Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [803386]: Cho hàm số . Các nghiệm của phương trình là:
A,
B,
C,
D,
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm hàm sơ cấp: và
2.Cách giải: Ta có:

Khi đó
3. Kết luận: Các nghiệm của phương trình là:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 2 [802342]: Cho hàm số Đạo hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
2.Cách giải: Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [803334]: Đạo hàm của bằng
A,
B,
C,
D,
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
2.Cách giải: Ta có:
3. Kết luận: Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [802413]: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ
A,
B,
C,
D,
Chọn C
Đặt
Ta có
Tại
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Đáp án: C
Câu 5 [502485]: Tính đạo hàm của hàm số
A,
B,
C,
D,
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm hàm Logarit:
2.Cách giải: Ta có:
3. Kết luận: Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 6 [803381]: Đạo hàm của hàm số là bằng:
A,
B,
C,
D,
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
2.Cách giải: Ta có:
3. Kết luận: Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [657493]: Đạo hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Áp dụng công thức
Ta có: Chọn A.
Đáp án: A
Câu 8 [977181]: Cho hàm số . Hệ thức nào sau đây là đúng?
A, .
B, .
C, .
D, .
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm hàm sơ cấp:
2.Cách giải: Ta có: Lại có:
3. Kết luận: Hệ thức đúng là:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 9 [975461]: Tính đạo hàm của hàm số
A,
B,
C,
D,
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
2.Cách giải: Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 10 [803330]: Đạo hàm của hàm số là:
A,
B,
C,
D,
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm:
2.Cách giải: Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 11 [803373]: Hàm số có bằng
A,
B,
C,
D,
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm:
2.Cách giải: Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 12 [657020]: Tính đạo hàm của hàm số
A,
B,
C,
D,
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm
2.Cách giải: Ta có:

3. Kết luận:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1060959]: Cho hàm số có đồ thị .
a) Ta có đạo hàm
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b)
Tập nghiệm của phương trình là
Suy ra mệnh đề b) sai.
c)
Tập nghiệm của bất phương trình là
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Ta có
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Câu 14 [1179458]: Cho hàm số
Dựa vào hàm số , ta xét từng mệnh đề như sau:
a. Mệnh đề
Ta có: .
Vì nên mệnh đề này Sai (S).
b. Mệnh đề
Ta có đạo hàm: .
Vì nên mệnh đề này Sai (S).
c. Mệnh đề tập nghiệm của là
Giải bất phương trình :

Lấy logarit tự nhiên hai vế:

Vậy tập nghiệm là . Mệnh đề này Đúng (Đ).
d. Mệnh đề tiếp tuyến tại là
Phương trình tiếp tuyến tại có dạng .
Ta đã tính được và .
Phương trình tiếp tuyến là: .
Vì nên mệnh đề này Sai (S).
Kết quả:
* a: S
* b: S
* c: Đ
* d: S
Câu 15 [1103688]: Một bình nước rỗng có dạng hình nón ngược có chiều cao bán kính đáy như hình vẽ.

Nước được chảy vào bình với tốc độ lít /phút, gọi và lần lượt là thể tích và chiều cao của mực nước trong bình sau (phút) tính từ lúc nước chảy vào.
a) Sai.
Ta có “nước được chảy vào bình với tốc độ 2 lít/phút” tức sau 1 phút trong bình có 2 lít nước
Suy ra (phút) thì bình có lít nước.
Vì bình nước là dạng hình nón ngược có chiều cao bán kính đáy nên thể tích của bình là
Bình sẽ đầy nước khi và chỉ khi (phút).
b) Sai.
Thể tích nước trong bình sau (phút) là với là bán kính của mặt nước sau (phút) và là chiều cao của nước trong bình sau (phút).
Minh họa các điểm như hình vẽ (hình vẽ là mặt cắt đi qua đường kính đáy của bình).

Vì mặt nước luôn song song với đáy bình nên Ta dễ dàng chứng minh được Suy ra
Thay vào ta được
c) Sai.
Từ phần a) và b) ta có thể tích nước trong bình sau (phút) là
d) Sai.
Yêu cầu bài toán: Tính
Cách 1: Bấm máy tính như cách thầy Tuấn bấm trong video.
Cách 2:
Ta có

Vậy
Câu 16 [1145603]: Bạn Nam đang thả diều trên một con đê. Con diều đang chuyển động theo phương ngang ở độ cao 151,5 m so với mặt đất với tốc độ không đổi 10 m/s. Tại thời điểm ban đầu, dây diều dài 250 m. Biết Nam đứng yên, tay giữ một đầu dây ở độ cao 1,5 m so với mặt đất và dây diều luôn được kéo căng thẳng. Cho biết chiều dài tối đa của dây diều là 350 m.
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Bạn Nam đang chơi thả diều trên bờ đê, con diều đang di chuyển theo chiều ngang ở độ cao 151,5 mét và đang bay với tốc độ là
- Thời điểm dây diều đang dài 250 mét là thời điểm ban đầu.
- Dây diều có thể thả tối đa là 350 mét, chiều cao của Nam là 150 cm , dây diều luôn được cầm ở vị trí ngang với đỉnh đầu của bạn Nam.
- Trong quá trình thả diều, bạn Nam luôn đứng yên.
b) Yêu cầu:
a) Sau 5 giây, con diều đã đi được bao nhiêu m?
b) Con diều bị kéo căng hết cỡ sau bao nhiêu giây?
c) Tại thời điểm dây diều căng hết cỡ, dây diều đang tăng với tốc độ bao nhiêu ?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
a) Biết vận tốc và thời gian suy ra được quãng đường.
b) Tìm quãng đường diều đi được cho đến khi bị kéo căng hết cỡ.
c) Đạo hàm quãng đường diều đi được cho đến khi bị kéo căng hết cỡ là tốc độ tăng của diều.
Phần 3. Giải chi tiết
a) Đúng.
Sau 5 giây, con diều đi được
b) Đúng.

Ta có:

Quãng đường diều đi được cho đến khi bị kéo căng hết cỡ là

c) Sai.
Con diều bị kéo căng hết cỡ sau giây.
d) Đúng.
Ta có: trong đó là chiều dài tối đa của dây diều, là khoảng cách theo phương ngang từ bạn Nam đến con diều, là độ cao của con diều .

Mà
do độ cao của con diều không thay đổi.
là vận tốc của diều theo phương ngang.

PHẦN III. Trả lời ngắn.
Câu 17 [382820]: Cho hàm số có đạo hàm Tính giá trị của
1.Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm hàm thương:
2.Cách giải: Ta có:




3. Kết luận:
Điền đáp án: -6.
Câu 18 [1002636]: Một đường ống dẫn dầu bị rò rỉ hình thành nên một mảng dầu loang hình tròn trên mặt biển. Tốc độ tăng của bán kính mảng dầu loang theo thời gian là Khi đó tốc độ tăng của diện tích (tính theo) của mảng dầu loang cũng phụ thuộc theo thời gian Hỏi tại thời điểm bán kính mảng dầu loang là thì tốc độ tăng diện tích mảng dầu loang theo thời gian là bao nhiêu ? (Đáp số làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 314
Bán kính của mảng dầu loang tăng theo thời gian, do vậy ta có thể coi bán kính r (m) của mảng dầu là một hàm số phụ thuộc theo thời gian t (h), tức là
Từ giả thiết về tốc độ dầu loang ta có
Diện tích mảng dầu dầu loang hình tròn là coi đây là hàm số theo biến r ta được
Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp, ta có
Khi thì Tức là diện tích mảng dầu loang tăng với tốc độ 314 mỗi giờ.
Câu 19 [1002630]: Một bể nước có dạng hình nón ngược với bán kính đáy bằng 2 m và chiều cao bằng 4 m (tham khảo hình vẽ). Nước được bơm vào bể với tốc độ không đổi là phút. Hỏi tốc độ dâng lên của mực nước (đơn vị m/phút) bằng bao nhiêu khi mực nước trong bể đạt độ sâu bằng 3 m (làm tròn kết quả dến chữ số hàng phần trăm)?
Gợi ý: Tốc độ bơm nước (tốc độ thay đổi thể tích) là đạo hàm của hàm thể tích. Tốc độ dâng lên của mực nước là đạo hàm của hàm chiều cao. Khi đó, yêu cầu bài toán là tính tốc độ dâng lên khi
Ta kí hiệu các điểm như hình vẽ sau.

Vì mặt nước luôn song song với mặt đáy của bể nước, nên
Khi đó, áp dụng định lý Thalès, trong tam giác ta có
Áp dụng công thức tính thể tích của hình nón, ta suy ra thể tích của bể nước là
Thay vào phương trình thể tích, ta có
Từ giả thiết, nước được bơm vào bể với tốc độ không đổi là phút nên ta có
Thay vào phương trình trên, ta được (m/phút).
Điền đáp án: 0,28.
Câu 20 [1002631]: Một người trên cầu tàu kéo một chiếc thuyền về phía mình bằng cách kéo một sợi dây với tốc độ không đổi là 20 mét một phút. Sợi dây được gắn vào thuyền cách mặt nước 1 m và tay của người đàn ông cách mặt nước 6 m. Thuyền đang tiến đến cầu tàu với tốc độ bao nhiêu mét/phút tại thời điểm cách cầu tàu 15 m? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Phương pháp: Sử dụng ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tiễn.
Cách giải:

Ta kí hiệu độ dài các đoạn như hình vẽ trên.
Gọi và lần lượt là hàm biểu diễn độ dài đoạn tương ứng trong hình tại thời điểm phút Khi đó, các hàm là vận tốc chuyển động tương ứng. (ứng dụng của đạo hàm).
Yêu cầu bài toán: Tính Với
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có
Thay vào phương trình (*) ta được Vì người đó kéo chiếc thuyền về phía mình với tốc độ không đổi là 20 m/phút, nên ta có suy ra
Đạo hàm hai vế phương trình (*) theo biến ta được

Thay vào phương trình trên, ta được


Vậy thuyền đang tiến đến cầu tàu với tốc độ 21,1 mét/phút.

Kết luận: Điền đáp án: 21,1.
Câu 21 [1002637]: Một chiếc thang dài mét tựa vào một bức tường thẳng đứng trên một mặt đất bằng phẳng. Khi đầu dưới của thang di chuyển (trên mặt đất) ra xa bức tường với vận tốc không đổi là thì đầu trên cùng của thang sẽ trượt xuống dọc theo bức tường. Khi điểm đầu thang cách mặt đất 3 mét thì tốc độ di chuyển của nó bằng bao nhiêu (đơn vị: (m/s) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 5,66
Gọi là thời gian di chuyển của điểm đầu dưới thang.
Quãng đường điểm dưới thang di chuyển là
Quãng đường thang trên thang di chuyển là
Khi điểm trên thang cách mặt đất
Tốc độ di chuyển của đầu trên thang là
Câu 22 [876314]: Một máng nước dài 6 mét có mặt cắt ngang đều làhình thang cân có đáy lớn dài 2 mét, hai cạnh bên và đáy bé có độdài bằng nhau và bằng 1 mét. Nước rò rỉ từ đáy máng với tốc độ không đổi là mỗi phút. Tìm tốc độ mực nước giảm xuống tại thời điểm mực nước trong máng cao cm (viết theo đơn vị phút và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gợi ý: Tốc độ nước rò rỉ từ đáy máng bằng đạo hàm thể tích nước trong máng. Tốc độ mực nước giảm bằng đạo hàm của chiều cao nước trong máng. Khi đó, yêu cầu bài toán là Tính tại thời điểm
Ta dựng hình như hình sau.

Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ, ta có
Thể tích của máng nước = Diện tích đáy (đáy là hình thang cân) x Chiều cao

Xét tam giác vuông ta có
(Dễ thấy tam giác là tam giác vuông tại Trong tam giác vuông ta có
Thay vào phương trình (*) ta được
Theo giả thiết: Nước rò rỉ từ đáy máng với tốc độ không đổi là 0,15 m3 mỗi phút, ta có
Thay vào biểu thức trên, ta được (m/phút) (cm/phút).
Điền đáp án: 2,03.
PHẦN IV. Tự luận.
Câu 23 [1002632]: Nhiệt độ của một cốc nước sau khi cho vào tủ lạnh được biểu thị bằng hàm số (độ C) ( là thời gian tính bằng phút kể từ lúc cho cốc nước vào tủ).
a) Tính và
b) Biết rằng tìm giá trị của
c) Sau 10 phút bỏ vào tủ, nhiệt độ của cốc nước giảm với tốc độ bao nhiêu /phút?
a) Cách giải:Để tính , thay vào hàm số



Vậy nhiệt độ ban đầu của cốc nước là .


Áp dụng công thức đạo hàm ta có đạo hàm hàm số là





b) Cách giải:
Ta có

Từ kết quả câu a), ta có

Theo đề bài,

Thay các biểu thức của và vào phương trình này, ta được





Kết luận: Vậy

c) Gợi ý: Tốc độ giảm nhiệt của cốc nước là đạo hàm của hàm nhiệt độ theo thời gian.

Cách giải:
Tốc độ giảm nhiệt độ của cốc nước sau 10 phút được biểu thị bởi .

Thay vào biểu thức đã tìm được ở phần a), ta có
phút

Kết luận: Vậy sau 10 phút bỏ vào tủ, nhiệt độ của cốc nước giảm với tốc độ khoảng /phút. (Tốc độ giảm được thể hiện bằng giá trị dương của đạo hàm).
Câu 24 [1002638]: Cho hàm số và
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng
c) Nếu biểu diễn theo
Đính chính: ý a) các em sửa lại đề theo web là: Chứng minh rằng
a) Gợi ý: Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và quy tắc
Cách giải:
(áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)



Kết luận: Suy ra điều cần chứng minh.
b) Gợi ý: Sử dụng công thức đạo hàm
Cách giải:
Ta có
Kết luận: Vậy
c) Gợi ý: Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
Cách giải:
Chứng minh tương tự phần b), ta sẽ chứng minh được là
Ta có
Suy ra
Mà thay vào phương trình ta được
thu được ở ý a)
Kết luận: Vậy