nên ta có
Suy ra
c) Sai.
Áp dụng công thức
ta có 
Vì
(đơn vị mét) là quãng đường mà xe đi được kể từ khi bắt đầu phanh nên 
d) Đúng.
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 hay
Vậy tại thời điểm
giây thì xe đi được quãng đường là 
Đúng phải là
b) Đúng.
Đổi 54 km/giờ
Vì trước khi phanh gấp thì người lái đi với vận tốc 15 m/s nên ta có
Suy ra
c) Sai.
Áp dụng công thức
ta có
Vì
(đơn vị mét) là quãng đường mà xe đi được kể từ khi bắt đầu phanh nên
d) Đúng.
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 hay
Vậy tại thời điểm
giây thì xe đi được quãng đường là
Câu 16 [1107944]: Tàu con thoi vũ trụ nặng 120.000 kg đang hạ cánh. Khi xuống đường băng thẳng và đạt tốc độ 324 km/giờ, dù kéo của tàu sẽ được bung ra. Đến khi tốc độ của tàu giảm xuống còn 54 km/giờ, dù được thả ra khỏi tàu. Gia tốc 
(đơn vị 
) của máy bay kể từ lúc dù bung ra đến khi dù được thả ra khỏi tàu thoả mãn 
, trong đó 
tính theo đơn vị m/s là tốc độ của tàu và 
là thời gian tính bằng giây kể từ khi bung dù. Giả sử máy bay không phanh, khi đó
(đơn vị ) của máy bay kể từ lúc dù bung ra đến khi dù được thả ra khỏi tàu thoả mãn , trong đó tính theo đơn vị m/s là tốc độ của tàu và là thời gian tính bằng giây kể từ khi bung dù. Giả sử máy bay không phanh, khi đó
Tóm tắt giả thiết ban đầu:
• Vận tốc ban đầu khi bung dù
• Vận tốc khi thả dù:
• Gia tốc:
a) Đúng.
Ta có
Vì
nên ta chia cả hai vế cho 
ta được 
b) Sai.
Áp dụng công thức đạo hàm
ta được 
Do đó, hàm số
là một nguyên hàm của hàm số 
c) Sai.
Khoảng thời gian từ lúc tàu bung dù đến khi dù được thả ra khỏi tàu thỏa mãn
Từ phần a, ta thu được
Nguyên hàm hai vế, ta được
Lại có
d) Đúng.
Ta có
Suy ra quãng đường mà tàu đi được tính từ lúc bung dù
đến khi du được thả ra khỏi tàu 
• Vận tốc ban đầu khi bung dù
• Vận tốc khi thả dù:
• Gia tốc:
a) Đúng.
Ta có
Vì
nên ta chia cả hai vế cho ta được b) Sai.
Áp dụng công thức đạo hàm
ta được Do đó, hàm số
là một nguyên hàm của hàm số c) Sai.
Khoảng thời gian từ lúc tàu bung dù đến khi dù được thả ra khỏi tàu thỏa mãn
Từ phần a, ta thu được
Nguyên hàm hai vế, ta đượcLại có
d) Đúng.
Ta có
Suy ra quãng đường mà tàu đi được tính từ lúc bung dù
đến khi du được thả ra khỏi tàu PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 17 [864913]: Cho hàm số 
có đạo hàm cấp hai 
và 
Tính giá trị của 
(kết quả viết dưới dạng số thập phân).
có đạo hàm cấp hai và Tính giá trị của (kết quả viết dưới dạng số thập phân).
B1. Tìm 
B2. Sử dụng điểu kiện
để tìm 
B3. Tìm
B4. Sử dụng điều kiện
để tìm 
Vậy
B5. Tính
Điền đáp án: 0,75.
B2. Sử dụng điểu kiện
để tìm B3. Tìm
B4. Sử dụng điều kiện
để tìm Vậy
B5. Tính
Điền đáp án: 0,75.
Câu 18 [161578]: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm 
giây (coi 
là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của viên đạn là 
. Tính độ cao lớn nhất của viên đạn tính từ mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
giây (coi là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của viên đạn là . Tính độ cao lớn nhất của viên đạn tính từ mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Điền đáp số: 
Độ cao của viên đạn tại thời điểm
giây là 
Tại
ta có 
nên 
vậy có 
Độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được khi
Khi đó ta có độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được là
Độ cao của viên đạn tại thời điểm
giây là Tại
ta có nên vậy có Độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được khi
Khi đó ta có độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được là
Câu 19 [1145605]: Tốc độ giải ngân 2 tỷ tiền trợ cấp dành cho một vùng A bị thiệt hại về lũ lụt tỉ lệ thuận với bình phương của 
trong đó 
là thời gian tính bằng ngày 
Hỏi số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày.
trong đó là thời gian tính bằng ngày Hỏi số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày.
Note: Nếu đại lượng 
tỉ lệ thuận với đại lượng 
thì ta có 
với 
là hằng số tỉ lệ.
Gọi
là tốc độ giải ngân tại thời điểm 
(triệu đồng/ngày).
Theo đề bài, tốc độ này tỉ lệ thuận với
nên ta có công thức
với 
là hằng số tỉ lệ.
Yêu cầu bài toán: Tính số tiền chưa giải ngân sau 40 ngày và bằng
(triệu đồng), với 
là số tiền đã giải ngân sau 40 ngày và 2 tỷ đồng tương đương với 2000 triệu đồng.
Biết toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày nên ta có
Hàm tốc độ giải ngân là 
Khi đó số tiền chưa giải ngân sau 40 ngày là
(triệu đồng)
Điền đáp án: 432.
tỉ lệ thuận với đại lượng thì ta có với là hằng số tỉ lệ.
Gọi
là tốc độ giải ngân tại thời điểm (triệu đồng/ngày).
Theo đề bài, tốc độ này tỉ lệ thuận với
nên ta có công thức
với là hằng số tỉ lệ.
Yêu cầu bài toán: Tính số tiền chưa giải ngân sau 40 ngày và bằng
(triệu đồng), với là số tiền đã giải ngân sau 40 ngày và 2 tỷ đồng tương đương với 2000 triệu đồng.
Biết toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày nên ta có
Hàm tốc độ giải ngân là
Khi đó số tiền chưa giải ngân sau 40 ngày là
(triệu đồng)
Điền đáp án: 432.
Câu 20 [1095574]: Một hộ gia đình sản xuất mỗi ngày sản xuất được x chiếc túi cói 
Gọi 
(tính bằng nghìn đồng) là tổng chi phi để sản xuất x chiếc túi thì 
được gọi là chi phí biên. Biết rằng 
và chi phí cố định (chi phí khi không sản xuất chiếc túi nào) là 500 nghìn đồng mỗi ngày. Giả sử gia đình này bán hết túi mỗi ngày sản xuất ra với giá 270 nghìn đồng/chiếc. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?
Gọi (tính bằng nghìn đồng) là tổng chi phi để sản xuất x chiếc túi thì được gọi là chi phí biên. Biết rằng và chi phí cố định (chi phí khi không sản xuất chiếc túi nào) là 500 nghìn đồng mỗi ngày. Giả sử gia đình này bán hết túi mỗi ngày sản xuất ra với giá 270 nghìn đồng/chiếc. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Với
là số lượng chiếc túi cói bán trong ngày 
ta có tổng chi phí để sản xuất 
chiếc túi cói là:
Do chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 (nghìn đồng) nên ta có
Khi đó, tổng lợi nhuận gia đình này thu được khi bán
chiếc chiếu là:
Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn 
Ta có:
Ta tính được
Vậy lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được là 1300 (nghìn đồng) khi bán được 10 chiếc chiếu cói.
Điền đáp án: 1300.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Với
là số lượng chiếc túi cói bán trong ngày ta có tổng chi phí để sản xuất chiếc túi cói là:Do chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 (nghìn đồng) nên ta có
Khi đó, tổng lợi nhuận gia đình này thu được khi bán
chiếc chiếu là:Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn Ta có:
Ta tính được
Vậy lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được là 1300 (nghìn đồng) khi bán được 10 chiếc chiếu cói.
Điền đáp án: 1300.
PHẦN IV. Câu tự luận
Câu 21 [879709]: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 
vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi 
là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm 
trong đó 
tính theo ngày 
Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số 
trong đó 
là hằng số. Sau 
ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 
vi khuẩn.
a) Chứng minh rằng
(với 
là các hằng số).
b) Tìm các giá trị của
và 
ở ý a.
c) Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó lần lượt sau 9 ngày, 16 ngày?
vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm trong đó tính theo ngày Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số trong đó là hằng số. Sau ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành vi khuẩn.a) Chứng minh rằng
(với là các hằng số).b) Tìm các giá trị của
và ở ý a.c) Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó lần lượt sau 9 ngày, 16 ngày?
Đính chính: Nhóm tác giả xin gửi lời xin lỗi chân thành đến các em học sinh. Bản in đầu tiên, không tránh khỏi có sai sót. Các em sửa lại 
thành 
như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
a) Chứng minh rằng
Ta có
lấy nguyên hàm hai vế, ta được:
b) Tìm các giá trị của
và 
ở ý a.
Ta có hàm số lượng vi khuẩn
.
Ban đầu (tức là
), quẩn thể có 500 vi khuẩn. Vậy 
.
Sau 1 ngày (tức là
), số lượng vi khuẩn là 600. Vậy 
.
Kết quả:
và 
.
Vậy, hàm số lượng vi khuẩn là
c) Tính số lượng vi khuẩn của quẩn thể đó lần lượt sau 9 ngày, 16 ngày?
- Sau 9 ngày
- Sau 16 ngày
Vậy số lượng vi khuẩn sau 9 ngày là 3200 vi khuẩn, số lượng vi khuẩn sau 16 ngày là 6900 vi khuẩn.
thành như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em! a) Chứng minh rằng
Ta có
lấy nguyên hàm hai vế, ta được:b) Tìm các giá trị của
và ở ý a.Ta có hàm số lượng vi khuẩn
.Ban đầu (tức là
), quẩn thể có 500 vi khuẩn. Vậy .Sau 1 ngày (tức là
), số lượng vi khuẩn là 600. Vậy .Kết quả:
và .Vậy, hàm số lượng vi khuẩn là
c) Tính số lượng vi khuẩn của quẩn thể đó lần lượt sau 9 ngày, 16 ngày?
- Sau 9 ngày
- Sau 16 ngày
Vậy số lượng vi khuẩn sau 9 ngày là 3200 vi khuẩn, số lượng vi khuẩn sau 16 ngày là 6900 vi khuẩn.
Câu 22 [879790]: Một bể ban đầu chứa đầy nước, bể có dạng hình trụ với chiều cao bằng 9 m và bán kính đáy bằng 2 m. Nước bắt đầu chảy ra từ một vòi nước ở đáy bể. Gọi 
là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm 
(phút) sau khi mở vòi thì
Biết sau 15 phút độ cao của mực nước trong bể bằng 4 m.
a) Chứng minh rằng
với 
là hằng số.
b) Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị).
c) Sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước.
là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm (phút) sau khi mở vòi thìBiết sau 15 phút độ cao của mực nước trong bể bằng 4 m.a) Chứng minh rằng
với là hằng số.b) Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị).
c) Sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước.
Lưu ý: Các em sửa câu a 
thành 
nhé!. Lần tái bản này có bổ sung các bài tập mới nên không tránh được sự sai sót! Các thầy cô sẽ chỉnh sửa trong lần tái bản tiếp theo. Cảm ơn các em.
Theo đề bài, ta có:
Chiều cao bể
Bán kinh đáy bể
Thể tích ban đầu của bể:
Tốc độ thoát nước:
Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m.
a)Chứng minh rằng
với 
là hằng số.
là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm 
(phút) sau khi mở vòi.
Lấy nguyên hàm:
Biết tại thời điểm ban đầu
bể đầy nước nên 
Vậy
b) Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị).
Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m, vậy nước thoát ra là 5m.
Thể tích nước còn lại sau 15 phút là:
Thể tích nước đã thoát ra sau 15 phút là:
Thay
và 
vào công thức 
Tính
Vậy thể tích chất lỏng còn lại trong bể là:
Đổi:
c) Sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước
Để bể cạn nước, thể tích nước đã thoát ra khỏi bể phải bằng thể tích ban đầu của bể.
( Chia cả hai vế cho 
)
(Chia cả hai vế cho 4)
.
phút.
Kết quả:
a) Hàm số
.
b) Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là khoảng 503 lít.
c) Sau 45 phút thì bể cạn nước.
thành nhé!. Lần tái bản này có bổ sung các bài tập mới nên không tránh được sự sai sót! Các thầy cô sẽ chỉnh sửa trong lần tái bản tiếp theo. Cảm ơn các em.Theo đề bài, ta có:
Chiều cao bể
Bán kinh đáy bể
Thể tích ban đầu của bể:
Tốc độ thoát nước:
Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m.
a)Chứng minh rằng
với là hằng số.là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm (phút) sau khi mở vòi.Lấy nguyên hàm:
Biết tại thời điểm ban đầu
bể đầy nước nên Vậy
b) Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị).
Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m, vậy nước thoát ra là 5m.
Thể tích nước còn lại sau 15 phút là:
Thể tích nước đã thoát ra sau 15 phút là:
Thay
và vào công thức Tính
Vậy thể tích chất lỏng còn lại trong bể là:
Đổi:
c) Sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước
Để bể cạn nước, thể tích nước đã thoát ra khỏi bể phải bằng thể tích ban đầu của bể.
( Chia cả hai vế cho ) (Chia cả hai vế cho 4). phút.Kết quả:
a) Hàm số
.b) Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là khoảng 503 lít.
c) Sau 45 phút thì bể cạn nước.